223. Nous avons déjà fait voir plus haut, (nos 175, 195, 211),
qu’étant donné un nombre entier quelconque
, on pouvait assigner
une suite de formes
etc. de déterminant
telles que
toute forme de déterminant
soit proprement équivalente à l’une
d’elles, et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant
donné
dont le nombre est infini, peuvent se classer d’après
ces formes, en composant la première classe de toutes les formes
équivalentes à
la seconde, de toutes les formes équivalentes
à
etc.
On pourra choisir dans chaque classe de formes de déterminant
une d’entre elles que l’on considérera comme forme représentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle
forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours
préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d’une forme
dépend évidemment de la grandeur
des nombres
et on dira à juste titre que la forme
est plus simple que la forme
si l’on a
. Mais il reste encore à savoir laquelle, par exemple, nous
choisirions des deux formes
Le
plus souvent il sera avantageux d’observer la règle suivante :
I. Quand
est négatif, on prendra les formes réduites pour formes
représentantes dans chaque classe ; mais s’il y a deux formes réduites dans la même classe, elles seront opposées (no 172), et l’on
prendra celle où le terme du milieu sera positif.
II. Quand
sera positif non quarré, on formera la période
d’une forme réduite contenue dans la classe proposée ; cette période
renfermera deux formes ambiguës, ou n’en renfermera aucune
(no 187).
1o. Dans le premier cas, soient
ces
formes ambiguës ;
les résidus minima des nombres
suivant les modules
résidus qu’on prendra positivement
s’ils ne sont
enfin
Cela posé,
on choisira celle des deux formes
qui paraîtra la plus simple pour forme représentante. Dans ce
choix, on préférera la forme dont le terme du milieu
; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n’arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif.
2o. Dans le second cas, on choisira dans toute la période la
forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faite du
signe, de manière cependant que si dans la même période deux
formes avaient le premier terme au signe près, on préférerait
celle où il est positif. Soit
cette forme, on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme
(en prenant pour
le résidu minimum absolu de
, suivant le module
, et en faisant
, et on la choisira pour représentante.
S’il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le même
plus petit premier terme, on les traiterait toutes comme il vient
d’être prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on prendrait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu
serait le plus petit.
Ainsi, par exemple, pour
on a entr’autres la période
, |
, |
![{\displaystyle (8,11,-23),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcf039ea0be645cb8a9123ab73abd73fcfe9a89) |
|
, |
, |
![{\displaystyle (23,11,-8),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90808c7b8cbd330174287042b36ca5208411b5e1) |
|
dans laquelle on choisit d’abord la forme
d’où l’on tire ensuite la forme représentante
III. Quand le déterminant sera un nombre quarré on cherchera une forme réduite
contenue dans la classe proposée ; et si
ou
, on la prendra pour la forme représentante ; mais si
, on prendra à sa place la forme
dont le premier terme sera négatif, mais
.
Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes
les formes de déterminant
, classes dont les formes représentantes seront
, |
, |
![{\displaystyle (4,1,59)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56db49e222671d469dfec1a363542e875dc58f6) |
|
, |
, |
![{\displaystyle (13,5,20)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5aa7f02fa9b51d51e8ff94c3d569e1b9ad7a87) |
|
et huit autres qui ne diffèrent des précédentes que par le signe
des termes extrêmes :
,
, etc.
Toutes les formes de déterminant
se distribuent en six classes
dont les représentantes sont
, |
, |
, |
|
, |
, |
. |
|
224. Par cette classification, on sépare des autres toutes les
formes qui sont proprement équivalentes ; ainsi deux formes de
la même classe sont proprement équivalentes ; tout nombre qui
peut être représenté par l’une d’elles, peut l’être par l’autre ; et si un nombre
peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux représentations appartiennent à la même valeur de l’expression
. Mais deux formes qui appartiennent à des classes différentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l’on ne peut pas conclure de ce qu’un nombre est représentable par l’une d’elles, qu’il le soit par l’autre ; au contraire, nous sommes en droit d’affirmer que si un nombre
peut se représenter par la première, en donnant à
,
des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l’autre forme, appartenant à la même valeur de l’expression
(nos 167, 168).
Au contraire, comme il peut arriver que deux formes
,
, prises dans deux classes différentes
,
, soient improprement équivalentes, auquel cas toute forme de la première classe sera improprement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de
aura son opposée dans
, et les classes
,
, seront dites opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l’article précédent, la troisième classe des formes de déterminant
est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l’est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Étant donc proposées deux formes prises dans des classes
opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l’une d’elles,
pourra l’être aussi par l’autre. Si pour l’une la représentation a lieu par des valeurs premières, il en sera de même pour l’autre, de manière
cependant, que les représentations appartiendront à des valeurs
opposées de l’expression
. Au reste, les règles que
nous avons données pour le choix des formes représentantes, sont
établies de manière que les classes opposées obtiennent des représentantes opposées.
Enfin, il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs opposées ; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans
la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette
classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu’improprement, et qu’elles ont toujours leurs opposées dans la même classe.
Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu’elle contiendra une
forme ambiguë, et réciproquement on trouvera une forme ambiguë dans toute classe qui est elle-même son opposée (nos 163, 165) ;
aussi cette classe s’appellera ambiguë. Ainsi, parmi les classes de
déterminant
, on trouve huit ambiguës, dont les représentantes sont :
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
Parmi les classes de déterminant
, il y en a deux :
,
.
Au reste, si l’on détermine les formes représentantes d’après les
règles que nous avons données, on trouvera sans peine les classes
ambiguës ; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera
nécessairement des représentantes ambiguës pour des classes qui
le sont (no 194) ; pour le déterminant négatif, la forme représentante d’une classe ambiguë sera elle-même ambiguë, ou bien ses termes extrêmes seront égaux (no 172). Enfin, pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger (no 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-même, et partant, si la classe est ambiguë.
225. Nous avons déjà fait voir plus haut (no 175) que dans une
forme
de déterminant négatif, les termes extrêmes doivent avoir le même signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrêmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si
,
sont positifs, nous appellerons positive la forme
, et la classe qui la renferme, et qui ne contiendra que des formes positives, s’appellera classe positive. Au contraire, si
,
sont
négatifs,
sera une forme négative, et elle sera contenue dans une classe négative. Les nombres négatifs ne peuvent
être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs
par une forme négative. Si
est la représentante d’une
certaine classe, la forme
sera celle de la classe
négative, et il suit de là qu’il y a autant de classes positives que
de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque
les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes
de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer
les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives.
Au reste, cette distinction n’a lieu que pour les formes de déterminant négatif ; les nombres positifs et négatifs peuvent être
représentés également par des formes quelconques de déterminant
positif, ensorte qu’il n’est pas rare que les deux formes
,
doivent être rapportées à la même classe.
226. Nous appelons forme primitive une forme quelconque
, lorsque les nombres
,
,
n’ont pas de diviseur commun, autrement elle s’appellera dérivée, de manière que la forme
sera dite dérivée de la forme primitive
,
si m est le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
. Il
suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n’est
divisible par aucun quarré (
excepté). Or, par le no 161, il
est clair que s’il y a une forme primitive dans une classe donnée,
toutes les formes de cette classe le seront également, et on l’appellera classe primitive. Il est d’ailleurs évident que si une
forme F de déterminant
est dérivée d’une forme primitive
de déterminant
et que
et
soient respectivement les classes
qui renferment les formes
,
toutes les formes de
seront
dérivées de la classe
; ainsi la classe
sera dite dérivée de la classe primitive
.
Si
est une forme primitive, et que
,
ne soient
pas tous les deux pairs, on voit facilement que
,
,
n’auront pas
non plus de diviseur commun. Dans ce cas, la forme
sera
dite proprement primitive, ou plus simplement forme propre ;
mais si
sont pairs, les nombres
auront
pour commun et même pour plus grand commun diviseur ; alors la forme
sera improprement primitive, ou plus simplement impropre[1]. Dans ce cas,
sera nécessairement impair, car autrement la forme
ne serait pas primitive ; ainsi l’on aura
et partant, puisque
est divisible par
les formes impropres auront donc des déterminans de la forme
ou
suivant qu’ils seront positifs ou négatifs. Mais, par le no 161, il est clair que
s’il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes
les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une
forme improprement primitive, n’en renfermera que de cette espèce.
Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, proprement primitive ou propre, et dans le second cas, improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives
de déterminant
il y en a six propres, savoir, celles dont
les représentantes sont :
![{\displaystyle (1,0,235),(4,1,59),(4,-1,59),(5,0,47),(13,5,20),(13,-5,20),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53b36bfcfe3604efa52e45fb5f66c1b125678e3)
et autant parmi les classes négatives ; il y en a deux impropres de
chaque espèce. Quant aux classes de déterminant
, elles sont
toutes propres, puisque
est de la forme
.
Si la forme
est dérivée de la forme primitive
, cette dernière peut être propre ou impropre. Dans
le premier cas
dans le second
, sera le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
, ce qui fait entendre la distinction entre une forme dérivée d’une forme proprement primitive, et une forme dérivée d’une forme improprement primitive,
et partant (no 161) entre une classe dérivée d’une classe proprement primitive, et une classe dérivée d’une classe improprement primitive.
Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous
servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de déterminant donné.
Nous rangerons dans le même ordre les deux formes
,
, si l’on a à-la-fois le même plus grand diviseur commun pour
,
,
;
,
,
, pour
,
,
et
,
,
; mais
si l’une ou l’autre de ces conditions n’a pas lieu, les classes se
rapporteront à des ordres différens. Il suit de là immédiatement,
que les classes proprement primitives composent un ordre, et
toutes les classes improprement primitives, un autre. Si
est
le quarré qui divise le déterminant
, les classes dérivées des
classes proprement primitives de déterminant
composeront un
ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement
primitives de déterminant
en composeront un autre. Si par
hasard
n’est divisible par aucun quarré (excepté
), il n’y aura
pas d’ordres de classes dérivées, et partant il n’y aura qu’un
ordre, lorsque
ou
, celui des classes proprement
primitives, ou deux, lorsque
, celui des classes
proprement primitives, et celui des classes improprement primitives.
On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des combinaisons (no 17). En supposant
, etc.,
desorte que
ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des
ordres sera
si
ou
; ou
si
.
Exemple Ier. Si
, on aura six classes dont les représentantes sont :
, |
,
|
, |
,
|
, |
,
|
et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,
1o.
,
, propres ; 2o.
,
,
impropres ; 3o. la classe
dérivée d’une classe propre
de déterminant
; 4o. la classe
dérivée d’une classe
impropre de déterminant
.
Exemple II. Les classes positives de déterminant
peuvent se distribuer en quatre ordres, en désignant les classes
par leurs représentantes.
Le premier contient les classes propres suivantes :
![{\displaystyle (1,0,99),(4,1,25),(4,-1,25),(5,1,20),(5,-1,20),(9,0,11)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45650e64846771a34e009d01bba4896eb68b920)
Le deuxième, les classes impropres :
Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déterminant
Le quatrième, une classe dérivée d’une impropre de déterminant
On distribuera par ordre, de la même manière, les classes négatives de même déterminant.
On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au
même ordre.
227. Parmi tous les ordres, celui des classes proprement primitives mérite la plus grande attention ; car toutes les classes dérivées
tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant
moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de
soi-même ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus
bas qu’une classe improprement primitive quelconque répond toujours à une ou à trois classes proprement primitives, et l’on sait
que les classes négatives répondant toujours à certaines classes
positives, on pourra ne pas s’en occuper.
Afin d’examiner plus à fond la nature des classes proprement
primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence
essentielle, d’après laquelle un ordre entier de classes peut se
subdiviser en genres, et comme nous n’avons pas encore parlé de
cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l’origine.
228. Théorème. Il y a une infinité de nombres non divisibles par un nombre premier donné
quel qu’il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitive
Soit
il est évident que
ne divisera pas
à-la-fois les nombres
Or, quand
n’est pas divisible
par
il suffira de donner à
une valeur non-divisible par
et à
une valeur divisible. Quand
n’est pas divisible par
on pourra donner à
une valeur non-divisible et à
une valeur
divisible ; enfin, quand
et
sont divisibles par
, et que partant
ne l’est pas, on pourra donner à
et à
des valeurs non-divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la
forme
ne sera pas divisible par
.
Le théorème a lieu également pour les formes improprement
primitives, pourvu qu’on n’ait pas
.
Comme plusieurs conditions de cette espèce peuvent exister
à-la-fois, de manière qu’un nombre soit divisible par de certains
nombres premiers, et qu’il ne soit pas divisible par d’autres, on
voit facilement que les nombres
,
peuvent être déterminés
d’une infinité de manières qui rendent
non-divisible par tant
de nombres premiers qu’on voudra (excepté
lorsque la forme
est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé
plus généralement ainsi qu’il suit :
On peut représenter par une forme primitive quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quelconque (impair, quand la forme est improprement primitive).
229. Theorème. Soit
une forme primitive de déterminant
un nombre premier qui divise
alors tous les nombres non-divisibles par
qui peuvent être représentés par la forme
seront tous résidus quadratiques de
ou tous non-résidus.
Soit
deux nombres quelconques non-divisibles par
et qui peuvent être représentés par la forme
on aura
![{\displaystyle m=ag^{2}+2bgh+ch^{2},\quad m'=ag'^{2}+2bg'h'+ch'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9d104e3263343ca2b1bd2b6c48a238567a370a)
et partant
![{\displaystyle mm'=(agg'+b(gh'+g'h)+chh')^{2}-D(gh'-hg')^{2}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e6e82c6edb35e96272b1e5a93b56efb7415ca8)
donc
sera congru à un quarré, suivant le module
et
parconséquent suivant le module
c’est-à-dire que
est résidu quadratique de
Il suit de là que
et
seront tous deux
résidus ou non-résidus (no 98).
On prouve de la même manière, que si
est divisible par
les nombres impairs qui peuvent être représentés par
sont tous
, ou tous
; en effet, le produit de deux d’entre
eux sera résidu de
, et partant
; parconséquent ils
seront tous les deux
, ou tous les deux
.
Enfin, quand
est divisible par
, le produit de nombres impairs qui peuvent être représentés par
, est résidu de
, et partant
; ainsi dans ce cas les nombres impairs qui
peuvent être représentés par
sont tous
, ou tous
, ou
tous
, ou tous
.
Par exemple, le nombre
, qui est non-résidu de
, pouvant
être représenté par la forme
, tous les nombres non-divisibles par
qui pourront être représentés par cette forme seront non-résidus de
. Comme
peut être représenté par la
forme
et qu’il est
, tous les nombres impairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi
.
Au reste, s’il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions
démontrer facilement que les nombres représentables par la forme
n’ont pas ainsi une relation fixe à l’égard d’un nombre premier
qui ne divise pas
, et que l’on peut représenter par la forme
des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment.
Mais quant aux nombres
et
, il y a dans les autres cas quelque
chose d’analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.
I. Quand le déterminant
d’une forme primitive
est
, les nombres impairs représentables par
seront tous
, ou tous
.
Soient, en effet,
,
deux nombres représentables par
, on pourra, comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme
,
et les deux nombres
,
étant impairs, l’un des deux nombres
,
sera pair et l’autre impair, et partant l’un des quarrés
,
sera
, l’autre
; d’où l’on conclut aisément que
, et parconséquent
,
tous deux
ou
tous deux
. Ainsi, par exemple, par la forme
on ne peut représenter d’autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme
.
II. Quand le déterminant
d’une forme primitive
est
, tous les nombres impairs représentables par
seront
ou en partie
et en partie
, ou en partie
et en partie
.
Soient
,
deux nombres représentables par
leur produit
peut être ramené à la forme
; si
et
sont impairs,
doit l’être puisque
est pair, et parconséquent on a
; or si
est pair,
sera
, ou
; s’il est
impair,
sera
; ainsi
ne peut être que
ou
. Il suit de là que
ou
, et que
si
ou
, on aura aussi
ou
; si
ou
,
sera
ou
. Par exemple, tous les nombres représentables par la forme
sont
ou
, et aucun nombre de la forme
ou
ne peut être représenté par la forme
.
III. Quand le déterminant
d’une forme primitive
est
, les nombres impairs qui pourront être représentés par
seront ou en partie
et en partie
,
, ou en partie
et en partie
.
Chacun pourra faire la démonstration, qui est absolument semblable à la précédente.
Par exemple, par la forme
on ne pourra représenter
que des nombres qui sont
ou
.
230. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par
une forme primitive donnée de déterminant
ont une relation
déterminée avec les différens diviseurs premiers de
par lesquels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent
être représentés par
ont, dans certains cas, une relation avec
les nombres
et
savoir, avec
, toutes les fois que
ou
et avec
, toutes les fois que
ou
ou
Cependant on pourra négliger la relation qui
a lieu avec
, lorsque
sera divisible par
car cette relation
est contenue dans celles qui ont lieu avec
. Nous appellerons caractère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l’exprimerons de la manière suivante. Quand il n’y a que les résidus
du nombre premier
qui peuvent être représentés par la forme
nous lui attribuerons le caractère
et dans le cas contraire, le
caractère
; de même nous écrirons
, quand on ne pourra représenter par la forme
d’autres nombres impairs que ceux qui sont
, d’où l’on voit clairement quels sont les caractères
exprimés par les signes
![{\displaystyle 3,4\,;\quad 1,8\,;\quad 3,8\,;\quad 5,8\,;\quad 7,8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f0fefd42359c07f610dd48572be403d147e879)
Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont
ou
, nous attribuerons à la forme le caractère
et
, d’où l’on voit ce que signifient les caractères
et
;
et
;
et
.
Les différens caractères d’une forme primitive donnée
de déterminant
peuvent se connaître au moins par un des nombres
,
qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet, toutes les fois qu’un nombre premier
est diviseur
de
, il y aura au moins un des nombres
,
qui ne sera pas
divisible par
, puisqu’on a
, et que d’après cela
et parconséquent
sera divisible par tout diviseur premier de
et de l’un des nombres
,
et que si tous les deux l’étaient, il s’ensuivrait que la forme
ne serait pas primitive. De même, dans les cas où la forme
une relation déterminée avec les nombres
et
, il y aura au moins un des nombres
,
impair et dont on pourra tirer la relation.
Par exemple, le caractère de la forme
à l’égard du nombre
, se conclut du nombre
, et il est
, et à l’égard
du nombre
, il se conclut du nombre
, et il est
; enfin le caractère de cette forme, à l’égard du nombre
, peut se déduire du nombre
et du nombre
.
Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une
forme
contenue dans une classe
, peuvent l’être aussi par toute autre forme de la même classe, il est évident que les différens caractères de la forme
appartiennent aussi à toutes les autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d’une classe
primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les
classes opposées ont toujours tous les mêmes caractères.
231. L’ensemble des caractères particuliers d’une forme ou
d’une classe donnée constitue le caractère complet de cette forme ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme
, ou celui de toute la classe qu’elle représente, est
;
;
. De la même manière, le caractère complet de la
forme
sera
;
;
: car le caractère particulier de la forme
est compris dans le caractère
. De là nous
tirons une subdivision de tout l’ordre des classes proprement primitives (positives, quand le déterminant est négatif) d’un déterminant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre
toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des
genres différens toutes celles qui ont différens caractères complets.
Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes
qui y sont contenues.
Par exemple, pour le déterminant
, il y a seize classes
positives proprement primitives, qui peuvent se distribuer en quatre
genres, de la manière suivante :
- Caractère. ——————Formes représentantes des classes.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des caractères complets différens.
I. Quand le déterminant
est divisible par
, à l’égard du
nombre
il peut y avoir quatre caractères particuliers différens ;
le nombre
ne donne aucun caractère particulier (no précéd.).
En outre, à l’égard de chacun des diviseurs impairs et premiers
de
, il peut y avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est
,
il y a
caractères complets différens, en faisant
toutes
les fois que
est une puissance de
.
II. Quand
n’est pas divisible par
, mais par
et en outre
par
nombres premiers impairs, il y aura
caractères complets différens.
III. Quand
est pair, mais non divisible par
, il sera
ou
; dans le premier cas, on aura à l’égard du
nombre
, savoir,
et
;
et
, et autant dans le second.
Si donc l’on suppose
diviseurs premiers impairs, il y aura
caractères complets.
IV. Quand
est impair, il sera
ou
. Le caractère du premier cas n’entre pas dans le caractère complet. Dans
le second cas, il y a à l’égard de
deux caractères. Ainsi
étant
le même que ci-dessus, il y aura dans le premier cas
, dans
le second
caractères complets.
Mais il faut bien remarquer qu’il ne suit pas de là qu’on ait
autant de genres différens que de caractères complets possibles.
Dans l’exemple précédent, le nombre des genres est moitié de
celui des caractères, et il n’y a pas de classes positives qui aient
pour caractère
|
; ; ![{\displaystyle N.33,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8110b0c1cfdd9e52ea0ad23b9f7e434a03db5d1) |
——ou—— |
; ;
|
ou |
; ; ![{\displaystyle R.23,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bfdf1bcf83f5bd06aba6c48e1424c7e017343cb) |
——ou—— |
; ;
|
Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important.
Comme la forme
est évidemment la plus simple
des formes de déterminant
, nous lui donnerons le nom de
forme principale, à la classe dans laquelle elle est contenue,
celui de classe principale, et enfin au genre auquel cette classe
appartient, celui de genre principal. Ainsi il faut bien distinguer
la forme principale, de la forme d’une classe principale et de
la forme d’un genre principal, ainsi qu’une classe principale et
une classe d’un genre principal. Nous nous servirons toujours de
ces dénominations, même quand il arriverait que pour un certain
déterminant il n’y eût pas d’autre classe que la classe principale,
ou pas d’autre genre que le genre principal, comme cela a lieu
souvent dans le cas où
est un nombre positif de la forme
.
232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des
formes l’ait été surtout dans le dessein d’en déduire la subdivision en genres de l’ordre entier des classes positives proprement
primitives, rien n’empêche qu’on ne l’applique aux formes et aux
classes négatives ou improprement primitives, et qu’on ne subdivise en genres, tant l’ordre proprement primitif positif ou négatif, que l’ordre improprement primitif positif ou négatif.
Ainsi, par exemple, lorsqu’on a partagé en deux genres l’ordre
proprement primitif des formes de déterminant
,
|
|
|
|
|
;
|
l’ordre Improprement positif peut se subdiviser de même en deux
genres,
|
|
|
|
|
|
ou, de même que les classes positives des formes de déterminant
se distribuent en quatre genres,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
les classes négatives se partagent aussi en quatre ordres,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mais puisque le système des classes négatives se trouve toujours
si semblable à celui des classes positives, il semble qu’il est le
plus souvent inutile de les considérer séparément. Quant à l’ordre
improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire
à l’ordre proprement primitif.
Pour la subdivision des ordres dérivés, il n’est pas nécessaire
de donner de nouvelles règles ; puisque chaque ordre dérivé tirant
son origine de quelque ordre primitif de déterminant moindre,
la subdivision d’un ordre dérivé suit naturellement de celle de
l’ordre primitif dont il provient.
233. Si une forme primitive
est telle que l’on
puisse trouver deux nombres
,
pour lesquels on ait
,
,
, suivant un module donné
, on aura
, et partant on peut
dire que la forme
est résidu de
, et que
est la valeur de l’expression
, ce que nous
exprimerons plus simplement en écrivant que
est une valeur de
; plus généralement, si un nombre
premier avec
est tel qu’on ait
,
,
,
nous dirons que
est résidu de
et
.
Ainsi, par exemple, la forme
est résidu quadratique de
,
et
est la valeur de
. De même
est la valeur de l’expression
.
On verra plus bas l’usage de ces expressions ; ici nous ferons
les remarques suivantes :
1o. Si
est résidu quadratique de
,
divisera le
déterminant de la forme
; en effet, puisqu’on a
,
,
, on en tire
![{\displaystyle b^{2}M^{2}-acM^{2}=(b^{2}-ac)M^{2}\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ea7c90eb2b4b422df4897e28ec5aad6190399d)
Mais comme
est premier avec
, il s’ensuit donc que
est divisible par
.
2o. Si
est résidu de
et que
soit un nombre
premier, ou une puissance d’un nombre premier,
, par exemple,
le caractère particulier de la forme
, à l’égard du
nombre
, sera
ou
, suivant que
sera résidu ou
non-résidu de
. En effet,
et
sont résidus de
, et il
y a au moins un des nombres
,
qui n’est pas divisible par
(no 230) ; donc si
est résidu ou non-résidu, un des deux nombres
et
le sera aussi.
De même, si toutes choses d’ailleurs égales,
le caractère particulier de la forme
sera
ou
suivant
que l’on aura
ou
? et si
ou une plus
haute puissance de
, le caractère particulier de la forme
sera
;
;
;
, suivant que
;
;
;
.
3o. Réciproquement si
est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier
qui divise
et que
soit résidu ou non-résidu de
, suivant que le caractère particulier de la forme
, à l’égard du nombre
, est
ou
respectivement,
sera résidu de
. En effet,
quand
n’est pas divisible par
,
sera résidu de
, et partant de
lui-même ; si donc
est une valeur de l’expression
et que
soit une valeur de
, on
aura
,
, et partant
et
;
enfin
, d’où
;
donc
est une valeur de l’expression
. Mais
quand
est divisible par
, comme alors
ne l’est sûrement
pas, on voit qu’on arrivera au même résultat, en prenant
et
.
On démontre de la même manière, que si
qu’il divise
, et qu’on prenne le nombre
ou
, suivant que
le caractère particulier de la forme est
ou
,
sera résidu de
, et que
ou une plus haute puissance de
,
par laquelle
soit divisible, et que l’on prenne
;
;
;
, suivant que le caractère particulier de la
forme le demande,
sera résidu de
.
4o. Si le déterminant de la forme
est
, et que
soit résidu de
, tous les caractères particuliers de
la forme, tant à l’égard des diviseurs premiers de
, qu’à
l’égard des nombres
et
, s’ils sont diviseurs de
, peuvent
se connaître sur-le-champ par le nombre
. Ainsi, par exemple,
comme
est résidu de
, c’est-à-dire que
est une valeur de l’expression
, et qu’on
a
et
; les caractères de la forme
sont
;
;
. Les caractères, relatifs à
et à
, toutes les
fois que ces nombres ne divisent pas
, sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre
.
5o. Réciproquement, si le nombre
premier avec
renferme tous les caractères particuliers de la forme
excepté ceux relatifs à
et à
, quand ces nombres ne divisent pas
,
sera résidu de
. En effet, par ce qui a été dit (3o.), il est clair qu’en mettant
sous la forme
…
,
,
, etc. étant des nombres premiers différens,
sera résidu
de chacun des nombres
,
,
, etc. ; si donc la valeur de
est
; que
soit
, que
soit
, etc.
et que les nombres
,
soient déterminés de manière qu’on ait
,
,
, etc.,
,
,
, etc., suivant les modules
,
,
, etc. respectivement (no 32), on verra facilement
que l’on aura
,
,
, suivant chacun des
modules
,
,
, et parconséquent suivant le module
,
qui est leur produit.
6o. Pour toutes ces raisons, les nombres tels que
, qu’on
peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit (5o.), dès qu’on
connaît les caractères particuliers de la forme, se nommera
nombre caractéristique. On trouve sans peine les plus simples, par
tâtonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que si
est le nombre caractéristique d’une forme primitive donnée de
déterminant
tous les nombres qui lui seront congrus suivant
le module
seront caractéristiques de la même forme ; que
les formes d’une même classe, ou même de classes différentes,
mais du même genre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséquent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut être attribué à toute la classe et à tout le genre ; enfin que
est nombre caractéristique des forme, classe et genre principaux, c’est-à-dire, que toute forme principale est résidu de son déterminant.
7o. Si
est une valeur de l’expression
et qu’on ait
,
sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent être regardées comme équivalentes ; au contraire, si
et
sont valeurs de l’expression
et qu’on n’ait pas
,
on doit les considérer comme différentes. Il est évident que si
est une valeur,
en est une aussi, et on démontre facilement qu’elles sont différentes, à moins qu’on n’ait
On démontre aussi facilement que l’expression
ne peut pas avoir plus de
valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre
premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair,
ou
; mais quand
ou une plus haute puissance de
,
il y en a quatre en tout. On conclut facilement de là, au moyen
de ce qui a été exposé (6o.), que si le déterminant
de la
forme
est
, etc,
,
, etc. étant des
nombres premiers impairs dont le nombre est
, et que
soit
le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout
,
ou
valeurs différentes de l’expression
, suivant que
,
ou
. Ainsi, par exemple,
on a 16 valeurs de l’expression
,
qui sont :
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
.
|
Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui
n’est pas nécessaire ici.
8o. Observons enfin que si deux formes équivalentes
,
ont
pour déterminant, que le nombre caractéristique soit
et
que
se change en
par la substitution
,
,
,
, d’une valeur
de
, on tirera
pour la valeur de
, chacun pourra trouver sans peine la démonstration.
234. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des
formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les
propriétés qui naissent de ces distinctions, nous allons passer à
un autre sujet très-important et dont personne ne s’est encore
occupé, à la composition des formes ; mais avant de commencer
cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas
être obligé d’interrompre l’ordre des démonstrations.
Lemme. Si l’on a quatre suites de nombres entiers :
composées d’autant de termes, et telles qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {cd'-dc'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622656d37fffb596eb30bef17e62cb130698f3cf) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \mathrm {k(ab'-ba')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e246f2bb0e924611b7aaeacb712cbcf25e73a6) |
|
![{\displaystyle \mathrm {cd''-dc''} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996b4c09de93f72f8dcadaf47be405316bccf935) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \mathrm {k(ab''-ba'')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c017b2b25248d298b987a4f98d520c02a307dbde) |
etc.
|
![{\displaystyle \mathrm {c'd''-d'c''} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52eab96ea9539f5d062ebf4ed5a4fb6669b3350) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle \mathrm {k(a'b''-b'a'')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52779e290b838e6ed1b32661c76f8ce03d03038e) |
etc., etc.
|
ou généralement
étant un nombre entier donné,
,
des entiers différens dont
est le plus grand, et compris entre
et
qu’en outre, toutes les quantités de la forme
n’aient pas de diviseur commun ; alors on peut trouver quatre nombres entiers
,
,
,
tels que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {\alpha a+\beta b=c} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9021c94018e4976f0eb097c7f8b32fd839ed6b6f) |
——![{\displaystyle \mathrm {\alpha a'+\beta b'=c'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e533cc5b3aabd8fbea945e4ca65c1be3323023c) |
——![{\displaystyle \mathrm {\alpha a''+\beta b''=c''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0701656e026c40960750a73dab15393f89b4c4e2) |
——etc.
|
![{\displaystyle \mathrm {\gamma a+\delta b=d} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77fc5b271724eb849e45aaf86357280eac90475) |
![{\displaystyle \mathrm {\gamma a'+\delta b'=d'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7694a4fcf7ef351658311606c6afcb816cc978b3) |
——etc.
|
ou généralement
auquel cas on aura
Puisque, par hypothèse, les nombres
,
, etc.
, etc., dont le nombre est
, n’ont pas de diviseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels
que la somme des produits des premiers par les derniers soit
(no 40). Désignons ces multiplicateurs par
,
, etc.
, etc. ; ou généralement désignons le multiplicateur de
par
, desorte qu’on ait
,
désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu’il précède, lorsqu’on
donne successivement à
et
toutes les valeurs comprises entre
et
, de manière que
. Cela posé , si l’on fait
![{\displaystyle \sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230d74ddd0b04494d21af3171dda161fb1c9bf35) |
,
|
![{\displaystyle \sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f863fd921a1420c3b9627c09b6017ae78fb9875) |
,
|
![{\displaystyle \sum (\lambda ,\mu )(d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e929532027854662e3b2b25843e4933f9ffd807d) |
,
|
![{\displaystyle \sum (\lambda ,\mu )(a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad582057ff8385f23b4f5b988db8a54083ef863) |
,
|
les nombres
,
,
,
jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.
I.
étant un nombre entier quelconque entre
et
, on aura
![{\displaystyle \alpha a^{\nu }+\beta b^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46f168e1676a69bfce5157350fa443372f0d55a) |
|
|
![{\displaystyle ={\frac {1}{k}}\sum (\lambda ,\mu )(c^{\lambda }d^{\mu }c^{\nu }-d^{\lambda }c^{\mu }c^{\nu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8848d158ca5b19b80763e9582582f54e8e167e) |
|
|
|
|
;
|
et par un calcul semblable, on prouve que
.
II. On a parconséquent
,
, et
partant
|
![{\displaystyle c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525b9f035a042950334e92c532531a2352bf007d) |
![{\displaystyle =\alpha (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f57d67516a5040bb21ec5104d8eb233e2825f4) |
de même…………
|
de même…………… |
![{\displaystyle a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2e789cbd798ce91f897e9176d0b148e9ee26bf) |
![{\displaystyle =\beta (a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ae6b408b54df5d7262b9d74f33ab19f3654011) |
|
|
![{\displaystyle d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7735af30cee13ee35ccb1de8aa701cfe91c65d) |
![{\displaystyle =\gamma (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1cdac7474382977844dadf3cd77303b57d982f2) |
|
|
![{\displaystyle a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337d939e5da47471f50f429436ef2a54e9e15c9e) |
, |
|
d’où l’on tirera plus facilement les valeurs de
,
,
,
, pourvu
qu’on prenne
et
de manière que
ne soit pas
,
ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme
sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que parconséquent elles ne peuvent pas être toutes
. On tire aisément de ces équations
![{\displaystyle (\alpha \delta -\beta \gamma )(a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493f7ad8fa22d0f51d912f0d5371fb25e6cd597e) |
![{\displaystyle =(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })(c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f11f6c1a970010f4cc07bbc920628cb3b7e52) |
|
|
![{\displaystyle =k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cc8f49d6ace56e90b62c9ced1e54243469dd63) |
|
d’où nécessairement
.
235. Si la forme
se change en le produit des deux formes
,
par la substitution
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
, |
|
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f) |
, |
|
(ce que nous exprimerons d’une manière abrégée en disant : Si
se change en
par la substitution
,
,
,
;
,
,
,
)
la forme
sera dite transformable en
, et si de plus cette
transformation est telle que les six nombres
![{\displaystyle pq'-p'q,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2775e4cff8a206989178b320502146182ae5b3a6) |
![{\displaystyle \quad pq''-p''q,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70a8ea05e9df316dc72318e316b02c437978b36) |
![{\displaystyle \quad pq'''-p'''q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711d7bcb1a2f089ec4db2d3f4e666b67c702325e) |
|
![{\displaystyle p'q''-p''q',\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3058139204b548e39a3fab7dc7a180f924e039fa) |
![{\displaystyle \quad p'q'''-p'''q',\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000d8f269b0063b469e6d835ad9d344840f1bbf9) |
![{\displaystyle \quad p''q'''-p'''q'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfcbc505b32275651dc446f056045aaf5abb116) |
|
n’aient pas de diviseur commun, la forme
sera dite composée
des formes
,
.
Nous commencerons par l’hypothèse la plus générale, celle où
la forme
se changerait en
par la substitution
,
,
,
;
,
,
,
, et nous développerons les conséquences qui en
résultent.
Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes :
Soient
,
,
les déterminans des formes
,
,
respectivement ;
,
,
les plus grands communs diviseurs des nombres
,
,
;
;
respectivement,
,
,
étant pris
positivement. Déterminons les six nombres
,
,
;
,
,
;
,
,
de manière qu’on ait
![{\displaystyle A_{1}a+B_{1}b+C_{1}c=m,\quad A_{2}a'+B_{2}b'+C_{2}c'=m'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b48d0b4e68cf72f0bec558cfe2bda53ad6fb88d)
Faisons enfin
,
,
,
,
,
, et supposons que
soit leur plus grand commun diviseur[2].
Posant maintenant
![{\displaystyle App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90f43f6628128d6018d0a7cfef0288eabc6a428)
………(10),
l’équation (9) donne
![{\displaystyle App''+B(pq''+p''q)+Cqq''=bb'+\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90f43f6628128d6018d0a7cfef0288eabc6a428)
………(11),
De ces onze équations on tire les suivantes, savoir :
En élevant l’équation (5) au quarré et en retranchant le
produit de l’équation (1) par l’équation (2),
![{\displaystyle D.P^{2}=d'a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943ed118ff4cb5a9d14a1f1144bb745b4f449217)
……(12) ;
en multipliant l’équation (5) par l’équation (9), l’équation (1) par l’équation (7), l’équation (2) par l’équation (6), et retranchant du premier produit la somme des deux derniers,
![{\displaystyle DP(R-S)=2d'ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30cd26a869280e4aa9c070f3a86b9544b810bdc)
……(13) ;
en multipliant l’équation (10) par l’équation (11), l’équation (6) par l’équation (7), et retranchant le second produit du premier,
![{\displaystyle DPU=d'ac-(\Delta ^{2}-dd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b135ba3edab62914033e7b5d535d622f105b2d8b)
……(14) ;
en ajoutant le double produit des équations (5) et (8), les quarrés des équations (10) et (11), et retranchant de leur somme les produits des équations (1) et (4), (2) et (3) et deux fois le produit des équations (6) et (7),
![{\displaystyle D(R-S)^{2}=4d'b^{2}+2(\Delta ^{2}-dd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b4ecb02f218597b958e768142fea10a6f68249)
……(15) ;
en retranchant du produit de l’équation (8) par l’équation (9), la somme des produits des équations (5) et (7), (4) et (6),
![{\displaystyle D(R-S)U=2d'bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db69bb8afc25c6c7979718fe4eb6c4e61b92600)
……(16) ;
en retranchant du quarré de l’équation (8) le produit des équations (3} et (4),
![{\displaystyle DU^{2}=d'c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586ee3929b422a1e454430412714ebbb8e831a89)
……(17) ;
en remplaçant dans les mêmes calculs les équations (2), (5), (7), par les équations (3), (6), (8) respectivement, et réciproquement :
![{\displaystyle DQ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1abac9736b9944053263a2f752a1490cc3c1e1) |
![{\displaystyle =da'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7032cecdaf5d488122b1ca604bcc806e7826a47) |
………(18)
|
![{\displaystyle DQ(R+S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8a77251719674a9a00d5c659f451f7ff2b3055) |
![{\displaystyle =2da'b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e53d9ea7c8a0235c5a93af3ea13c28e67a5cf3) |
………(19)
|
![{\displaystyle DQT}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb435ad5456c48b504aca34f95bee3cca4f94b49) |
![{\displaystyle =da'c'-(\Delta ^{2}-dd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23e3a78edd353e70ba62ed58f9ad77a77e6d422) |
………(20)
|
![{\displaystyle DQ(R+S)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7249ec7ec3689360570bc9c4e49ae40dc2034412) |
![{\displaystyle =4db'^{2}+2(\Delta ^{2}-dd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9a58edd3feea8318d8f15d3f3c29c2f23b69ee) |
………(21)
|
![{\displaystyle D(R+S)T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db21ea2141e85b552889e2e5088fd71a5de54af5) |
![{\displaystyle =2db'c'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44d35aa774322fcc44c262f5b93c3a0f1d6acb9) |
………(22)
|
![{\displaystyle DT^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b70324e679bb03597bc34f8644d26108174daac) |
![{\displaystyle =dc'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d7732263b68eda3c412087a09e5aafc3d89e1d) |
………(23)
|
De ces équations on tire, 1o. en retranchant le quarré de
l’équation (13), du produit des équations (12) et (15) ; 2o. en
retranchant le produit des équations (12) et (17), du quarré de
l’équation (14) :
![{\displaystyle 0=2d'a^{2}(\Delta ^{2}-dd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8325c20dc177f4cb4080cebf734bc285826d9e)
………
![{\displaystyle 0=(\Delta ^{2}-dd')^{2}-2d'ac(\Delta ^{2}-dd')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7743f03cf3de1941aa2d5220870afd72e9563ad)
,
ce qui prouve la relation
![{\displaystyle \Delta ^{2}-dd'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876a888ad1eff806ae63d1dfd9c56168c0e7b764)
, soit qu’on ait ou non
![{\displaystyle a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d476e5e765a5d77bbcff32e4584579207ec7d8)
. Cette manière de trouver l’équation
![{\displaystyle \Delta ^{2}=dd'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe26aae09f09330c5f7b818b049c98df14acf4fb)
suffit pour les recherches présentes ; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle-ci
. Nous supposerons donc qu’on ait effacé
dans les équations (14), (15), (20), (21).
Or si l’on fait
![{\displaystyle A_{1}P+B_{1}(R-S)+C_{1}U=mn',\quad A_{2}P+B_{2}(R+S)+C_{2}T=m'n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ea41a5849908d8e4c6cce95b24c5bf88ba0a44)
où
,
peuvent être des fractions, pourvu que
et
soient
entiers, on tire facilement des équations (12)……(17),
![{\displaystyle Dm^{2}n'^{2}=d'(A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c)^{2}=d'm^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a974c5c736fddb01d16a709fc2b17ea5c0be101)
et des équations (18)..... .(23) ,
![{\displaystyle Dm'^{2}n'^{2}=d'(A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c')^{2}=dm^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2068112ad1ced83fe90e91f31130c5b7b87ffae4)
On a donc
d’où nous tirons une première condition : les déterminans des formes
sont entre eux comme des nombres quarrés ; et une seconde :
divise toujours
et
Il suit donc de là que
sont de même signe,
et qu’aucune forme ne peut être transformée en le produit
si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres
et
Si l’on multiplie les équations (12), (13), (14) par
respectivement ; les équations (13), (15), (16), les équations (14),
(16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que
l’on ajoute les trois produits en y remplaçant
par
on trouve, à l’aide de l’équation
![{\displaystyle P=an',\quad R-S=2bn',\quad U=cn'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa71cc92da7080c82094580476ec692f5737b01)
de même, en multipliant, 1o. les équations (18), (19), (20) ; 2o. les équations (19), (21), (22) ; 3o. les équations (20), (22), (23) par
respectivement, on a
![{\displaystyle Q=a'n\quad R+S=2b'n\quad T=c'n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6a7c71263e6fd4b1dc65738e8071128d91bd6e)
Ce qui donne une troisième condition : les nombres
sont proportionnels aux nombres
et en supposant que leur rapport est celui de
à
sera la racine quarrée de
de même, les nombres
sont proportionnels aux nombres
et si l’on suppose que leur rapport est celui de
à
sera la racine quarrée de
Au reste les quantités
,
peuvent être les racines positives
ou négatives de
et
, d’où nous tirons une distinction qui paraît stérile au premier abord, mais dont l’usage se reconnaîtra
par la suite. Nous dirons que dans la transformation de
en
,
la forme
est prise directement quand
est positif, indirectement
quand
est négatif, et de même à l’égard de
. Mais en ajoutant
la condition que
, nous dirons que la forme
est composée
ou directement des deux formes
,
, ou indirectement de ces deux
mêmes formes, ou directement de
et indirectement de
, ou
directement de
et indirectement de
, suivant que les deux
nombres
,
seront positifs ou négatifs, ou que
sera positif
et
négatif, ou
négatif et
positif. D’ailleurs on voit facilement
que ces relations ne dépendent pas de l’ordre dans lequel ces formes
sont placées.
Or nous observons que le plus grand diviseur commun
des nombres
divise les nombres
,
ce qui
résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que
parconséquent
doit diviser
,
, et
les nombres
,
; mais réciproquement tout diviseur commun de
,
divisera aussi
. En effet, soit
un de ces diviseurs, il divisera
évidemment les nombres
,
,
,
,
,
, et partant,
,
,
,
,
,
et d’après cela
et
. Or si
était impair,
le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que
la différence ; leur produit serait donc impair. Mais ce produit
est
et parconséquent pair, puisque
divise
,
,
,
. Donc
est nécessairement pair, et partant,
et
sont divisibles par
.
Donc
divisant les six nombres
,
,
,
,
,
, divisera aussi leur plus grand commun diviseur
. Donc
est le plus grand diviseur commun entre
et
; d’où l’on voit facilement que
est le plus grand commun diviseur des nombres
,
.
C’est la quatrième conclusion. Il est donc clair que toutes les fois que
sera composée de
et
, comme on a
,
sera
le plus grand commun diviseur des nombres
,
et réciproquement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes
,
,
a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui
peuvent être transformées en le produit
.
Avant que nous puissions aller plus loin, il faut déterminer avec
plus d’exactitude la valeur de
que nous avons trouvé
, mais dont le signe n’est pas encore fixé. À cet effet, nous déduirons des équations fondamentales l’équation
,
en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2), de
celui de l’équation (5) par l’équation (6) ; et partant,
, ou
, à moins qu’un des nombres
,
ne fut nul. Mais on tire des équations (1).... .(2) absolument de la même manière, huit autres équations dans lesquelles
à gauche,
à droite, sont multipliés par
,
,
,
,
,
,
,
; et comme les nombres
,
,
ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres
,
,
, il s’ensuit qu’on aura dans tous
les cas
, et que parconséquent
aura le même signe que
,
,
, ou un signe différent, suivant que
et
auront le même signe, ou un signe différent.
Or les nombres
,
,
,
,
,
,
,
,
,
sont tous divisibles par
. La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres, on les
démontrera comme nous avons démontré plus haut que
et
étaient divisibles par
. En effet,
et
sont
divisibles par
puisque
, que
est divisible par
,
par
, partant,
par
et
par
; la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l’on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l’est aussi, et parconséquent
et
sont divisibles par
.
Maintenant, on déduira facilement des équations fondamentales
les six suivantes :
![{\displaystyle AP^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a060eee911937309bd44717321302eb99f99543) |
![{\displaystyle =aa'q'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc64ea43075d60376d9aa4a3add7cb1045079a03) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2ab'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0d44b80477ef0b5e419d15c9320cc89775f1fd) |
![{\displaystyle qq'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4cae965dab2cd631005b4a8506da2db43278bcc) |
,
|
![{\displaystyle AQ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593d843c389301365f2af2f9d824e32e17b13be5) |
![{\displaystyle =aa'q''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e166761f22b04f22f0a0391ed8e5c8240830757) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2a'b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ecbc36dbe4084be153295b5ea2d65f5c4ab9408) |
![{\displaystyle qq''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67f082764e3e2910d0787c8606182b84db14a98) |
,
|
![{\displaystyle AR^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d443fa43ab1989465c5e1cfd86e4f9e08ce192) |
![{\displaystyle =aa'q'''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27c38a02fb3745288c149be2b4501a0d723d618) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2(bb'+\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86743484419e4c98efb570f9d0a5ceb5ac562d0) |
![{\displaystyle qq'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f760a0a2315c9a4cba6e975184bc03f20f3ba9) |
,
|
![{\displaystyle AS^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1130db03b0bdd7e53149782ed5a15f62fef2545) |
![{\displaystyle =ac'q''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fc6fc114309970f677889b6416e8b382cabfd4) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2(bb'+\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86743484419e4c98efb570f9d0a5ceb5ac562d0) |
![{\displaystyle q'q''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ccdc4a5d61921e2f2b6728fbed7968c73d6151) |
,
|
![{\displaystyle AT^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99edd289ebc6de645de8015c5a2b2dd71140895) |
![{\displaystyle =ac'q'''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651e3791f3eee3ab430d3ef9dcce5c4509f30155) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2bc'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fa38d4c01a36e458e04dbcc3c76f59884701aa) |
![{\displaystyle q'q'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbdebd6fa625ffafd1b4f68faa14317047fb19c) |
,
|
![{\displaystyle AU^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f036b6d89c57029d9a13ca3e380bd73d0544f164) |
![{\displaystyle =a'cq'''^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35f7b62a0e225f370152db489bb71d0208ff1d2) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 2b'c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4853b40dbc47d6a11961578d60276dc4ea6dc6) |
![{\displaystyle q'''q''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc17fc716f09763c09628ab6a8b6517efd66442) |
,
|
Il suit de là que
,
,
, etc. sont divisibles par
,
d’où l’on conclut facilement que
est divisible par
, puisque
est le plus grand commun diviseur entre
,
,
, etc. ; mais
en substituant pour
,
,
, etc. leurs valeurs
, etc., ou
, etc. Ces équations se changeront en six autres,
dans lesquelles on aura à droite les produits de la quantité
par
,
,
, etc. ; nous laissons à effectuer ce
calcul qui est très-facile. Il suit de là qu’on a
.
De la même manière on obtient six autres équations dans lesquelles
est remplacé par
, et
,
,
,
par
,
,
,
,
où parvient à l’équation
, et l’on prouve que
est divisible par
.
Enfin on déduit encore les six équations :
![{\displaystyle BP^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24a9080028fd45540dcdd387d01e2025a1d00af) |
![{\displaystyle =-aa'p'q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a7e894dd61bb8ebefe9ae94f2265cef9132cc1) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle ab'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2097e1e202db50fa18915dd6a93c95559fecb5e9) |
![{\displaystyle (pq'+p'q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c0138dd0cc31dbb450c13cdcae57b339fe72ba) |
,
|
![{\displaystyle BQ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95979d671858716bef412469a8311f197891ac0) |
![{\displaystyle =-aa'p''q''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b310f9dabb68b803c2d0290983b756dd49c1fbb3) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle a'b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c5a993e14b31981c914bc29707da106be663a2) |
![{\displaystyle (pq''+p''q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77407799997b39112b3a1357dca8ab30d0792905) |
,
|
![{\displaystyle BR^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695c4175e6ca5ebae670b427b8ad9abc9b655a3f) |
![{\displaystyle =-aa'p'''q'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ca3b02ace85a37d9d4afb79f42699487fc5541) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle (bb'+\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0066af8f042a79e6353c164998cf5abd5aeba468) |
![{\displaystyle (pq'''+p'''q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0cff41d0cfaa30950c0dada5997afa5a73fe10) |
,
|
![{\displaystyle BS^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7f050474839acc735d58d78c872f0af86c3ba3) |
![{\displaystyle =-ac'p''q''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1e16b5b67b418d1d4b8d9b25c6b61d737b0f1a) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle (bb'-\Delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fbfd263f99242603779134f39e52b77373bc1bf) |
![{\displaystyle (p'q''+p''q')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deac99dd775176f3b48d82a936c7c879b64c31ee) |
,
|
![{\displaystyle BT^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c0826058bfafafae758cef2bac9c3ebe398a74) |
![{\displaystyle =-ac'p'''q'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40df660bc16874bc9e8767e49d12293894c842bd) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle bc'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525338ab7f68be579a985140ef1d5b6ce1968747) |
![{\displaystyle (p'q'''+p'''q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3712d3c4f66bf063ae4f1ea72fb874b10cf42a77) |
,
|
![{\displaystyle BU^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736889409af10b7bf6f5fca5299dd98c0194d9d0) |
![{\displaystyle =-a'cp'''q'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5041a7567679e099cb24ef6a670fc96441d844a4) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle b'c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c5132d6dafff278b3a50a04bc582429c4f9bce) |
![{\displaystyle (p''q'''+p'''q'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957fc05b72cf9534b133d3a55422e4d911bb1319) |
,
|
d’où l’on conclut que
est divisible par
; on déduira
aisément par les mêmes substitutions que ci-dessus, l’équation
.
Puisque
,
,
sont divisibles par
, il s’ensuit
que
est divisible aussi par
; mais on voit par les équations fondamentales que
divise les nombres
,
,
,
,
,
,
,
,
; partant,
,
,
, qui sont respectivement les plus grands diviseurs communs des trois premiers, des trois moyens et des trois derniers, et enfin
qui est le plus
grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque
est composée de
et
, c’est-à-dire lorsque
, on a nécessairement
. C’est la cinquième conclusion.
Si le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
est
, ou aura
, quand
sera une forme propre ou dérivée d’une forme propre, et
quand
sera une forme impropre ou dérivée d’une forme impropre. Soient de même
,
, les plus grands diviseurs communs des nombres
,
,
;
,
,
, respectivement : on aura
ou
,
ou
. Or il est évident que
divise
, que
divise
,
que parconséquent
divise
ou
, et que
divise
.
Ainsi, des six équations
etc., etc., il suit que
divise
, et partant
, car il divise aussi
et
;
donc toutes les fois que
sera composée de
et
,
divisera
lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes
,
sont
proprement primitives ou dérivées de formes proprement primitives ; on aura
; donc
, c’est-à-dire que
sera une forme semblable. Mais si, dans le même cas, chacune des formes
,
, ou l’une des deux seulement,
par exemple,
est improprement primitive ou dérivée d’une forme improprement
primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres
,
,
,
,
,
,
,
,
sont divisibles par
,
et partant,
; donc
; ainsi la forme
est improprement primitive, ou dérivée d’une forme improprement primitive. C’est la sixième conclusion.
Enfin nous observons que si les neuf équations
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) |
![{\displaystyle =\,an',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff27aebba2372679f9454f958768b07bbc3ae42) |
|
![{\displaystyle R-S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e35d75a3f335d4259c19912f1aae509a9dc8f70) |
![{\displaystyle =\,2bn',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990e903b3cb14df5e67f54aa8e43344a5b1724ea) |
|
![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) |
![{\displaystyle =\,cn',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fd63eac65b73ccd3436fc8e8d86db3fa7cd237) |
|
![{\displaystyle Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed) |
![{\displaystyle =\,a'n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b24a41a0aaa014deaf432e53a9c2f635c2f4095) |
|
![{\displaystyle R+S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c197ee381f4ea9804e5d5b33a0de0997fc99f722) |
![{\displaystyle =\,2b'n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30c27859d483ef64f8b5358d0208185c7fb7ff5) |
……(Ω)
|
![{\displaystyle T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0) |
![{\displaystyle =\,c'n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccd1d518a96becf3e4192db7df06e37cdbc43be) |
|
![{\displaystyle Ann'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1165694a70e885654bb9ab6ce18fe315fb5a1118) |
![{\displaystyle =\,q'q''-qq''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e114baddb3d48e612a6981e6c28f47da2183175) |
|
![{\displaystyle 2Bnn'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b34960602f2c9c5bc91cdd95b01bfb0f304a34) |
![{\displaystyle =\,pq'''+p'''q-p'q''-p''q',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe843dc3906d32c51b23614c14caa2358d7b758a) |
|
![{\displaystyle Cnn'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a027f94158fe8fc8c6cc8ceb298fcf97a5e86941) |
![{\displaystyle =\,p'p''-pp''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73eb14f1a391336a5e45c8c890de450f3ac3dc41) |
|
sont supposées avoir lieu, pourvu que
,
ne soient pas
,
on s’assurera facilement, par la substitution, que toutes les équations fondamentales sont satisfaites, c’est-à-dire que la forme
se change, par la substitution
,
,
,
;
,
,
,
, en le produit des formes
,
, et qu’on
a en outre
,
.
Nous laissons à l’intelligence du lecteur ce calcul, qui est trop
prolixe.
236. Problème. Étant données deux formes dont les déterminans sont égaux, ou du moins comme deux nombres quarrés, trouver une forme composée de ces deux formes.
Soient
,
les formes à composer ;
,
leurs déterminans ;
,
les plus grands diviseurs communs
des nombres
,
,
;
,
,
respectivement, et
le plus
grand commun diviseur des nombres
,
pris avec le même
signe que
et
. Alors
et
seront des nombres positifs
premiers entre eux dont le produit sera un quarré, ainsi chacun
d’eux sera un quarré (no 21). Ainsi
et
seront des
quantités rationnelles que nous représenterons par
et
, en
prenant
positif ou négatif, suivant que la forme
doit entrer
directement ou indirectement dans la composition, et de même à
l’égard de
.
et
seront parconséquent des entiers premiers
entre eux ; quant à
,
, ils peuvent être fractionnaires. Cela fait,
nous observerons que
,
,
,
,
,
sont
des nombres entiers, ce qui est évident pour les quatre premiers,
et qu’on démontrera pour les deux autres, comme on a démontré
que
et
étaient divisibles par
.
Soient pris maintenant quatre nombres entiers
,
,
,
à volonté, pourvu qu’ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers
membres des quatre équations suivantes, et qu’on suppose
|
![{\displaystyle K'an'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552da8e606beb6b83d297fd87f875ea06bc8bafe) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle K''a'n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdd6a38774dcd1db6ca09e5265135af51980550) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle K'''(bn'+b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284812e7991423052357a245df8faa74e35ee858) |
, |
![{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\\\ \\\ \ \end{matrix}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41727e65573c95ebcfb372cbb49697e3ee9d2126) |
…… (I).
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle Kan'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d204d4672b4256517343d4332ffbabc6b12e425) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle K'''c'n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d56e2b38ac2819f6d389ab55c59d9cc82f81059) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle K''(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b770cba388e2b6f9e24385bef7ac572ef38efd98) |
|
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68) |
![{\displaystyle K'''cn'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a840b0205f96ff3731cf1d186cb3c4534d08216) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle Ka'n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908ea10af10bf02f5af605ce2ce3817ed01ac604) |
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle K'(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98eb5fe221dfca3da3b07cad5cb54a2ac1622a4f) |
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle K''cn'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979edfa39dca91c4020987fdb0aaa366227f3cb2) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle K'c'n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3dd129d640515e65b4358b1227d0cbc02381304) |
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle K(bn'+b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ef1e79064b5f92fb5003842606aa192ae96f25) |
|
de manière que
,
,
,
soient des nombres entiers premiers entre eux, ce qu’on obtiendra en prenant pour
le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres
,
,
,
tels qu’on ait
![{\displaystyle \pi q+\pi 'q'+\pi ''q''+\pi '''q'''=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c6eb38c2e96644e6ea5dbc38dfb75f574d227c)
et cela fait on déterminera
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
,
![{\displaystyle p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e623e3163571a220ed60ecb31aa78c24104b85)
,
![{\displaystyle p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742133ed5e4136d6ea8474e14c87a30bb3af7bc8)
,
![{\displaystyle p'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1f625bd97e78596d6d6f3d50aedd78381eca30)
, par les équations suivantes :
enfin en posant.
![{\displaystyle q'q''-qq'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9fff95a841beed8f2455802f78879eb2f8ab31) |
,
|
![{\displaystyle pq'''+p'''q-p'q''-p''q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d03cff58b4f0c245f0bc3abf8f9705353ffbad8) |
,
|
![{\displaystyle p'p''-pp'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1242164d510053735e92feb32b2c9af2ae8b642b) |
,
|
,
,
seront des nombres entiers, et la forme
sera composée des formes
et
.
En effet 1o. des équations (I) on déduit sans peine les suivantes :
![{\displaystyle q'cn'-q'ca'n-q'''(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00b66ab6af90b5446959fca108bd51ed1e2a284) |
, |
|
![{\displaystyle qcn'+q'''a'n-q''(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfec0fe0c61b1492ca00cab5a4f0a39c9ec3acc) |
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e) |
……(III)
|
![{\displaystyle q'''an'+qc'n-q'(bn'+b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecad834660770776fbe4b3d45524c0155ad1906) |
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e) |
|
![{\displaystyle q''an'-q'a'n-q(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f45306a99ca400612693cd79bebfd559dee8b6) |
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e) |
|
2o. Supposons que les nombres entiers
,
,
,
,
,
,
,
soient déterminés de manière qu’on ait
![{\displaystyle A_{1}a+2B_{1}b+C_{1}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651d2a517e4829fa238bd8c866425331cdee422c) |
,
|
![{\displaystyle A_{2}a'+2B_{2}b'+C_{2}c'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782aaee85adbc60eb0aaa3eaa7d56445d683045f) |
,
|
![{\displaystyle Nm'n+Nmn'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7280da86536b4a5849341d25e214e8bdb02e2456) |
,
|
on en tire, par la substitution des valeurs de
,
dans la troisième équation
![{\displaystyle A_{1}N'an'+2B_{1}N'bn'+C_{1}N'cn'+A_{2}Na'n+2B_{2}Nb'n+C_{2}Nc'n=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a192b8d6dfb31a309dd1e155bb3761bbd4172b3)
de cette équation et des équations (III), en posant
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle q'A_{1}N'-Q''A_{2}N-q'''(B_{1}N'+B_{2}N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d89eca6d96d9719ac01223a0fbf39c9d285547) |
,
|
|
![{\displaystyle qA_{1}N'-q'''C_{2}N+q''(B_{1}N'-B_{2}N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5755e75e843584cdf9d956016bf22de7cc8944a) |
,
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle q'''C_{1}N'+qA_{2}N-q'(B_{1}N'-B_{2}N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a297739fbfab8658eebb0528def7152143ac10) |
,
|
|
![{\displaystyle q''C_{1}N'+q'C_{2}N+q(B_{1}N'+B_{2}N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b743d7766f298162872dd26fafdc82b8825da6) |
,
|
on trouvera facilement
|
![{\displaystyle k'an'+ki''a'n+k'''(bn'+b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bb03a46c483c27ad0e3403468dd2d44311dc94) |
, |
![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825) |
……
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle kan'+k'''c'n-k''(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d410ad0b1b554d631d2a4c86b6067eadd904dc) |
, |
![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825) |
……(IV) |
|
|
![{\displaystyle k'''cn'-ka'n+k'(bn'-b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54f3582456f6b402a2e6e6a52e6463b3d640545) |
, |
![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825) |
……
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle k''cn'-k'c'n-k(bn'+b'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352d5e0f49232aa03eb5723d40ec061fcc31b952) |
, |
![{\displaystyle \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf208e5d370391e66767f13641bd5ee6ad93825) |
……
|
Lorsque
ces équations ne sont pas nécessaires, et l’on peut
prendre à leur place les équations (I) elles-mêmes, dont elles
sont les analogues. Or si l’on substitue dans les valeurs de
celles de
on trouvera, en
réduisant, que les différens termes sont des entiers multipliés
les uns par
les autres par
ou
et que tous les termes
de la valeur de
contiennent le facteur
; or
et
Donc
,
sont des nombres entiers.
3o. En substituant les valeurs de
dans les six premières des équations (Ω), on trouvera qu’elles sont satisfaites
à l’aide de l’équation
et des équations (III). Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse ;
donc la forme
se changera en
par la substitution
,
,
,
,
,
,
, et son déterminant sera
, qui est égal au
plus grand commun diviseur des nombres
,
donc par
la quatrième conclusion du no précédent,
sera composée de
,
.
237. Théorème. Si la forme
est transformable en le produit de deux formes
et que la forme
renferme la forme
pourra aussi se transformer en
Conservons pour les formes
,
,
les signes du no 235, soit
, et
,
,
,
la transformation qui change
.
en
. On voit alors sans peine que
se change en
par la
substitution
,
,
,
,
,
,
,
.
Représentons, pour abréger, ces coefficiens par
,
,
,
;
,
,
,
et faisons
, en appliquant ici les équations Ω du no 235. On trouve
![{\displaystyle rs'-r's}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84eda7920c2b36264f7f8b0e1e1d46b950fcb978) |
![{\displaystyle =an'e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae325e29167b8c9352f3dbd3803799cea1381c80) |
![{\displaystyle rs'''-r'''s-(r's''-r''s')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a446b9f49d17c6821d06f95f956d8014730e3978) |
![{\displaystyle =2bn'e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a142555632c77ba884f6681b9083ae47aa5df) |
![{\displaystyle r''s'''-r'''s''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807de46198afbcc6580493389b1c60dc4812928e) |
![{\displaystyle =cn'e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915e13dc3051ccccc8d2986b3317f081bfb997c4) |
|
![{\displaystyle rs''-r''s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05edd11b7878e34bf0e329117c08645e5cf9cef3) |
![{\displaystyle =an'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af43c5ebaf7bd3891714e0d3e2b59595aa2e9fe) |
![{\displaystyle rs'''-r'''s+(r's''-r''s')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78074c9560eaeac7cf6b6849f3d3c90997f19c2) |
![{\displaystyle =2b''n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fc1780f77e04623023186c9feee9eab709c8fb) |
![{\displaystyle r''s'''-r'''s''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807de46198afbcc6580493389b1c60dc4812928e) |
![{\displaystyle =c''n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d82d23107633508887edca96370118feae357f3) |
|
![{\displaystyle s's''-ss'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aade0b13b93bd29ee5f8c1c3030afe2c84d85e20) |
![{\displaystyle =Ann'e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b07634a366d41ad1212412761ce55a5b02f95a) |
![{\displaystyle rs'''+r'''s-r's''-r''s'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d5bf9025a0d151efe32a5dfff57f46e998ba58) |
![{\displaystyle =2Bnn'e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57a1d7ee1dffac508a5cff03402cfad91d8699c) |
![{\displaystyle r'r''-rr'''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22eb67ff7a1965bbd3546a7da67be26763ce872c) |
![{\displaystyle =Cnn'e,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee69fd71db03a9b7940f04b74d29848e2ab0ee89) |
|
donc en représentant par
le déterminant de
, et faisant
, on aura
parceque
, et que
suivant que la forme
renferme
proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de
en
la forme
entrera de la même manière que
dans la transformation de
en
, ou d’une manière différente, suivant que
sera positif ou négatif, c’est-à-dire, suivant que
renfermera
proprement ou improprement.
238. Théorème. Si la forme
renferme
et que
puisse se changer en
la forme
pourra aussi se changer en
.
Conservons pour les formes
,
,
les mêmes signes que plus haut, et supposons que
se change en
par la substitution
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
,
![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
,
![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
,
![{\displaystyle \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
, on voit facilement que
![{\displaystyle F'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb2068c9fcb933aa21d1cfd42103514f5276e73)
se changera en
![{\displaystyle ff'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b64339819662cc5811c804168ed039022823c8e)
par la substitution
On prouvera en outre, par un calcul semblable à celui du no
précédent, que si
renferme
proprement, les formes
,
entreront dans la transformation de
en
de la même manière que dans la transformation de
en
et que dans le
cas contraire, elles entreront d’une manière inverse.
En combinant le présent théorème avec celui du no précédent,
nous obtenons le suivant, qui est plus général :
Si une forme
est transformable en
que
renferment les formes
respectivement, et que
renferme
sera transformable en
En effet, par le théorème du no présent,
se changera en
,
donc par le théorème du no précédent,
se changera en
et de
même en
. Or il est évident que si les trois formes
,
,
renferment proprement les trois formes
,
,
,
se composera
de la même manière en
que
en
; de même, si les trois
premières renferment improprement les trois dernières ; et enfin on
déterminera facilement de quelle manière
doit se composer
de
,
, si une des transformations est différente des deux autres.
Si les formes
,
,
sont équivalentes aux formes
,
,
,
respectivement, les premières auront les mêmes déterminans que
les dernières, et (no 161)
et
seront pour
,
ce qu’ils sont
pour
,
. D’où il suit, par la quatrième conclusion du no 235,
que si
est composée de
,
,
sera aussi composée de
,
,
et même que la forme
entre dans cette dernière composition
comme
dans la première, si
,
;
,
sont équivalentes de la
même manière, ou au contraire. De même à l’égard de
et
.
239. Théorème. Si la forme
est composée des formes
toute forme qui pourra se transformer en
de la même manière que
renfermera proprement cette dernière.
Conservons toujours pour
,
,
les signes du no 235, et supposons que la forme
, dont le déterminant
se change en
par la substitution
,
,
,
,
,
,
, et représentons pour cette composition, par
etc. les
analogues de
etc. Dans la première on aura
![{\displaystyle P_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568) |
, |
……(Ω'),
|
![{\displaystyle R_{1}-S_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5fbfec66aa73901e09f497be8b34aa66df1700) |
,
|
![{\displaystyle U_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9e7f892894bc50c32ce1b9f9a68a15562146ac) |
,
|
![{\displaystyle Q_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ea6463cb36d8278ff71214fb4d13127039ae53) |
,
|
![{\displaystyle R_{1}+S_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6dfb7c16abb6d9a4ef42e71220e1d715147f4e0) |
, |
|
![{\displaystyle T_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f304724948a3ef606c4a92459e22b87a954d993) |
,
|
![{\displaystyle n_{1}n'_{1}A'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80941b710f4051f38f1bc0900e6c96dc64d9520) |
,
|
![{\displaystyle 2n_{1}n'_{1}B'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35011bff58f3d1c20f7bc109071882e4d55b1f3) |
,
|
![{\displaystyle n_{1}n'_{1}C'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44606bd5fc91a6a37e73e129b420ed82cc3ad2a) |
|
et
étant les racines de
et
et de mêmes signes que
Soit donc
pris positivement, on aura
On déduit alors des six premières équations de
et
![{\displaystyle P_{1}=kP,\quad Q_{1}=kQ,\quad R_{1}=kR,\quad S_{1}=kS,\quad T_{1}=kT,\quad U_{1}=kU\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7501d49de94d396d43f98ec174e43f91d59852e7)
donc par le lemme du no 234, on pourra déterminer
de manière qu’on ait
|
, |
, |
etc. |
|
|
, |
, |
etc. |
|
et |
. |
|
En substituant maintenant les valeurs de
etc.,
etc.
dans les trois dernières équations de
on trouvera, à l’aide des équations
et des trois dernières de
|
|
|
ainsi la forme
se change en
par la substitution
qui est propre, puisque
et que
est positif.
Si donc
est aussi composée de
et de la même manière que
on aura
et partant
et
sont proprement équivalentes. Plus généralement, si
est composée de
de la même manière que
l’est de
et que les formes
soient proprement équivalentes aux formes
et
seront proprement équivalentes.
Comme le cas où les formes à composer entrent directement
dans la composition est le plus simple de tous, et que les autres
s’y ramènent facilement, nous nous y attacherons principalement,
ensorte que lorsque nous parlerons d’une forme composée de deux
autres, on devra toujours entendre que chaque forme entre directement dans la composition ; il en sera de même pour les
formes transformables en produits d’autres formes.
240. Théorème. Si la forme
est composée des formes
et
de
et
que
le soit de
et
de
les formes
,
sont proprement équivalentes.
I. Soient
et leurs determinans
,
,
,
,
,
,
, qui ont tous les
mêmes signes, et sont entre eux comme des quarrés. Soit
le plus grand commun diviseur des nombres
,
,
, et que
,
,
aient la même signification par rapport aux formes
,
,
; par la conclusion 4 du no 235,
sera le plus grand commun diviseur des nombres
et
, et partant
celui
des nombres
,
;
;
le plus grand commun diviseur des nombres
,
, ou des nombres
et
;
donc
est le plus grand commun diviseur des trois
nombres
,
,
. Par la même raison
est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres ; donc
puisque
et
doivent avoir le même signe, on a
,
c’est-à-dire que les formes
,
ont le même déterminant.
II. Supposons maintenant que
se change en
par la substitution
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
et
en
par la substitution
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
et désignons par
,
,
,
les racines positives de
,
,
,
. Alors, par le no 235, on aura dix-huit équations, dont la moitié appartiendra à la transformation de
en
, et l’autre moitié à la transformation de
en
: la première sera
,
et on peut, à l’instar, former toutes les autres, que nous omettons ici. Au reste, les quantités
,
,
,
sont rationnelles,
mais peuvent être fractionnaires.
III. Si l’on substitue les valeurs de
,
dans celles de
,
,
on a un résultat de la forme
![{\displaystyle t=rxx'+r'xx'y''+r''xx''y'+r'''xy'y''+r^{IV}x'x''y+r^{V}x'yy''+r^{VI}x''yy'+r^{VII}yy'y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948ebf520ae0da782eff4a5e4f4ebbcedb6924dd)
![{\displaystyle u=sxx'+s'xx'y''+s''xx''y'+s'''xy'y''+s^{IV}x'x''y+s^{V}x'yy''+s^{VI}x''yy'+s^{VII}yy'y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe48988a85cf6efbac231000fde6867d87ddb10c)
Le coefficient
, le coefficient
; les
quatorze autres peuvent se former de la même manière, nous ne
les plaçons pas ici, parceque chacun les trouvera sans peine.
Désignons maintenant les racines quarrées positives de
et
par
,
, on aura
,
. Cela posé, on trouvera facilement les vingt-huit équations suivantes :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
que nous désignerons par
, et les neuf suivantes :
,
,
,
,
![{\displaystyle rs^{VII}+sr^{VII}-r's^{VI}-r^{VI}s'+r'''s^{IV}+r^{IV}s'''-r''s^{V}-r^{V}s''=4b\nu '\nu H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a6de3a6a4db9748ef40ce3db4dcb9b8312070d)
,
,
,
,
que nous désignerons par
[3].
IV. Il serait trop long de faire ici le calcul pour ces trente-sept équations ; il suffira de le placer pour quelques-unes, afin
de donner un type d’après lequel on puisse trouver les autres.
1o. |
![{\displaystyle rs'-r's}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84eda7920c2b36264f7f8b0e1e1d46b950fcb978) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle (\pi \chi '''-\pi '''\chi -\pi '\chi ''+\pi ''\chi ')pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e959bdda65f2cd8609175689844b7a16ae95e9a) |
|
|
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle (\pi ''\chi '''-\pi '''\chi '')q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4274a1b02e93cf99eb0a6bfafe4df75cf5ec8328) |
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \nu ''(Ap^{2}+2Bpq+Cq^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac1c687311e1662c014364120989b01d2f71fd1) |
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
………………………… première équation |
|
2o. |
![{\displaystyle rs''-r''s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05edd11b7878e34bf0e329117c08645e5cf9cef3) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
………………………… deuxième équation |
|
3o. |
![{\displaystyle rs^{VII}-r^{VII}s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee8229a3128c8b67747788c27f21768c70cb55e) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
,
|
|
|
|
|
puisque ( III)
|
|
|
|
|
...... septième équation de Θ.
|
Les autres se trouveront de la même manière.
V. Des équations Θ, il suit, comme on va le voir, que les
vingt-huit nombres
,
, etc. n’ont aucun diviseur
commun. Nous observerons d’abord qu’avec les nombres
,
,
;
,
,
;
,
,
;
,
,
on peut former vingt-sept produits
de trois facteurs, tels que l’un de ces facteurs étant
, le second
sera un des nombres
,
,
, et le troisième un des nombres
,
,
; ou bien, le premier étant
, le second sera l’un des
nombres
,
,
, et le troisième un des nombres
,
,
;
ou enfin le premier étant
, le second sera l’un des nombres
,
,
, et le troisième un des nombres
,
,
. Or on s’assurera aisément, d’après les équations Θ, que chacun de ces produits est égal à l’un des nombres
, etc., ou à la somme de plusieurs, ou à leur différence. Si donc ces derniers nombres avaient un commun diviseur, les vingt-sept produits en auraient un. Mais il est facile de prouver, à l’aide du no 40, par une méthode souvent employée dans ce qui précède, que ce diviseur devrait aussi diviser les nombres
,
,
, et partant leurs quarrés, qui sont
,
,
. Mais (I)
est le plus grand commun diviseur des trois numérateurs ; donc les fractions sont premières entre elles, et n’ont parconséquent pas de diviseur commun.
VI. Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent regarde la
transformation de
en
et est tiré de celle de la forme
.
en
, et de
en
. Mais on trouvera absolument de la même
manière, par les transformations de
en
et de
en
,
la transformation de
en
:
![{\displaystyle t'=\rho xx'x''+\rho 'xx'y''+{\text{etc.}}\quad u'=\sigma xx'x''+\sigma 'xx'y''+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c078742c6a6ed2d79c9792295f8e27fcefc58b)
On en tirera, comme plus haut, vingt-huit équations que nous
désignerons par Θ’, et neuf que nous désignerons par Ψ’. Or sans
faire le calcul, il est aisé de voir que les équations Θ’ auront
les mêmes seconds membres que les équations Θ, et que les équations Ψ’ ne différeront des équations Ψ que par l’accent de
,
,
. Donc, puisque tous les nombres
, etc., n’ont point
de commun diviseur, on pourra, par le lemme du no 234, trouver
quatre nombres entiers
tels que l’on ait
VII. De là, en substituant les valeurs de
,
,
tirées des trois premières équations Ψ, et les valeurs de
,
,
tirées des trois premières équations Ψ’, on s’assure aisément que l’on a
![{\displaystyle a\left(G\alpha ^{2}+2H\alpha \gamma +L\gamma ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e253f2ef1c1fe10346900043219fed41ff8d1f2) |
, |
|
![{\displaystyle a\left(G\alpha \beta +H(\alpha \delta +\beta \gamma )+L\gamma \delta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647c07a89a80a1191d0f334840eed0d3369036b9) |
, |
|
![{\displaystyle a\left(G\beta ^{2}+2H\beta \delta +L\delta ^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6aead40a54f4367006398b622b25d910433fd4c) |
; |
|
d’où il suit, si l’on n’a pas
, que la forme
se change en
par la substitution propre
,
,
,
.
Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de Ψ
et Ψ', les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ’il y aura
ou
à la place de
, et comme on ne peut avoir à-la-fois
,
,
, la forme
se changera nécessairement en
par la substitution
,
,
,
.
241. Une forme telle que
ou
, qui naît de la composition avec une troisième, d’une forme composée de deux autres, sera dite composée de ces trois formes, et par le no précédent, on voit qu’il n’importe pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d’autant d’autres
formes qu’on voudra, et l’on démontrerait facilement que l’ordre
dans lequel ces formes sont composées est indifférent, c’est-à-dire, que les formes composées des mêmes formes sont toujours proprement équivalentes. Or il est évident que si les formes
,
,
, etc.
sont proprement équivalentes aux formes
,
,
, etc., la forme
composée des premières est proprement équivalente à la forme
composée des dernières.
242. Les propositions précédentes renferment la composition des
formes dans sa plus grande généralité ; passons maintenant à des
applications plus particulières, par lesquelles nous n’avons pas
voulu interrompre l’ordre du sujet. Nous commencerons par reprendre le problème du no 236, que nous limiterons par les conditions suivantes : 1o. que les formes à composer aient le même
déterminant, ou qu’on ait
; 2o. que
et
soient premiers
entre eux ; 3o. que la forme cherchée soit composée directement
des formes
,
. Il suit de là que
et
seront aussi premiers entre eux ; donc on aura
, puisque
doit être le plus grand commun diviseur des nombres
et
; donc
. Comme les quatre nombres
,
,
,
peuvent être pris à volonté, supposons-les
,
,
,
, ce qui sera toujours permis, à moins qu’on n’ait à-la-fois
, cas dont nous ne nous occuperons parconséquent pas ici, mais qui ne peut avoir lieu que pour les formes de déterminant positif quarré. Alors
sera le plus grand diviseur commun aux nombres
,
,
, et les nombres
,
,
doivent être pris de manière qu’on ait
; quant à
, il reste entièrement indéterminé. On tire de là, en substituant pour
,
,
,
, etc. leurs valeurs,
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3) |
|
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a) |
|
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029) |
[4].
|
Ainsi dans cette solution la valeur de
ne dépend pas des nombres
,
,
,
, qui peuvent être déterminés d’un nombre infini de manières ; à l’égard de
, il aura des valeurs différentes quand on en donnera d’autres à ces mêmes nombres, et il sera utile de chercher la liaison de ces valeurs de
.
1o. De quelque manière qu’on détermine
,
,
,
, les valeurs de
qui en résultent sont congrues suivant le module
. Supposons en effet qu’en faisant
,
,
,
,
on ait
, et qu’en faisant
,
,
,
on ait
, il en résultera les deux équations de condition.
![{\displaystyle a\delta '+a'\delta +(b+b')\delta '''=0\quad aa'\delta +ab'\delta '+ab'\delta ''+(bb'+D)\delta '''=\mu \Delta \ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c840d9280c4800946d9b973d13432dde979a5c1d)
multipliant le premier membre de la seconde équation par
, et le second par
, et retranchant du premier produit la quantité
![{\displaystyle (ab'\varpi '+a'b\varpi ''+(bb'+D)\varpi ''')(a\delta '+a'\delta ''+(b+b')\delta '''),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868927d4e8b9c7607103e3543031cb86af8cd46b)
qui est évidemment
, en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite,
![{\displaystyle \mu ^{2}\Delta =aa'\left\{\mu \delta +((b'-b)\varpi ''+c'\varpi '')\delta '+((b'-b)\varpi '+c'\varpi ''')\delta ''-(c'\varpi '+c\varpi '')\delta '''\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182f3987889aa0375d7a5f853db105f536f04369)
et partant,
est divisible par
, ou
par
.
2o. Si l’on rend
en faisant
on peut trouver pour ces nombres d’autres valeurs qui rendent
égal à un nombre quelconque donné congru à
suivant le module
c’est-à-dire, telles qu’on ait
Observons d’abord que les nombres
ne peuvent avoir de diviseur
commun, car s’ils en avaient un, il diviserait les six nombres
et partant, les six nombres
et parconséquent
et
qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers
tels qu’on ait
cela fait, si
l’on prend
il est clair que
sont des nombres entiers, et l’on s’assurera facilement qu’on a
![{\displaystyle a\delta '+a'\delta ''+(b+b')\delta '''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1954cf0b895b30ced50813a67c42d2a4b08761a3)
![{\displaystyle aa'\delta +ab'\delta '+a'b\delta ''+(bb'+D)\delta '''=aa'{\frac {k}{\mu }}(\mu h+ch'+c'h''+(b-b')h''')=\mu kA.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d89bd5fcdc7c521d49616dd453e79c96d9d2fde)
La première équation fait voir que
,
,
, ![{\displaystyle \varpi '''+\delta '''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e90ce9f8efc3e17cd7eee287628f8cd8cc9ca86)
,
sont des valeurs de
,
,
,
, et la seconde, que
ces valeurs rendent
.
Il suit de là que
peut toujours être déterminé de manière à tomber entre
et
, si
est positif, ou entre
et
, si
est négatif.
243. Des équations
![{\displaystyle \pi 'a+\pi ''a'+\pi '''(b+b')=\mu \quad B={\frac {1}{\mu }}\left[\pi aa'+\pi 'ab+\pi ''a'b+\pi '''(bb'+D)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccadcde65b102782fc8c41a865d51a9ac97275c)
on tire
![{\displaystyle B=b+{\frac {a}{\mu }}(\pi a'+\pi '(b'-b)-\pi ''c)=b'+{\frac {a'}{\mu }}(\pi a+\pi ''(b'-b)-\pi '''c')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb261d30fefb61e50f79604d9b4af5effb3a601)
donc
, et
. Toutes les fois que
et
seront premiers entre eux, il n’y aura entre
et
(ou entre
et
, si
) qu’un seul nombre qui soit
congru à
, suivant le module
, et à
, suivant
. Si on le fait
, et
, la forme
sera composée
des formes
,
. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire, pour la composition, de considérer les nombres
,
,
,
. Par exemple, si l’on cherche une forme composée des deux formes
,
,
,
,
seront respectivement
,
,
et
; donc
,
et
, d’où
; et la forme
sera celle qu’on cherchait. Au reste, la condition que
et
soient premiers entre eux, revient à ce qu’ils n’aient pas d’autre diviseur commun que le plus grand commun diviseur des trois nombres
,
,
, ou encore que le plus grand diviseur commun des nombres
,
, divise
.
On doit remarquer particulièrement les cas suivans :
1o. Étant proposées deux formes
,
de même déterminant
, telles que le plus grand diviseur commun des nombres
,
,
soit premier avec celui des nombres
,
,
, et que a soit premier avec
; on trouvera une forme composée de ces deux-là en faisant
,
et
,
. Ce cas aura toujours lieu quand l’une des formes à composer est une forme principale, c’est-à-dire qu’on a
,
,
.
On aura alors
,
pourra être pris
, d’où l’on tirera
; donc une forme quelconque est toujours composée d’elle-même et de la forme principale de même déterminant.
2o. Si deux formes opposées proprement primitives doivent être
composées, par exemple,
et
, on aura
d’où l’on voit facilement que la forme principale
est composée de ces deux formes.
3o. Étant données tant de formes qu’on voudra
etc., proprement primitives et de même déterminant
et dont les premiers termes
etc. soient des nombres premiers entre eux, on trouvera une forme
composée de celles-là, en prenant
égal au produit des nombres
etc.,
congru aux nombres
etc., suivant les modules
etc. respectivement, et
En effet, on voit facilement que
est composée des formes
que
est composée de cette dernière et de
etc.
4o. Réciproquement, étant donnée une forme proprement primitive
de déterminant
si l’on décompose le nombre
en facteurs premiers entre eux
etc., et que l’on prenne les nombres
etc. égaux à
ou du moins congrus à
suivant les modules
etc.,
etc., la forme
sera composée des formes
etc., ou sera décomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la même proposition a lieu également quand même la forme
serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d’autres de même déterminant, dont
les premiers termes sont tous des nombres premiers ou des puissances
de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour
composer plusieurs formes en une.
Soient, par exemple, à composer les trois formes
on décomposera la seconde en les deux
la troisième en
et il est clair que la forme composée des cinq formes
en quelque
ordre que ce soit, sera composée des trois formes données. Mais
la composition de la première et de la quatrième donne (1o.) la
forme principale ; la composition de la première et de la cinquième
la donne aussi ; donc (2o.) la forme composée définitive est
5o. Il nous semble qu’attendu l’utilité que présente ce procédé,
il n’est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L’observation précédente prouve que pour composer tant de formes
proprement primitives qu’on voudra, on peut réduire la difficulté à
n’avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient
des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer surtout le cas où l’on doit composer deux formes proprement primitives
,
, dans lesquelles
et
sont des puissances
d’un même nombre premier. Soit donc
,
,
étant
un nombre premier, et soit
,
sera le plus grand diviseur commun des nombres
,
, et s’il divise
, on rentrera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et
sera composée des formes proposées, pourvu que l’on
prenne
,
, et
, condition qui peut évidemment s’omettre ; enfin
. Mais si
ne divise pas
, le plus grand diviseur commun des trois
nombres
,
,
divisera
et sera une puissance de
; supposons-le
, il faudra déterminer les nombres
,
,
de manière qu’on ait
![{\displaystyle \pi 'h^{\alpha }+\pi ''h^{\alpha '}+\pi '''(b+b')=h^{\lambda },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f984b6ac797e658bf03b35fa8ad138b91c5e722f)
étant pris à volonté ; et la forme
sera composée des formes données, si l’on prend
![{\displaystyle A=h^{\alpha +\alpha '-2\lambda },\quad B=b+h^{\alpha -\lambda }\{\pi h^{\alpha '}-\pi '(b-b')-\pi ''c\},\quad C={\frac {B^{2}-D}{A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a0a1f4485618b2c088d81d3f7d1fe0cc9f50ee)
Mais on voit facilement que dans ce cas
peut être pris aussi à volonté ; donc en faisant
, on a
, ou plus généralement
(no précédent). Cette formule très-simple ne renferme que
, qui est la valeur de l’expression
.
Soit, par exemple, à trouver une forme composée des deux
formes
et
, on a
,
,
,
. Donc
,
est la valeur de l’expression
,
qui est
, d’où
, ou en faisant
,
et
; donc
est la forme cherchée.
Étant donc proposées tant de formes qu’on voudra, dont les
premiers termes sont des puissances de nombres premiers, il faut
examiner si quelques-uns d’entre eux sont des puissances de mêmes
nombres premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous
venons de donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De
cette manière on obtiendra des formes dont les premiers termes
seront encore des puissances de nombres premiers, mais de nombres
premiers differens ; ainsi par l’observation (3) on pourra trouver
une forme composée de ces dernières.
Par exemple, étant proposées les formes
,
,
,
,
,
; de la première et de la cinquième on tire la forme
; de la seconde et de la quatrième, la forme
; de cette dernière et de la sixième, la forme
, qui peut être négligée. Il reste les deux formes
et
, qui produisent la forme
, pour laquelle on peut prendre
, qui lui est proprement équivalente. Ainsi
est la résultante de la composition des six formes proposées.
Au reste, on peut tirer de là plusieurs artifices utiles dans la
pratique ; mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter plus
long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles,
244. Si un nombre
peut être représenté par une certaine
forme
et un nombre
par la forme
que d’ailleurs la forme
soit transformable en
on voit sans peine que le produit
peut être représenté par la forme
Il suit de là que lorsque
les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme
sera positive, si
et
sont ou toutes deux positives, ou toutes deux
négatives, et négative, si l’une est positive et l’autre négative.
Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons considéré au no précédent, où
est composée de
et où
ont le même déterminant
supposons encore que les représentations des nombres
,
par les formes
se fassent
par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la première appartienne à la valeur
de l’expression
et
la seconde à la valeur
de l’expression
et que
l’on prenne
alors (no 168), les formes
seront proprement équivalentes aux formes
donc
sera composée de ces deux formes ; mais la forme
sera composée des deux mêmes formes si,
étant le
plus grand commun diviseur des nombres
on fait
et
donc
cette forme sera proprement équivalente à la forme
Or le
nombre
se représente par la forme
en faisant
dont le plus grand diviseur commun est
donc
pourra être représenté par la forme
de manière que
les valeurs des indéterminées aient un diviseur commun
(no 166).
Donc toutes les fois que
pourra être représenté par
,
au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et
cette représentation appartiendra à la valeur
de l’expression
qui est congrue à
suivant les modules
La condition
a lieu quand
est premier avec
ou plus
généralement, quand le plus grand commun diviseur de
est
premier avec