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Si l’offre et la demande de chaque marchandise sont égales, c’est-à-dire si on a

$\scriptstyle D'_{a,b}{\frac {1}{p'_{b}}}D'_{c,b}{\frac {p'_{c}}{p'_{b}}}+D'_{d,b}{\frac {p'_{d}}{p'_{b}}}+\ldots =D'_{b,a}+D'_{b,c}+D'_{b,d}+\ldots$

$\scriptstyle D'_{a,c}{\frac {1}{p'_{c}}}D'_{b,c}{\frac {p'_{b}}{p'_{c}}}+D'_{b,c}{\frac {p'_{d}}{p'_{c}}}+\ldots =D'_{c,a}+D'_{c,b}+D'_{c,d}+\ldots$

$\scriptstyle D'_{a,d}{\frac {1}{p'_{d}}}D'_{b,d}{\frac {p'_{b}}{p'_{d}}}+D'_{c,d}{\frac {p'_{c}}{p'_{d}}}+\ldots =D'_{d,a}+D'_{d,b}+D'_{d,c}+\ldots$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

l’échange se fait à ces prix conformément à. la condition d’égalité de l’offre et de la demande et au système [2] d’équations, et le problème est résolu. Mais généralement l’offre et la demande de chaque marchandise seront inégales. Ce cas échéant, que fait-on sur le marché ? Si c’est la demande qui est supérieure à l’offre, on fait la hausse du prix de la marchandise en numéraire ; si c’est l’offre qui est supérieure a la demande, on fait la baisse. Que faut-il donc prouver pour établir que la solution théorique et la solution du marché sont identiques ? Tout simplement que la hausse et la baisse sont un mode de résolution par tâtonnement du système [2] des équations d’échange.

Observons d’abord que, si l'on prend le système entier des $m$ inégalités d’offre et de demande des m marchandises (A), (B), (C), (D)… aux prix $\scriptstyle p'_{b},\,p'_{c},\,p'_{d}$ en multipliant respectivement les deux membres des $m-1$ dernières par $\scriptstyle p'_{b},\,p'_{c},\,p'_{d}$, soit

$\scriptstyle D'_{b,a}p'_{b}+D'_{c,a}p'_{c}+D'_{d,b}p'_{d}+\ldots \lessgtr D'_{a,b}+D'_{a,c}+D'_{a,d}+\ldots$

$\scriptstyle D'_{a,b}+D'_{c,b}p'_{c}+D'_{d,b}p'_{d}+\ldots \lessgtr D'_{b,a}p'_{b}+D'_{b,c}p'_{b}+D'_{b,d}p'_{b}+\ldots$

$\scriptstyle D'_{a,c}+D'_{b,c}p'_{b}+D'_{d,c}p'_{d}+\ldots \lessgtr D'_{c,a}p'_{c}+D'_{c,b}p'_{c}+D'_{c,d}p'_{c}+\ldots$

$\scriptstyle D'_{a,d}+D'_{b,d}p'_{b}+D'_{c,d}p'_{c}+\ldots \lessgtr D'_{d,a}p'_{d}+D'_{d,b}p'_{d}+D'_{d,c}p'_{d}+\ldots$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

et qu’on additionne d’une part tous les premiers membres entre eux, d’autre part tous les seconds membres entre eux, on a deux quantités identiques. Ceci