Page:Trénard - Algèbre, cours complet 1926.djvu/95

En effet, cela revient à faire passer tous les termes du premier membre dans le second, et réciproquement :

$-9+2=-3x-12x$

puis, à faire permuter les deux membres, ce qui est indifférent puisqu’ils sont égaux :

$-3x-12x=-9+2$

Nota. — On opère généralement ainsi dans les cas analogues aux suivants :

$-3x=-15$ ; on écrit $3x=\quad 15$

$-3x=\quad 15$ ; on écrit $3x=-15$.

PRINCIPE II

124. — Si l’on multiplie ou si l’on divise par uns même quantité les deux membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation équivalente à la proposée, à condition que cette quantité ne soit pas susceptible de devenir nulle.

Soit l’équation  $5x-8=2x+10$.(1)

xxx Je multiplie chaque membre par 4 :
$(5x-8)\ 4=(2x+10)\ 4$.(2)

xxx Je dis que l’équation (2) est équivalente à l’équation (1).
xxx 1° Toute solution de l’équation (1) est solution de l’équation (2).
Soit $x=6$ une solution de l’équation (1) ; on a donc l’identité :
 $5\times 6-8=2\times 6+10$.(3)

xxx Les deux membres sont des nombres égaux dont les produits par 4 sont encore égaux :
$(5\times 6-8)\ 4=(2\times 6+10)\ 4$.(4)
Cette égalité est donc sûrement une identité ; or elle ne diffère de l’équation (2) qu’en ce qu’elle renferme $6$ au lieu de $x$. Si l’on remplaçait $x$ par $6$ dans l’équation (2), on obtiendrait donc une identité ; par suite $6$ est solution de l’équation (2).
xxx 2° Toute solution de l’équation (2) est solution de l’équation (1).
Soit $6$ une solution de l’équation (2) ; elle transforme cette équation en l’identité (4) d’où l’on tire, en divisant les deux membres par 4, l’identité (3). Celle-ci ne diffère de l’équation (1) qu’en ce qu’elle renferme $6$ au lieu de $x$. Si l’on remplaçait $x$ par $6$ dans