Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 5)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 304-338).

266. Jusqu’à présent nous avons restreint nos recherches aux fonctions du second degré qui ne renferment que deux indéterminées, et il n’a pas été nécessaire de les distinguer par une dénomination particulière ; mais il est clair que ce sujet n’est qu’une section très-particulière des fonctions algébriques rationnelles, entières et homogènes, qui renferment plusieurs inconnues. Ces fonctions peuvent se distribuer en formes du premier, du deuxième, du troisième, etc. degré ; et quant au nombre d’indéterminées, nous les distinguerons commodément en formes binaires, trinaires, quaternaires, etc. Ainsi, ce que nous avons appelé forme jusqu’à présent, prendra dorénavant le nom de forme binaire du second degré, et les fonctions telles que

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}\ ;$

$A,\ B,\ C,\ D,\ {\text{etc.}}$ étant des nombres entiers, s’appelleront formes trinaires du second degré, et ainsi de suite. Nous avions presque consacré la présente section aux formes binaires du second degré ; mais comme il nous reste à faire connaître quelques-unes de leurs plus belles propriétés, qui se déduisent naturellement de la théorie des formes trinaires, nous insérons ici une courte digression sur ces dernières, et nous exposerons des premiers élémens de cette théorie, ce qui sera nécessaire pour compléter celle des formes binaires, pensant satisfaire davantage les Géomètres, que si nous les supprimions, ou si nous les déduisions de méthodes moins directes. Au reste, nous réservons pour une autre occasion l’examen plus exact de cet important sujet, tant parceque sa fertilité excéderait de beaucoup les bornes de cet ouvrage, que dans l’espoir de pouvoir lui donner par la suite plus de développemens. Mais nous écartons absolument les formes quaternaires, quinaires, etc. du second degré et celles des degrés plus élevés, et il suffira d’avoir recommandé ce champ vaste à l’attention des géomètres, où ils pourront trouver un très-beau sujet d’exercer leurs forces, et les moyens de donner à l’Arithmétique transcendante de très-beaux développemens. Nous pourrons ainsi nous contenter de distinguer les formes en binaires et ternaires.

267. Il sera avantageux, pour l’intelligence, d’établir un ordre fixe parmi les indéterminées des formes trinaires, comme nous l’avons fait pour les formes binaires, de manière à distinguer la première, la seconde et la troisième. Quant à la disposition des différentes parties de la forme, nous suivrons constamment aussi le même ordre, en placant le premier le terme qui renferme le quarré de la première inconnue, et ensuite ceux qui renferment le quarré de la seconde, le quarré de la troisième, le double produit de la seconde par la troisième, le double produit de la première par la troisième, et enfin le double produit de la première par la deuxième. Mais, comme nous abrégerons en ne dénotant pas toujours les indéterminées par des lettres particulières, nous représenterons la forme

$ax^{2}+a'x'^{2}+a''x''^{2}+2bx'x''+2b'xx''+2b''xx'$

par le symbole ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, quand nous n’aurons pas égard aux indéterminées.

En posant $b^{2}-a'a''=A$, $b'^{2}-aa''=A'$, $b''^{2}-aa'=A''$, $ab-b'b''=B$, $a'b'-bb''=B'$, $a''b''-bb'=B''$, il résulte une autre forme $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}A,&A',&A''\\B,&B',&B''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, que nous appellerons adjointe de la forme $f$. Ces relations donnent aussi les suivantes, en représentant par $D$ le nombre

$ab^{2}+a'b'^{2}+a''b''^{2}-aa'a''-2bb'b'',$

$B^{2}-A'A''=aD,$	$B'^{2}-AA''=a'D,$	$B''^{2}-AA'=a''D,$
$AB-B'B''=bD,$	$A'B'-BB''=b'D,$	$A''B''-BB'=b''D\ ;$

d’où il suit que la forme $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}aD,&a'D,&a''D\\bD,&b'D,&b''D\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ est adjointe à la forme $F.$ Nous appellerons déterminant de la forme $f$, le nombre $D$ de la nature duquel dépendent principalement les propriétés des formes ternaires. De cette manière, le déterminant de la forme $F$ est $D^{2}$, ou égal au quarré du déterminant de la forme à laquelle elle est adjointe.

Ainsi, par exemple, la forme ternaire $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}29,&13,&\ 9\\7,&-1,&14\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ a pour adjointe $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-68,&-260,&-181\\217,&\ -111,&\;133\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et elles ont toutes deux pour déterminant, $1$.

Nous excluons de nos Recherches les formes ternaires dont le déterminant est $0$, que nous traiterons plus en détail dans une autre occasion, et qui ne sont ternaires qu’en apparence, se réduisant, comme on le verra, à des formes binaires.

268. Si une forme ternaire $f$, dont les indéterminées sont $x$, $x'$, $x''$, et le déterminant $D$, se change en une forme ternaire $g$, dont le déterminant est $E$, par la substitution

$x=\alpha y+\beta y'+\gamma y'',\quad x'=\alpha 'y+\beta 'y'+\gamma 'y'',\quad x''=\alpha ''y+\beta ''y'+\gamma ''y'',$

où les coefficiens $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\alpha '$, etc. sont supposés des nombres entiers, nous dirons, pour abréger, que la forme $f$ se change en $g$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$ ……… (S)

et que $f$ renferme $g$, ou que $g$ est contenu dans $f$. De cette supposition dérivent six équations pour les six coefficiens de $g$, qu’il est inutile de transcrire ici, et d’où l’on déduit facilement les conclusions suivantes :

1^o . En désignant, pour abréger, par $k$ le nombre

$\alpha \beta '\gamma ''+\beta \gamma '\alpha ''+\gamma \alpha '\beta ''-\gamma \beta '\alpha ''-\alpha \gamma '\beta ''-\beta \alpha '\gamma '',$

on trouve, réduction faite, $E=k^{2}D$ ; d’où il suit que $D$ doit diviser $E$ et que le quotient doit être un quarré. L’on voit ainsi que le nombre $k$ joue ici le même rôle que le nombre $\alpha \delta -\beta \gamma$ pour les formes binaires, d’où nous pourrions présumer que le signe de $k$ établit aussi une différence essentielle entre les transformations propres et impropres. Mais en examinant la chose de plus près, il est clair que $f$ se change aussi en g par la substitution

$-\alpha ,\ -\beta ,\ -\gamma \ ;\quad -\alpha ',\ -\beta ',\ -\gamma '\ ;\quad -\alpha '',\ -\beta '',\ -\gamma '',$

et que $k$ devient alors $-k$, et que parconséquent cette substitution serait différente, et que toute forme ternaire en renfermerait une autre tant proprement qu’improprement. Ainsi nous ne ferons pas usage de cette distinction, qui devient inutile pour les formes ternaires.

2^o . En désignant par $F$ et $G$ les formes adjointes aux formes $f$, $g$, les coefficiens de $F$ se déterminent par les coefficiens de $f$, et les coefficiens de $G$ par ceux de $g$, qui se connaissent eux-mêmes par les équations que fournit la substitution $S$. Or la comparaison des coefficiens de $F$ et $G$ prouve sans peine que $F$ renferme $G$ et se change en elle par la substitution

$\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '$,	—$\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha '$,—	$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$ ;
$\beta ''\gamma -\beta \gamma ''$,	—$\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ''$,—	$\alpha ''\beta -\alpha \beta ''$ ;
$\beta \gamma '-\beta '\gamma$,	—$\gamma \alpha '-\gamma '\alpha$,—	$\alpha \beta '-\alpha '\beta$ ; ……$(S^{\prime }).$

Nous n’inscrivons pas ici le calcul, qui n’est sujet à aucunes difficultés.

3^o . La forme $g$, par la substitution :

$\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '$,	—$\beta ''\gamma -\beta \gamma ''$,—	$\beta \gamma '-\beta '\gamma$ ;
$\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha '$,	—$\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ''$,—	$\gamma \alpha '-\gamma '\alpha ''$ ;
$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$,	—$\alpha ''\beta -\alpha \beta ''$,—	$\alpha \beta '-\alpha '\beta$ ; ……$(S^{\prime \prime }),$

se change évidemment en la même forme que celle en laquelle se change $f$ par la substitution

$k,\ 0,\ 0\ ;\quad \ 0,\ k,\ 0\ ;\quad \ 0,\ 0,\ k,$

c’est-à-dire en celle qu’on obtient en multipliant tous les coefficiens de la forme $f$ par $k^{2}$. Nous désignerons cette forme par $f'$.

4^o . On prouve absolument de la même manière, que la forme $G$ se change, par la substitution

$\alpha ,\ \alpha ',\ \alpha ''\ ;\quad \beta ,\ \beta ',\ \beta ''\ ;\quad \gamma ,\gamma ',\gamma ''$………($S^{\prime \prime \prime }$)

en la forme en laquelle se change $F$, en multipliant les différens coefficiens par $k^{2}$ ; nous désignerons cette forme par $F'$.

Nous dirons que la substitution $S^{\prime \prime \prime }$ naît, par transposition, de la substitution $S\,;$ alors il est évident que la substitution $S$ résulte de la transposition de la substitution $S^{\prime \prime \prime }\,;$ de même $S'$ et $S''$ naissent de leur transposition réciproque. On peut appeler la substitution $S'$ substitution adjointe à $S,$ d’où la substitution $S^{\prime \prime }$ sera adjointe à la substitution $S^{\prime \prime \prime }.$

269. S’il arrive, non-seulement que la forme $f$ renferme la forme $y$, mais encore que la forme $g$ renferme la forme $f$, ces deux formes seront dites équivalentes, et dans ce cas on voit que $D$ et $E$ devant se diviser mutuellement, on a nécessairement $D=E$ ; et réciproquement si une forme $f$ en renferme une autre $g$ de même déterminant, ces deux formes seront équivalentes ; en effet on aura $k=\pm 1$, et partant la forme $f'$ en laquelle se change $g$ par la substitution $S''$, sera identique avec $f$, et parconséquent $f$ sera contenue dans $g$. Or il est clair que dans ce cas les formes $F$ et $G$ adjointes aux formes $f$ et $g$ seront aussi équivalentes, et que la deuxième se change en la première par la substitution $S'''$. Enfin, si l’on suppose que les formes $F$, $G$ soient équivalentes, et que la première se change en la deuxième par la substitution $T$, les formes $f$ et $g$ seront aussi équivalentes, et $f$ se changera en $g$ par la substitution adjointe à $T$, et $g$ en $f$ par la substitution qui naît de la transposition de la substitution adjointe à $T$. Car par ces deux substitutions respectives, la forme adjointe à $F$ se change en la forme adjointe à $G$, et la forme $G$ en cette même première forme ; mais ces deux formes naissent de $f$ et $g$, en multipliant chacun de leurs coefficiens par $D$ ; d’où l’on voit sans peine que par les mêmes substitutions $f$ se change en $g$ et $g$ en $f$ respectivement.

270. Si la forme ternaire $f$ renferme la forme ternaire $f'$ et celle-ci la forme $f''$, la forme $f$ renfermera aussi $f''$. Car on voit facilement que

si $f$ se change en $f'$ par la substitution	——et——	si $f'$ se change en $f''$ par la substitution
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ;		$\delta$, $\epsilon$, $\zeta$ ;
$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ;		$\delta '$, $\epsilon '$, $\zeta '$ ;
$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$ ;		$\delta ''$, $\epsilon ''$, $\zeta ''$ ;

$f$ se changera en $f''$ par la transformation

$\alpha \delta +\beta \delta '+\gamma \delta ''$,	$\alpha \epsilon +\beta \epsilon '+\gamma \epsilon ''$,	$\alpha \zeta +\beta \zeta '+\gamma \zeta ''$ ;
$\alpha '\delta +\beta '\delta '+\gamma '\delta ''$,	$\alpha '\epsilon +\beta '\epsilon '+\gamma '\epsilon ''$,	$\alpha '\zeta +\beta '\zeta '+\gamma '\zeta ''$ ;
$\alpha ''\delta +\beta ''\delta '+\gamma ''\delta ''$,	-$\alpha ''\epsilon +\beta ''\epsilon '+\gamma ''\epsilon ''$,-	$\alpha ''\zeta +\beta ''\zeta '+\gamma ''\zeta ''$ ;

ainsi, dans le cas où $f$ est équivalente à $f'$, et $f'$ à $f''$ la forme $f$ sera aussi équivalente à $f''$. Au reste, on voit aisément comment ces théorèmes s’étendraient à un plus grand nombre de formes.

271. Il suit évidemment de là que toutes les formes ternaires, ainsi que les formes binaires, peuvent se distribuer en classes, en rapportant à la même classe les formes équivalentes, et celles qui ne le sont pas, à des classes différentes. Ainsi les formes de déterminant différent appartiendront certainement à des classes différentes, et partant il y aura un nombre infini de classes de formes ternaires ; mais les formes ternaires de même déterminant donnent un nombre de classes tantôt plus grand, tantôt plus petit, mais toujours fini, ce qui peut être considéré comme une propriété principale de ces formes. Avant de traiter avec plus de détail cette proposition très-importante, nous expliquerons une différence essentielle qui a lieu entre les formes ternaires.

Quelques formes ternaires sont telles, qu’on peut représenter par elles, sans distinction des nombres positifs et négatifs, par exemple, la forme $x^{2}+y^{2}-z^{2},$ et nous les nommerons formes indéfinies. Au contraire, il en existe d’autres par lesquelles on ne peut représenter de nombres négatifs, comme la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, et nous les nommerons formes positives ; enfin, par d’autres, on ne peut représenter que des nombres négatifs, comme la forme $-x^{2}-y^{2}-z^{2}$, nous les nommerons formes négatives. Les formes positives et négatives s’appelleront formes définies. Nous allons donner les caractères auxquels on peut reconnaître à laquelle de ces espèces appartient une forme donnée.

Si l’on multiplie par $a$ la forme

$f=ax^{2}+a'x'^{2}+a''x''^{2}+2bx'x''+2b'xx''+2b''xx'$

de déterminant $D$, et que l’on désigne, comme au n^o 268, par $A$, $A'$, $A''$, $B,$ $B',$ $B''$ les coefficiens de la forme adjointe à $f$ on trouve

$g=af=(ax+b''x'+b'x'')^{2}-A''x'^{2}+2Bx'x''-A'x''^{2}\ ;$

multipliant ensuite par $A'$, il vient

$h=A'af=A'(ax+b''x'+b'x'')^{2}-(A'x''-Bx')^{2}+aDx'^{2}\ ;$

d’où il suit que $A'af$ est négatif si $aD$ et $A'$ le sont, et parconséquent que le signe de $f$ est nécessairement opposé à celui de $A'a$, c’est-à-dire que $f$ est de même signe que $a$ ou de signe opposé à $D$. Ainsi la forme $f$ sera définie dans ce cas-là, et sera positive ou négative, suivant que $a$ est positif ou négatif, ou suivant que $D$ est négatif ou positif.

Mais si $aD$ et $a'$ sont positifs, ou que l’un des deux le soit, aucun n’étant $=0$, on voit facilement qu’en déterminant convenablement les valeurs des indéterminées, $h$ pourra être positif ou négatif, et que partant $f$ pourra obtenir des valeurs, tant de même signe que de signe opposé à $h$ ; donc $f$ sera une forme indéfinie.

Pour le cas où $A'=0$, sans qu’on ait aussi $a=0$, on aura

$af=(ax+b''x'+b'x'')^{2}-x'(A''x'-2Bx''),$

en donnant à $x'$ une valeur arbitraire, qui cependant ne soit pas $=0$, et prenant $x''$ tel que le signe de ${\frac {A''x'}{2B}}-x''$ soit le même que celui de $Bx'$, ce qui est possible, car $B$ n’est pas $=0$, puisqu’on aurait $B^{2}-A'A''=aD=0$, et partant $D=0$ ; alors $x'(A''x'-2Bx'')$ sera une quantité positive, et l’on voit aisément que $x$ pourra être déterminé de manière que $af$ obtienne une valeur négative ; il est même évident que ces valeurs peuvent être prises, si l’on veut, de manière qu’elles soient toutes entières. Enfin, $x'$ et $x''$ ayant des valeurs quelconques, on peut prendre $x$ assez grand pour que $af$ devienne positif. Donc, dans ce cas, la forme $f$ est indéfinie.

Enfin, si $a=0$, on a

$f=a'x'^{2}+2bx'x''+a''x''^{2}+2x(b''x'+b'x''),$

et en prenant $x'$, $x''$ à volonté, mais tels que $b''x'+b'x''$ ne soit pas zéro, il est évident que l’on peut déterminer $x$ de manière que $f$ obtienne des valeurs positives et négatives ; donc $f$ est une forme indéfinie.

De même que nous avons déterminé l’espèce de la forme $f$, d’après les nombres $aD$ et $A'$, nous aurions pu y parvenir au moyen des nombres $aD$ et $A''$ desorte que la forme $f$ sera définie si $aD$ et $A''$ sont négatifs, et indéfinie dans tous les autres cas. On peut de même considérer les nombres $a'D$ et $A$, ou $a'D$ et $A''$, ou $a''D$ et $A$, ou enfin $a''D$ et $A'$. Il suit de là que pour une forme définie les six nombres $A$, $A'$, $A''$, $aD$, $a'D$, $a''D$ sont négatifs ; pour une forme positive, $a$, $a'$, $a''$ seront positifs et $D$ négatif, et pour une forme négative, $a$, $a'$, $a''$ seront négatifs et $D$ positif ; ainsi, toutes les formes ternaires de déterminant donné positif peuvent se distribuer en négatives et en indéfinies, toutes les formes d’un déterminant donné négatif peuvent se distribuer en positives et en indéfinies. Enfin, il n’γ a pas de formes positives de déterminant positif, ni de formes négatives de déterminant négatif. On voit facilement, d’après cela, que la forme adjointe à une forme définie est définie et même négative, et que la forme adjointe à une forme indéfinie est indéfinie.

Puisque tous les nombres représentables par une forme ternaire donnée le sont également par toutes les formes qui lui sont équivalentes, les formes ternaires comprises dans une même classe seront toutes positives, ou toutes négatives, ou toutes indéfinies. Ainsi ces dénominations pourront être transportées aux classes elles-mêmes.

272. Nous allons démontrer que les formes ternaires d’un déterminant donné peuvent se distribuer en un nombre fini de classes, et nous nous y prendrons comme pour les formes binaires, c’est-à-dire, que nous ferons voir d’abord comment une forme ternaire donnée peut être ramenée à une forme ternaire plus simple, et ensuite que le nombre des formes les plus simples auxquelles on parvient par ces réductions est toujours fini, quel que soit le déterminant. Supposons généralement que la forme $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $D$, se change en la forme équivalente $g={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}m,&m'&m''\\n,&n',&n''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$………(S)

il nous restera à déterminer $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc, de manière que $g$ soit plus simple que $f.$ Soient $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}A,&A',&A''\\B,&B',&B''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, $G={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}M,&M',&M''\\N,&N'&N''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ les formes adjointes à $f$ et $g$, la forme $F$ se changera en $G$ par la substitution adjointe à $S$, et $G$ en $F$ par la substitution qui naît de la transposition de $S$. Nous ferons le nombre

$\alpha \beta '\gamma ''+\alpha '\beta ''\gamma +\alpha ''\beta \gamma '-\alpha ''\beta '\gamma -\alpha \beta ''\gamma '-\alpha '\beta \gamma ''=\pm 1=k$.

Cela posé, observons :

1^o. Que si l’on fait $\gamma =0$, $\gamma '=0$, $\alpha ''=0$, $\beta ''=0$, $\gamma ''=1$, on a

$m=a\alpha ^{2}+2b''\alpha \alpha '+a'\alpha '^{2},\quad m'=a\beta ^{2}+2b''\beta \beta '+a'\beta '^{2},\quad m''=a'',$

$n=b\beta '+b'\beta \ ;\quad n'=b\alpha '+b'\alpha ,\quad n''=a\alpha \beta +b''(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+a'\alpha '\beta \ ;$

on aura en outre $\alpha \beta '-\alpha '\beta =\pm 1$. Il est évident par là, que la forme binaire $(a,b'',a')$ de déterminant $A''$ se change par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\alpha '$, $\beta '$ en la forme binaire $(m,n'',m')$, et qu’elle lui est même équivalente, puisque $\alpha \beta '-\alpha '\alpha \beta =\pm 1$ ; on aura donc ce qu’on peut aussi vérifier sans peine directement. Si donc la forme $(a,b'',a')$ n’est pas déjà la forme la plus simple de sa classe, on pourra déterminer $\alpha$, $\beta$, $\alpha '$, $\beta '$, de manière que $(m,n'',m')$ soit une forme plus simple ; et par la théorie des formes binaires, on sait que cette réduction peut se faire de manière que $m$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {-{\frac {4}{3}}A''}}$ si $A''$ est négatif, ou que ${\sqrt {A''}}$ si $A''$ est positif, ou enfin de manière que $m=0$ si $A''=0$. Desorte que dans tous les cas, la valeur absolue de m peut être abaissée ou au moins au-dessous jusqu’à ${\sqrt {\pm {\frac {4}{3}}A''}}$. Ainsi la forme $f$ peut se ramener à une autre, dans laquelle, s’il y a lieu, le premier coefficient soit plus petit, et dont la forme adjointe ait le même troisième coefficient que la forme $F$ adjointe à $f$. C’est en cela que consiste la première réduction.

2^o . Mais si l’on fait $\alpha =1$, $\beta =0$, $\gamma =0$, $\alpha '=0$, $\alpha ''=0$, on aura $k=\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '=\pm 1$, et la substitution adjointe à $S$ deviendra

$\pm 1,\ 0,0\ ;\qquad 0,\ \gamma '',\ -\beta ''\ ;\qquad 0,\ -\gamma ',\ \beta ',$

par laquelle $F$ se change en $G$. On a ainsi

$m$	$=a$,
$n'$	$=b'\gamma ''+b''\gamma '$,
$n''$	$=b'\beta ''+b''\beta '$,
$m'$	$=a'\beta '^{2}+2b\beta '\beta ''+a''\beta ''^{2}$,
$m''$	$=a'\gamma '^{2}+2b\gamma '\gamma ''+a''\gamma ''^{2}$,
$n$	$=\alpha '\beta '\gamma '+b(\beta '\gamma ''+\beta ''\gamma ')+\alpha ''\beta ''\gamma ''$ ;
$M'$	$=A'\gamma ''^{2}-2B\gamma '\gamma ''+A''\gamma '^{2}$,
$N$	$=-A'\beta ''\gamma ''+B(\beta '\gamma ''+\beta ''\gamma ')-A''\beta '\gamma '$,
$M''$	$=A'\beta ''^{2}-2B\beta '\beta ''+A''\beta '^{2}$,

d’où il suit que la forme binaire $(A'',B,A')$ dont le déterminant est $Da$, se change par la substitution $\beta '$, $-\gamma '$, $-\beta ''$, $\gamma ''$, en la forme $(M'',N,M')$ de déterminant $Dm$ ; et à cause de l’équation $\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '=\pm 1$, ou de $Da=Dm$, ces deux formes sont équivalentes. Ainsi, à moins que la forme $(A',D,A')$ ne soit déjà la plus simple de sa classe, les coefficiens $\beta '$, $\gamma '$, $\beta ''$, $\gamma ''$ pourront être déterminés de manière que $(M'',N,M')$ soit plus simple ; et même cette réduction peut se faire de manière que $M''$, sans égard au signe, ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\pm {\frac {4}{3}}D}}$ ; ensorte que l’on réduit la forme $f$ à une autre qui a le même premier coefficient, mais dans la forme adjointe de laquelle le troisième coefficient est moindre, s’il y a lieu, que celui de la forme $F$ adjointe à $f$. C’est en cela que consiste la seconde réduction.

3^o . Si donc $f$ est une forme ternaire à laquelle aucune de ces deux réductions ne soit applicable, c’est-à-dire, qui ne puisse par aucune se changer en une plus simple, on aura alors nécessairement $a^{2}<$ ou $={\frac {4}{3}}A$, et $A^{2}<$ ou $={\frac {4}{3}}aD$, sans avoir égard au signe. Donc $a^{4}$ sera $<$ ou $={\frac {16}{9}}A^{2}$, et partant, $a^{4}<$ ou $={\frac {64}{27}}aD$, et $a^{3}<$ ou $={\frac {64}{27}}D$ ; donc $a<$ ou $={\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D}}$, et $A^{2}<$ ou $={\frac {16}{9}}{\sqrt[{3}]{D^{4}}}$, et parconséquent $A<$ ou $={\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D^{2}}}$. Ainsi, quand $A$ et $a$ surpassent ces limites, nécessairement l’une ou l’autre des réductions précédentes peut être appliquée à la forme $f$. Au reste, il ne faut pas renverser cette conclusion, puisqu’il arrive souvent qu’une forme ternaire dont le premier et le troisième coefficient sont au-dessous de ces limites, peut néanmoins être rendue plus simple par l’une ou l’autre de ces réductions.

4^o . Si donc on applique alternativement la première et la seconde réduction à une forme donnée de déterminant $D$, c’est-à-dire qu’on lui applique la première ou la seconde, à celle qui en résulte la seconde ou la première, à celle qui en résulte de nouveau la première ou la seconde, etc., il est évident qu’on arrivera nécessairement à une forme à laquelle on ne pourra plus appliquer ni l’une ni l’autre, sans quoi on aurait deux suites de nombres entiers continuellement décroissans. Nous sommes donc parvenus à ce théorème important : Toute forme ternaire de déterminant $\mathrm {D} ,$ peut être réduite à une autre équivalente dont le premier coefficient ne soit pas plus grand que $\mathrm {{\frac {3}{4}}{\sqrt[{3}]{D}}} ,$ et telle que le troisième coefficient de la forme adjointe ne soit pas plus grand que $\mathrm {{\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D^{2}}}} ,$ sans avoir égard au signe, à moins que la forme proposée ne jouisse déjà de ces deux propriétés.

Au reste, au lieu du premier coefficient de la forme $f$, et du troisième de la forme adjointe, nous aurions pu traiter absolument de la même manière, le premier coefficient de $f$ et le second de la forme adjointe, ou le second de $f$ et le premier ou le troisième de la forme adjointe, ou le troisième de $f$ et le premier ou le second de la forme adjointe, et nous serions arrivés de même à notre but ; mais il vaut mieux s’en tenir à une méthode unique, afin de pouvoir ramener plus facilement les opérations à un algorithme fixe. Nous observons enfin que les deux coefficiens que nous avons appris à abaisser au-dessous de limites fixes, peuvent avoir encore des limites moindres, si l’on distingue les formes finies des formes indéfinies. Mais cela n’est pas nécessaire pour ce que nous nous proposons.

273. Voici quelques exemples qui éclairciront ce qui précède.

Exemple I. Soit $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}19,&21,&50\\15,&28,&1\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, on aura $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-825,&-166,&-398\\257,&573,&-370\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ et $D=-1$. Comme $(19,1,21)$ est une forme binaire réduite qui n’a pas de forme équivalente dont le premier terme soit moindre que $19$, la première réduction n’est pas applicable ici ; mais la forme binaire $(A'',B,A')=(-398,257,-166)$ se change en $(-2,1,-10)$ qui lui est équivalente, par la substitution $2$, $7$,

$3$, $11$. Ainsi, en faisant $\beta '=2$, $\gamma '=-7$, $\beta ''=-3$, $\gamma ''=-11$, on aura pour la forme $f$, la substitution

$1,\ 0,\ 0\ ;\qquad 0,\ 2,\ -7\ ;\qquad 0,\ -3,\ 11,$

par laquelle on trouve qu’elle se change en $f'={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}19,&334,&4769\\-1229,&301,&-82\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Le troisième coefficient de la forme adjointe à $f'$ est $-2$, et partant, celle-ci doit être regardée comme plus simple que $f$.

On peut appliquer à la forme $f'$ la première réduction. La forme binaire $(19,-82,354)$ se changeant en $(1,0,2)$ par la transformation $13$, $4$, $3$, $1$, on aura pour la forme $f$ la transformation

$13,\ 4,\ 0\ ;\qquad 3,\ 1,0\ ;\qquad 0,\ 0,\ 1,$

par laquelle elle se change en la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&2,&4769\\-95,&16,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}=f''$.

On peut appliquer de nouveau la seconde réduction à la forme $f''$ qui a pour adjointe ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-513,&-4513,&-2\\-95,&32,&1520\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. En effet, la forme binaire $(-2,-95,-4513)$ se change par la substitution $47$, $1$, $-1$, $0$, en $(-1,1,-2),$ d’où $f''$ se change par la substitution

$1$, $0$, $0$ ; —$0$, $47$, $-1$ ; —$0$, $1$, $0$,

en la forme $f''={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&257,&2\\1,&0,&16\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Le premier coefficient de cette forme ne peut plus être réduit par la première réduction, ni le troisième de la forme adjointe par la seconde.

Exemple II. Soit $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&26,&2\\7,&0,&4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ qui a pour adjointe la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-3,&-20,&-244\\70,&-28,&8\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ et $2$ pour déterminant. On trouve successivement par l’application alternative des deux réductions,

	les substitutions		par lesquelles les formes		se changent en
$1,0,0\ ;$	$0,-1,0\ ;$	$0,4,-1$	…$f$…	…$f'$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&2,&2\\-1,&0,&-4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$
$1,0,0\ ;$	$0,-1,0\ ;$	$0,4,-1$	…$f'$…	…$f''$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}2,&2,&2\\2,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$
$0,-1,0\ ;$	$1,-2,0\ ;$	$0,0,1$	…$f''$…	…$f'''$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}2,&2,&2\\-2,&1,&-2\\\end{pmatrix}}\end{array}}$
$1,0,0\ ;$	$1,1,0\ ;$	$0,0,1$	…$f'''$…	…$f^{IV}$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&2\\-2,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$

La forme $f^{IV}$ ne peut être soumise à l’une ni à l’autre des deux réductions.

274. Quand on a une forme ternaire dont le premier coefficient, ainsi que le troisième de la forme adjointe, sont abaissés autant que possible par la méthode précédente, on obtiendra comme il suit une plus grande réduction.

En conservant toujours la notation du n^o 172, et posant $\alpha =1$, $\alpha '=0$, $\beta '=1$, $\alpha ''=0$, $\beta ''=0$,$\gamma ''=1$, c’est-à-dire en employant la substitution

$1,\ \beta ,\ \gamma \ ;\qquad 0,\ 1,\ \gamma '\ \qquad 0,\ 0,\ 1,$

on aura

$m$	$=a$,
$m'$	$=a'+2b''\beta +a\beta ^{2}$,
$m''$	$=a''+2b\gamma '+2b'\gamma +a\gamma ^{2}+2b''\gamma \gamma '+a'\gamma '^{2}$ ;
$n$	$=b+a'\gamma '+b'\beta +b''(\gamma +\beta \gamma ')+a\beta \gamma$,
$n'$	$=b'+a\gamma +b''\gamma '$,
$n''$	$=b''+a\beta$

et en outre $M''=A''$, $N=B-A''\gamma '$, $N'=B'-A''\gamma -N\beta$.

Ainsi, par cette substitution les coefficiens $a$, $A''$, qui sont déjà réduits, ne changeront pas ; il ne reste plus qu’à diminuer les autres coefficiens en déterminant convenablement les valeurs de $\beta$, $\gamma$, $\gamma '$.

Observons d’abord que si l’on a $A'=0$, on doit avoir aussi $a=0$ ; car si a n’était pas $=0$, la première réduction serait encore applicable, puisqu’à toute forme de déterminant $=0$ répond une forme équivalente telle que $(0,0,h)$ (n^o 215), et dont parconséquent le premier terme $=0$. De la même manière, si $a=0$, on aura $A'=0$, ainsi les deux nombres $a$ et $A$ seront tous deux nuls, ou aucun des deux ne le sera.

Dans le second cas, il est évident que $\beta$, $\gamma$, $\gamma '$ peuvent être déterminés de manière que $n''$, $N$, $N'$ ne soient pas plus grands que ${\frac {1}{2}}a$, ${\frac {1}{2}}A''$, ${\frac {1}{2}}A''$ respectivement. Ainsi dans le premier exemple du n^o précédent, la dernière forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&257,&2\\1,&0,&16\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, qui a pour adjointe ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-513,&-2,&-1\\1,&-16,&32\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, se change, par la substitution

$1,\ -16,\ 16\ ;\qquad 0,\ 1,\ -1\ \qquad 0,\ 0,\ 1,$

en la forme $f^{IV}={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, qui a pour adjointe ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}.\end{array}}$

Dans le premier cas, où $a=A''=0$, et partant $b''=0$, on aura

$m=0$, —$m'=a'$, —$m''=a''+2b\gamma '+2b'\gamma +a'\gamma '^{2}$,

$n=b+a'\gamma '+b'\beta$, —$n'=b'$, —$n''=0$,

ce qui donne $D=a'b'^{2}=m'n'^{2}$. Or on voit facilement que l’on peut prendre $\beta$ et $\gamma '$ de manière que $n$ soit le résidu minimum absolu de $b$, suivant le plus grand diviseur commun des nombres $a'$, $b'$, c’est-à-dire, que $n$ ne soit pas plus grand que la moitié de ce commun diviseur, abstraction faite du signe, et partant $n=0,$ toutes les fois que $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux ; $\beta$ et $\gamma '$ étant ainsi déterminés, on pourra prendre $\gamma$ tel que $m''$ ne soit pas $>b'$, à moins que l’on n’eût $b'=0$ ; mais alors on aurait $D=0$ ; cas que nous avons exclu. Ainsi, dans le second exemple, on a pour la dernière forme $n=-2-\beta +2\gamma '$, et en faisant $\beta =0$, $\gamma '=1$ il vient $n=0$, partant $m''=2-2\gamma$ et $m''=0$ en faisant $\gamma =1$. Ainsi, par la substitution

$1,\ -2,\ 1\ ;\qquad 0,\ 1,\ 0\ ;\qquad 0,\ 0,\ 1,$

cette forme se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}=f^{V}$.

275. Si l’on a une suite de formes ternaires équivalentes $f''$, $f'''$, etc., et les transformations de chacune d’elles en la suivante, des transformations de $f$ en $f'$ et de $f'$ en $f$ on déduira (n^o 270) celle de $f$ en $f''$, de cette dernière et de la transformation de $f''$ en $f'''$, on déduira celle de $f$ en $f'''$, etc. Ainsi , de cette manière on aura la transformation de $f$ en une forme quelconque de cette suite ; et comme (n^os 268, 269) on déduit de la transformation d’une forme quelconque $f$ en une autre $g$, la transformation de $g$ en $f$, on pourra obtenir la transformation d’une forme quelconque de la suite, en la première $f$.

Ainsi, pour les formes du premier exemple on trouve les substitutions

$13$,	$14$,	$0$ ;——	$6$,	$2$,	$-7$ ;——	$-9$,	$-3$,	$11$…
$13$,	$188$,	$-4$ ;——	$6$,	$87$,	$-2$ ;——	$-9$,	$-130$,	$3$…
$13$,	$-20$,	$16$ ;——	$6$,	$-9$,	$7$ ;——	$-9$,	$14$,	$-11$,..

par lesquelles $f'$ se change en $f''$, $f'''$, $f^{IV}$, et de la dernière on déduit la suivante :

$1,\ 4,\ 4\,;\quad 3,\ 1,\ 5\,;\quad 3,\ -2,\ 3,$

par laquelle $f^{IV}$ se change en $f'$.

De la même manière, pour l’exemple 2 du n^o précédent, on trouve les substitutions

$1$,	$-1$,	$1$ ;——	$-3$,	$4$,	$-3$ ;——	$10$,	$-14$,	$11$…
$2$,	$-3$,	$-1$ ;——	$3$,	$1$,	$0$ ;——	$2$,	$4$,	$1$…

par lesquelles la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&26,&2\\7,&0,&4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et cette dernière en la première respectivement.

276. Théorème. Le nombre des classes en lesquelles peuvent se distribuer les formes ternaires de déterminant donné, est toujours fini.

I. Le nombre de toutes les formes ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant donné $D$, dans lesquelles on a $a=0$, $b''=0$, $b$ non plus grand que la moitié du plus grand commun diviseur entre $a'$ et $b'$ et $a''$ non plus grand que $b'$, est nécessairement toujours fini. En effet, puisqu’on a dans ce cas $D=a'b'^{2}$, on ne pourra prendre pour $b'$ que $+1$, $-1$ et les racines des quarrés qui peuvent diviser $D$, s’il y en a d’autres que $1$, prises positivement ou négativement, et le nombre de ces valeurs est fini ; or, pour chaque valeur de $b'$, celle de $a'$ est déterminée, et celles de $b$, $a''$ sont évidemment limitées.

II. Il n’y aura de même qu’un nombre fini de formes ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $D$, dans lesquelles $a$ n’est ni $=0$ ni $>{\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{\pm D}}$, $b''^{2}-aa'=A'',$ ni $=0$, ni $>{\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D^{2}}}$, $b''$ non plus grand que ${\frac {1}{2}}a$, $ab-b'b''=B$ et $a'b'-bb''=B'$ non plus grands que ${\frac {1}{2}}A''$. Car le nombre des combinaisons des valeurs de $a$, $b''$, $A''$, $B$, $B'$ sera nécessairement fini, et en les supposant déterminés, les autres coefficiens $a'$, $b$, $b'$, $a''$ de la forme et les coefficiens $A=b^{2}-a'a''$, $A'=b'^{2}-aa''$, $B''=a''b''-bb'$ de la forme adjointe seront déterminés par les équations

$a'={\frac {b''^{2}-A''}{a}}$, —$A'={\frac {B^{2}-aD}{A''}}$, —$A={\frac {B'^{2}-a'D}{A''}}$, —$B''={\frac {BB'+b''D}{A''}},$

$b={\frac {AB-B'B''}{D}}=-{\frac {Ba'+B'b''}{A''}}$,

$b'={\frac {A'B'-BB''}{D}}=-{\frac {Bb''+B'a}{A''}}$,

$a''={\frac {b'^{2}-A'}{a}}={\frac {b^{2}-A}{a'}}={\frac {bb'+B''}{b''}}$

Maintenant, comme toutes ces formes s’obtiennent en choisissant parmi toutes les combinaisons de $a$, $b''$, $A''$, $B$, $B'$ celles qui donnent des valeurs entières pour $a'$, $a''$, $b$, $b'$, leur nombre sera nécessairement fini.

III. Toutes les formes dont nous venons de parler (I et II) constituent un nombre de classes qui sera moindre que celui de ces formes, s’il s’en trouve parmi elles d’équivalentes. Or comme il suit de l’analyse précédente que toute forme ternaire de déterminant $D$ est nécessairement équivalente à l’une de ces formes, les classes qu’elles déterminent renfermeront toutes les formes de déterminant $D$, c’est-à-dire que toutes les formes de déterminant $D$ peuvent se distribuer en un nombre fini de classes.

277. Les règles par lesquelles toutes les formes de I et II peuvent se former, suivent naturellement de ce qui a été dit dans l’article précédent 3 ainsi il suffira d’en donner quelques exemples.

Pour $D=1$, les formes (I) produisent les six suivantes, par l’ambiguïté des signes, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&\pm 1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ; dans les formes II, $a$ et $A''$ ne peuvent avoir d’autres valeurs que $+1$ et $-1$, et pour les quatre combinaisons qui en résultent, $b''$, $B$ et $B'$ doivent être posés $=0$, ce qui donne les quatre formes ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$.

De même, pour $D=-1$, il y a six formes (I)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&-1,&0\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&-1,&\pm 1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et quatre formes (II)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$.

Pour $D=2$, il y a six formes (I)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&\pm 1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}},\end{array}}$ et huit formes (II)…${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-2,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&2,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&2,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-2,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$

Au reste, le nombre de classes est dans ces trois cas beaucoup moindre que le nombre des formes. En effet, on s’assure facilement

1^o. Que la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&-1\\0,&\pm 1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, par les substitutions

$1$,	$0$,	$0$ ; -	$0$,	$1$,	$0$ ; -	$0$,	$0$,	$-1$	……-	$0$,	$0$,	$1$ ; -	$0$,	$1$,	$-1$ ; -	$\pm 1$,	$1$,	$0$-
$0$,	$0$,	$1$ ; -	$0$,	$1$,	$1$ ; -	$\pm 1$,	$-1$,	$-1$	……-	$1$,	$0$,	$-1$ ; -	$1$,	$1$,	$-1$ ; -	$0$,	$-1$,	$1$. -

La forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&1,&1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ par la seule permutation des indéterminées. Ainsi ces dix formes de déterminant $1$ se réduisent aux deux : ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&1,&0\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ; pour la première, on peut, si l’on veut, prendre la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Or la première forme étant indéfinie et la seconde définie, il s’ensuit que toute forme ternaire indéfinie de déterminant $1$ équivaut à la forme $x^{2}+2yz$ et toute forme définie, à la forme $-x^{2}-y^{2}-z^{2}$.

2^o. On trouve absolument de la même manière, que toute forme ternaire indéfinie de déterminant $-1$ équivaut à la forme $-x^{2}+2yz$, et toute forme définie, à la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

3^o. Pour le déterminant $2$, on peut sur-le-champ rejeter des huit formes (II) la seconde, la sixième et la septième, qui proviennent de la première par la seule permutation des indéterminées ; par la même raison, la cinquième, qui naît de la troisième, et la huitième, qui naît de la quatrième. Les trois qui restent avec les six formes (I) déterminent trois classes ; en effet, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&+1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ par substitution $1,\ 0,\ 0\ ;\,0,\ 1,\ 0\ ;\,0,\ 0,\ -1$, et la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ en ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&1\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&1\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&-1\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&-1\\0,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&-1,&2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, par les substitutions respectives

$1$,	$0$,	$1$ ; -	$1$,	$2$,	$0$ ; -	$1$,	$1$,	$0$	……-	$1$,	$0$,	$-1$ ; -	$1$,	$2$,	$0$ ; -	$1$,	$1$,	$0$-
$1$,	$1$,	$0$ ; -	$1$,	$2$,	$-1$ ; -	$1$,	$1$,	$-1$	……-	$1$,	$0$,	$0$ ; -	$1$,	$2$,	$1$ ; -	$1$,	$1$,	$1$ -
$1$,	$0$,	$0$ ; -	$0$,	$1$,	$2$ ; -	$0$,	$1$,	$1$.

${\displaystyle }$
Ainsi toute forme ternaire de déterminant $2$ est réductible à l’une de ces trois : ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ; au lieu de la première on peut prendre la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}2,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Ainsi toute forme ternaire définie de déterminant $2$ équivaudra nécessairement à la troisième $-x^{2}-y^{2}-2z^{2}$ ; toute forme indéfinie à la première ou à la seconde. Elle équivaudra à la première $2x^{2}+2yz$, si le premier, le second et le troisième coefficient sont pairs tous les trois ; car il est clair qu’une telle forme se changera en une forme semblable par une substitution quelconque, et que partant elle ne peut pas être équivalente à la seconde. Enfin elle équivaudra à la seconde $x^{2}+y^{2}-2z^{2}$, si le premier, le second et le troisième coefficient ne sont pas pairs tous les trois ; car il est visible, par une raison semblable, qu’une telle forme ne peut se changer par aucune transformation, en la forme $2x^{2}+2yz$.

On pouvait donc prévoir dans les exemples des n^os 273, 274 que la forme définie ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}19,&21,&50\\15,&28,&1\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $-1$, se réduirait à la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ et la forme indéfinie ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&26,&2\\7,&0,&4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $2$ à $2x^{2}-2yz$ ou, ce qui revient au même, à $2x^{2}+2yz$.

278. Par une forme ternaire dont les indéterminées sont $x$, $x'$, $x''$, on peut représenter des nombres en donnant des valeurs déterminées à $x$, $x'$, $x''$, et des formes binaires par des substitutions de cette espèce : $x=mt+nu$, $x'=m't+n'u$, $z''=m''t+n''u$ ; $m$, $n$, $m'$, etc. désignant des nombres déterminés, $t$ et $u$ les indéterminées de la forme binaire. Pour présenter d’une manière complète la théorie des formes ternaires, il faudrait donner la solution des problèmes suivans.

1^o . Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme ternaire donnée.

2^o . Trouver toutes les représentations d’une forme binaire donnée par une forme ternaire donnée.

3^o . Distinguer si deux formes ternaires données sont équivalentes ou non y et dans le premier cas, trouver toutes les transformations de l’une en l’autre.

4^o. Distinguer si une forme donnée renferme ou non une autre forme ternaire donnée ; et dans le premier cas, trouver toutes les transformations de la première en la seconde.

Nous traiterons plus en détail dans un autre lieu, ces problèmes qui sont bien plus difficiles que leurs analogues dans la théorie des formes binaires ; nous nous bornerons ici à faire voir comment le premier problème peut se réduire au second, et le second au troisième, nous donnerons la solution du troisième pour quelques-uns des cas les plus simples, et qui peuvent éclairer la théorie des formes binaires. Mais nous excluons absolument le quatrième problème.

279. Lemme. Étant proposés trois nombres entiers quelconques $a$, $a'$, $a''$ qui cependant ne soient pas tous $=0$, trouver six autres nombres $B$, $B'$, $B''$, $C$, $C'$, $C''$, tels qu’on ait $B'C''-B''C'=a$, $B''C-BC''=a'$, $BC'-B'C=a''$.

Soit $\alpha$ le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $a'$, $a''$, et les nombres entiers $A$, $A'$, $A''$, tels que l’on ait $Aa+A'a'+A''a''=\alpha$. Prenons à volonté trois nombres entiers $\Gamma$, $\Gamma '$, $\Gamma ''$, avec cette seule condition que les trois nombres $\Gamma 'A''-\Gamma ''A'$, $\Gamma ''A'-\Gamma A''$, $\Gamma A'-\Gamma 'A$ que nous représenterons par $b$, $b'$, $b''$, et leur plus grand commun diviseur par $\beta$, ne soient pas tous $=0$. Posant alors $a'b''-a''b'=\alpha \beta C$, $a''b'-ab''=\alpha \beta C'$, $ab'-a'b=\alpha \beta C''$, il est clair que $C$, $C'$, $C''$ sont entiers. Et si l’on prend des nombres entiers $K$, $K'$, $K''$ tels que $Kb+K'b'+K''b''=\beta$, en posant $Ka+K'a'+K''a''=\alpha h$, et prenant $B=\alpha k-hA$, $B'=\alpha k'-hA'$, $B''=\alpha k''-hA''$, les valeurs de $B$, $B'$, $B''$, $C$, $C'$, $C''$ satisfont aux équations proposées.

En effet, on trouve $aB+a'B'+a''B''=0$, $bA+b'A'+b''A''=0$, d’où $bB+b'B'+b''B''=\alpha \beta$. Or des valeurs de $C'$, $C''$, on tire

	$\alpha \beta (B'C''-B''C')$
$=$	$ab'B'-a'bB'-a''bB''+ab''B''$
$=$	$a(bB+b'B'+b''B'')-b(aB+a'B'+a''B'')$
$=$	$a\alpha \beta$ ;

donc $B'C''-B''C'=0$ ; de même $B''C-BC''=a'$, $BC'-B'C=a''$.

Nous sommes forcés au reste de supprimer ici l’analyse qui a conduit à cette solution, ainsi que la méthode par laquelle on déduit toutes les solutions d’une seule.

280. Supposons que la forme binaire $at^{2}+2btu+cu^{2}=\varphi$ dont le déterminant $=D$, soit représentée par la forme ternaire $f$ dont les indéterminées sont $x$, $x'$, $x''$, en posant $x=mt+nu$, $x'=m't+n'u$, $x''=m''t+n''u$, et que la forme $F$ dont les indéterminées sont $X$, $X'$, $X''$, soit adjointe à $f$. On s’assure facilement par le calcul, ou comme conséquence du n^o 268, 2^o , que le nombre $D$ est représenté par la forme $F$, en posant $X=m'n''-m''n'$, $X'=m''n-mn''$, $X''=mn'-m'n$ ; nous dirons que cette représentation est adjointe à la représentation de la forme $\varphi$ par la forme $f$. Si les valeurs de $X$, $X'$, $X''$ n’ont pas de commun diviseur, nous appellerons pour abréger, cette représentation propre, et dans le cas contraire, impropre ; et nous transporterons aussi ces dénominations à la représentation de $\varphi$ par $f$.

Or la recherche de toutes les représentations du nombre $D$ par la forme $F$, s’appuie sur les considérations suivantes :

1^o . Il n’y a aucune représentation du nombre $D$ par $F$ qui ne puisse se déduire de la représentation d’une certaine forme binaire de déterminant $D$ par la forme $f$, c’est-à-dire, qui ne soit adjointe à une telle représentation.

Soit en effet $X=L$, $X'=L'$, $X''=L''$ une représentation quelconque de $D$ par $F$ ; on déterminera par le lemme précédent, les nombres $m$, $m'$, $m''$, $n$, $n'$ $n''$, tels que l’on ait $m'n''-m''n'=L$, $m''n'-mn''=L'$, $mn'-m'n=L''$ ; et alors en représentant par $\varphi =at^{2}+2btu+cu^{2}$, la forme binaire en laquelle $f$ se change par la substitution

$x=mt+nu$, ——$x'=m't+n'u$, ——$x''=m''t+n''u,$

on voit facilement que $D$ sera le déterminant de la forme $\varphi$, et que la représentation de $D$ par $F$ sera adjointe à celle de $\varphi$ par $f$.

Exemple. Soit $f=x^{2}+x'^{2}+x''^{2}$, et partant, $F=-X^{2}-X'^{2}-X''^{2}$, $D=-209$ : le nombre $-209$ sera représenté par $F$, en faisant $X=1$, $X'=8$, $X''=12$, on trouve pour les nombres $m$, $m'$, $m''$, $n$, $n'$, $n''$, les valeurs $-20$, $1$, $1$, $-12$, $0$, $1$ respectivement, et $\varphi =402t^{2}+482tu+145u^{2}.$

2^o . Si $\varphi$, $\chi$ sont des formes binaires proprement équivalentes, toute représentation de $D$ par $F$ adjointe à une représentation de $\varphi$ par $f$, sera aussi adjointe à une représentation de $\chi$ par $f$.

Soient $p$, $q$ les indéterminées de la forme $\chi$ ; supposons que $\varphi$ se change en $\chi$ par la substitution propre $t=\alpha p+\beta q$, $u=\gamma p+\delta q$, et que la forme $\varphi$ soit représentée par $f$, en faisant

$x=mt+nu$, ——$x'=m't+n'u$, ——$x''=m''t+n''u$……(R)

On voit sans peine que si l’on fait

$\alpha m+\gamma n=g$,——	$\alpha m'+\gamma n'=g'$,——	$\alpha m''+\gamma n''=g''$,
$\beta m+\delta n=h$,——	$\beta m'+\delta n'=h'$,——	$\beta m''+\delta n''=h''$,

la forme $\chi$ sera représentée par $f$, en posant

$x=gp+hq$, ——$x'=g'p+h'q$, ——$x''=g''p+h''q$……(R')

et l’on trouve $g'h''-h'g''=m'n''-m''n'$, $g''h-gh''=m''n-mn''$, $gh'-g'h=mn'-m'n$, en observant que $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. Donc la même représentation de $D$ par $F$ est adjointe aux représentations $R$ et $R'$.

Ainsi, dans l’exemple précédent on trouve que la forme $\varphi$ équivaut à la forme $\chi =13p^{2}-10pq+18q^{2}$, en laquelle elle se change par la substitution propre $t=-3p+q$, $u=5p-2q$ ; de là on trouve pour la représentation de $\chi$ par $f$ : $x=4q$ $x'=-3p+q$, $x''=2p-q$, qui donne pour le nombre $-209$ la représentation dont nous étions partis.

3^o . Si deux formes $\varphi$, $\chi$ de déterminant $D$, dont les indéterminées sont $t,$ $u\ ;$ $p,$ $q$ peuvent être représentées par $f$, et que la même représentation de $D$ par $F$ soit à-la-fois adjointe à une représentation de $\varphi$ par $f$, et à une représentation de $\chi$ par $f$ ; ces deux formes seront nécessairement équivalentes.

Supposons que $\varphi$ soit représentée par la forme $f$, en faisant $x=mt+nu,$ $x'=m't+n'u,$ $x''=m''t+n''u,$ et $\chi$ en faisant $x=gp+hq,$ $x'=g'p+h'q,$ $x''=g''p+h''q.$ Supposons en outre qu’on ait

$m'n''-m''n'$	——$=g'h''-g''h'$——	$=L$,
$m''n-mn''$	——$=g''h-gh''$——	$=L'$,
$mn'-m'n$	——$=gh'-g'h$——	$=L''$,

on prendra les nombres entiers $l$, $l'$, $l''$ tels que l’on ait $Ll+L'l'+L''l''=1$, on fera

$n'l''-n''l'=M$,	——$n''l-nl''=M'$,——	$nl'-n'l=M''$,
$l'm''-l''m'=N$,	——$l''m-lm''=N'$,——	$lm'-l'm=N''$,

$gM+g'M'+g''M''=\alpha$,	——$hM+h'M'+h''M''=\beta$,
$gN+g'N'+g''N''=\gamma$,	——$hN+h'N'+h''N''=\delta$ ;

on déduit facilement de là

$\alpha m+\gamma n$	$=g-l(gL+g'L'+g''L'')$	$=g$	………
$\beta m+\delta n$	$=h-l(hL+h'L'+h''L'')$	$=h$.

On trouve de même $\alpha m'+\gamma n'=g'$, $\beta m'+\delta n'=h'$, $\alpha m''+\gamma n''=g''$, $\beta m''+\delta n''=h''$ ; il suit de là que $mt+nu$, $m't+n'u$, $m''t+n''u$ se changent en $gp+hq$, $g'p+h'q$, $g''p+h''q$ par la substitution $t=\alpha p+\beta q$, $u=\gamma p+\delta q$……(S). D’où il résulte que $\varphi$ se change par la substitution S, en la même forme en laquelle $f$ se change en posant $x=gp+hq$, $x'=g'p+h'q,$ $x''=g''p+h''q$, c’est-à-dire en $\chi$, et que partant $\varphi$ est équivalente à $\chi$. D’ailleurs on trouve $\alpha \delta -\beta \gamma =Ll+L'l'+L''l''=1$ ; donc la substitution S est propre, et les formes $\varphi$, $\chi$ sont proprement équivalentes.

On tire de ce qui précède les règles suivantes pour trouver toutes les représentations propres de $D$ par $F$. On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant $D$, et l’on prendra à volonté une forme dans chaque classe ; on cherchera toutes les représentations propres par $f$ de ces différentes formes (en rejetant celles qui ne pourraient pas se représenter par $f),$ et de ces différentes représentations, on déduira celles du nombre $D$ par la forme $F$. Il est évident (1^o. et 2^o.) que de cette manière on aura toutes les représentations possibles, et qu’ainsi la solution est complète ; et qu’en outre (3^o.) les transformations des formes prises dans des classes différentes, produisent nécessairement des représentations différentes.

281. La recherche des représentations impropres d’un nombre donné $D$ par une forme $F$, se ramène facilement au cas précédent. En effet, il est évident que si $D$ n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura aucune représentation de cette espèce ; mais si les quarrés $\lambda ^{2}$, $\mu ^{2}$, $\nu ^{2}$ sont diviseurs de $D$, toutes les représentations de $D$ par $F$ s’obtiendront, en cherchant toutes les représentations propres des nombres ${\frac {D}{\lambda ^{2}}}$, ${\frac {D}{\mu ^{2}}}$, ${\frac {D}{\nu ^{2}}}$, etc. par la forme $F$, et en multipliant les valeurs des indéterminées par $\lambda$, $\mu$, $\nu$, etc. respectivement.

Ainsi la recherche de toutes les représentations d’un nombre donné par une forme ternaire donnée, qui est adjointe à une autre forme ternaire, dépend du second problème ; et l’on peut ramener de la manière suivante tous les cas à celui-là, qui paraît n’être qu’un cas très-particulier. Soit $D$ un nombre à représenter par la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}g,&g',&g''\\h,&h',&h''\\\end{pmatrix}},\end{array}}$ dont le déterminant $=\Delta$, et qui a pour adjointe la forme${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}G,&G',&G''\\H,&H',&H''\\\end{pmatrix}}\ ;\end{array}}$ cette dernière aura pour adjointe la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}\Delta g,&\Delta g',&\Delta g''\\\Delta h,&\Delta h',&\Delta h''\\\end{pmatrix}}=F,\end{array}}$ et il est clair que les représentations du nombre $\Delta D$ par $F$ qu’on peut trouver par la méthode précédente, sont identiques avec les représentations du nombre $D$ par la forme proposée. On voit au reste que si les coefficiens de la forme $f$ ont $\mu$ pour commun diviseur, tous ceux de $F$ seront divisibles par $\mu ^{2}$, et parconséquent $\Delta D$, sans quoi il n’y aurait aucune représentation ; les représentations du nombre $D$ par la forme proposée coïncident avec les représentations du nombre ${\frac {\Delta D}{\mu ^{2}}}$ par la forme qui naît de $F$ en divisant les différens coefficiens par $\mu ^{2}$, et cette forme sera adjointe à celle qui naît de $f$ en divisant les différens coefficiens par $\mu$.

Enfin observons que cette solution du premier problème n’est pas applicable au cas où $D=0$, car alors les formes de déterminant $D$ ne peuvent pas se distribuer en un nombre fini de classes ; nous résoudrons plus bas ce cas particulier par une méthode différente.

282. La recherche des représentations d’une forme binaire donnée de déterminant qui n’est pas $=0$, par une forme ternaire donnée, dépend des observations suivantes :

I. De toute représentation propre d’une forme binaire $(p,q,r)=\varphi$ de déterminant $D$ par une forme ternaire $f$ de déterminant $\Delta$, on peut déduire des nombres entiers $B$, $B'$ tels qu’on ait $B^{2}\equiv \Delta p$, $BB'\equiv -\Delta q$, $B'^{2}\equiv \Delta r{\pmod {D}}$, et partant une expression de ${\sqrt {\Delta (p,-q,r)}}{\pmod {D}}$.

Soit en effet $x=\alpha t+\beta u$, $x'=\alpha 't+\beta 'u$, $x''=\alpha ''t+\beta ''u$, une représentation propre de la forme $\varphi$ par $f$ ; $x$, $x'$, $x''$ ; $t$, $u$ étant les indéterminées des formes $f$, $\varphi$. On prendra des nombres entiers $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, tels que

$(\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ')\gamma +(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')\gamma '+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\gamma ''=k=\pm 1.$

Soit ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ la forme en laquelle $f$ se change par la

substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

et ${\begin{array}{l}G={\begin{pmatrix}A,&A',&A''\\B,&B',&B''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ la forme adjointe à $g$. Alors il est évident qu’on aura $a=p$, $b''=q$, $a'=r$, $A''=D$ et que $\Delta$ sera le déterminant de la forme $g$, d’où

$B^{2}=\Delta p+A'D$, —$BB'=-\Delta q+B''D$, —$B'^{2}=\Delta r+AD.$

Ainsi, par exemple, la forme $19t^{2}+6tu+41u^{2}$ se représente par la forme $x^{2}+x'^{2}+x''^{2}$, en posant $x=3t+5u$, $x'=3t-4u$, $x''=t$ ; d’où, en faisant $\gamma =-1$, $\gamma '=1$, $\gamma ''=0$, on trouve $B=-171$, $B'=27$, ou $(-171,27)$ pour une valeur de l’expression ${\sqrt {-1(19,-3,41)}}{\pmod {770}}.$

Il suit de là que si $\Delta (p,-q,r)$ n’est pas résidu quadratique de $D$, $\varphi$ ne peut être représenté proprement par aucune forme ternaire de déterminant $\Delta$. Ainsi, dans le cas où $\Delta$ et $D$ sont premiers entre eux, $\Delta$ doit être le nombre caractéristique de la forme $\varphi$.

II. Comme $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières, il en résultera différentes valeurs pour $B$, $B'$, et nous allons chercher quelle relation elles ont entre elles. Supposons que $\delta$, $\delta '$, $\delta ''$ soient aussi tels que

$(\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ')\delta +(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')\delta '+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\delta ''=k',$

$k'$ pouvant être $+1$ et $-1$, et que la forme $f$ se change, par la substitution

$\alpha ,\,\beta ,\,\delta \,;\quad \alpha ',\,\beta ',\,\delta '\,;\quad \alpha '',\,\beta '',\,\delta '',$

en la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}m,&m',&m''\\n,&n',&n''\\\end{pmatrix}}=h\end{array}}$, dont l’adjointe est ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}M,&M',&M''\\N,&N',&N''\\\end{pmatrix}}=H\end{array}}$ ; alors $g$ et $h$ seront équivalentes ainsi que $G$ et $H$ ; et par l’application des principes des n^os 169 et 170, on trouvera que la forme $H$ se change en la forme $G$ par la substitution

$k$, $0$, $0$ ; ——$0$, $k$, $0$ ;—— $\zeta$, $\eta$, $k,$

en faisant

$(\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma ')\delta +(\beta ''\gamma -\beta \gamma '')\delta '+(\beta \gamma '-\beta '\gamma )\delta ''$	$=\zeta$,
$(\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha ')\delta +(\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ')\delta '+(\gamma \alpha '-\gamma '\alpha )\delta ''$	$=\eta$.

On tirera de là $B=\eta k'+kk'N$, $B'=\zeta k'D+kk'N'$, et partant, comme $kk'=\pm 1$, $B\equiv N$, $B'\equiv N'$, ou $B\equiv -N$, $B'\equiv -N'{\pmod {D}}$. Dans le premier cas, les valeurs de $(B,B')$, $(N,N')$ seront dites équivalentes ; dans le second, opposées. Nous dirons aussi d’une représentation de la forme $\varphi$, qu’elle appartient à la valeur de ${\sqrt {\Delta (p,-q,r)}}$, lorsqu’on peut l’en déduire par la méthode (I). Ainsi toutes les valeurs auxquelles appartient la même représentation sont équivalentes ou opposées.

III. Réciproquement, si une représentation de $\varphi$ par $f$ est $\alpha t+\beta u$, etc., et appartient à la valeur $(B,B')$, qu’on en déduit à l’aide de la transformation

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

elle appartiendra à toute autre valeur $(N,N')$ qui lui sera équivalente ou opposée ; c’est-à-dire, qu’au lieu des nombres $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, on pourra prendre d’autres nombres $\delta$, $\delta '$, $\delta ''$, pour lesquels l’équation

$(\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ')\delta +(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')\delta '+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\delta ''=\pm 1$……Ω

ait lieu, et tels que les coefficiens $4$ et $5$ de la forme adjointe à celle en laquelle $f$ se change par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\delta$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\delta '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\delta '',$

soient respectivement égaux à $N$, $N'$. Soit, en effet, $\pm B=N+\eta D$, $\pm B'=N'+\zeta D$, en prenant ici et après les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que les valeurs $(B,B')$, $(N,N')$ sont équivalentes ou opposées, $\zeta$, $\eta$ seront entiers, et si la forme $g$ se change par la substitution

$1$, $0$, $\zeta$ ; ——$0$, $1$, $\eta$ ;—— $0$, $0$, $\pm 1,$

en la forme $h$. On verra sans peine que le déterminant de $h$ est $\Delta$, et que les coefficiens $4$ et $5$ de sa forme adjointe sont $N$, $N'$. Or en faisant

$\alpha \zeta +\beta \eta \pm \gamma =\delta$, -$\alpha '\zeta +\beta '\eta \pm \gamma '=\delta '$,- $\alpha ''\zeta +\beta ''\eta \pm \gamma ''=\delta '',$

on verra sans peine que $f$ se change en $h$ par la substitution S, et que l’équation ${\displaystyle }$ est satisfaite.

283. On déduit de ces principes la méthode suivante, pour trouver toutes les représentations de la forme binaire $\varphi =pt^{2}+2qtu+ru^{2}$ de déterminant $D$, par la forme ternaire $f$ de déterminant $\Delta$.

I. On cherchera toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, non équivalentes de l’expression ${\sqrt {\Delta (p,-q,r)}}{\pmod {D}}$. Ce problème a déjà été résolu (n^o 233) pour le cas où $\Delta$ est premier avec $D$, et où la forme $(p,-q,r)$ est primitive, et les autres cas se ramènent très-facilement à celui-là. La nécessité d’abréger ne nous permet cependant pas d’insister davantage sur ce sujet. Observons seulement que lorsque $\Delta$ est premier avec $D$, l’expression $\Delta (p,-q,r)$ ne peut être résidu quadratique de $D$, à moins que $\varphi$ ne soit une forme primitive : supposons en effet

$\Delta p=B^{2}-DA',\quad -\Delta q=BB'-DB'',\quad \Delta r=B'^{2}-DA\,;$

on en déduit $(DB''-\Delta q)^{2}=(DA'+\Delta p)(DA+\Delta r)$, ou en développant et remplaçant $D$ par $q^{2}-pr$,

$(q^{2}-pr)(B''^{2}-AA')-\Delta (Ap+2B''q+A'r)+\Delta ^{2}=0.$

Si donc $p$, $q$, $r$ avaient un commun diviseur, ce diviseur diviserait $\Delta ^{2}$, et parconséquent $\Delta$ ne pourrait pas être premier avec $D$. Ainsi $\varphi$ sera une forme primitive.

II. Désignons par $m$ le nombre de ces valeurs, et supposons qu’il s’en trouve $n$ opposées à elles-mêmes. Alors il est évident que parmi les $m-n$ qui restent, chacune aura nécessairement son opposée, car nous supposons qu’on a toutes les valeurs non équivalentes. De chaque couple de valeurs opposées, on en rejettera une à volonté, et il en restera en tout ${\frac {1}{2}}(m+n)$. Ainsi, par exemple, des huit valeurs de l’expression ${\sqrt {-1(19,3,41)}}{\pmod {770}}$ qui sont : $(39,237)$, $(171,-27)$, $(269,-23)$, $(291,-127)$, $(-39,-237)$, $(-171,27)$, $(-269,83)$, $(-291,127)$, les quatre dernières sont à rejeter, comme opposées aux quatre premières. Au reste, il est aisé de voir que si $(B,B')$ est une valeur opposée à elle-même, $2B$, $2B'$ et partant $2\Delta p$, $2\Delta q$, $2\Delta r$ sont divisibles par $D$ ; donc dans le cas où $A$ et $D$ sont premiers entre eux, il faudrait que $2p$, $2q$, $2r$ fussent divisibles par $D$, et comme dans ce cas (I) les nombres $p$, $q$, $r$ n’ont pas de diviseur commun, $2$ doit être divisible par $D$, et partant la chose ne peut avoir lieu que pour$D=\pm 1$, ou $D=\pm 2$. Donc si $\Delta$ est premier avec $D$, on aura $n=0$ pour les valeurs de $D$ plus grandes que $2$.

III. Cela fait, il est évident que toute représentation propre de la forme $\varphi$ par $f$ appartient nécessairement à quelqu’une des ${\frac {m+n}{2}}$ valeurs restantes et à une seule ; ainsi il faut parcourir ces différentes valeurs, et chercher les représentations qui appartiennent à chacune d’elles.

Pour trouver les représentations qui appartiennent à une valeur donnée $(B,B')$, il faut déterminer d’abord une forme ternaire ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ dont le déterminant soit $\Delta$, et dans laquelle on ait $a=p$, $b''=q$, $a'=r$, $ab-b'b''=B$, $a'b'-bb''=B'$ ; les valeurs de $b$, $b'$, $a''$ se déduisent de là, à l’aide des équations du n^o 276, II, par lesquelles on voit facilement que lorsque $D$ et $\Delta$ sont premiers entre eux, les nombres $b$, $b'$, $a''$ sont nécessairement entiers ; puisque les produits de ces nombres par $D$ et $\Delta$ sont des nombres entiers ; mais en général si l’un de ces trois nombres se trouve fractionnaire, ou si les formes $f$, $g$ ne sont pas équivalentes, il n’y aura aucunes représentations de $\varphi$ par $f$ appartenantes à la valeur $(B,B')$, mais si $b$, $b'$, $a''$ sont entiers et que les formes $f$, $g$ soient équivalentes, toute transformation de $f$ en $g$, comme

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

donne une représentation telle que $x=\alpha t+\beta u$, $x'=\alpha 't+\beta 'u$, $x''=\alpha ''t+\beta ''u$ ; et de cette manière il n’y a aucune représentation qui ne puisse se déduire d’une transformation. Ainsi la partie du second problème, relative aux représentations propres, est ramenée au troisième problème.

IV. Au reste, les différentes transformations de $f$ en $g$ produisent toujours des représentations différentes, excepté le seul cas où $(B,B')$ est une valeur opposée à elle-même, dans lequel deux transformations ne donnent qu’une seule représentation. Supposons, en effet, que $f$ se change aussi en $g$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\delta$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\delta '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\delta '',$

qui donne la même représentation que la précédente, et désignant par $k$, $k'$, $\zeta$, $\eta$ les mêmes nombres qu’en II, n^o précédent, on aura $B=kk'B+\eta k'D$, $B'=kk'B'+\zeta k'D$, si donc chacun des nombres $k$, $k'=+1$ ou $-1$, on aura $\eta =0$, $\zeta =0$, d’où l’on déduit facilement $\delta =\gamma$, $\delta '=\gamma '$, $\delta ''=\gamma ''$. Ainsi ces deux transformations ne pourront être différentes que dans le cas où l’un des nombres $k$, $k'$ est $+1$ et l’autre $-1$. Or alors $B\equiv -B'$, $B'\equiv -B'{\pmod {D}}$, c’est-à-dire que la valeur $(B,B')$ est opposée à elle-même.

V. Il suit facilement de ce que nous avons dit (n^o 271) sur les caractères des formes définies et indéfinies, que si $\Delta$ est positif, $D$ négatif et $\varphi$ une forme négative, $g$ est une forme définie négative, et que si $\Delta$ est positif et $D$ positif ou négatif, mais $\varphi$ une forme positive, $g$ est une forme indéfinie. Or comme $f$, $g$ ne peuvent être équivalentes, à moins qu’à cet égard elles ne soient semblables, il est évident que des formes binaires de déterminant positif et les formes positives ne peuvent être représentées proprement par une forme ternaire, indéfinie de déterminant positif, et que par une forme ternaire de la première ou de la deuxième espèce, on ne peut représenter que des formes binaires de la deuxième ou de la première respectivement. On peut conclure de la même manière, que par une forme ternaire définie de déterminant négatif (qui est positive), on ne peut représenter que des formes binaires positives, et par une forme ternaire indéfinie de déterminant négatif, que des formes binaires négatives et des formes de déterminant positif.

284. Comme les représentations impropres d’une forme binaire $\varphi$ de déterminant $D$, par une forme ternaire $f$ qui a pour adjointe $F$, sont celles d’où l’on déduit les représentations impropres du nombre $D$ par la forme $F$, il est évident que $\varphi$ ne peut être représenté improprement par $f$, à moins que $D$ n’ait des diviseurs quarrés. Supposons que les différens diviseurs quarrés de $D$, non compris $1$, soient $e^{2}$, $e'^{2}$, $e''^{2}$, etc., dont le nombre sera toujours fini puisque $D$ ne peut pas être $=0$, toute représentation impropre de $\varphi$ par $f$ donnera une représentation du nombre $D$ par $F$, dans laquelle les valeurs des indéterminées auront pour plus grand commun diviseur l’un des nombres $e$, $e'$, $e''$, etc. Par cette raison, nous dirons, pour abréger, que toute représentation impropre de la forme $\varphi$ dépend du diviseur quarré $e^{2}$, ou $e'^{2}$, ou $e''^{2}$, etc. qui lui correspond. Or toutes les représentations de la forme $\varphi$ dépendantes d’un diviseur quarré $e^{2}$, dont nous supposons la racine $e$ prise positivement, se trouvent de la manière suivante. De la démonstration synthétique que nous en donnons, pour abréger, on pourra facilement déduire l’analyse qui nous y a conduits.

1^o . On cherchera toutes les formes binaires de déterminant ${\frac {D}{e^{2}}}$ qui se changent en la forme $\varphi$ par la substitution $T=\kappa t+\lambda u$, $U=\mu u$, $T$ et $U$ désignant les indéterminées d’une telle forme, $t$, $u$ les indéterminées de la forme $\varphi$ ; $\kappa$, $\mu$ des entiers positifs dont le produit est parconséquent $=e$, $\lambda$ un entier positif moindre que $\mu$, ou zéro. Ces formes, ainsi que les transformations qui leur répondent, se trouvent ainsi qu’il suit :

On égalera successivement $\kappa$ aux différens diviseurs positifs de $e$, y compris $1$ et $e$, l’on fera $\mu ={\frac {e}{\kappa }}$ ; pour chacune des valeurs déterminées de $\kappa$, $\mu$, on donnera à $\lambda$ toutes les valeurs entières depuis $0$ jusqu’à $\mu -1$, et l’on aura certainement toutes les transformations. Or la forme qui se change en $\varphi$ par la substitution $T=\kappa t+\lambda u$, $U=\mu u$, se trouve en cherchant la forme en laquelle $\varphi$ se change par la substitution $t={\frac {T}{\kappa }}-{\frac {\lambda U}{e}}$, $u={\frac {U}{\mu }}$, et l’on obtiendra les formes qui répondent à chacune des transformations ; mais il ne faudra conserver que celles dont les trois coefficiens sont entiers^[1].

2^o . Soit $\Phi$ une de ces formes qui se change en $\varphi$ par la substitution $T=\kappa t+\lambda u$, $U=\mu u$ ; on cherchera toutes les représentations propres de $\Phi$ par $f$, s’il en existe ; supposons-les représentées indéfiniment par

$x=AT+BU$, —$x'=A'T+B'U$, —$x''=A''T+B''U$……(P) ;

en substituant dans ces formules les valeurs de $T$, $U$, on en déduit les suivantes :

$x=\alpha t+\beta u$, $x'=\alpha 't+\beta 'u$, $x''=\alpha ''t+\beta ''u$……(Q),

dans lesquelles on a de même

$\alpha =\kappa A$,	—	$\alpha '=\kappa A'$,	—	$\alpha ''=\kappa A''$,
$\beta =\lambda A+\mu B$,		$\beta '=\lambda A'+\mu B'$,		$\beta ''=\lambda A''+\mu B''$	……(R)

On traitera de la même manière les autres formes, s’il y en a plusieurs, et je dis qu’on aura ainsi toutes les représentations de la forme $\varphi$ dépendantes du diviseur quarré $e^{2}$.

I. Nous ne nous arrêterons pas à prouver que $f$ se change en $\varphi$ par la substitution (Q), cette partie de la proposition étant évidente ; mais on déduit des valeurs de $\alpha$, $\alpha '$, etc.

$\alpha '\beta ''$	$-$ $\alpha ''\beta '$	$=(A'B''-A''B')e$,
$\alpha ''\beta$	$-$ $\alpha \beta ''$	$=(A''B-AB'')e$,
$\alpha \beta '$	$-$ $\alpha '\beta$	$=(AB'-A'B)e$,

et comme (P) est une représentation propre, il s’ensuit que le plus grand commun diviseur de ces trois nombres est $e$, et que la représentation (Q) dépend du diviseur $e^{2}$.

II. Nous allons maintenant faire voir que de toute représentation donnée de la forme $\varphi$, on peut déduire une représentation propre d’une forme de déterminant ${\frac {D}{e^{2}}}$ contenue parmi les formes trouvées par la première règle ; c’est-à-dire, que des valeurs données de $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, on peut déduire des valeurs entières de $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ qui satisfassent aux conditions prescrites, et des valeurs de $A$, $B$, $A'$, $B'$, $A''$, $B''$ qui satisfassent aux équations (R), et cela d’une seule manière. Il est clair d’abord par les trois premières équations (R), que l’on doit prendre pour $\kappa$ le plus grand commun diviseur des nombres $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$ pris positivement, puisque $A'B''-A''B'$, $A''B-AB''$, $AB'-A'B$ ne devant pas avoir de diviseur commun $A$, $A'$, $A''$ n’en auront pas non plus. Donc $A$, $A'$, $A''$ seront déterminés, ainsi que $\mu$, qui doit être égal à ${\frac {e}{\kappa }}$, et sera nécessairement un nombre entier. Soient trois nombres entiers $k$, $k'$, $k''$, tels qu’on ait $kA+k'A'+k''A''=1$, les trois dernières équations
(R) donnent, en faisant $kB+k'B'+k''B''=m$,

$k\beta +k'\beta '+k''\beta ''=\lambda +m\mu ,$

d’où il suit qu’il n’y a qu’une seule valeur de $\lambda$ comprise entre $0$ et $\mu -1$ ; les valeurs de $B$, $B'$, $B''$, sont alors déterminées, et il ne reste qu’à démontrer qu’elles sont entières. Or on aura

$B$	$={\frac {1}{\mu }}(\beta -A\lambda )$
	$={\frac {1}{\mu }}\{\beta (1-kA)$	$-A(k'\beta '+k''\beta '')\}$	$+Am$
	$={\frac {1}{\mu }}\{k''(A''\beta -A\beta '')$	$-k'(A\beta '-A'\beta )\}$	$+Am$
	$={\frac {1}{e}}\{k''(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')$	$-k'(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\}$	$+Am$.

Donc $B$ est nécessairement entier. On le démontrera de même pour $B'$, $B''$. Il suit de ces raisonnemens qu’il n’y a aucune représentation impropre de $\Phi$ par $f$ dont on ne puisse déduire une représentation propre d’une forme par $f$, et dont on puisse en déduire plusieurs. Donc la méthode précédente donnera toutes les représentations cherchées, et n’en donnera que de différentes.

En appliquant la même méthode aux autres diviseurs quarrés de $D$, on trouvera toutes les représentations impropres possibles de $\varphi$ par $f$.

Au reste, on voit aisément par cette solution, que le théorème énoncé à la fin du n^o précédent pour les représentations propres, a lieu également pour les représentations impropres, c’est-à-dire, qu’en général aucune forme binaire positive de déterminant négatif ne peut être représentée par une forme ternaire négative, etc. En effet, soit une forme $\varphi$, qui par ce théorème ne puisse être représentée proprement par $f$ ; les formes de déterminant ${\frac {D}{e^{2}}}$, ${\frac {D}{e'^{2}}}$, etc. qui renferment $\varphi$, ne pourront non plus être représentées par $f$, puisque leur déterminant sera affecté de même signe que celui de $\varphi$ ; et lorsque ces déterminans sont positifs, toutes les formes sont positives ou négatives, suivant l’espèce de la forme $\varphi$.

285. Nous ne pouvons placer ici que peu de détails sur les questions qui font, le sujet du troisième problème, auquel nous avons réduit les deux autres, c’est-à-dire sur la manière de juger si deux formes ternaires de même déterminant sont équivalentes, ou non ; et dans le premier cas, de trouver toutes les transformations de l’une en l’autre ; parceque la solution complète, telle que nous l’avons donnée pour les formes binaires, est sujette à beaucoup de difficultés. Aussi nous bornerons ici notre recherche à quelques cas particuliers pour lesquels nous avons fait cette digression.

I. Pour le déterminant $+1$, nous avons fait voir plus haut que toutes les formes ternaires se distribuent en deux classes, dont l’une contient toutes les formes indéfinies, et l’autre toutes les formes définies (négatives). Il suit de là que deux formes quelconques de déterminant $+1$ sont équivalentes si elles sont toutes deux définies ou toutes deux indéfinies, mais qu’elles ne le sont pas si l’une est indéfinie et l’autre définie. (Cette seconde partie de la proposition a lieu pour un déterminant quelconque). De la même manière, deux formes indéfinies de déterminant $-1$ sont équivalentes, si elles sont toutes deux définies ou toutes deux indéfinies. — Deux formes définies de déterminant $2$ seront toujours équivalentes ; deux formes indéfinies le seront aussi, à moins que dans l’une les trois premiers coefficiens ne soient pairs, et qu’ils ne les soient pas tous dans l’autre. — Nous pourrions donner plusieurs propositions particulières de la meme maniéré, si nous avions plus haut (n^o 277) calculé un plus grand nombre d’exemples.

II. On pourra aussi pour tous ces cas, $f$, $f'$ désignant deux formes ternaires équivalentes, trouver une transformation de l’une en l’autre. Car pour chaque classe nous avons assigné un assez petit nombre de formes, à l’une desquelles toute forme de cette classe peut être ramenée ; nous avons aussi appris à réduire toutes ces formes à une seule. Soit $F$ cette forme de la même classe que $f$, $f'$, on pourra par les moyens indiqués, trouver les transformations de $f$, $f'$ en $F$, et partant, de $F$ en $f$, $f'$. Ainsi par le n^o 270, on pourra déduire les transformations de $f$ en $f'$ et de $f$ en $f'$.

III. Ainsi il ne resterait plus qu’à montrer comment d’une seule transformation de $f$ en $f'$, on peut tirer toutes les transformations possibles ; ce problème dépend d’un autre plus simple qui consiste à trouver toutes les transformations de la forme $f$ en elle-même. En effet, si $f$ se change en elle-même par plusieurs substitutions (τ), (τ'), (τ''), etc., et en $f'$ par la substitution (t) , il est aisé de voir qu’en combinant par la méthode du n^o 270, la transformation (t) avec (τ), (τ') , (τ''), il en résulte des transformations par lesquelles $f$ se change en $f'$. En outre, on peut prouver facilement par le calcul, que toute transformation de $f$ en $f'$ peut se déduire de cette manière, de la combinaison de la transformation (t) de $f$ en $f'$ avec une, et une seule transformation de la forme $f$ en elle-même, et que parconséquent la combinaison de la transformation (t) avec les différentes transformations de $f$ en elle-même, donne toutes les transformations de $f$ en $f'$, et ne donnera qu’une fois chacune d’elles.

Nous bornerons ici notre recherche au cas où $f$ est une forme définie dont les coefficiens 4, 5, 6 sont $=0$^[2]. Soit donc ${\begin{array}{l}f={\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et représentons une substitution quelconque qui change $f$ en elle-même, par

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

on aura les équations

$a\alpha ^{2}$	$+a'\alpha '^{2}$	$+a''\alpha ''^{2}$	$=a$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	…… (ω)
$a\beta ^{2}$	$+a'\beta '^{2}$	$+a''\beta ''^{2}$	$=a'$
$a\gamma ^{2}$	$+a'\gamma '^{2}$	$+a''\gamma ''^{2}$	$=a''$
$a\alpha \beta$	$+a'\alpha '\beta '$	$+a''\alpha ''\beta ''$	$=0$
$a\alpha \gamma$	$+a'\alpha '\gamma '$	$+a''\alpha ''\gamma ''$	$=0$
$a\beta \gamma$	$+a'\beta '\gamma '$	$+a''\beta ''\gamma ''$	$=0$

Or on doit distinguer trois cas :

1^o . Quand $a$, $a'$, $a''$, qui doivent avoir le même signe, sont tous inégaux, nous supposerons $a<a'$, $a'<a''$ ; si l’ordre de grandeur était différent, on trouverait de même les conclusions analogues. La première des équations (ω) exige nécessairement que l’on ait $\alpha '=\alpha ''=0$, et partant $\alpha =\pm 1$ ; les équations 4, 5 donnent alors $\beta =0$, $\gamma =0$ ; l’équation 2 donne $\beta ''=0$ et$\beta '=\pm 1$, et l’équation 6 exige qu’on ait $\gamma '=0$ ; donc par l’équation 3, $\gamma ''=\pm 1$ ; desorte que, à cause de l’ambiguité des signes, il y a en tout huit transformations différentes.

2^o . Quand parmi les nombres $a$, $a'$, $a''$ il y en a deux égaux, $a'$ et $a''$, par exemple, supposons d’abord $a<a'$. Alors, de la même manière que dans le cas précédent, on aura $\alpha '=0$, $\alpha ''=0$, $\alpha =\pm 1$, $\beta =0$, $\gamma =0$ ; les équations 2, 3, 6 deviennent $\beta '^{2}+\beta ''^{2}=1$, $\gamma '^{2}+\gamma ''^{2}=1$, $\beta '\gamma '+\beta ''\gamma ''=0$ ; d’où l’on tire $\beta '=0$, $\beta ''=\pm 1$, $\gamma '=\pm 1$, $\gamma ''=0$, ou$\beta '=\pm 1$, $\beta ''=0$, $\gamma '=0$, $\gamma ''=\pm 1$. Mais si $a>a'$, les équations 2 et 3 donnent $\beta =0$, $\gamma =0$ et $\beta '=0$, $\beta ''=\pm 1$, $\gamma '=\pm 1$, $\gamma ''=0$, ou $\beta '=\pm 1$, $\beta ''=0$, $\gamma '=0$, $\gamma ''=\pm 1$ ; l’une ou l’autre supposition donnent, par les équations 4 et 5, $\alpha '=0$, $\alpha ''=0$, et par l’équation 1, $\alpha =\pm 1$. Ainsi dans les deux cas il y a seize transformations différentes. Les deux autres cas où $a=a'',$ ou bien $a=a'$ se résolvent de la même manière, pourvu qu’on change $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, pour le premier cas, en $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$ ; pour le second, en $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$ respectivement.

3^o . Quand les nombres $a$, $a'$, $a''$ sont égaux, les équations 1, 2, 3 exigent que des nombres $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, ainsi que des nombres $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, et des nombres $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma ''$ deux soient égaux à zéro et le troisième égal à $\pm 1$ ; or, par les équations 4, 5, 6, on voit qu’il ne peut y avoir qu’un seul nombre $=\pm 1$ parmi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ou $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, ou $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$. Il ne reste que six combinaisons.

$\alpha$	$\alpha$	$\alpha '$	$\alpha '$	$\alpha ''$	$\alpha ''$	$=\pm 1$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$
$\beta '$…	$\beta ''$…	$\beta$…	$\beta ''$…	$\beta$…	$\beta '$	$=\pm 1$		, et les six autres coefficiens $=0$ ;
$\gamma ''$	$\gamma '$	$\gamma ''$	$\gamma$	$\gamma '$	$\gamma$	$=\pm 1$

desorte que par l’ambiguïté des signes il y a en tout quarante-huit transformations. — Le même tableau renferme aussi les cas précédens ; mais des six colonnes il ne faut prendre que la première, quand $a$, $a'$, $a''$ sont tous inégaux ; la première et la seconde, quand $a'=a''$ ; la première et la troisième, quand $a=a'$ ; la première et la sixième, quand $a=a''$.

Il suit de là que si la forme $f=ax^{2}+a'x'^{2}+a''x''^{2}$ se change en la forme équivalente $f'$ par la substitution

$x$	$=\delta y$	$+\epsilon y'$	$+\zeta y''$
$x'$	$=\delta 'y$	$+\epsilon 'y'$	$+\zeta 'y''$
$x''$	$=\delta ''y$	$+\epsilon ''y'$	$+\zeta ''y''$

toutes les transformations de $f$ en $f'$ sont contenues dans le tableau suivant :

$x$	$x$	$x'$	$x'$	$x''$	$x''$	$=\pm (\delta y$	$+\epsilon y'$	$+\zeta y'')$
$x'$…	$x''$…	$x$…	$x''$…	$x$…	$x'$	$=\pm (\delta 'y$	$+\epsilon 'y'$	$+\zeta 'y'')$
$x''$	$x'$	$x''$	$x$	$x'$	$x$	$=\pm (\delta ''y$	$+\epsilon ''y'$	$+\zeta ''y'')$,

avec cette différence que l’on doit employer les six colonnes lorsque $a=a'=a''$ ; la première et la seconde, quand $a'=a''$ ; la première et la troisième, quand $a=a'$ ; la première et la sixième, quand $a=a''$ ; enfin la première seule, quand $a$, $a'$, $a''$ sont tous inégaux, et il y aura dans le premier cas quarante-huit transformations, seize dans le second, le troisième et le quatrième, et huit dans le cinquième.

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1. Si nous pouvions donner plus de détails sur ce problème, nous abrégerions beaucoup la solution. Il est d’abord évident que $\kappa$ doit être choisi de manière à ce que son quarré soit diviseur du premier coefficient de $\varphi$. Au reste, nous nous réservons de reprendre dans une autre occasion ce problème, d’où l’on peut tirer des solutions plus simples des problèmes des n^os 213, 214.
2. Les autres cas où la forme $f$ est définie, peuvent se ramener à celui-là ; mais si elle est indéfinie, il faut employer une méthode tout-à-fait différente, et le nombre des transformations est infini.