aider à s’orienter les nombreux lecteurs du mathématicien philosophe.
C’est la géométrie non-euclidienne qui conduisit Henri Poincaré à ses premières réflexions philosophiques. Il s’aperçut que ses travaux d’analyse mathématique lui permettaient de jeter une nouvelle lumière sur l’antique question du postulat euclidien qui était encore et plus que jamais à l’ordre du jour.
On sait quelle est l’étrange conclusion à laquelle aboutit l’effort séculaire des mathématiciens qui tentèrent de démontrer le cinquième Postulat : Par un point pris hors d’une droite on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. On constata qu’en partant d’une hypothèse contraire à celle que formule ce postulat, on peut construire un système logique de propositions susceptibles de se dérouler à l’infini sans se heurter jamais à aucune contradiction. Au regard de la logique pure, un tel système est une « géométrie » tout aussi valable que la géométrie euclidienne. Deux nouvelles géométries peuvent être ainsi créées, qui sont également légitimes : la géométrie de Lobatchewsky, dans laquelle par un
