point pris hors d’une droite on peut mener plusieurs parallèles à cette droite ; la géométrie de Riemann, où l’on ne peut mener aucune parallèle à la droite et dans laquelle, d’ailleurs, le concept traditionnel de ligne droite se trouve profondément altéré ; car cette géométrie jette par-dessus bord, avec le cinquième postulat d’Euclide, cet autre axiome classique : Par deux points on ne peut faire passer qu’une droite.
Cependant, tout en en admettant la possibilité théorique, on pouvait penser que les géométries non-euclidiennes étaient des constructions tout artificielles et sans rapports avec la géométrie réelle. Et, d’ailleurs, on pouvait leur adresser cette objection : vous dites que votre chaîne de théorèmes sera exempte (le contra-dictions quelque loin que vous la poursuiviez ; mais, comme cette chaîne est infinie, vous n’arriverez jamais au bout, vous n’aurez jamais fini de la dérouler, et qui me dit alors que la contradiction, évitée jusqu’ici, n’apparaîtra pas.à un moment donné ? À cette critique et à cette objection, Riemann et Beltrami répondirent en montrant que les théories géométriques dites non-euclidiennes peuvent toujours être considérées, si on le veut, comme des théories de géométrie euclidienne. Il n’y a
