Recherches arithmétiques/Section cinquième (fin)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 338-387).

Après avoir exposé succinctement les premiers élémens des formes ternaires, nous allons passer à quelques applications particulières, parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place.

286. Problème. Étant donnée une forme binaire $\mathrm {F=(A,B,C)}$ de déterminant $\mathrm {D}$ appartenant au genre principal, trouver une forme binaire $\mathrm {f}$ qui donne $\mathrm {F}$ par sa duplication.

1^o . On cherchera une représentation propre de la forme $(A,-B,C)=F'$ par la forme ternaire $x^{2}-2yz$ ; supposons qu’elle soit

$x=\alpha T+\beta U$, ——$y=\alpha 'T+\beta 'U$, ——$z=\alpha ''T+\beta ''U.$

Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est toujours possible. En effet, $F$ étant, par hypothèse, du genre principal, on pourra trouver une valeur de l’expression ${\sqrt {(A,B,C)}}{\pmod {D}}$ (n^o 233, 6^o ), et parconséquent une forme ternaire $\varphi$ de déterminant $1$, dans laquelle la forme $(A,-B,C)$ entre comme partie, et dont l’on voit facilement que fous les coefficiens sont entiers. Il est également clair que la forme $\varphi$ doit être indéfinie, puisque, par hypothèse, $F$ n’est certainement pas une forme négative ; donc $\varphi$ sera équivalente à la forme $x^{2}-2yz$, on pourra parconséquent assigner une transformation de $x^{2}-2yz$ en $\varphi$, qui fournira une représentation propre de $F'$ par la forme $x^{2}-2yz$ ; d’ailleurs on aura $A=\alpha ^{2}-2\alpha '\alpha ''$, $-B=\alpha \beta -\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$, $C=\beta ^{2}-2\beta '\beta ''$ ; d’où l’on voit qu’en faisant $\alpha \beta '-\alpha '\beta =a$, $\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '=b$, $\alpha ''\beta -\alpha \beta ''=c$, ces nombres n’auront pas de commun diviseur, et qu’on aura $D=b^{2}-2ac$.

2^o . De là et à l’aide de la dernière observation du n^o 235, on peut facilement conclure que $F$, par la substitution $2\beta '$, $\beta$, $\beta$, $\beta ''$ ; $2\alpha '$, $\alpha$, $\alpha$, $\alpha ''$, se change en le produit de la forme $(2a,-b,c)$ par elle-même, et par la substitution $\beta '$, $\beta$, $\beta$, $2\beta ''$ ; $\alpha '$, $\alpha$, $\alpha$, $2\alpha ''$, en le produit de la forme $(a,-b,2c)$ par elle-même. Or le plus grand commun diviseur des nombres $2a$, $2b$, $2c$ est $2$ ; si donc $c$ est impair, $2a$, $2b$, $c$ n’auront pas de commun diviseur, et la forme $(a,-b,2c)$ sera une forme proprement primitive. De même si $a$ est impair $(a,-b,2c)$ sera une forme proprement primitive ; dans le premier cas, $F$ naît de la duplication de la forme $(2a,-b,c)$, et dans le deuxième, de la duplication de la forme $(a,-b,2c)$. (Voyez Conclus. 4, n^o 235). Or un de ces cas arrivera nécessairement. En effet, si $a$, $c$ étaient tous deux pairs, $b$ serait nécessairement impair ; or on s’assure aisément que l’on a $\beta ''a+\beta b+\beta 'c=0$, $\alpha ''a+\alpha b+\alpha 'c=0$ ; donc $\beta b$ et $\alpha b$, et partant $\alpha$ et $\beta$ seraient tous les deux pairs ; $A$ et $C$ le seraient donc aussi, ce qui est contre l’hypothèse, puisque $F$ est une forme du genre principal, et parconséquent de l’ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que $a$ et $c$ soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent $F$ par leur duplication.

Soit proposée, par exemple, la forme $F=(5,2,31)$ de déterminant $-151\ ;$ on trouve $(55,22)$ pour valeur de l’expression ${\sqrt {(5,2,31)}}$ ; donc la forme ternaire ${\begin{array}{l}\varphi ={\begin{pmatrix}5,&31,&4\\11,&0,&2\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Or par les règles du n^o 272, on trouve la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ équivalente à $\varphi$, et qui se change en elle par la substitution

$2$, $2$, $1$ ; ——$1$, $-6$, $-2$ ; ——$0$, $3$, $1.$

De là, à l’aide des transformations consignées n^o 277, on trouve que ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\-1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en $\varphi$ par la substitution

$5$, $-7$, $-2$ ; ——$2$, $-1$, $0$ ; ——$1$, $-9$, $-3,$

ainsi $a=11$, $b=-17$, $c=20$. Et comme $a$ est impair, $F$ naît de la duplication de la forme $(11,17,40)$ se change en le produit de cette forme par elle-même, par la substitution $-1$, $-7$, $-7$, $-18$ ; $2$, $3$, $3$, $2$.

287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème précédent.

1^o . Si une forme $F$ se change, par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, en le produit des deux formes $(h,i,k)$, $(h',i',k')$, toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du n^o 235 les équations

	$p''hn'-p'h'n$	$-p(in'-i'n)$	$=0$,
$(p''-p')(in'+i'n)-$	$p(kn'-k'n)$	$+p'''(hn'-h'n)$	$=0$,
	$p'kn'-p''Kn$	$-p'''(in'-i'n)$	$=0$,

et trois autres qu’on obtient en remplaçant dans celles-ci $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ par $q$, $q'$, $q''$, $q'''$. $n$ et $n'$ sont les racines quarrées positives des quotiens qui résultent de la division des déterminans des formes $(h,i,k)$, $(h',i',k')$ par celui de la forme $F$. Si donc ces formes sont identiques ou qu’on ait $n=n'$, $h=h'$, $i=i'$, $k=k'$, les équations précédentes deviennent $(p''-p')hn=0$, $(p''-p')in=0$, $p''-p')kn=0$ ; donc on a nécessairement $p'=p''$, et absolument de la même manière, $q'=q''$ ; ainsi, en donnant aux formes $(h,k,i)$, $(h',i',k')$ les mêmes indéterminées $t$ et $u$, et désignant par $T$, $U$ les indéterminées de la forme $F$, $F$ se changera en $(ht^{2}+2itu+ku^{2})^{2}$ par la substitution

$T=pt^{2}+2p'tu+p''u^{2},\qquad U=qt^{2}+2q'tu+q''u^{2}.$

2^o . Si la forme $F$ naît de la duplication de la forme $f$, elle naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la même classe que $f$, ou la classe de la forme $F$ naîtra de la duplication de la classe de la forme $f$ (n^o 238). Ainsi dans l’exemple du n^o précédent, $(5,2,31)$ naîtra aussi de la duplication de la forme $(11,-5,16)$, proprement équivalente à $(11,17,40)$. Une fois qu’on connaît une classe de la duplication de laquelle résulte la classe de la forme $F$, on les trouvera toutes, s’il y en a plusieurs, à l’aide du problème du n^o 260. Dans notre exemple, il n’y a pas d’autre classe positive de cette espèce, parcequ’il n’y a qu’une seule classe ambiguë proprement primitive et positive de déterminant $-151$, qui est la classe principale. Comme de la composition de la seule classe ambiguë négative $(-1,0,-151)$ avec la classe $(11,-5,16)$, il résulte la classe $(-11,-5,-16)$ ; celle-ci sera la seule classe négative dont la duplication donne la classe $(5,2,31)$.

3^o . Comme la solution du problème du n^o précédent prouve que toute classe de formes binaires qui est proprement primitive, positive et qui appartient au genre principal, résulte de la duplication d’une classe proprement primitive de même déterminant, le théorème du n^o 261, par lequel nous étions certains qu’il y avait au moins la moitié de tous les caractères assignables pour un déterminant $D$ non quarré, auxquels ne répondît aucun genre proprement primitif-positif, reçoit par là plus de développement ; puisque nous voyons qu’il y a moitié de ces caractères auxquels répondent des genres, et moitié auxquels il n’en répond aucun (Voyez la démonstration de ce théorème). Donc, puisque nous avons distribué (n^o 263) tous ces caractères assignables en deux espèces $P$ et $Q$, composées d’un même nombre, desquelles la dernière, $Q$, ne pouvait répondre aux formes proprement primitives positives, tandis qu’il était incertain si chaque caractère de l’espèce $P$ répondait effectivement à quelque genre ; maintenant il ne reste aucun doute qu’il n’y a aucun caractère de cette espèce auquel ne réponde un genre.

On déduit facilement aussi de là, pour le déterminant négatif dans l’ordre proprement primitif négatif, à l’égard duquel nous avons prouvé (n^o 264, 1^o ) qu’il n’y avait d’admissibles que les caractères $Q$, qu’ils le sont tous effectivement. Soit en effet $K$ un des caractères de $Q$, $f$ une forme quelconque de l’ordre proprement primitif négatif de déterminant $D$, et $K'$ son caractère, $K'$ appartiendra à l’espèce $Q$ ; donc le caractère composé de $K$ et $K'$, d’après le n^o 246, appartiendra à l’espèce $P$, et partant il y a des formes positives proprement primitives de déterminant $D$, qui lui répondent ; en composant donc une de ces formes avec la forme $f$, il en naîtra une proprement primitive négative de déterminant $D$ dont le caractère sera $K$.

On prouverait absolument de la même manière, pour l’ordre improprement primitif, que les caractères démontrés seuls possibles (n^o 264, 2^o  et 5^o ) sont tous possibles, qu’ils soient de l’espèce $P$ ou de l’espèce $Q$.

Ces théorèmes, si nous ne nous trompons étrangement, doivent être rangés parmi les plus beaux de la théorie des formes binaires, surtout parceque, malgré leur grande simplicité, ils sont tellement cachés qu’il n’est pas possible d’en donner la démonstration rigoureuse, sans le secours d’un grand nombre d’autres recherches.

Nous passons maintenant à une autre application de la digression précédente, savoir, la décomposition, tant des nombres que des formes binaires en trois quarrés. Nous résoudrons d’abord le problème suivant ;

288. Problème. $M$ étant un nombre positif, trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les formes binaires primitives négatives de déterminant $-M$, qui sont résidus quadratiques de $M$, ou pour lesquelles $1$ est le nombre caractéristique.

Désignons par $\omega$ l’ensemble de tous les caractères particuliers que donnent les relations du nombre $1$ aux différens diviseurs premiers impairs de $M$, et au nombre $8$ ou $4$, quand il divise $D$. Ces caractères seront évidemment $Rp$, $Rp'$, $Rp''$, etc., $p$, $p'$, $p''$, etc. étant les diviseurs premiers, et $1,4$ ou $1,8$, suivant que $4$ ou $8$ divise $M$. Employons en outre les lettres $P$ et $Q$ dans le même sens qu’au n^o précédent ou qu’au n^o 263. Nous distinguerons les cas suivans :

1^o . Quand $M$ est divisible par $4$, $\omega$ sera le caractère complet, et il est clair (n^o 233, 5^o ) que $1$ ne peut être nombre caractéristique que de formes dont le caractère est $\omega$. Mais il est manifeste que $\omega$ est le caractère de la forme principale $(1,0,M)$, que parconséquent il est de l’espèce $P$, et qu’ainsi il ne peut appartenir à aucune forme proprement primitive négative, et comme il n’y a pas de forme improprement primitive pour ce déterminant, il n’y a pas de formes primitives négatives qui soient dans ce cas résidus de $M$.

2^o . Quand $M\equiv 3{\pmod {4}}$, les mêmes raisonnemens ont lieu, avec cette seule différence que dans ce cas l’ordre improprement primitif négatif existe, dans lequel les caractères de l’espèce $P$ seront possibles ou impossibles, suivant que $M\equiv 3$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$, (Voyez n^o 264, 3^o .) Si donc $M\equiv 3{\pmod {8}}$, il y aura dans cet ordre un genre dont $\omega$ sera le caractère, ainsi $1$ sera nombre caractéristique de toutes les formes qui y seront contenues. Si $M\equiv 7{\pmod {8}}$, aucune forme négative ne pourra jouir de cette propriété.

3^o . Quand $M\equiv 1{\pmod {4}}$, $\omega$ n’est pas le caractère complet, il faut y ajouter la relation à $4$. Mais il est clair que $\omega$ doit nécessairement entrer dans le caractère de la forme dont $1$ est nombre caractéristique, et que réciproquement toute forme dont le caractère est $\omega$ ; $1,4$ ou $\omega$ ; $3,4$ aura $1$ pour nombre caractéristique. Or, $\omega$ ; $1,4$ est le caractère du genre principal, qui appartient à $P$ et est parconséquent impossible dans l’ordre proprement primitif négatif. Par la même raison, le caractère $\omega$ ; $3,4$ appartiendra à $Q$ (n^o 263) ; donc il y aura dans l’ordre proprement primitif négatif un genre qui lui répondra et dont toutes les formes auront $1$ pour nombre caractéristique.

Dans ce cas, non plus que dans le suivant, il n’y a pas d’ordre improprement primitif.

4^o . Quand $M\equiv 2{\pmod {4}}$, il faut joindre à $\omega$ la relation au nombre $8$, pour avoir le caractère complet. Ces relations sont $1$ et $3,8$ ou $5$ et $7,8$, quand $M\equiv 2{\pmod {8}}$, et $1$ et $7,8$ ou $3$ et $5,8$, quand $M\equiv 6{\pmod {8}}$. Pour le premier cas, le caractère $\omega$ ; $1$ et $3,8$ appartient évidemment à $P$, et partant le caractère $\omega$ ; $5$ et $7,8$ appartient à $Q$ ; donc il répond à ce dernier caractère un genre proprement primitif négatif. Par la même raison, pour le second cas, il y a dans l’ordre proprement primitif négatif un genre dont les formes sont douées des propriétés précitées ; le caractère de ce genre est $\omega$ ; $3$ et $5,8$.

Il résulte de tout cela qu’il n’y a de formes primitives de déterminant $-M$, dont le nombre caractéristique soit $1$, que quand $M$ est congru à l’un des nombres $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, suivant le module $8$, et cela dans un seul genre qui sera impropre quand desorte qu’il n’en existe aucune lorsque $M\equiv 0$, $4$ ou $7{\pmod {8}}$. Au reste, il est évident que si $(-a,-b,-c)$ est une forme primitive négative qui ait $+1$ pour nombre caractéristique, $(a,b,c)$ sera une forme primitive positive dont le nombre caractéristique sera $-1$. On voit par là que dans les cinq premiers cas (quand $M\equiv 1$, $2$, $3$, $5$, $6$), il existe un genre primitif positif dont le nombre caractéristique est $-1$, genre impropre si $M\equiv 3$, et que dans les trois autres (quand $M\equiv 0$, $4$, $7$) il n’en existe aucune.

289. À l’égard des représentations propres des formes binaires par la forme ternaire $x^{2}+y^{2}+z^{2}=f$, on peut déduire ce qui suit de la théorie générale exposée au n^o 282.

1^o . La forme binaire $\varphi$ ne peut être représentée par la forme $f$, à moins qu’elle ne soit primitive, positive, et que son nombre caractéristique ne soit $-1$ (déterminant de la forme $f$). Ainsi aucune forme de déterminant positif, ou même de déterminant négatif $-M$, si $M\equiv 0{\pmod {4}}$ ou $\equiv 7{\pmod {8}},$ ne pourra être représentée proprement par $f.$

2^o . Mais si $\varphi =(p,q,r)$ est une forme primitive positive de déterminant $-M$, et que $-1$ soit son nombre caractéristique, il sera aussi celui de son opposée $(p,-q,r)$, et alors chaque valeur de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}$ fournira des représentations de $\varphi$ par $f$, c’est-à-dire que les coefficiens de la forme ternaire $g$ de déterminant $-1$ (n^o 283) seront nécessairement entiers, que $g$ sera une forme définie et partant équivalente à $f$ (n^o 285, I).

3^o . Le nombre des représentations qui appartiennent à la même valeur de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}$ est égal dans tous les cas, excepté dans ceux où $M=1$ ou $2$, au nombre de transformations de $f$ en $g$ (n^o 285, III), et sera parconséquent (n^o 285) égal à $48$. Il suit de là que lorsque l’on connaîtra une représentation appartenante à une valeur donnée, on trouvera les $47$ autres, tant en permutant les valeurs de $x$, $y$, $z$ entre elles de toutes les manières possibles, qu’en les affectant de différens signes. Ainsi les quarante-huit représentations ne donnent qu’une seule décomposition de la forme $\varphi$ en trois quarrés, si l’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes des racines,

4^o . Soit $\mu$ le nombre des diviseurs premiers impairs de $M$ ; on déduit sans peine du n^o 233, que le nombre de toutes les valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}{\pmod {M}}$ est $2^{\mu }$, dont on ne doit considérer que la moitié (quand $M>2$) : ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme $\varphi$ par $f$ sera $48.2^{\mu -1}=3.2^{\mu +1}$ ; mais le nombre des décompositions en trois quarrés n’est que $2^{\mu -1}$.

Exemple. Soit $\varphi =19t^{2}+6tu+41u^{2}$, et partant $M=770$ ; on a ici à considérer (n^o 283) les quatre valeurs suivantes et l’expression ${\sqrt {-19,-3,41)}}{\pmod {770}}$ :

$(39,237),\quad (171,-27),\quad (269,-83),\quad (291,-127).$

Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur $(39,237)$, on détermine d’abord la forme ternaire ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}19,&41,&2\\3,&6,&3\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, en laquelle on trouve que $f$ se change, à l’aide des méthodes précédentes (n^os 272 et 275), par la substitution

$1$, $-6$, $-0$ ; ——$-3$, $-2$, $-1$ ; ——$-3$, $-1$, $-1,$

D’où résulte pour la représentation de $\varphi$ par $f$,

$x=t-6u,\quad y=-3t-2u,\quad z=-3t-u.$

Pour abréger, nous nous dispensons d’écrire les $47$ autres représentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces $48$ représentations ne donnent qu’une seule décomposition en trois quarrés,

$t^{2}-12tu+36u^{2},\quad 9t^{2}+12tu+4u^{2},\quad 9t^{2}+6u+u^{2}$

Absolument de la même manière on tire :

de la valeur	———	la décomposition
$(171,-27)$		$(3t+5u)^{2}+(3t-4u)^{2}+t^{2}$
$(269,-83)$		$(t+6u)^{2}+(3t+u)^{2}+(3t-2u)^{2}$
$(291,-127)$		$(t+3u)^{2}+(3t+4u)^{2}+(3t-4u)^{2}$.

Chacune de ces décompositions répond à $48$ représentations. Mais ces $192$ représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque, $770$ n’étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.

290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l’égard des formes de déterminant $-1$ et $-2$, qui sont sujettes à quelques exceptions. Observons d’abord généralement que si $\varphi$, $\varphi '$ sont deux formes binaires équivalentes quelconques, (Θ) une transformation de la première en la seconde, en combinant avec (Θ) une représentation quelconque de la forme $\varphi$ par une certaine forme ternaire $f$, on obtient une représentation de la forme $\varphi '$ par $f$ ; en outre, que de cette manière, les représentations propres de $\varphi$ conduisent à des représentations propres de $\varphi '$, les représentations différentes de $\varphi$ à des représentations différentes de $\varphi '$, et qu’en opérant de même sur toutes les premières, on obtiendra toutes les dernières. Tout cela se prouve facilement par le calcul. Ainsi l’une des formes $\varphi '$ peut se représenter par $f$ d’autant de manières que l’autre.

1^o . Soit d’abord $\varphi =t^{2}+u^{2}$ et $\varphi '$ une autre forme binaire de déterminant $-1$ qui sera parconséquent équivalente à $\varphi$ ; supposons que $\varphi$ se change en $\varphi '$ par la substitution $t=\alpha t'+\beta u'$, $u=\gamma t'+\delta u'$. La forme $\varphi$ se représente par la forme ternaire $f=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, en posant $x=t$, $y=u$, $z=0$. En permutant $x$, $y$, $z$, il en résulte six représentations, et de chacune d’elles on en déduit quatre en changeant les signes de $t$ et de $u$, desorte qu’il y a en tout vingt-quatre représentations différentes qui répondent à une seule décomposition en trois quarrés et qui sont évidemment les seules. On conclut de là que la forme $\varphi '$ ne peut se décomposer que d’une seule manière en trois quarrés, qui sont :

$(\alpha t'+\beta u')^{2},\quad (\gamma t'+\delta u')^{2},\;{\text{et}}\quad 0,$

cette décomposition équivaut à vingt-quatre représentations.

2^o . Soit $\varphi =t^{2}+2u^{2}$, et $\varphi '$ une autre forme quelconque de déterminant $-2$, en laquelle $\varphi$ se change par la substitution $t=\alpha t'+\beta u'$, $u=\gamma t'+\delta u'\ ;$ on conclura, comme dans le cas précédent, que $\varphi$ et parconséquent $\varphi '$ ne peut être décomposé que d’une seule manière en trois quarrés, savoir, $\varphi$ en $t^{2}+u^{2}+u^{2}$, et $\varphi '$ en

$(\alpha t'+\beta u')^{2}+(\gamma t'+\delta u')^{2}+(\gamma t'+\delta u')^{2}\,;$

on voit facilement que cette décomposition revient à vingt-quatre représentations.

Il suit de là que les formes binaires de déterminant $-1$ et $-2$ s’accordent parfaitement avec les autres, quant au nombre des représentations par la forme ternaire $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ; en effet, comme dans les deux cas on a $\mu =0$, la formule donnée au numéro précédent, 4^o , conduit à vingt-quatre représentations. Cela vient de ce que les deux exceptions auxquelles elles sont sujettes se compensent mutuellement.

Nous omettons, pour abréger, d’appliquer à la forme la théorie générale des représentations impropres exposée au n^o 284.

291. La recherche des représentations d’un nombre donné positif $M$, par la forme est d’abord ramenée, par le n^o 281, à la recherche des représentations du nombre $-M$ par la forme $-x^{2}-y^{2}-z^{2}=f.$ Or on trouve ces dernières par les procédés du n^o 280, ainsi qu’il suit :

1^o . On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant $-M,$ dont les formes peuvent être représentées proprement par la forme $X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=F,$ qui a $f$ pour adjointe. Quand $M\equiv 0,$ $4$ ou $7$ (n^o 288) il n’existe point de telles classes, et parconséquent le nombre $M$ ne peut pas être décomposé en trois quarrés qui n’aient pas de diviseur commun^[1]. Mais quand $M\equiv 1,$ $2,$ $5$ ou $6,$ il aura un genre positif proprement primitif, et quand ${\displaystyle }$, un genre improprement primitif, qui renfermera toutes ces classes dont nous représenterons le nombre par $k$.

2^o . De chacune de ces classes on tirera à volonté une forme ; soient ces formes $\varphi ,$ $\varphi ',$ $\varphi '',$ etc. On cherchera les représentations propres de chacune d’elles par $F,$ le nombre en sera $3.2^{\mu +3}k=K,$ $\mu$ étant le nombre des facteurs premiers impairs de $M.$ Chaque représentation de cette espèce, telle que

$X=mt+nu,\quad Y=m't+n'u,\quad Z=m''t+n''u,$

donnera une représentation de $M$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, qui sera

$x=m'n''-m''n',\quad y=m''n-mn'',\quad z=mn'-m'n,$

et l’ensemble de ces représentations, que nous désignerons par $\Omega$, renfermera nécessairement toutes les représentations de $M$.

3^o . Ainsi il ne reste plus qu’à examiner si dans $\Omega$ il peut se trouver des représentations identiques, et comme (n^o 280, 3^o ) les représentations qui sont dérivées de formes différentes sont nécessairement différentes, tout se réduit à chercher si, parmi celles qui se déduisent de la même forme, de $\varphi$, par exemple, il peut y en avoir d’identiques. Or il est évident, au premier coup-d’œil, que si, parmi les représentations de $\varphi$, on trouve la suivante :

$X=mt+nu,\quad Y=m't+n'u,\quad Z=m''t+n''u$…(r),

on y trouvera aussi

$X=-mt-nu,\quad Y=-m't-n'u,\quad Z=-m''t-n''u$…(r'),

et que de chacune on déduit la même représentation de $M$, que nous désignerons par (R) ; examinons donc si la représentation (R) peut encore résulter d’autres représentations de la forme $\varphi$. On voit par le n^o 280, 3^o , en y faisant $\chi =\varphi$, et supposant que toutes les transformations propres de $\varphi$ en elle-même soient données par les formules $t=\alpha t+\beta u$, $u=\gamma t+\delta u$, que toutes les représentations de la forme $\varphi$, dont (R) peut résulter, seront exprimées par

$x$	$=(\alpha m+\gamma n)t$	$+(\beta m+\delta n)u$,
$y$	$=(\alpha m'+\gamma n')t$	$+(\beta m'+\delta n')u$,
$z$	$=(\alpha m''+\gamma n'')t$	$+(\beta m''+\delta n'')u$ ;

mais il résulte de la théorie exposée n^o 179, sur les transformations des formes binaires de déterminant négatif, qu’excepté les cas où l’on a $M=1$ ou $M=3,$ il n’y a jamais que deux transformations propres de la forme $\varphi$ en elle-même : $1,$ $0,$ $0,$ $1$ et $-1,$ $0,$ $0,$ $-1.$ On doit remarquer en effet que la forme $\varphi$ étant primitive, le nombre désigné par $m$ au n^o 179 est ici $1$ ou $2,$ et qu’ainsi le premier cas a nécessairement lieu, excepté pour les valeurs $1$ et $2$ du déterminant. Donc (R) ne peut provenir que des seules représentations $r$ et $r',$ et parconséquent toute représentation propre du nombre $M$ est contenue deux fois dans $\Omega ,$ mais ne peut l’être davantage. Le nombre des représentations propres différentes de $M$ est donc ${\frac {1}{2}}K=3.2^{\mu +2}k$.

Pour ce qui regarde les cas exceptés, le nombre des transformations de $\varphi$ en elle-même sera (n^o 179) $4$ pour $M=1$, et $6$ pour $M=3$ : et en effet, on voit facilement que le nombre des représentations de $1$ et $3$ sont ${\frac {1}{4}}K$ et ${\frac {1}{6}}K$ respectivement, puisque chacun de ces nombres ne peut se décomposer que d’une manière en trois quarrés, savoir, $1$ en $1+0+0$, et $3$ en $1+1+1$. La décomposition de $1$ donne six représentations, celle de $3$ en donne huit. Or, pour $M=1$, on a $K=24$ (puisque $\mu =0$ et $k=1$) ; pour $M=3$, on a $K=48$ (puisque $\mu =1$ et $k=1$).

Au reste, observons que si $h$ désigne le nombre de classes du genre principal, qui (n^o 252) est égal au nombre de classes de tout autre genre proprement primitif, on aura $k=h$ pour $M\equiv 1$, $2$, $3$, $5$, $6$ ; mais $k={\frac {1}{3}}h$ pour $M\equiv 3$, excepté le seul cas où $M=3$, dans lequel $h=k=1$. Ainsi, pour les nombres de la forme $8n+3$, le nombre des représentations est en général $2^{\mu +2}h$, puisque dans le cas où $M=3$, les deux exceptions le comprennent.

292. Nous avons distingué les décompositions en trois quarrés, tant pour les nombres que pour les formes binaires, des représentations par la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, en considérant dans les premières que la grandeur des quarrés, et dans les dernières, en outre de la grandeur des racines, leur ordre et les signes qui les affectent ; de manière que nous regardons comme différentes les deux représentations $x=a$, $y=b$, $z=c$, et $x=a'$,$y=b'$, $z=c'$ tant que l’on n’a pas $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$ ; tandis que les décompositions $a^{2}+b^{2}+c^{2}$, $a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}$ n’en font qu’une seule, si les premiers quarrés sont égaux aux derniers, sans faire attention à leur ordre. Il suit de là

1^o . Que la décomposition du nombre $M$ en trois quarrés $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ équivaut à quarante-huit représentations, si aucun n’est nul, et qu’ils soient tous inégaux ; à vingt-quatre, si l’un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux, ou qu’aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Mais si deux quarrés sont nuls, ou que l’un d’eux soit nul, tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu’ils soient tous trois égaux, la décomposition équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. Or cela ne peut arriver que dans les cas particuliers où $M=1$, ou $2$, ou $3$ respectivement, tant que les représentations doivent être propres. Excluons ces trois cas ; désignons par $E$ le nombre total des décompositions du nombre $M$ en trois quarrés qui n’aient de commun diviseur, et supposons que parmi ces décompositions il y en ait $e$ dans lesquelles un des quarrés soit nul, et ë dans lesquelles deux des quarrés soient égaux : on peut regarder les premières comme des décompositions en deux quarrés, et les dernières comme des décompositions en un quarré et le double d’un quarré. Alors le nombre total des représentations du nombre $M$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ sera

$24(e+e')+48(E+e-e')=48E-24(e+e').$

Mais de la théorie des formes binaires on déduit facilement que $e$ sera ou $=0$, ou $=2^{\mu -1}$, suivant que $-1$ est non-résidu, ou résidu quadratique de $M$, et que $e'$ sera $=0$ , ou $2^{\mu -1}$, suivant que $-2$ est non-résidu ou résidu de $M$, $\mu$ étant le nombre des facteurs premiers impairs de $M$ (n^o 182) ; nous supprimons le développement de cette conséquence : il suit de là que l’on a

$E=2^{\mu -2}.k$,          si $-1$ et $-2$ sont non-résidus de $M$ ;

$E=2^{\mu -2}(k+1)$, si l’un des deux est résidu, et l’autre non-résidu ;

$E=2^{\mu -2}(k+2)$, si $-1$ et $-2$ sont résidus de $M$.

Ces formules ne sont pas applicables aux cas où $M=1$ ou $2$, car elles donnent $E={\frac {3}{4}}$, tandis que l’on doit avoir $E=1$ ; mais pour $M=3$ on trouve $E=1$, parceque les exceptions se compensent.

Toutes les fois que $M$ est un nombre premier, on a $\mu =1$, et partant,

$E={\frac {1}{2}}(k+2)$, si $M\equiv 1{\pmod {8}}$.

$E={\frac {1}{2}}(k+1)$, si $M\equiv 3$ ou $\equiv 5{\pmod {8}}$. ——(n^os 108 et 116),

Legendre a découvert par induction ces théorèmes particuliers, et les a consignés dans le Mémoire que nous avons déjà cité souvent avec éloge. (Hist. de l’Acad. de Paris, 1785, p. 530 et suivantes). S’ils sont présentés sous une forme un peu différente, c’est que ce savant géomètre n’a pas distingué l’équivalence propre de l’équivalence impropre, et a parconséquent mêlé avec les autres les formes opposées.

2^o . Pour trouver toutes les décompositions d’un nombre donné $M$ en trois quarrés premiers entre eux, il n’est pas nécessaire de chercher toutes les représentations propres des formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. En effet, on voit d’abord facilement que les quarante-huit représentations de la forme $\varphi =(p,q,r)$ qui appartiennent à la même valeur de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}$, donnent la même décomposition du nombre $M$, et que parconséquent il suffit d’avoir une de ces représentations, ou, ce qui revient au même, de connaître les différentes décompositions^[2] de la forme $\varphi$ en trois quarrés. Il en est de même des formes $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. En outre, si $\varphi$ appartient à une classe non-ambiguë, on pourra ne pas s’occuper de la forme qui serait tirée de la classe opposée, c’est-à-dire que de deux classes opposées, il suffit d’en considérer une. Comme il est en effet indifférent de prendre telle ou telle forme dans chaque classe, supposons que dans la classe opposée à celle où est $\varphi$, on ait choisi la forme opposée à $\varphi$, que nous désignerons par $\varphi '$. On voit alors au premier abord, que si les décompositions propres de la forme $\varphi$ sont représentées indéfiniment par

$(gt+hu)^{2}+(g't+h'u)^{2}+(g''t+h''u)^{2},$

les décompositions de la forme $\varphi '$ le seront par

$(gt-hu)^{2}+(g't-h'u)^{2}+(g''t-h''u)^{2},$

qui donnent les mêmes décompositions du nombre $M$ que les premières. Enfin, dans le cas où la forme $\varphi$ est d’une classe ambiguë, sans être de la classe principale, ni équivalente à la forme $\left(2,0,{\frac {1}{2}}M\right)$ ou à la forme $\left(2,1,{\frac {1}{2}}(M+1)\right)$ (suivant que $M$ est pair ou impair), on pourra omettre la moitié des valeurs de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}$ ; mais pour abréger nous ne donnerons pas plus de détails sur cette simplification. — Au reste, on peut employer ces simplifications, même quand on veut avoir les représentations propres de $M$ par $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, puisque l’on déduit facilement celles-ci dès qu’on a les décompositions.

Cherchons, par exemple, toutes les manières de décomposer en trois quarrés le nombre $770$, par lequel $\mu =3$, $e=e'=0$, et partant $E=2k$ ; par la classification des formes binaires positives de déterminant $-770$, classification que chacun peut faire à l’aide de ce qui a été dit n^o 231, et que nous pouvons nous dispenser d’inscrire ici, on trouve qu’il y a trente-deux classes qui sont toutes proprement primitives et peuvent se distribuer en huit genres, desorte qu’on a $k=4$ et $E=8$. Le genre dont le nombre caractéristique est $-1$ doit avoir, à l’égard des nombres $5$, $7$, $11$, les caractères particuliers $R5$ ; $N7$ ; $N11$ : d’où (n^o 263) l’on conclut facilement que le caractère de ce genre, à l’égard du nombre $8$, doit être $1$ et $3,8$. Or le genre dont le caractère est $1$ et $3,8$ ; $R.5$ ; $N.7$ ; $N11$, comprend quatre classes, pour représentantes desquelles nous prendrons les formes

$(6,2,129),\quad (6,-2,129),\quad (19,3,41),\quad (19,-3,41)\,;$

mais nous rejetons la seconde et la quatrième classes, comme opposées à la première et à la troisième. Or nous avons déjà donné (n^o 289) les quatre décompositions de la forme $(19,3,41)$, il en résulte pour les décompositions du nombre $770$ en trois quarrés

$9+361+400,\quad 16+25+729,\quad 81+400+289,\quad 576+169+25\,;$

on trouve de la même manière, pour la forme $6t^{2}+4tu+129u^{2}$, les quatre décompositions

$(t-8u)^{2}$	$+(2t+u)^{2}$	$+(t+8u)^{2}$,
$(t-10u)^{2}$	$+(2t+5u)^{2}$	$+(t+2u)^{2}$,
$(2t-5u)^{2}$	$+(t+10u)^{2}$	$+(t+2u)^{2}$,
$(2t+7u)^{2}$	$+(t-8u)^{2}$	$+(t-4u)^{2}$,

qui résultent des valeurs respectives

$(48,369),\quad (62,-149),\quad (92,-159),\quad (202,61)$

de l’expression ${\sqrt {-(6,-2,129)}}$, et donnent les décompositions du nombre $770$ en

$225+256+289,\quad 1+144+625,\quad 64+81+625,\quad 16+225+529.$

Ces huit décompositions sont les seules que l’on puisse avoir.

Quant à ce qui regarde celles dans lesquelles les quarrés ont des diviseurs communs, l’application de la théorie générale du n^o 281 est trop facile pour qu’il soit nécessaire que nous nous y arrêtions.

293. Les recherches précédentes servent aussi à démontrer que tout nombre entier positif est toujours décomposable en trois nombres triangulaires ; théorème célèbre trouvé par Fermat, mais dont la démonstration manquait jusqu’à présent^[3]. Il est évident que toute décomposition du nombre $M$ en trois nombres triangulaires

${\frac {1}{2}}x(x+1)+{\frac {1}{2}}y(y+1)+{\frac {1}{2}}z(z+1),$

conduit à une décomposition du nombre $8M+3$ en trois quarrés impairs

$(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2},$

et réciproquement. Mais par la théorie précédente, tout nombre entier positif $8M+3$ est décomposable en trois quarrés, qui seront nécessairement impairs (n^o 291, note), et le nombre des décompositions dépend, tant de celui des facteurs premiers de $8M+3$, que de celui des classes suivant lesquelles peuvent être distribuées les formes binaires dont le déterminant est $-(8M+3).$ Nous supposons que le nombre ${\frac {1}{2}}x(x+1)$ soit regardé comme triangulaire, quelque valeur entière que l’on donne à $x$ ; si l’on voulait exclure zéro des nombres triangulaires, il faudrait énoncer le théorème de la manière suivante : Tout nombre entier positif est triangulaire, ou decomposable en deux ou en trois nombres triangulaires. Il faut faire le même changement dans le théorème suivant, si l’on veut exclure zéro du nombre des quarrés.

On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de Fermat : Tout nombre entier positif est décomposable en quatre quarrés. En effet, si l’on retranche d’un nombre de la forme $4n+1$ un quarré pair ; d’un nombre de la forme $4n+2$ un quarré arbitraire ; d’un nombre de la forme $4n+3$, un quarré impair ; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres de la forme $4n$, on peut les représenter par $4^{\mu }N$, $N$ étant nécessairement de l’une des trois formes ci-dessus ; or quand on aura décomposé le nombre $N$, en quatre quarrés, le nombre $4^{\mu }N$ le sera aussi. D’un nombre de la forme $8n+3$, on pourrait encore retrancher le quarré d’un nombre pairement pair ; d’un nombre de la forme $8n+7,$ le quarré d’un nombre impairement pair ; d’un nombre de la forme $8n+4$, le quarré d’un nombre impair, et le reste sera décomposable en trois quarrés. Au reste, ce théorème a déjà été démontré par Lagrange (Nouveaux Mémoires de l’Acad. de Berlin, 1770, p. 123). La démonstration de cet illustre géomètre, qui est entièrement différente de la nôtre, a été exposée avec plus de détails par Euler (Acta Ac.Petr. Vol. II, p. 48).

Les autres théorèmes de Fermat, qui font, pour ainsi dire, la continuation des précédens, savoir : que tout nombre entier est décomposable en cinq nombres pentagones, six nombres hexagones, sept heptagones, manquent jusqu’à présent de démonstration et paraissent exiger d’autres principes.

294. Théorème. $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ étant des nombres premiers entre eux, dont aucun n’est $=0$, ni divisible par un quarré, l’équation $\mathrm {ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0} \dots$(ω) n’admettra pas de solutions entières (excepté la solution $\mathrm {x=y=z=0} ,$ que nous ne considérons pas), à moins que $\mathrm {-bc} ,$ $\mathrm {-ac} ,$ $\mathrm {-ab}$ ne soient résidus quadratiques de $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ respectivement, et que ces derniers ne soient affectés de signes différens ; mais si ces conditions ont lieu, l’équation (ω) sera résoluble en nombres entiers.

Si (ω) est résoluble en nombres entiers, elle le sera par des valeurs de $x$, $y$, $z$ qui n’auront pas de diviseur commun ; car toutes les valeurs qui satisferont à l’équation (ω), y satisferont encore après avoir été divisées par leur plus grand commun diviseur. Supposons donc que l’on ait $ap^{2}+bq^{2}+cr^{2}=0,$ et que $p,$ $q,$ $r$ soient premiers entre eux, ils le seront aussi deux à deux. En effet, si $q$ et $r$ avaient un commun diviseur $\mu ,$ ce nombre serait premier avec $p$ ; mais $\mu ^{2}$ divise $ap^{2}$, donc il diviserait $a$, contre l’hypothèse : par la même raison, $p$ et $r$, $p$ et $q$ sont premiers entre eux ; $-ap^{2}$ peut donc être représenté par la forme binaire $by^{2}+cz^{2}$, en attribuant à $y$, $z$ des valeurs premières entre elles et qui seront celles de $q$ et de $p$ ; ainsi le déterminant $-bc$ de cette forme est résidu quadratique de $ap^{2},$ et parconséquent de $a$ (n^o 154). On aura de la même manière $-acRb$, $-abRc$. Quant à la condition qui exige que $a,$ $b,$ $c$ n’aient pas le même signe, elle est si évidente qu’elle n’a pas besoin d’explication.

Pour démontrer la proposition inverse, qui constitue la seconde partie du théorème, nous commencerons par donner le moyen de trouver une forme équivalente à la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&b,&c\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ et telle que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divisibles par $abc$, et de là nous déduirons la solution de l’équation (ω).

1^o . On cherchera trois nombres entiers $A,$ $B,$ $C$ qui n’aient pas de diviseur commun, et tels que $A$ soit premier avec $b$ et $c,$ $B$ avec $a$ et $c,$ $C$ avec $a$ et $b,$ tandis que $aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}$ sera divisible par $abc,$ ce qui se fait de la manière suivante : Soient $H,$ $K,$ $L$ respectivement des valeurs des expressions

${\sqrt {-bc}}{\pmod {a}}$, ——${\sqrt {-ac}}{\pmod {b}}$, ——${\sqrt {-ab}}{\pmod {c}},$

valeurs qui seront nécessairement premières avec $a,$ $b,$ $c$ respectivement. On prendra à volonté les trois nombres entiers $h,$ $k,$ $l,$ pourvu qu’ils soient respectivement premiers avec $a,$ $b,$ $c$ (on peut, par exemple, les prendre tous égaux à $1.$) Cela posé, on déterminera $A$, $B$, $C$ de manière qu’on ait

$A$	$\equiv kc{\pmod {b}}$	——et——	$\equiv lL\;\ {\pmod {c}}$,
$B$	$\equiv la{\pmod {c}}$	——et——	$\equiv hH{\pmod {a}}$,
$C$	$\equiv hb{\pmod {a}}$	——et——	$\equiv kK{\pmod {b}}$ ;

on aura alors

$aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}\equiv h^{2}(bH^{2}+cb^{2})\equiv h^{2}(bH^{2}-bH^{2})\equiv 0{\pmod {a}},$

c’est-à-dire que $aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}$ est divisible par $a\,;$ on prouvera de la même manière, qu’il est divisible par $b$ et par $c,$ et parconséquent par $abc$. On voit en outre que $A$ est premier avec $b$ et $c,$ $B$ avec $a$ et $c,$ $C$ avec $a$ et $b.$ S’il arrivait que les valeurs de $A,$ $B,$ $C$ eussent un diviseur commun $\mu ,$ $\mu$ serait nécessairement premier avec $a,$ $b,$ $c,$ et partant avec $abc$ ; donc en divisant ces valeurs par $\mu$, on en obtiendra de nouvelles qui n’auront pas de diviseur commun, et qui satisferont à la condition de rendre $aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}$ divisible par $abc,$ et parconséquent à toutes les conditions.

2^o . $A,\,B,\,C$ étant ainsi déterminés, $Aa,\,Bb,\,Cc$ n’auront pas non plus de commun diviseur ; en effet $a$, étant premier avec $Bb$ et $Cc,$ il s’ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par $\mu ,$ serait premier avec $a\,;$ on prouvera de même que $\mu$ est premier avec $b$ et $c$ ; donc il devrait diviser $A$, $B$, $C$, contre l’hypothèse. On pourra donc trouver trois nombres $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$, tels que l’on ait $\alpha Aa+\beta Bb+\gamma Cc=1$ : on cherchera six nombres $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma '$ ; $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma ''$ tels qu’on ait

$\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '$	$=Aa$,
$\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha '$	$=Bb$,
$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$	$=Cc$ ;

la forme $f$ se changera, par la substitution

$\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$ ; ——$\beta$, $\beta '$, $\beta '$ ; ——$\gamma$, $\gamma '$, $\gamma '',$

en une certaine forme ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}m,&m',&m''\\n,&n',&n''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ qui lui sera équivalente, et dans laquelle $m'$, $m''$, $n$ seront divisibles par $abc$. Posons en effet

$\beta ''\gamma -\beta \gamma ''$	$=A',$—	$\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ''$	$=B',$—	$\alpha ''\beta -\alpha \beta ''$	$=C',$
$\beta \gamma '-\beta '\gamma$	$=A'',$—	$\gamma \alpha '-\gamma \alpha$	$=B'',$—	$\alpha \beta '-\alpha '\beta$	$=C''\,;$

on aura

$\alpha '$	$=B''Cc$	$-C''Bb$,
$\beta '$	$=C''Aa$	$-A''Cc$,
$\gamma '$	$=A''Bb$	$-B''Aa$,
$\alpha ''$	$=C'Bb$	$-B'Cc$,
$\beta ''$	$=A'Cc$	$-C'Aa$,
$\gamma ''$	$=B'Aa$	$-A'Bb$,

et en substituant ces valeurs dans les équations

$m'$	$=a\alpha '^{2}$	$+b\beta '^{2}$	$+c\gamma '^{2}$,
$m''$	$=a\alpha ''^{2}$	$+b\beta ''^{2}$	$+c\gamma ''^{2}$,
$m'$	$=a\alpha '\alpha '$	$+b\beta '\beta ''$	$+c\gamma '\gamma ''$,

on trouve, suivant le module $a$,

$m'$	$\equiv bcA''^{2}$	$(B^{2}b+C^{2}c)$	$\equiv 0$,
$m''$	$\equiv bcA'^{2}$	$(B^{2}b+C^{2}c)$	$\equiv 0$,
$n$	$\equiv bcA'A''$	$(B^{2}b+C^{2}c)$	$\equiv 0$,

c’est-à-dire, que $m'$, $m''$, $n$ sont divisibles par $a$ : on démontre de même qu’ils sont divisibles par $b$ et par $c$, et ainsi par $abc$.

3^o . Faisons, pour abréger, le déterminant des formes $f$, $g$, c’est-à-dire, le nombre $-abc=d$, $md=M$, $m'=M'd$, $m''=M''d$, $n=Nd$, $n'=N'$, $n''=N''$ ; il est clair que $f$ se change, par la substitution

$\alpha d$, $\alpha '$, $\alpha ''$ ; ——$\beta d$, $\beta '$, $\beta '$ ; ——$\gamma d$, $\gamma '$, $\gamma '',$

en la forme ternaire ${\begin{array}{l}g'={\begin{pmatrix}Md,&M'd,&M''d\\Nd,&N'd,&N''d\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ déterminant $d^{3}$, qui est parconséquent contenue dans $f$. Or je dis que cette forme est nécessairement équivalente à la forme ${\begin{array}{l}g''={\begin{pmatrix}d,&0,&0\\d,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. En effet, il est évident que ${\begin{array}{l}g''={\begin{pmatrix}M,&M',&M''\\N,&N',&N''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ est une forme ternaire de déterminant $1$ ; or, comme par hypothèse $a$, $b$, $c$ n’ont pas tous les trois le même signe, $f$ est une forme indéfinie, d’où l’on conclut facilement que $g'$ et $g''$ sont aussi des formes indéfinies ; donc $g''$ sera équivalente à la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ (n^o 277), et l’on pourra trouver une transformation (S’) de la première en la seconde. Mais d’ailleurs la transformation (S’) change $g'$ en $g''$ ; donc $g''$ sera contenue dans $f$, et de la combinaison des substitutions (S), (S’), on déduira une transformation de $f$ en $g''$. Représentons-la par

$\delta ,\,\delta ',\,\delta ''\,;\quad \epsilon ,\,\epsilon ',\,\epsilon '';\quad \zeta ,\,\zeta ',\,\zeta ''\,;$

il est évident qu’il en résultera deux solutions de l’équation (ω) :

$x=\delta ,\,y=\epsilon ',\,z=\zeta ',\quad {\text{et}}\quad x=\delta '',\,y=\epsilon '',\,z=\zeta ''\,:$

on voit aussi que les valeurs ne peuvent être toutes égales à zéro en même temps, puisque l’on doit avoir

$\delta \epsilon '\zeta ''+\delta \epsilon ''\zeta +\delta ''\epsilon \zeta ''-\delta \epsilon ''\zeta '-\delta '\epsilon \zeta ''-\delta ''\epsilon '\zeta =d.$

Exemple. Soit $7x^{2}-15y^{2}+23z^{2}=0$ l’équation proposée ; elle est résoluble, puisqu’on a $345R7$, $-161R15$, $105R23$, On trouve pour valeurs de $H$, $K$, $L$ les nombres $3$, $7$, $6$, et faisant $h=k=l=1$, on en déduit $A=98$, $B=-39$, $C=-8$. De là résulte la substitution

$3,\,5,\,22\,;\quad -1,\,2,\,28\,;\quad 8,\,25,\,7,$

par laquelle $f$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1520,&14490,&-7245\\-2415,&-1246,&4735\\\end{pmatrix}}\end{array}}=g$. On trouve pour la substitution (S)

$7245,\,5,\,22\,;\quad -2415,\,2,\,-28\,;\quad 19320,\,25,\,-7,$

et ${\begin{array}{l}g''={\begin{pmatrix}3670800,&6,&-3\\-1,&-1246,&4735\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ;

on trouve enfin que $g''$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, par la substitution (S’)

$3,\,5,\,1\,;\quad -2440,\,-4066,\,-813\,;\quad -433,\,-722,\,-144,$

qui, combinée avec (6), donne la suivante :

$9,\,11,\,12\,;\quad -1,\,9,\,-9\,;\quad -9,4,3,$

par laquelle $f$ se change en $g''$. Nous avons donc une double solution de l’équation proposée, savoir : $x=11$, $y=9$,

$z=4$ ; $x=12$, $y=-9$, $z=3$. La dernière devient plus simple, en divisant les valeurs par leur diviseur commun $3$, et elle donne $x=4$, $y=-3$, $z=1$.

295. La seconde partie du théorème du n^o précédent peut encore être traitée de la manière suivante. Conservons aux lettres $H$, $K$, $L$ la même signification que dans le n^o précédent ; on cherchera un entier $h$ tel qu’on ait $ah\equiv L{\pmod {c}}$, et l’on fera $ah^{2}+b=ci$. Il est aisé de voir que $i$ est entier, et que $-ab$ est le déterminant de la forme binaire $\varphi =(ac,ah,i)$. Cette forme ne sera certainement pas positive, puisque $a$, $b$, $c$ n’étant pas tous de même signe, $ab$ et $ac$ ne peuvent pas être tous deux positifs. Or $-1$ sera son nombre caractéristique, ce qui peut se démontrer synthétiquement de la manière suivante : Si l’on détermine les entiers $e$, $e'$ de manière à avoir $e\equiv 0{\pmod {a}}$ et $\equiv K{\pmod {b}}$, $ce'\equiv H{\pmod {a}}$ et $\equiv {hK}{\pmod {b}}$, $(e,e')>$ sera une valeur de l’expression ${\sqrt {-(ac,ah,i)}}$ ; en effet, suivant le module $a$, on aura

$e^{2}$	$\equiv 0$	$\equiv -ac$
$ee'$	$\equiv 0$	$\equiv -ah$
$c^{2}e'^{2}$	$\equiv H^{2}$	$\equiv -bc$	$\equiv -c^{2}i$ ——ou—— $e'^{2}\equiv -i$ ;

et suivant le module $b$,

$c^{2}$	$\equiv K^{2}$	$\equiv -ac$
$cee'$	$\equiv hK^{2}$	$\equiv -ach$		——ou—— $ee'$	$\equiv -ah$,
$c^{2}e'^{2}$	$\equiv h^{2}K^{2}$	$\equiv -ach^{2}$	$\equiv -c^{2}i$	——ou—— $e'^{2}$	$\equiv -i$ ;

mais puisque les trois mêmes congruences ont lieu à-la-fois pour les modules $a$ et $b$, elles ont lieu aussi suivant le module $ab$. On conclut facilement de là, par la théorie des formes binaires, que $\varphi$ est représentable par la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Supposons donc

$act^{2}+2ahtu+iu^{2}=-(\alpha t+\beta u)^{2}+2(\gamma t+\delta u)(\epsilon t+\zeta u)\,;$

on aura, en multipliant par $c$,

$a(ct+hu)^{2}+bu^{2}=-c(\alpha t+\beta u)^{2}+2c(\gamma t+\delta u)(\epsilon t+\zeta u)\,;$

donc si l’on donne à $t$ et $u$ des valeurs telles que l’on ait $\gamma t+\delta u=0$ ou $\epsilon t+\zeta u=0$, on aura une solution de l’équation (ω), à laquelle parconséquent on peut satisfaire de deux manières, en faisant

	$x=\delta c-\gamma h$,	——$y=\gamma$,	——$z=\alpha \delta -\beta \gamma$,
ou——	$x=\zeta c-\epsilon h$,	——$y=\epsilon$,	——$z=\alpha \zeta -\beta \epsilon$.

On voit en même temps que ni les premières ni les secondes valeurs ne peuvent être ensemble $=0$ ; en effet, si l’on avait $\delta c-\gamma h=0$ et $\gamma =0$, il s’ensuivrait aussi $\delta =0$, et partant $\varphi =-(\alpha t+\beta u)^{2}$, d’où $ab=0$, contre l’hypothèse : on démontrerait de même pour les autres.

Dans l’exemple que nous avons donné, on trouve pour la forme $\varphi$ celle-ci $(161,-63,24)$ ; en outre $(7,-51)$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {-\varphi }}{\pmod {105}}$, et la représentation de la forme $\varphi$ par la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ est

$\varphi =-(13t-4u)^{2}+2(11t-4u)(15t-5u),$

d’où résultent les solutions $x=7,$ $y=11,$ $z=-8$ ; $x=20,$ $y=15,$ $z=-5,$ ou en divisant par $5,$ et ne faisant pas attention au signe de $z,$ $x=4,$ $y=3,$ $z=1.$

Des deux méthodes que nous venons de donner pour résoudre l’équation (ω), la seconde est préférable, parceque le plus souvent on n’emploie que de petits nombres ; mais la première, qui peut s’abréger par différens artifices que nous passerons sous silence, paraît plus élégante, surtout parceque les nombres $a$, $b$, $c$ sont traités de la même manière, et que leur permutation ne change rien au calcul. La même chose n’a pas lieu dans la seconde, où le calcul devient souvent plus commode en prenant pour a le plus petit, pour $c$ le plus grand des trois nombres, comme nous l’avons fait dans notre exemple.

296. Le théorème élégant que nous avons exposé dans les n^os précédens, a été trouvé par Legendre (Hist, de l’Acad. de Paris, 1785, p. 507), qui en a donné une belle démonstration, mais entièrement différente des deux nôtres. Cet excellent géomètre a cherché en même temps à tirer de là une démonstration des propositions qui reviennent au théorème fondamental de la section précédente, démonstration que nous avons déjà annoncé (n^o 151) ne pas nous paraître remplir le but qu’il s’était proposé. Il est donc à propos d’exposer ici en peu de mots cette démonstration, qui est très-élégante, et d’y joindre les motifs de notre jugement.

Il commence par observer que si trois nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ sont $\equiv 1{\pmod {4}},$ l’équation $\mathrm {ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0} \dots$ (ω) n’est pas résoluble. En effet, on voit facilement que la valeur de $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}$ deviendrait nécessairement $\equiv 1$, $2$, $3{\pmod {4}}$, à moins que l’on ne donnât à $x$, $y$, $z$ des valeurs paires : donc si (ω) était résoluble, ce ne pourrait être que par des valeurs paires, ce qui est absurde, puisque toutes les fois que trois nombres satisfont à l’équation (ω), ils y satisferont encore après qu’ils auront été divisés par leur plus grand commun diviseur, et que par cette opération il résulterait au moins un nombre impair. Or les différens cas du théorème à démontrer se rapportent aux suivans :

I. $p$ et $q$ désignant des nombres premiers de la forme $4n+3$ positifs et inégaux, on ne peut pas avoir en même temps $pRq$ et $qRp$. En effet, si cela était possible, il est évident qu’en posant $1=a$, $-p=b$, $-q=c$, toutes les conditions nécessaires pour la résolution de l’équation $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ seraient remplies (n^o 294). Mais d’après l’observation précédente, cette équation n’admet aucune solution, donc la supposition ne peut subsister. De là suit sur-le-champ la proposition 7 du n^o 131.

II. Si $p$ est un nombre premier de la forme $4n+1$, et $q$ un nombre premier de la forme $4n+3$, on ne peut avoir en même temps $qRp$, $pNq$, autrement on aurait $-pRq$, et l’équation $x^{2}+py^{2}-qz^{2}$ serait résoluble, tandis que l’observation précédente prouve qu’elle ne l’est pas. De là suivent les quatrième et cinquième cas du n^o 131.

III. Si $p$ et $q$ sont des nombres premiers de la forme $4n+1$, on ne peut avoir en même temps $pRq$ et $qNp$ ; en effet, prenons un autre nombre premier de la forme $4n+3$, qui soit résidu de $q$, et dont $p$ soit non-résidu. Alors, par les cas traités dans l’instant (II), on aura $qRr$ et $rNp$ : si donc on avait $pRq$ et $qNp,$ il en résulterait $qrRp$, $pRq$, $pqNr$, et partant $-pqRr$, Donc l’équation $px^{2}+qy^{2}-rz^{2}=0$ serait résoluble, contre l’observation précédente, et partant, la supposition ne peut subsister. De là, suivent le premier et deuxième cas du n^o 131.

On peut présenter ce cas d’une manière plus simple. Soit $r$ un nombre premier de la forme dont $p$ soit non-résidu ; on aura $rNp$, et partant, puisque l’on suppose $pRq$, $qNp$, on aura aussi $qrRp$ ; d’ailleurs on a $-pRq$, $-pRr$ et parconséquent $-pRqr$, donc l’équation $x^{2}+py^{2}-qrz^{2}=0$ serait résoluble, contre l’observation précédente, etc.

IV. Si $p$ est un nombre premier de la forme $4n+1$, et $q$ un nombre premier de la forme $4n+3$, on ne peut pas avoir en même temps $pRq$ et $qNp$. En effet, prenons un nombre premier $r$ de la forme $4n+1$, qui soit non-résidu des deux nombres $p$ et $q$ : on aura (II) $qNr$, et (III) $pNr$ ; donc $pqRr$. Si l’on avait donc $pRq$, $qNp$, il s’ensuivrait aussi $prNq$, $-prRq$, $qrRp$. L’équation $px^{2}-qy^{2}+rz^{2}=0$ serait donc résoluble, ce qui est absurde. On tire de là le troisième et le sixième cas du n^o 131.

V. $p$ et $q$ étant deux nombres premiers de la forme $4n+3$, on ne peut pas avoir en même temps $pNq$, $qNp$ ; supposons en effet que la chose ait lieu, et prenons un nombre premier $r$ de la forme $4n+1$ qui soit non-résidu de $p$ et de $q$ ; on aura $qrRp$, $prRq$ ; or (II) on a $pNr$ et $qNr$ ; et partant, $pqRr$ et $-pqRr.$ L’équation $-px^{2}-qy^{2}+rz^{2}=0$ serait donc possible, contre l’observation précédente. De là se déduit le huitième cas du n^o 131.

297. En examinant attentivement cette démonstration, on verra facilement que les deux premiers cas sont démontrés de manière à ne permettre aucune objection : mais les autres s’appuient sur l’existence de nombres auxiliaires , et cette existence n’étant pas prouvée, la méthode perd toute sa force. Quoique ces suppositions soient si spécieuses, qu’au premier abord elles semblent ne pas exiger de démonstration, et qu’elles ramènent bien certainement le théorème à démontrer au plus haut degré de probabilité ; cependant, quand on recherche la rigueur géométrique, il est impossible de les admettre gratuitement. Pour ce qui regarde la supposition des quatrième et cinquième cas, qu’il existe un nombre $r$ de la forme $4n+1$ qui soit non-résidu des deux autres nombres premiers $p$ et $q$ ; il est facile de conclure de la section IV, que tous les nombres moindres que $4pq$, premiers avec lui, qui sont au nombre de $2(p-1)(q-1)$, peuvent être distribués en quatre classes égales, dont l’une contient les non-résidus de $p$ et de $q$, et les trois autres les nombres qui sont résidus de $p$ ou de $q$ seulement, ou de tous les deux : d’ailleurs, dans chaque classe, moitié des nombres seront de la forme $4n+1$, et l’autre de la forme $4n+3$. Parmi ces nombres, il y en aura donc ${\frac {1}{4}}(p-1)(q-1)$ qui seront non-résidus de $p$ et de $q$, et de la forme $4n+1$. Représentons-les par $g$, $g'$, $g''$, etc., et tous les autres qui sont au nombre de ${\frac {7}{4}}(p-1)(q-1)$ par $h$, $h'$, $h''$ etc. Il est évident que tous les nombres de la forme

$4pqt+g$, ——$4pqt+g'$, ——$4pqt+g''$, etc.………(G)

seront à-la-fois non-résidus de $p$ et de $q$, et de la forme $4n+1$. Or, pour établir la démonstration, il ne reste plus qu’à faire voir qu’il y a nécessairement des nombres premiers compris sous les formes (G) ; cette assertion paraît d’autant plus plausible, que ces formes jointes aux formes

$4pqt+h$, ——$4pqt+h'$, ——$4pqt+h''$ + etc.………(H),

renferment tous les nombres premiers à $p$ et $q$, et parconséquent tous les nombres absolument premiers (excepté $2$, $p$ et $q$), et qu’il n’y a pas de raison pour que la suite des nombres premiers ne soit pas distribuée également entre ces formes, de manière que la huitième partie appartienne à (G), et les autres à (H). Cependant on voit sans peine combien un tel raisonnement est éloigné de la rigueur géométrique. Legendre avoue lui-même qu’il lui semble assez difficile de démontrer qu’il y a nécessairement des nombres premiers compris sous la forme $kt+l$, $k$ et $l$ étant deux nombres premiers entre eux, et $t$ un nombre indéterminé, et il indique une autre méthode qui conduirait peut-être au but proposé. Mais il nous semblerait nécessaire de faire beaucoup de recherches préliminaires, avant de parvenir par cette dernière voie à une démonstration rigoureuse. — Il suppose encore (III, seconde méthode) qu’il existe un nombre premier $r$, de la forme $4n+3$, dont un nombre premier donné $p$, de la forme $4n+1$, soit non-résidu ; mais il n’a rien ajouté pour confirmer sa supposition. Nous avons démontré (n^o 129) qu’il existe nécessairement des nombres premiers dont $p$ soit non-résidu ; mais notre méthode ne paraît pas pouvoir démontrer l’existence de tels nombres, qui soient en même temps de la forme $4n+3$ (ce qui est exigé ici, et non dans notre première démonstration). Au reste, nous pouvons facilement démontrer, comme il suit, la légitimité de cette supposition. Par le n^o 287, il y aura un genre positif de formes binaires de déterminant $-p$ dont le caractère sera $3,4$ ; $Np$ : soit $(a,b,c)$ une telle forme, et $a$ impair (ce que l’on peut supposer). Alors $a$ sera de la forme $4n+3$, et il sera premier ou divisible par un facteur premier de $r$ de la forme $4n+3$. D’ailleurs on aura $-pRa$, et partant, $-pRr$, d’où $pNr$. Mais il faut remarquer que les propositions des n^o 263, 287 s’appuient sur le théorème fondamental, et que parconséquent c’est faire un cercle vicieux que d’établir sur elles une partie de la démonstration de ce théorème. — La supposition de la première méthode du troisième cas est encore beaucoup plus gratuite, ensorte qu’il est inutile de nous y arrêter.

Qu’il nous soit permis d’ajouter une observation à l’égard du cinquième cas, qui n’est pas assez prouvé par la méthode précédente, mais qui n’échappe pas à la suivante. Si l’on avait à-la-fois $pNq$, $qNp$, on aurait $-pRq$, $-qRp$ ; d’où l’on conclut facilement que $-1$ est nombre caractéristique de la forme $(p,0,q)$, qui parconséquent, d’après la théorie des formes ternaires peut être représentée par la forme Soit

$pt^{2}+qu^{2}=(\alpha t+\beta u)^{2}+(\alpha 't+\beta 'u)^{2}+(\alpha ''t+\beta ''u)^{2},$

ou

{

par les deux premières équations, $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$ doivent être tous impairs ; mais alors la troisième ne peut subsister. Le deuxième cas peut se traiter d’une manière semblable.

298. Problème. $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ étant des nombres quelconques dont cependant aucun n’est $=0,$ trouver les conditions nécessaires pour que l’équation $\mathrm {ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0} \dots$ (ω') soit résoluble.

Soient $\alpha ^{2},\,\beta ^{2},\,\gamma ^{2}$ les plus grands quarrés qui puissent diviser $bc$, $ac$, $ab$ respectivement, et soit fait

$\alpha a=\beta \gamma A,\quad \beta b=\alpha \gamma B,\quad \gamma c=\alpha \beta C.$

$A$, $B$, $C$ seront entiers et premiers entre eux ; l’équation (ω') sera résoluble ou non, suivant que l’équation $AX^{2}+BY^{2}+CZ^{2}=0$ le sera ou ne le sera pas, ce qui pourra se déterminer par le n^o 294.

1^o . Soit fait $bc=H\alpha ^{2}$, $ac=K\beta ^{2}$, $ab=L\gamma ^{2}$, $H$, $K$, $L$ sont des entiers délivrés de facteurs quarrés, et l’on a $H=BC$, $K=AC$, $L=AB$ ; donc$HKL=(ABC)^{2}$, et partant $ABC=AH=BK=CL$ est nécessairement un nombre entier. Soit $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $H$ et $AH$, et $H=gm$, $AH=hm$ ; $g$ sera premier avec $h$ et avec $m$, puisque $H$ est libre de tout facteur quarré. Or on a $h^{2}m=gA^{2}H=gKL,$ donc $g$ divisera $h^{2}m,$ ce qui est impossible à moins que l’on n’ait $g=\pm 1,$ et partant $H=\pm m,$ $A=\pm h\,;$ donc $A$ est entier : on démontrera de même que $B$ et $C$ le sont.

2^o . Puisque $H=BC$ ne renferme pas de facteurs quarrés, $B$ et $C$ sont nécessairement premiers entre eux. De même $A$ et $B$, $B$ et $C$ sont premiers entre eux.

3^o . Enfin il est évident que si l’on satisfait à l’équation (ω) en faisant $X=P,$ $Y=Q,$ $Z=R,$ on satisfera à l’équation (ω') en faisant $x=\alpha P,$ $y=\beta Q,$ $z=\gamma R,$ et réciproquement si l’on satisfait à l’équation (ω') en faisant $x=p$, $y=q,$ $z=r,$ on satisfera à l’équation (ω) en faisant $X=\beta \gamma p,$ $Y=\alpha \gamma q,$ $Z=\alpha \beta r.$ Ainsi toutes deux sont résolubles, ou aucune ne l’est.

299. Problème. Étant proposée la forme ternaire

$\mathrm {ax^{2}+a'x'^{2}+a''x''^{2}+2bx'x''+2bxx''+2bxx'=f} ,$

trouver si zéro peut être représenté par elle, en donnant aux indéterminées des valeurs qui ne soient pas toutes égales à zéro.

I. Quand $a=0$, on peut prendre à volonté les valeurs de $x'$, $x''$, et il est clair que l’équation

$a'x'^{2}+2bx'x''+a''x''=-2x(b'x''+b''x'),$

donne toujours pour $x$ une valeur déterminée et rationnelle. Toutes les fois qu’il en résulte une fraction, il suffit de multiplier les valeurs de $x$, $x'$, $x''$ par le dénominateur de la fraction, et l’on obtient une solution entière. On doit seulement exclure les valeurs de $x'$, $x''$ qui rendraient $b'x''+b''x'=0$, à moins qu’elles ne rendissent aussi $a'x'^{2}+2bx'x''+a''x''^{2}=0$, auquel cas $x$ peut être pris arbitrairement. On voit en même temps que de cette manière on obtient toutes les solutions possibles. Au reste, le cas où $b'=b''=0$ sort de nos considérations ; car $x$ n’entre plus dans la forme, c’est-à-dire que $f$ est une forme binaire, et que l’on peut juger par la théorie des formes binaires si zéro est représentable par elle.

II. Mais quand $a$ n’est pas $=0$, l’équation $f=0$ revient à

$(ax+b''x'+b'x'')^{2}-A''x'^{2}+2Bx'x''-A'x''^{2}=0,$

en posant $b''^{2}-aa'=A$, $ab-b'b''=B$, $b'^{2}-aa''=A'$.

Or quand $A''=0$, et que l’on n’a pas $B=0$, il est évident que si $ax+b''x'+b'x''$ et $x''$ sont pris arbitrairement, $x$ et $x'$ obtiennent des valeurs rationnelles, et si elles ne sont pas entières, un multiplicateur convenable donnera des entiers. Il n’y a que lorsque l’on prend $x''=0$ que $ax+b''x'+b'x''$ n’est plus arbitraire ; il doit être aussi $=0$. La valeur de $x'$ peut être prise arbitrairement et produira des valeurs rationnelles pour $x$. Quand on a à-la-fois $A''=0$, $B=0$, il est clair que dans le cas où $A'=0$ est un quarré $k^{2}$, l’équation $f=0$ est décomposable en deux équations linéaires (dont l’une ou l’autre doit avoir lieu),

$ax+b''x'+(b'+k)x''=0,\quad ax+b''x'+(b'-k)x''=0\,;$

mais si, dans la même hypothèse, $A'$ n’est pas un quarré, il est évident que la solution de l’équation proposée dépend des équations $x''=0,$ $ax+b''x'=0,$ qui doivent avoir lieu en même temps.

Au reste, il est à peine nécessaire d’observer que la méthode du paragraphe I s’appliquerait de même quand $a'=0$ ou $a''=0$, et celle du paragraphe II, quand $A'=0$.

III. Mais quand on n’a ni $a=0$, ni $A'=0$, l’équation $f=0$ peut se mettre sous la forme

$A''(ax+b''x'+b'x'')-(A''x'-Bx'')^{2}+Dax''^{2}=0,$

en désignant par $D$ le déterminant de la forme $f$, ou par $Da$

le nombre $B^{2}-A'A''$.

Quand $D=0$, la solution est semblable à celle de la fin du cas précédent, savoir, si $A''$ est un quarré $=k^{2}$, l’équation proposée se réduit aux deux

$kax$	$+(kb''-A'')x'$	$+(kb'+B)x''$	$=0,$
$kax$	$+(kb''+A'')x'$	$+(kb'-B)x''$	$=0,$

mais si $A''$ n’est pas un quarré, on doit avoir

$ax+b''x'+b'x''=0$, ——$A''x'-Bx''=0.$

Quand $D$ n’est pas $=0$, on est ramené à l’équation $A''t^{2}-u^{2}+aDv^{2}$, dont la possibilité se reconnaît par le n^o précédent. Si cette dernière ne peut être résolue que par les valeurs $t=0$, $u=0$, $v=0$, la proposée n’admettra pas d’autre solution que $x=0$, $x'=0$, $x''=0$ ; mais si elle est susceptible d’autres solutions, on déduira d’une quelconque d’entre elles, au moyen des équations

$ax+b''x'+b'x''=t$, ——$A''x'-Bx''=u$, ——$x''=v,$

des valeurs au moins rationnelles de $x$, $x'$, $x''$. Si ces valeurs renferment des fractions, on pourra toujours en tirer des entiers à l’aide d’un multiplicateur convenable.

Cela posé, quand on a une solution en nombres entiers de l’équation $f=0,$ on peut réduire le problème au premier cas, et obtenir, comme on l’a fait, toutes les solutions. Soient $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$ les valeurs supposées de $x$, $x'$, $x''$ respectivement, délivrées de facteurs communs ; on prendra (n^os 40, 279) les nombres entiers $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$ tels qu’on ait

$\alpha (\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma ')+\alpha '(\beta ''\gamma -\beta \gamma '')+\alpha ''(\beta \gamma '-\beta '\gamma )=1\,;$

la forme $f$ se changera, par la substitution

$x$	$=\alpha y$	$+\beta y'$	$+\gamma y''$,
$x'$	$=\alpha 'y$	$+\beta 'y'$	$+\gamma 'y''$,
$x''$	$=\alpha ''y$	$+\beta ''y'$	$+\gamma ''y''$……(S)

en la forme

$g=cy^{2}+c'y'^{2}+c''y''^{2}+2dy'y''+2d'yy''+2d''yy'.$

On aura évidemment $c=0$, et $g$ équivalente à $f$ ; d’où il suit que des solutions de l’équation $g=0$ on déduira, à l’aide de la substitution (S), toutes les solutions de l’équation $f=0$ en nombres entiers. Or nous avons vu (I) que toutes les solutions de l’équation $g=0$ sont contenues sous les formules

$y$	$=-z$	$(c'p^{2}+2dpq+c''q^{2}),$
$y'$	$=2z$	$(d''p^{2}+d'pq),$
$y''$	$=2z$	$(d''pq+d'q^{2}),$

$p$ et $q$ étant des nombres entiers indéterminés, et $z$ un nombre indéterminé qui peut être fractionnaire, pourvu que $y$, $y'$, $y''$ restent entiers. En substituant ces valeurs dans (S), on aura toutes les solutions de l’équation $f=0$ en nombres entiers.

Ainsi, par exemple, si $f=x^{2}+x'^{2}+x''^{2}+4x'x''+2xx''+8xx'$, et que l’on ait la solution $x=1$, $x'=-2$, $x''=1$, en faisant $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''=0$, $1$, $0$, $0$, $0$, $1$, il en résulte $g=y'^{2}+y''^{2}-4y'y''+12yy''$. Toutes les solutions de l’équation $g=0$ en nombres entiers seront renfermées dans les formules

$y=-z(p^{2}-4pq+q^{2})$,——$y'=12zpq$, ——$y''=12zq^{2},$

et partant toutes celles de l’équation $f=0$, dans les suivantes :

$x$	$=-z$	$(p^{2}-4pq+q^{2}),$
$x'$	$=2z$	$(p^{2}+2pq+q^{2}),$
$x''$	$=-z$	$(p^{2}-4pq+11q^{2}).$

300. Le problème du n^o précédent conduit naturellement à la solution de l’équation

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx2+ey+f=0,$

lorsque l’on ne demande que des nombres rationnels (Nous l’avons résolue plus haut (n^os 216 et suiv.) dans le cas où l’on demande des entiers) ; car toutes les valeurs rationnelles de $x$ et $y$ pourront être représentées par ${\frac {t}{v}}$, ${\frac {u}{v}}$, de manière que $t$, $u$ et $p$ soient des entiers ; d’où il suit que la résolution de cette équation en nombres rationnels, revient à celle de l’équation

$at^{2}+2btu+cu^{2}+2dtv+2euv+fv^{2}=0,$

en nombres entiers ; mais cette dernière coïncide avec l’équation traitée au n^o précédent. On doit seulement exclure les solutions dans lesquelles $v=0$ ; mais il ne peut y en avoir de telles quand $b^{2}-ac$ n’est pas un quarré.

Ainsi, par exemple, toutes les solutions en nombres rationnels de l’équation

$x^{2}+8xy+y^{2}+2x-4y+1=0,$

que nous avons déjà résolue en nombres entiers (n^o 221), se trouvent

comprises dans les formules

$x={\frac {p^{2}-4pq+q^{2}}{p^{2}-4pq+11q^{2}}},\qquad y=-{\frac {2p^{2}+4pq+2q^{2}}{p^{2}-4pq+11q^{2}}},$

$p\,{\text{et}}\,q$ étant des nombres entiers quelconques.

Au reste, nous n’avons parlé qu’en peu de mots de ces deux problèmes qui sont étroitement liés entre eux, et nous avons supprimé beaucoup d’observations qui y sont relatives, tant pour éviter la prolixité, que parceque nous avons une autre solution du problème du n^o précédent, appuyée sur des principes plus généraux, et dont nous devons réserver l’exposition pour une autre occasion, attendu qu’elle exige l’examen le plus approfondi des formes ternaires.

301. Revenons aux formes binaires dont nous avons encore à examiner plusieurs propriétés remarquables ; et d’abord, ajoutons quelque chose sur le nombre de genres et de classes de l’ordre proprement primitif (positif quand le déterminant est négatif), auquel nous sommes forcés, pour abréger, de borner nos recherches.

Le nombre de genres en lesquels se distribuent toutes les formes proprement primitives positives de déterminant positif ou négatif $\pm D$, est toujours une puissance de $2$, dont l’exposant dépend du nombre de facteurs de $D$, et que l’on peut entièrement déterminer par les recherches précédentes. Or comme dans la suite des nombres naturels, les nombres premiers sont mêlés avec d’autres plus ou moins composés, il arrive que pour plusieurs determinans successifs $\pm D$, $\pm (D+1),\,\pm (D+2)$, le nombre des genres tantôt augmente et tantôt diminue, et il semble qu’il n’y ait aucun ordre dans cette suite de nombres. Néanmoins, si l’on ajoute les nombres de genres correspondans à plusieurs determinans successifs $\pm D$, $\pm (D+1)$, $\pm (D+2)$…etc. $(D+m)$ et que l’on divise la somme par le nombre des déterminans, il en résulte un nombre moyen de genres qui pourra être censé appartenir au déterminant moyen $\pm (D+{\frac {m}{2}})$, et établit une progression très-régulière. Nous supposons, non-seulement que $m$ est un nombre assez grand, mais encore que $D$ est beaucoup plus grand, de manière que le rapport des déterminans extrêmes $D$ et $D+m$, ne diffère pas trop de l’égalité. La régularité de cette progression doit s’entendre ainsi : si $D'$ est un nombre beaucoup plus grand que $D$, le nombre moyen de genres pour le déterminant $\pm D'$ sera sensiblement plus grand que pour $D$ ; mais si $D$ et $D'$ ne diffèrent pas beaucoup, les nombres moyens de genres sont presqu’égaux. Au reste, le nombre moyen de genres pour le déterminant positif $+D$, se trouve presque toujours égal au nombre moyen de genres pour le déterminant négatif, et cela d’autant plus exactement, que $D$ est plus grand ; tandis que pour de petits nombres, le premier se trouve un peu plus grand que le second. Ces observations s’éclairciront davantage par les exemples suivans, tirés d’une table de classification de formes binaires, qui contient plus de 4 000 déterminans. Parmi les cent déterminans compris de 801 à 900 , on en trouve $7$ auxquels ne correspond qu’un genre, $32$ , $52$ , $8$, $1$ auxquels correspondent respectivement $2,$ $4,$ $8,$ $16$ genres. Il en résulte en tout $359$ genres, et partant, pour le nombre moyen $3,59$. Les cent déterminans négatifs depuis $-801$ jusqu’à $-900$, produisent $360$ genres. Les exemples suivans sont tous pris des déterminans négatifs. Dans la seizième centaine, c’est-à-dire, depuis — $1501$ jusqu’à $1600$, le nombre moyen de genres est $3,89$ ; dans la vingt-cinquième, il est $4,03$ ; les six cents déterminans compris de $-9401$ à $-10000$ donnent $4,59$. Ces exemples font voir que les nombres moyens de genres croîtraient bien plus lentement que les déterminans ; mais il s’agirait maintenant de savoir quelle est la loi de cette progression.

Une recherche fondée sur une théorie assez difficile, et qu’il serait trop long d’exposer ici, nous a fait trouver que le nombre moyen des genres, pour le déterminant $+D$ ou $-D$, était exprimé d’une manière extrêmement approchée par la formule : $\alpha logD+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des quantités constantes, et telles qu’on a, $\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est 1,

$\alpha$	$={\frac {4}{\pi ^{2}}}$	$=0,4052847346$,
$\beta$	$=2\alpha g+3\alpha ^{2}h-{\frac {1}{2}}\alpha \log {2}$	$=0,8830460462$,

$g$ étant la somme de la série $1-\log .\left(1+1\right)+{\frac {1}{2}}-\log .\left(1+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}-\log .\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\ +\ {\text{etc.}}$$=0,5772156649$, (Euler, Calc. diff. p. 444), et $h$ la somme de la série

${\frac {1}{4}}\log .{2}+{\frac {1}{9}}\log .{3}+{\frac {1}{16}}\log .{4}+{\text{etc. }}=0,9375482543.$

Cette formule fait voir que les nombres moyens des genres croissent en progression arithmétique, si les determinans croissent en progression géométrique. Elle donne pour les déterminans

$850{\frac {1}{2}}$ ;——$1550{\frac {1}{2}}$ ; ——$2450{\frac {1}{2}}$ ; ——$5050{\frac {1}{2}}$ ; ——$9700{\frac {1}{2}},$

les valeurs

$3,627$ ;——$3,860$ ; ——$4,046$ ; ——$4,339$ ; ——$4,601$

respectivement, qui ne diffèrent presque pas des nombres moyens donnés plus haut. Plus le déterminant moyen sera grand, et plus on prendra de déterminans pour calculer le nombre moyen de genres, moins ce dernier différera de la valeur de la formule. À l’aide de cette formule, on peut trouver avec beaucoup de précision la somme des nombres de genres qui répondent aux déterminans successifs $\pm D$, $\pm (D+1)$, $\pm (D+2)$, etc. $\pm (D+m)$, en ajoutant ensemble les nombres moyens de genres qui correspondent à ces diffêrens déterminans, quelque différence qu’il y ait entre les extrêmes $D$ et $D+m$. Cette somme sera

$\alpha \left\{\log {(D)}+\log {(D+1)}+\log {(D+2)}+{\text{ etc. }}+\log {(D+m)}\right\}$

$+(m+1)\beta \,;$

ou assez exactement

$\alpha \left\{(D+m)\log {(D+m)}-(D-1)\log {(D-1)}\right\}+(m+1)(\beta -\alpha ).$

De cette manière , on trouve que le nombre des genres depuis le déterminant $-1$, jusqu’au déterminant $-100$, est $=234,4$, tandis qu’il est en effet $233$. De même , depuis $-1$ jusqu’à $-2000$, on trouve $7116,6$ genres, tandis qu’il y en a en effet $7112$ ; de $9001$ à $10000$, on trouve $4594,9$, et il y en a $4595$, approximation plus grande qu’on ne pouvait l’espérer.

302. À l’égard du nombre de classes (proprement primitives positives, comme on doit toujours le sous-entendre), les déterminans positifs et les déterminans négatifs se comportent d’une manière bien différente ; aussi nous les considérerons séparément : ils s’accordent cependant tous en cela que, pour un déterminant donné, chaque genre contient le même nombre de classes, et que partant, le nombre de toutes les classes est égal au produit du nombre de genres par le nombre de classes contenues dans chaque genre.

Considérons d’abord les determinans négatifs ; les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs, $-D$, $-(D+1)$, $-(D+2)$……, etc. forment une progression aussi irrégulière que celle des genres. Mais les nombres moyens de classes croissent très-régulièrement, comme on le verra par les exemples suivans. Les cent determinans depuis $-500$, jusqu’à $-600$, donnent $1729$ classes ; donc le nombre moyen est $17,29.$ De même, dans la quinzième centaine, le nombre moyen de classes se trouve être $28,26$. De la vingt-quatrième et de la vingt-cinquième centaines on tire $36,28$ ; des soixante-unième, soixante-deuxième et soixante-troisième, il résulte $58,50$ ; de la quatre-vingt-onzième à la quatre-vingt-quinzième, c’est-à-dire de $9001$ à $9500$, on trouve $71,56$, et de la quatre-vingt-seizième à la centième, $73,54$. Ces exemples montrent que si les nombres moyens et classes croissent beaucoup plus lentement que les déterminans, ils croissent beaucoup plus rapidement que les nombres moyens de genres ; avec une légère attention, on apperçoït qu’ils croissent à peu-près comme les racines quarrées des déterminans moyens. Et en effet, par une recherche fondée sur la théorie, nous avons trouvé que le nombre moyen de classes pour le déterminant $-D$, était exprimé d’une manière très-approchée par $\gamma {\sqrt {D-\beta }}$ ; ou l’on a

$\gamma$	$=0,7467183115$	$={\frac {2\pi }{7\theta }}$	—$\textstyle \theta =1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{125}}+{\text{etc.,}}$
$\delta$	$=0,2026423673$	$={\frac {2}{\pi ^{2}}}$ ;

les nombres moyens calculés d’après cette formule, diffèrent peu de ceux que nous avons extraits plus haut de la table de classification. À l’aide de cette formule, on peut aussi assigner assez exactement la somme de tous les nombres de classes qui répondent à plusieurs déterminans successifs

$-D,\quad -(D+1),\quad -(D+2),\,\ldots \quad -(D-m+1),$

quelque différence qu’il y ait entre les extrêmes ; en ajoutant les nombres moyens qui, d’après la formule, appartiennent à ces déterminans. On trouve pour cette somme

$\gamma \left\{{\sqrt {D}}+{\sqrt {D+1}}\ +\ etc.+{\sqrt {D+m-1}}+\right\}+\delta m,$

ou ………${\frac {2}{3}}\gamma \left\{\left(D+m-{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-\left(D-{\frac {1}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right\}+\delta m$ à très-peu-près. Ainsi, par exemple, pour les cent déterminans compris de $-1$ à $-100$, la formule donne $481,1$, tandis que le nombre exact est $477$ ; les mille déterminans $-1$, $-1000$ donnent, d’après la table, $15533$ classes, et par la formule, $15551,4$ ; le second mille donne, d’après la table, $28603$, et par la formule, $28585,7$ ; de même le troisième mille donne effectivement $37092$, et par la formule, $37074,3$ ; enfin pour le dixième mille la table donne $72549$, et la formule, $72572$.

303. La table des déterminans négatifs, disposée d’après la diversité des classifications, fournit plusieurs autres observations remarquables. Pour les déterminans de la forme $-(8n+3)$, le nombre des classes contenues, tant dans chaque genre proprement primitif que dans l’ensemble de tous ces genres, est toujours divisible par $3$, le seul déterminant $-3$ excepté, ainsi qu’on peut le conclure du n^o 256, VI. Quant aux déterminans pour lesquels les formes ne composent qu’un seul genre, le nombre de classes est toujours impair ; en effet, comme pour un pareil déterminant il n’y a jamais qu’une classe ambiguë, qui est la classe principale, le nombre des autres classes qui seront opposées deux à deux sera nécessairement pair, et partant le nombre de toutes les classes sera impair. — Or la série des déterminans auxquels répond une même classification donnée, c’est-à-dire, un nombre donné de genres et de classes, paraît toujours finie ; nous allons faire appercevoir cette observation surprenante, dans quelques exemples. Dans la table suivante, le premier nombre, en chiffres romains, indique le nombre de genres proprement primitifs positifs ; le second, le nombre de classes contenues dans chaque genre ; toutes les autres forment la série des déterminans auxquels

cette classification appartient.

I	......$1$......	$1,2,3,4,7$ ;
I	......$3$......	$11,19,23,27,31,43,67,163$ ;
I	......$5$......	$47,79,103,127$ ;
I	......$7$......	$71,151,223,343,463,487$ ;
II	......$1$......	$5,6,8,9,10,12,13,15,16,18,22,25,28,37,58$ ;
II	......$2$......	$14,17,20,32,34,36,39,46,49,52,55,63,64,$
		——$73,82,97,100,142,148,193$ ;
IV	...... $1$......	$21,24,30,33,40,42,45,48,57,60,70,72,78,85,$
		——$88,93,102,112,130,133,177,190,232,253$ ;
VIII	......$1$......	$105,120,165,168,210,240,273,280,312,330,$
		——$345,357,385,408,462,520,760$ ;
XVI	......$1$......	$840,1320,1365,1848$.

On trouve de même vingt determinans, dont le plus grand est $-1423$, auxquels répond la classification I.$9$; quatre, dont le plus grand est $-1303$, auxquels répond la classification I.$11$, etc. Les classifications II.$3$, II.$4$, II.$5$, IV.$2$, ne répondent pas à plus de $48$, $32$, $42$, $68$ déterminans, dont les plus grands sont respectivement $-652$, $-862$, $-1318$, $-1012$. Comme la table dans laquelle nous avons pris ces exemples a été prolongée bien au-delà des déterminans qui paraissent ici^[4], et qu’elle ne fournit aucun autre déterminant qui appartienne à ces classifications, il paraît hors de doute que les séries précédentes sont finies, et l’on peut, par analogie, étendre la même conclusion, à toute autre classification. Par exemple, comme dans tout le dixième millier de déterminans, il ne s’en rencontre aucun qui réponde à moins de vingt-quatre classes, il est extrêmement vraisemblable que les classifications

I.$23$,	I.$21$,		etc. ;	II.$11$,	II.$10$,	etc. ;
IV.$5$,	IV.$4$,	IV$.3$,	etc. ;	VIII.$2$,		etc.

s’étaient arrêtées avant $-9000$, ou qu’elles n’ont lieu que pour peu de déterminans plus grands que $-10000$ ; mais il paraît très-difficile de donner de ces observations des démonstrations rigoureuses.

Il est encore à remarquer que tous les déterminans dont les formes peuvent se distribuer en trente-deux genres au plus, ont au moins deux classes dans chaque genre, desorte que les classifications XXXII.$1$, LXIV.$1$ etc. n’existent point. Le plus petit déterminant de cette espèce est $-9240$, et la classification qui lui répond est XXXII.$2$ ; et il est assez probable que, le nombre des genres augmentant continuellement, le nombre des classifications qui disparaissent augmente aussi. À cet égard, les soixante-cinq déterminans inscrits plus haut, auxquels répondent les classifications : I.$1$, II.$1$, IV.$1$, VIII.$1$, XVI.$1$, méritent d’être distingués, et il est facile de voir qu’ils jouissent tous et seuls de deux propriétés remarquables ; la première consiste en ce que les classes suivant lesquelles se distribuent leurs formes sont toutes ambiguës ; la seconde, en ce que deux formes quelconques contenues dans le même genre sont équivalentes, tant proprement qu’improprement. Au reste, ces mêmes soixante-cinq nombres ont déjà été présentés par Euler (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1776, p. 338), sous un aspect un peu différent, dont nous parlerons plus bas, et avec une propriété facile à démontrer.

304. Le nombre des classes proprement primitives que fournissent les formes binaires de déterminant quarré $k^{2}$, peut être assigné a priori ; il y a autant de ces classes que de nombres premiers avec $2k$ et plus petits que lui. De là, à l’aide de raisonnemens qui n’ont aucune difficulté, mais que nous supprimons, on trouve que le nombre moyen des classes qui appartiennent à des déterminans quarrés voisins de $k^{2}$ est exprimé d’une manière très-approchée par ${\frac {8k}{\pi ^{2}}}$.

Quant aux déterminans positifs non-quarrés, ils présentent à cet égard des propriétés tout-à-fait singulières. Pour les déterminans négatifs ou quarrés, les petits nombres de classes, par exemple les classifications I.$1$, ou I.$3$, ou II.$1$, n’ont lieu que pour de petits déterminans et dont la suite s’arrête bientôt ; pour les déterminans positifs non-quarrés au contraire, pourvu qu’ils ne soient pas très-grands, la plus grande partie donne des classifications où il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre, desorte que les classifications : I.$3$, I.$5$, II.$2,$ II.$3,$ IV.$2,$ etc. sont très-rares. Ainsi, par exemple, parmi les quatre-vingt-dix déterminans non-quarrés qui sont au-dessous de $100$, on en trouve trois $11$, $48$, $27$ auxquels répondent les classifications I.$1$, II.$1$, IV.$1$, respectivement ; et il y en a un, $57$, auquel répond I.$3$ ; deux, $34$ et $82$, auxquels répond II.2, et un, $79$, auquel répond II.$3$. Cependant, à mesure que les déterminans augmentent, les nombres de classes plus élevés se multiplient peu-à-peu. Par exemple, parmi les quatre-vingt-seize déterminans non-quarrés qui sont compris entre $100$ et $200$, il y en a deux, $101$ et $197$, auxquels répond I.$3$ ; quatre, $146$, $78$, $194$, auxquels répond II.$2$ ; trois, $141$, $148$, $189$, auxquels répond II.$3$. Parmi les cent quatre-vingt-dix-sept déterminans non-quarrés compris depuis $801$ jusqu’à $1000$, il y en a

$3,\quad 4,\quad 14,\quad 2,\quad 2,\quad 15,\quad 6,\quad 2,\quad 4,$

auxquels répondent respectivement les classifications

I.$3$, -—II.$2$, -—II.$3$, -—II.$5$, -—II.$6$, -—IV.$2$, -—IV.$3$, -—IV.$4$, -—VIII.$2.$

Pour les cent quarante-cinq autres, il n’y a qu’une classe dans chaque genre.

Ce serait une question curieuse, et qui ne serait pas indigne de la pénétration des géomètres, que de chercher suivant quelle loi les déterminans qui ne donnent qu’une classe par genre deviennent de plus en plus rares. Jusqu’à présent nous ne pouvons décider par la théorie, ni tirer de l’observation des conjectures assez certaines pour affirmer si la série s’arrête toujours, ce qui paraît au reste peu probable, ou du moins si ces déterminans deviennent infiniment rares, ou si le nombre tend toujours et de plus en plus vers une certaine limite fixe. Les nombres moyens de classes croissent dans un rapport qui n’est guère plus grand que celui des nombres moyens de genres, et bien plus lentement que les racines quarrées des déterminans : entre $800$ et $1000$, on trouve $5,01$. Qu’il nous soit permis d’ajouter une autre observation, qui rétablit en quelque sorte l’analogie entre les déterminans positifs et négatifs. Nous avons trouvé que si le nombre des classes pour un déterminant positif $D$ n’était pas analogue au nombre des classes pour le déterminant négatif, la chose a lieu du moins pour le produit de ce nombre par le logarithme de $t+u{\sqrt {D}}$ ; $t$ et $u$ désignant les plus petits nombres, excepté $1$ et $0$, qui satisfont à l’équation $t^{2}-Du^{2}=1$, nous ne pouvons donner plus de détails sur la raison de cette analogie. La valeur moyenne de ce produit s’exprime assez exactement par la formule $m{\sqrt {D-n}}$ ; mais nous n’avons pas encore pu déterminer par la théorie les constantes $m$ et $n$. S’il est permis de tirer une conclusion de la comparaison de quelques centaines de déterminans, $m$ paraît peu différent de $2{\frac {1}{3}}$.

Au reste, nous nous réservons de revenir dans une autre occasion sur les valeurs moyennes des quantités qui ne suivent pas une loi analytique, mais qui approchent continuellement et de plus en plus de la suivre. Nous passons maintenant à une autre recherche, par laquelle nous comparerons entre elles les différentes classes proprement primitives de même déterminant, et qui terminera cette longue Section.

305. Théorème. $\mathrm {K}$ désignant la classe principale des formes de déterminant donné $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {C}$ une autre classe quelconque prise dans le genre principal de même déterminant, $\mathrm {C^{2}} ,$ $\mathrm {C^{3}} ,$ $\mathrm {C^{4}} ,$ $\mathrm {C^{5}} ,$ etc. les classes qui naissent de la duplication, de la triplication, etc. de la classe $\mathrm {C}$ (Voyez n^o 249) ; en continuant assez loin la progression $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C^{2}} ,$ $\mathrm {C^{3}} ,$ etc., on parviendra enfin à une classe identique avec $\mathrm {K} \ ;$ et si l’on suppose que $\mathrm {C^{m}}$ soit la première classe identique avec $\mathrm {K} ,$ et que le nombre de toutes les classes du genre principal soit $\mathrm {n} ,$ on aura $\mathrm {m=n} ,$ ou bien $\mathrm {m}$ sera une partie aliquote de $m$.

I. Comme toutes les classes $K$, $C$, $C^{2}$, $C^{3}$, etc. appartiennent nécessairement au genre principal, les $n+1$ premières classes de cette série $K$, $C$, $C^{2}$,…$C^{n}$ ne peuvent pas être différentes ; ainsi $K$ sera donc identique avec une des classes $C$, $C^{2}$, $C^{3}$…$C^{n}$, ou deux d’entre elles seront identiques. Soit donc $C^{r}=C^{s}$ et $r>s$, on aura aussi $C^{r-1}=C^{r-2}$, $C^{r-2}=C^{s-2}$, etc., et $C^{r+1-s}=C$, d’où $C^{r-s}=K$.

II. Il suit de là sur-le-champ que l’on a $m=n$, ou $m<n$ ; ainsi il ne reste plus qu’à faire voir que, dans le second cas, $m$ est une partie aliquote de $n$. Comme les classes $K$, $C$, $C^{2}$… $C^{m-1}$, dont nous désignerons l’ensemble par (Γ), n’épuisent pas le genre principal, soit $C'$ une classe de ce genre qui ne soit pas contenue dans (Γ), et désignons par (Γ’) l’ensemble de toutes les classes qui résultent de la composition de $C'$ avec chacune des classes de (Γ). On voit facilement que toutes les classes de (Γ) sont différentes tant entre elles que des classes contenues dans (Γ), et qu’elles sont du genre principal ; desorte que si (Γ) et (Γ’) épuisent ce genre, on aura $n=2m$, sinon on aura $2m<n$. Soit donc, dans le second cas, $C''$ une classe du genre principal qui ne soit contenue ni dans (Γ), ni dans (Γ'), et désignons par (Γ) l’ensemble de toutes les classes qui résultent de la décomposition de $C''$ avec toutes les classes de (Γ) ; il est évident qu’elles diffèrent toutes entre elles et des classes contenues dans (Γ) et (Γ’), et qu’elles sont du genre principal ; donc si (Γ), (Γ’) , (Γ'') épuisent ce genre, on aura $n=3m$, sinon $n>3m$. Dans ce dernier cas, en traitant de la même manière une classe $C'''$ qui ne soit contenue ni dans (Γ), ni dans (Γ’), ni dans il en résultera que l’on a $n=4m$, ou $n>4m$, et ainsi de suite. Or comme $n$ et $m$ sont des nombres finis, le genre principal s’épuisera enfin, et $n$ sera un multiple de $m$, ou $m$ une partie aliquote de n.

Soit, par exemple, $D=-356$, $C=(5,2,72)$^[5] ; on trouve $C^{2}=(20,8,21)$, $C^{3}=(4,1,89)$, $C^{4}=(20,-8,21)$, $C^{5}=(5,-2,72)$, $C^{6}=(1,0,356)$. On a donc ici $m=6$, et pour ce déterminant $n=12$. En prenant $C'=(8,2,45)$, les cinq autres classes de (Γ’) sont : $(9,-2,40)$, $(9,2,40)$, $(8,-2,45)$, $(17,1,21)$, $(17,-1,21)$.

306. On remarquera sur-le-champ l’analogie de la démonstration du théorème précédent, avec les démonstrations des n^os 45, 49 ; et effectivement, la théorie de la multiplication des classes a une grande affinité avec le sujet traité dans la Section III. Mais les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas de poursuivre cette théorie qui est digne de grands développemens ; aussi nous n’ajouterons que quelques observations, et nous supprimerons les démonstrations qui exigeraient trop de détails, nous réservant encore de revenir sur ce sujet et de l’approfondir.

1^o . Si la série $K$, $C$, $C^{2}$, $C^{3}$…$C^{m-1}$ est prolongée au-delà de $C^{m-1}$, les mêmes classes reparaissent de nouveau, desorte qu’on a $C^{m}=K$, $C^{m+1}=C$, $C^{m+2}=C^{2}$, etc. ; et généralement, si l’on regarde $K$ comme $C^{0},$ les classes $C^{g}$ et $C^{g'}$ seront identiques ou différentes, suivant que $g$ et $g'$ seront congrus ou incongrus suivant le module $m$. Ainsi la classe $C^{n}$ est toujours identique avec la classe principale $K$.

2^o . Nous appellerons périodes de la classe $\mathrm {C}$ l’ensemble $K$, $C$, $C^{2}$, $C^{3}$…$C^{m-1}$, que nous avons désigné par (Γ) ; mais cette expression ne doit pas être confondue avec les périodes de formes réduites de déterminant positif non-quarré, dont nous avons parlé n^o 186 et suivans. Ainsi il est clair que de la composition de tant de classes $C^{g}$, $C^{g'}$, $C^{g''}$ etc. qu’on voudra, il résulte une classe $C^{g+g'+g''+etc.}$ contenue dans la même période.

3^o . Comme $C.C^{m-1}=K$, les classes $C$ et $C^{m-1}$ seront opposées, et partant $C^{2}$ et $C^{m-2}$, $C^{3}$ et $C^{m-3}$, etc. Ainsi, lorsque $m$ est pair, la classe $C^{\frac {m}{2}}$ a sera elle-même son opposée, et sera parconséquent ambiguë ; réciproquement, si, indépendamment de $K$, il se trouve dans (Γ) une autre classe ambiguë $C^{g}$ on aura $C^{g}=C^{m-g}$, et partant $g=m-g={\frac {1}{2}}m$. Il suit de là que si $m$ est pair, il n’y a pas d’autre classe ambiguë que $K$ et $C^{g}$, et que si $m$ est impair, il n’y en a pas d’autre que $K$.

4^o . Si la période d’une classe $C^{k}$ contenue dans (Γ) est $K$, $C^{h}$, $C^{2h}$,$C^{3h}$, $C^{(m'-1)h}$, il est évident que $m'h$ est le plus petit multiple de $h$ qui soit divisible par $m$. Si donc $m$ et $h$ sont premiers entre eux, on aura $m=m'$ et les deux périodes contiendront les mêmes classes, mais dans un ordre différent ; mais généralement, $\mu$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $m$, $h$, on aura $m'={\frac {m}{\mu }}$ ; d’où il suit que le nombre de classes contenues dans la période d’une classe quelconque prise dans (Γ) est $m$ ou une partie aliquote de $m$, et qu’il y a autant de classes de (Γ) dont les périodes soient composées de $m$ termes, qu’il y a de nombres premiers avec m dans la suite $0$, $1$, $2$,……$m-1$, c’est- à-dire, qu’il y en a $\varphi m$, en employant le signe du n^o 39. Généralement, il y aura autant de classes dans (Γ) dont les périodes soient composées de ${\frac {m}{\mu }}$ termes, qu’il va dans la suite $0$, $1$, $2$,……$m-1$ de nombres qui aient ${\displaystyle }$ pour plus grand commun diviseur avec $m$. On voit facilement que le nombre en est $\varphi {\frac {m}{\mu }}$. Si donc $m=n$, c’est-à-dire, si (Γ) renferme tout le genre principal, il y a dans ce genre ${\displaystyle }$ classes dont les périodes renferment le genre entier, et $\varphi n$ classes dont les périodes renferment un nombre $e$ de termes, $e$ désignant un diviseur quelconque de $n$. Cette conclusion a généralement lieu, quand il existe une classe du genre principal dont la période ait $n$ termes.

5^o . Dans la même supposition, le système des classes du genre principal ne peut être disposé plus convenablement, qu’en prenant, comme pour base, une classe dont la période ait $n$ termes, et plaçant les classes du genre principal dans l’ordre qu’elles occupent dans cette période. Desorte que si l’on affecte la classe principale de l’indice $0$, la classe prise pour base aura l’indice $1$, et ainsi de suite. La seule addition des indices suffit pour trouver quelle classe naît de la composition de classes quelconques du genre principal.

Voici un exemple pour le déterminant $-356$, où la classe $(9,2,40)$ a été prise pour base :

$0$…	$(1,0,356)$	$3$…	$(1,0,356)$	$6$…	$(4,0,89)$	$9$…	$(8,2,45)$
$1$…	$(9,2,40)$	$4$…	$(20,8,21)$	$7$…	$(17,-1,21)$	$10$…	$(5,-2,72)$
$2$…	$(5,2,72)$	$5$…	$(17,11,21)$	$8$…	$(20,-8,21)$	$11$…	$(9,-2,40)$

6^o . Quoique l’analogie avec la Section III, et l’induction qu’on peut tirer de plus de deux cents déterminans négatifs, et d’un bien plus grand nombre de déterminans positifs non-quarrés, semblent porter au plus haut degré de probabilité la vérité de cette supposition pour tous les déterminans, une pareille conclusion n’en serait pas moins fausse et démentie par la continuation de la table de classification. Nous nommerons, pour abréger, déterminans réguliers ceux pour lesquels une seule période peut renfermer tout le genre principal, et déterminans irréguliers ceux qui ne jouissent pas de cette propriété^[6]. Un petit nombre d’observations nous suffiront pour éclaircir ce sujet, qui semble cependant dépendre des plus profonds mystères de l’Arithmétique transcendante, et donner lieu aux recherches les plus difficiles ; nous commencerons par la suivante, qui est générale.

7^o . Si dans le genre principal se trouvent deux classes $C$, $C'$, dont les périodes sont composées de $m$, $m'$ termes, et que $M$ soit le plus petit nombre divisible par $m$ et par $m'$ ; il y aura aussi dans le même genre une classe dont la période contiendra $M$ termes : si l’on décompose $M$ en deux facteurs $r$ et $r'$ premiers entre eux dont l’un, $r$, divise $m$, et dont l’autre, $r'$, divise $m'$ (n^o 73), la classe $C^{\frac {m}{r}}.C^{\frac {m'}{r'}}=C''$ jouira de la propriété précitée. En effet, supposons que la période de la classe $C''$ soit composée de $g$ termes, on aura

$K=C''^{gr}=C^{gm}.C'^{\frac {grm'}{r'}}=K.C'{\frac {grm'}{r'}}=C'^{\frac {grm'}{r'}}\,;$

donc ${\frac {grm'}{r'}}$ est divisible par $m'$, et partant $gr$ par $r'$ ou $g$ par $r$. On prouve absolument de la même manière que $g$ est divisible par $r$ donc il l’est par $rr'=M$ ; mais comme on a évidemment $C''^{M}=K$, $M$ est donc aussi divisible par $g$, et partant $M=g$. Il suit de là que le plus grand nombre de classes qui puissent être contenues dans une période pour un déterminant donné, est divisible par le nombre de classes de toute autre période d’une classe du même genre principal. On peut en même temps en déduire une méthode pour trouver la classe dont la période est la plus grande, c’est-à-dire, pour les déterminans réguliers, la classe dont la période renferme tout le genre principal; cette méthode est absolument semblable à celle des n^os 75 et 74 ; mais dans la pratique on peut l’abréger par plusieurs artifices. Le quotient de la division du nombre $n$ par le nombre de termes de la plus grande période, quotient qui est $1$ pour les déterminans réguliers, et plus grand que $1$ pour les déterminans irréguliers, est d’après cela très-commode pour exprimer les différentes espèces d’irrégularités, et par cette raison pourra être nommé exposant d’irrégularité.

8^o . Jusqu’à présent il n’y a pas de règle générale qui puisse faire distinguer a priori les déterminans réguliers des irréguliers, d’autant plus que parmi les derniers se trouvent en même temps des nombres premiers et des nombres composés ; ainsi il suffira d’ajouter ici quelques observations particulières. Quand il y a plus de deux classes ambiguës dans le genre principal, le déterminant est sûrement irrégulier, et l’exposant d’irrégularité est pair. Mais quand il n’y a qu’une ou deux classes ambiguës, le déterminant est régulier, ou du moins l’exposant d’irrégularité est impair. Tous les déterminans négatifs de la forme $-(216k+27)$, le nombre $-27$ excepté, sont irréguliers, et l’exposant d’irrégularité est divisible par $3$. La même chose a lieu pour les déterminans négatifs de la forme $-(1000k+75)$ et $-(1000k+675)$ en exceptant le seul nombre $-75$, et pour une infinité d’autres.

Si l’exposant d’irrégularité est un nombre premier $p$, $n$ est divisible par $p^{2}$ ; desorte que si $n$ n’est divisible par aucun nombre quarré, le déterminant sera nécessairement régulier.

Il n’y a que pour les déterminans positifs quarrés $e^{2}$ que l’on puisse distinguer a priori, s’ils sont réguliers ou irréguliers. Le premier cas arrive quand $e$ est $1$ ou $2$, ou un nombre premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair ; le second pour toute autre valeur de $e$.

Pour les déterminans négatifs, les irréguliers deviennent d’autant plus fréquens, que les déterminans seront plus grands. Par exemple, dans le premier millier, on trouve $13$ irréguliers qui sont, en omettant le signe,

$576,380,820,884,900$, dont l’exposant d’irrégularité est $2$.

$243,307,339,459,675,755,891,974$, dont l’exposant est $3$.

Dans le second millier, on en trouve $13$ dont l’exposant est $2$, et $15$ dont l’exposant est $3$. Dans le dixième millier, $31$ dont l’exposant est $2$, et $32$ dont l’exposant est $5$. Nous ne pouvons encore décider s’il existe au-dessous de $-10000$ des déterminans dont l’exposant d’irrégularité soit plus grand que $3$. Au-delà de cette limite, on peut trouver des déterminans qui aient un exposant donné quelconque. Il est probable que les déterminans croissant toujours, le nombre de ceux qui sont irréguliers tend à être dans un rapport constant avec le nombre des déterminans réguliers. La détermination de ce rapport serait digne de la sagacité des géomètres.

Parmi les déterminans positifs non quarrés, les irréguliers sont plus rares; il y en a une infinité pour lesquels l’exposant est 2, par exemple $3026$ a $2$ pour exposant d’irrégularité. Il semble aussi hors de doute qu’il existe des déterminans dont l’exposant d’irrégularité soit impair, quoique nous soyons forcés d’avouer qu’il ne s’en est pas offert à nous jusqu’à présent.

9^o . Nous ne pouvons, sans donner trop d’étendue à cet ouvrage, parler ici de la disposition la plus commode du système des classes contenues dans le genre principal pour un déterminant irrégulier ; nous observerons seulement que comme dans ce cas une base ne peut suffire, il faut en prendre deux ou un plus grand nombre qui, par la multiplication et la composition, puissent produire toutes les classes. De là naîtront des indices doubles ou multiples qui auront presque le même usage que les indices simples pour les déterminans réguliers.

1^o . Observons enfin que toutes les propriétés considérées dans ce n^o  et dans le précédent, dépendant principalement du nombre $n$, qui a quelque analogie avec le nombre $p-1$ de la section III, ce nombre mérite une grande attention ; il serait donc à desirer que l’on pût découvrir une relation générale entre $n$ et le déterminant. Nous pensons que l’on doit d’autant moins désespérer d’y parvenir, que nous avons déjà réussi à soumettre à une formule analytique, du moins pour les déterminans négatifs (n^o 302), la valeur moyenne du produit de n par le nombre de genres qui peut être assignée a priori^[7].

307. Les recherches précédentes n’embrassent que les classes du genre principal, et suffisent parconséquent, tant pour les déterminans positifs qui ne donnent qu’un seul genre, que pour les déterminans qui ne donnent qu’un genre positif, si nous ne considérons pas le genre négatif. Il nous reste à ajouter quelque chose sur les autres genres proprement primitifs.

1^o . Lorsque le genre $G'$ différant du genre principal $G$ de même déterminant, renferme quelque classe ambiguë, il y en aura autant dans l’un et l’autre genre. Soient $L$, $M$, $N$, etc. les classes ambiguës de $G$, parmi lesquelles se trouve la classe principale $K$, et $L'$, $M'$, $N'$, etc. les classes ambiguës contenues dans $G'$ ; et désignons l’ensemble des premières par $A$, l’ensemble des dernières par $A'$. Comme toutes les classes $L.L'$, $M.L'$, $N'L'$, .etc. sont évidemment ambiguës, et du genre $G'$, elles feront nécessairement partie de $A'$ ; et partant, le nombre de classes contenues dans $A'$ n’est sûrement pas plus petit que celui des classes contenues dans $A$ : d’ailleurs les classes $L'.L'$, $M'.L'$, $N'.L'$, etc. étant ambiguës et du genre $G$, elles feront nécessairement partie de $A$ ; donc le nombre de classes contenues dans $A$ n’est pas plus petit que le nombre de classes contenues dans $A'$. Donc les nombres de classes de $A$ et de $A'$ sont nécessairement égaux.

2^o . Comme le nombre de toutes les classes ambiguës est égal au nombre des genres (n^os 261 et 287, 3^o .), il est évident que si $G$ ne contient qu’une classe ambiguë, chaque genre en contiendra nécessairement une et une seule ; si $G$ contient deux classes ambiguës, la moitié de tous les genres en contiendra deux, et les autres n’en contiendront aucune ; enfin, s’il y a dans $G$ un nombre $a$ de classes ambiguës^[8], et que $N$ soit le nombre total des genres, il y aura ${\displaystyle }$ genres qui contiendront a classes ambiguës, et les autres n’en contiendront pas.

3^o . Soient, pour le cas où $G$ renferme deux classes ambiguës, $G$, $G'$, $G''$, etc. les genres qui en contiennent deux ; $H$, $H'$, $H''$, etc. ceux qui n’en contiennent point ; et désignons par $g$ l’ensemble des premiers, et par $h$ l’ensemble des derniers. Comme la composition de deux classes ambiguës donne toujours pour résultante une classe ambiguë (n^o 249 ), on verra sans peine que la composition de deux genres compris dans $g$ donne un genre compris dans $g$. Il suit de là que de la composition d’un genre de $g$ avec un genre de $h$, il résulte un genre de $h$. En effet, si par exemple $G'.H$ appartenait à $g$, $G'.H.G'$ serait aussi compris dans $g$ ; mais $G'.G'=G$, et il s’ensuivrait que $H$ serait compris dans $g$, contre l’hypothèse. Enfin on reconnaît facilement que les genres

$G.H,\;\;G'.H,\;\;G''.H,\;\;{\text{etc.}}\qquad H.H,\;\;\,H'.H,\;\;H''.H,\;{\text{etc.}}$

sont tous différens entre eux, et que, pris ensemble, ils équivalent

à $g$ et à $h$ Mais par ce qui vient d’être démontré, les genres $G.H$, $G'.H$, $G''.H$, etc. appartiennent tous à $h$, et partant, l’épuisent entièrement ; donc les genres $H.H$, $H'.H$, $H''.H$, etc. appartiennent nécessairement à $g$, et partant, la composition de deux genres de $h$ donne toujours un genre de $g$.

4^o . Si $E$ est une classe du genre $V$ différent du genre principal $G$, il est clair que $E^{2}$, $E^{4}$, $E^{6}$, etc. appartiennent toutes à $G$, tandis que $E^{3}$, $E^{5}$, $E^{7}$, etc. appartiennent à $V$. Si donc la période de la classe $E^{2}$ est composée de $m$ termes, il est évident que dans la suite $E$, $E^{2}$, $E^{3}$, etc. , la classe $E^{2m}$ sera indentique avec $K$, et qu’aucune ne pourra l’être avant elle, c’est-à-dire, que la période de la classe $E$ sera composée de $2m$ termes ; donc le nombre de termes de la période d’une classe quelconque, d’un autre genre que le genre principal, sera $2n$ ou une partie aliquote de $2n$, $n$ désignant le nombre de classes commun à tous les genres.

5^o . Soit $C$ une classe donnée du genre principal $G$, $E$ une classe du genre $V$ qui donne $C$ par sa duplication (n^o 286), et $K$, $K'$, $K''$, etc., toutes les classes ambiguës proprement primitives de même déterminant ; toutes les classes dont la duplication donne $C$ seront : $E(=E.K)$, $E.K'$, $E.K''$, etc., dont nous exprimerons l’ensemble par $\omega$, et dont le nombre sera évidemment égal au nombre des classes ambiguës, ou au nombre des genres. Il est manifeste que parmi les classes $\omega$, il y en a autant qui appartiennent au genre $V,$ qu’il y a de classes ambiguës dans le genre $G$ ; ainsi, désignant par a le nombre de ces dernières, il y a dans chaque genre $a$ classes comprises dans $\omega \,;$ ou il n’y en a aucune. On déduit facilement de là, que si $a=1$, chaque genre contient une des classes $\omega$ ; si $a=2$, la moitié des genres contiennent deux des classes $\omega$, tandis que les autres n’en contiennent aucune, et même la première moitié coïncide avec $g$ (v. 3^o .), et la seconde avec $h$ et réciproquement. Quand $a$ est plus grand il y a toujours, en désignant par $N$ le nombre de tous les genres, ${\frac {N}{a}}$ genres qui contiennent des classes $\omega ,$ et chacune en contient $a$.

6^o . Supposons maintenant que $C$ soit une classe dont la période soit composée de $n$ termes ; on voit facilement que dans le cas où $a=2$, et où partant, $n$ est pair, aucune classe de $\omega$ ne peut appartenir à $G\ ;$ car alors cette classe serait contenue dans la période de $C\ ;$ et si on la représente par $C^{r}$, il s’ensuivrait $C^{2r}=C$, et partant, $2r\equiv 1{\pmod {n}}$, ce qui est absurde. Ainsi, comme $G$ appartient à $g$, toutes les classes $\omega$ seront nécessairement distribuées entre les genres $h$. Puisque pour un déterminant régulier, $G$ contient $\varphi n$ classes dont les périodes sont de $n$ termes, il suit de ce qui précède que pour le cas où $a=2$, il y a dans chaque genre $h$, $2\varphi n$ classes dont la période contient $2n$ termes, et renferme parconséquent à-la-fois le genre de la classe et le genre principal. Mais quand $a=1$, il y aura $\varphi n$ classes de cette espèce dans chaque genre différent du genre principal.

7^o . Nous établissons sur ces observations la méthode suivante, pour former le système de toutes les classes proprement primitives de déterminant régulier donné, car nous laissons absolument de côté les déterminans irréguliers. On prendra à volonté une classe $E$, dont la période contienne $2n$ termes, et parconséquent le genre de cette classe que nous nommerons $V$, et le genre principal $G$, et l’on distribuera les classes de ces deux genres comme elles se présentent dans cette période. L’opération serait finie, quand il n’existera que ces deux genres, ou que l’on n’aura pas besoin de s’occuper des autres (par exemple, pour un déterminant négatif qui ne donne que deux genres positifs). Mais quand il y a quatre, ou un plus grand nombre de genres, on traitera les autres de la manière suivante. Soit $V'$ un des deux autres, et $V\times V'=V''$. Il y aura dans $V'$ et $V''$ deux classes ambiguës, une dans chacun, ou deux dans l’une et aucune dans l’autre. On en prendra une $A$ à volonté, et l’on voit facilement que si l’on compose $A$ avec chacune des classes de $G$ et de $V$, il en résultera $2n$ classes différentes qui appartiendront à $V'$ et $V''$ et épuiseront parconséquent ces deux genres, que l’on pourra disposer aussi de cette manière.

S’il y a plus de quatre genres, soit $V'''$ un des autres, et $V^{IV}$, $V^{V}$, $V^{VI}$ les genres qui résultent de la composition du genre $V'''$ avec les genres $V$, $V'$, $V''$ ; les quatre genres $V'''$……, $V^{VI}$ contiendront quatre classes ambiguës, et il est clair que si l’on prend une d’elles, et qu’on la compose avec chaque classe des genres $G$, $V$, $V'$, $V''$, on obtiendra toutes les classes des genres $V'''$…$V^{VI}$.

S’il y a d’autres genres, on continuera de la même manière, jusqu’à ce qu’ils soient tous épuisés. On voit, que si le nombre de tous les genres est $2\mu$, on aura besoin en tout de $\mu -1$ classes ambiguës, et que toute classe de ces genres peut être produite ou par la multiplication de la classe $E$ ou par la composition d’une classe résultante de cette première opération avec une ou plusieurs classes ambiguës.

Nous ajoutons deux exemples qui serviront d’éclaircissement à ce procédé, mais nous ne pouvons rien dire de plus sur l’usage de cette construction, ni sur les artifices au moyen desquels on peut diminuer le travail.

I. Déterminant $-161$.

Quatre genres positifs ; dans chacun d’eux quatre classes.

		$G.$	————————				$V.$
—$1,4$ ; $R7$ ; $R23$.				—$3,4$ ; $N7$ ; $R23$.
$(1,$	$0,$	—$161)$	$=K$		$(3,$	$1,$	—$54)$	$=E$
$(9,$	$1,$	$18)$	$=E^{2}$		$(6,$	$-1,$	—$27)$	$=E^{3}$
$(2,$	$1,$	$81)$	$=E^{4}$		$(6,$	$1,$	—$27)$	$=E^{5}$
$(9,$	$-1,$	$18)$	$=E^{6}$		$(3,$	$-1,$	—$54)$	$=E^{7}$.
		$V'.$	————————				$V''.$
—$3,4$ ; $R7$ ; $N23$.				—$1,4$ ; $N7$ ; $N23$.
$(7,$	$0,$	$23)$	$=A$		$(10,$	$3,$	—$17)$	$=A.E$
$(11,$	—$-2,$	$15)$	$=A.E^{2}$		$(5,$	$2,$	—$33)$	$=A.E^{3}$
$(14,$	$-7,$	$15)$	$=A.E^{4}$		$(5,$	—$-2,$	—$33)$	$=A.E^{5}$
$(11,$	$2,$	$15)$	$=A.E^{6}$		$(10,$	—$-3,$	—$17)$	$=A.E^{7}$.

II. Déterminant $-546$.

Huit genres positifs ; dans chacun d’eux trois classes.

		$G.$	————————				$V.$
$1$ et $3,8$ ; $R3$ ; $R7$ ; $R13$.				—$5$ et $7,8$ ; $N3$ ; $N7$ ; $N13$
$(1,$	$0,$	—$546)$	$=K$		$(5,$	$2,$	$110)$	$=E$
$(22,$	—$-2,$	$35)$	$=E^{2}$		$(21,$	$0,$	$26)$	$=E^{3}$
$(22,$	$2,$	$25)$	$=E^{4}$		$(5,$	$-2,$	$110)$	$=E^{5}$

		$V'.$	————————				$V.''$
$1$ et $3,8$ ; $N3$ ; $R7$ ; $N13$.				—$5$ et $7,8$ ; $R3$ ; $N7$ ; $R13$
$(2,$	$0,$	—$273)$	$=A$		$(10,$	$2,$	$55)$	$=E$
$(11,$	—$-2,$	$50)$	$=A.E^{2}$		$(13,$	$0,$	$42)$	$=A.E^{3}$
$(11,$	$2,$	$50)$	$=A.E^{4}$		$(10,$	$-2,$	$55)$	$=A.E^{5}$
		$V'''.$	————————				$V^{IV}.$
$1$ et $3,8$ ; $N3$ ; $N7$ ; $R13$.				—$5$ et $7,8$ ; $R3$ ; $R7$ ; $N13$
$(3,$	$0,$	—$182)$	$=A'$		$(15,$	$-3,$	$37)$	$=A'.E$
$(17,$	$7,$	$35)$	$=A'.E^{2}$		$(7,$	$0,$	$78)$	$=A'.E^{3}$
$(17,$	— $-7,$	$35)$	$=A'.E^{4}$		$(15,$	$3,$	$37)$	$=A'.E^{5}$
		$V^{V}.$	————————				$V^{VI}.$
$1$ et $3,8$ ; $R3$ ; $N7$ ; $N13$.				—$5$ et $7,8$ ; $N3$ ; $R7$ ; $R13$
$(6,$	$0,$	—$91)$	$=A.A'$		$(23,$	$11,$	$29)$	$=A.A'.E$
$(19,$	$9,$	—$33)$	$=A.A'.E^{2}$		$(14,$	$0,$	$26)$	$=A.A'.E^{3}$
$(19,$	$-9,$	—$33)$	$=A.A'.E^{4}$		$(23,$	—$-11,$	$29)$	$=A.A'.E^{5}$

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1. Cette impossibilité se manifeste d’elle-même ; en effet, la somme de trois quarrés impairs est évidemment $\equiv 3{\pmod {8}}\,;$ la somme de deux impairs et d’un pair est $\equiv 2$ ou $\equiv 6\,;$ la somme d’un pair et de deux impairs est $\equiv 1$ ou $\equiv 5\,:$ enfin la somme de trois pairs est $\equiv 0$ ou $\equiv 4\,;$ ; mais dans le dernier cas, la représentation est évidemment impropre.
2. On doit toujours sous-entendre décompositions propres, en transportant cette expression des représentations aux décompositions.
3. Voyez les Additions de l’auteur, à la fin.
4. Pendant que cet ouvrage s’imprime, nous l’ayons poussée sans interruption jusqu’à $-3000$ nous γ avons ajouté le dixième millier tout entier, plusieurs centaines éparses et un grand nombre de déterminans isolés choisis avec soin.
5. Nous exprimons toujours les classes par les formes les plus simples qu’elles renferment.
6. Voyez les Additions de l’auteur.
7. Voyez les Additions de l’auteur.
8. Cela ne peut arriver que pour les déterminans irréguliers, et $a$ sera toujours une puissance de $2$.