invariants intégraux. Du moment qu’il existe un invariant intégral, point n’est besoin d’un calcul direct pour vérifier les conditions en question : on est, a priori, sûr qu’elles sont remplies.
Or, le calcul ainsi dirigé n’est autre que celui par lequel on forme les séries de Lindstedt ; et les conditions dont il s’agit ne sont autres que celles qui, dans cette formation, permettent de faire disparaître les termes séculaires.
C’est, au fond, de l’existence des invariants intégraux que résulte, par conséquent, la possibilité d’écrire ces séries, possibilité qui est d’ailleurs établie en s’affranchissant des hypothèses restrictives de Lindstedt lui-même.
L’existence de nos surfaces tubulaires est-elle donc démontrée ?
Nullement : les calculs précédents ne suffisent pas plus à l’établir que les séries de Lindstedt ne suffisent à décider la question fondamentale de stabilité : pour les unes comme pour les autres, la convergence reste douteuse au premier abord.
Poincaré va constater que les séries de Lindstedt sont divergentes ; mais il y a plus — et cette paradoxale découverte qui a boule-
