223. Nous avons déjà fait voir plus haut, (nos 175, 195, 211),
qu’étant donné un nombre entier quelconque , on pouvait assigner
une suite de formes etc. de déterminant telles que
toute forme de déterminant soit proprement équivalente à l’une
d’elles, et à une seule. Ainsi toutes les formes de déterminant
donné dont le nombre est infini, peuvent se classer d’après
ces formes, en composant la première classe de toutes les formes
équivalentes à la seconde, de toutes les formes équivalentes
à etc.
On pourra choisir dans chaque classe de formes de déterminant une d’entre elles que l’on considérera comme forme représentante de toute la classe. Il est indifférent en soi quelle
forme on prend dans chaque classe, cependant on doit toujours
préférer celle qui est plus simple que toutes les autres. Or la simplicité d’une forme dépend évidemment de la grandeur
des nombres et on dira à juste titre que la forme
est plus simple que la forme si l’on a
. Mais il reste encore à savoir laquelle, par exemple, nous
choisirions des deux formes Le
plus souvent il sera avantageux d’observer la règle suivante :
I. Quand est négatif, on prendra les formes réduites pour formes
représentantes dans chaque classe ; mais s’il y a deux formes réduites dans la même classe, elles seront opposées (no 172), et l’on
prendra celle où le terme du milieu sera positif.
II. Quand sera positif non quarré, on formera la période
d’une forme réduite contenue dans la classe proposée ; cette période
renfermera deux formes ambiguës, ou n’en renfermera aucune
(no 187).
1o. Dans le premier cas, soient ces
formes ambiguës ; les résidus minima des nombres
suivant les modules résidus qu’on prendra positivement
s’ils ne sont enfin Cela posé,
on choisira celle des deux formes qui paraîtra la plus simple pour forme représentante. Dans ce
choix, on préférera la forme dont le terme du milieu ; mais quand cela arrive dans les deux formes, ou que cela n’arrive dans aucune, on doit choisir celle dans laquelle le premier terme est le plus petit, et quand il y a égalité au signe près, celle où le premier terme est positif.
2o. Dans le second cas, on choisira dans toute la période la
forme dont le premier terme est le plus petit, abstraction faite du
signe, de manière cependant que si dans la même période deux
formes avaient le premier terme au signe près, on préférerait
celle où il est positif. Soit cette forme, on en déduira, comme dans le cas précédent, une autre forme (en prenant pour le résidu minimum absolu de , suivant le module , et en faisant , et on la choisira pour représentante.
S’il arrivait que plusieurs formes de la période eussent le même
plus petit premier terme, on les traiterait toutes comme il vient
d’être prescrit, et parmi les formes qui en résulteraient, on prendrait pour représentante celle dans laquelle le terme du milieu
serait le plus petit.
Ainsi, par exemple, pour on a entr’autres la période
, |
, |
|
|
, |
, |
|
|
dans laquelle on choisit d’abord la forme d’où l’on tire ensuite la forme représentante
III. Quand le déterminant sera un nombre quarré on cherchera une forme réduite contenue dans la classe proposée ; et si ou , on la prendra pour la forme représentante ; mais si , on prendra à sa place la forme
dont le premier terme sera négatif, mais .
Exemple. De cette manière, on distribuera en 16 classes toutes
les formes de déterminant , classes dont les formes représentantes seront
, |
, |
|
|
, |
, |
|
|
et huit autres qui ne diffèrent des précédentes que par le signe
des termes extrêmes : , , etc.
Toutes les formes de déterminant se distribuent en six classes
dont les représentantes sont
, |
, |
, |
|
, |
, |
. |
|
224. Par cette classification, on sépare des autres toutes les
formes qui sont proprement équivalentes ; ainsi deux formes de
la même classe sont proprement équivalentes ; tout nombre qui
peut être représenté par l’une d’elles, peut l’être par l’autre ; et si un nombre peut être représenté par la première en donnant des valeurs premières aux indéterminées, il pourra être représenté par la seconde de la même manière, desorte même que les deux représentations appartiennent à la même valeur de l’expression . Mais deux formes qui appartiennent à des classes différentes, ne pourront être proprement équivalentes, et l’on ne peut pas conclure de ce qu’un nombre est représentable par l’une d’elles, qu’il le soit par l’autre ; au contraire, nous sommes en droit d’affirmer que si un nombre peut se représenter par la première, en donnant à , des valeurs premières entre elles, on ne pourra pas trouver de représentations de ce nombre par l’autre forme, appartenant à la même valeur de l’expression (nos 167, 168).
Au contraire, comme il peut arriver que deux formes , , prises dans deux classes différentes , , soient improprement équivalentes, auquel cas toute forme de la première classe sera improprement équivalente à toute forme de la deuxième ; chaque forme de aura son opposée dans , et les classes , , seront dites opposées. Ainsi, dans le premier exemple de l’article précédent, la troisième classe des formes de déterminant est opposée à la quatrième, et la septième à la huitième ; dans le second exemple, la troisième l’est à la sixième, et la quatrième à la cinquième. Étant donc proposées deux formes prises dans des classes
opposées, tout nombre qui pourra être représenté par l’une d’elles,
pourra l’être aussi par l’autre. Si pour l’une la représentation a lieu par des valeurs premières, il en sera de même pour l’autre, de manière
cependant, que les représentations appartiendront à des valeurs
opposées de l’expression . Au reste, les règles que
nous avons données pour le choix des formes représentantes, sont
établies de manière que les classes opposées obtiennent des représentantes opposées.
Enfin, il y a aussi des classes qui sont elles-mêmes leurs opposées ; savoir, si une forme et son opposée sont contenues dans
la même classe, on voit facilement que toutes les formes de cette
classe sont équivalentes entre elles, tant proprement qu’improprement, et qu’elles ont toujours leurs opposées dans la même classe.
Toute classe jouira de cette propriété, lorsqu’elle contiendra une
forme ambiguë, et réciproquement on trouvera une forme ambiguë dans toute classe qui est elle-même son opposée (nos 163, 165) ;
aussi cette classe s’appellera ambiguë. Ainsi, parmi les classes de
déterminant , on trouve huit ambiguës, dont les représentantes sont :
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
Parmi les classes de déterminant , il y en a deux : , .
Au reste, si l’on détermine les formes représentantes d’après les
règles que nous avons données, on trouvera sans peine les classes
ambiguës ; pour le déterminant positif non quarré, on trouvera
nécessairement des représentantes ambiguës pour des classes qui
le sont (no 194) ; pour le déterminant négatif, la forme représentante d’une classe ambiguë sera elle-même ambiguë, ou bien ses termes extrêmes seront égaux (no 172). Enfin, pour les formes de déterminant positif quarré, il est aisé de juger (no 210) si la forme représentante est improprement équivalente à elle-même, et partant, si la classe est ambiguë.
225. Nous avons déjà fait voir plus haut (no 175) que dans une
forme de déterminant négatif, les termes extrêmes doivent avoir le même signe, non-seulement entre eux, mais encore, que les termes extrêmes de toute autre forme qui lui est équivalente. Si , sont positifs, nous appellerons positive la forme , et la classe qui la renferme, et qui ne contiendra que des formes positives, s’appellera classe positive. Au contraire, si , sont
négatifs, sera une forme négative, et elle sera contenue dans une classe négative. Les nombres négatifs ne peuvent
être représentés par une forme positive, ni les nombres positifs
par une forme négative. Si est la représentante d’une
certaine classe, la forme sera celle de la classe
négative, et il suit de là qu’il y a autant de classes positives que
de négatives, et que les dernières seront déterminées, lorsque
les premières le seront. Ainsi, dans les recherches sur les formes
de déterminant négatif, il suffit le plus souvent de considérer
les classes positives, puisque leurs propriétés se rapportent facilement aux classes négatives.
Au reste, cette distinction n’a lieu que pour les formes de déterminant négatif ; les nombres positifs et négatifs peuvent être
représentés également par des formes quelconques de déterminant
positif, ensorte qu’il n’est pas rare que les deux formes ,
doivent être rapportées à la même classe.
226. Nous appelons forme primitive une forme quelconque
, lorsque les nombres , , n’ont pas de diviseur commun, autrement elle s’appellera dérivée, de manière que la forme
sera dite dérivée de la forme primitive ,
si m est le plus grand commun diviseur des nombres , , . Il
suit de là que toute forme sera primitive, si son déterminant n’est
divisible par aucun quarré ( excepté). Or, par le no 161, il
est clair que s’il y a une forme primitive dans une classe donnée,
toutes les formes de cette classe le seront également, et on l’appellera classe primitive. Il est d’ailleurs évident que si une
forme F de déterminant est dérivée d’une forme primitive
de déterminant et que et soient respectivement les classes
qui renferment les formes , toutes les formes de seront
dérivées de la classe ; ainsi la classe sera dite dérivée de la classe primitive .
Si est une forme primitive, et que , ne soient
pas tous les deux pairs, on voit facilement que , , n’auront pas
non plus de diviseur commun. Dans ce cas, la forme sera
dite proprement primitive, ou plus simplement forme propre ;
mais si sont pairs, les nombres auront pour commun et même pour plus grand commun diviseur ; alors la forme
sera improprement primitive, ou plus simplement impropre[1]. Dans ce cas, sera nécessairement impair, car autrement la forme ne serait pas primitive ; ainsi l’on aura
et partant, puisque est divisible par
les formes impropres auront donc des déterminans de la forme ou suivant qu’ils seront positifs ou négatifs. Mais, par le no 161, il est clair que
s’il y a dans une classe une forme proprement primitive, toutes
les autres le seront, et que de même, une classe qui renferme une
forme improprement primitive, n’en renfermera que de cette espèce.
Ainsi nous appellerons cette classe, dans le premier cas, proprement primitive ou propre, et dans le second cas, improprement primitive ou impropre. Par exemple, parmi les classes positives
de déterminant il y en a six propres, savoir, celles dont
les représentantes sont :
et autant parmi les classes négatives ; il y en a deux impropres de
chaque espèce. Quant aux classes de déterminant , elles sont
toutes propres, puisque est de la forme .
Si la forme est dérivée de la forme primitive
, cette dernière peut être propre ou impropre. Dans
le premier cas dans le second , sera le plus grand commun diviseur des nombres , , , ce qui fait entendre la distinction entre une forme dérivée d’une forme proprement primitive, et une forme dérivée d’une forme improprement primitive,
et partant (no 161) entre une classe dérivée d’une classe proprement primitive, et une classe dérivée d’une classe improprement primitive.
Par cette distinction nous avons trouvé le principe qui nous
servira à distribuer par ordres toutes les classes de formes de déterminant donné.
Nous rangerons dans le même ordre les deux formes ,
, si l’on a à-la-fois le même plus grand diviseur commun pour , , ; , , , pour , , et , , ; mais
si l’une ou l’autre de ces conditions n’a pas lieu, les classes se
rapporteront à des ordres différens. Il suit de là immédiatement,
que les classes proprement primitives composent un ordre, et
toutes les classes improprement primitives, un autre. Si est
le quarré qui divise le déterminant , les classes dérivées des
classes proprement primitives de déterminant composeront un
ordre particulier, et les classes dérivées des classes improprement
primitives de déterminant en composeront un autre. Si par
hasard n’est divisible par aucun quarré (excepté ), il n’y aura
pas d’ordres de classes dérivées, et partant il n’y aura qu’un
ordre, lorsque ou , celui des classes proprement
primitives, ou deux, lorsque , celui des classes
proprement primitives, et celui des classes improprement primitives.
On déduit sans peine la règle suivante par le calcul des combinaisons (no 17). En supposant , etc.,
desorte que ne renferme aucun facteur quarré, le nombre des
ordres sera si ou ; ou si .
Exemple Ier. Si , on aura six classes dont les représentantes sont :
, |
,
|
, |
,
|
, |
,
|
et elles peuvent se distribuer en quatre ordres,
1o. , , propres ; 2o. , ,
impropres ; 3o. la classe dérivée d’une classe propre
de déterminant ; 4o. la classe dérivée d’une classe
impropre de déterminant .
Exemple II. Les classes positives de déterminant peuvent se distribuer en quatre ordres, en désignant les classes
par leurs représentantes.
Le premier contient les classes propres suivantes :
Le deuxième, les classes impropres :
Le troisième, les classes dérivées de classes propres de déterminant
Le quatrième, une classe dérivée d’une impropre de déterminant
On distribuera par ordre, de la même manière, les classes négatives de même déterminant.
On voit sans peine que les classes opposées se rapportent au
même ordre.
227. Parmi tous les ordres, celui des classes proprement primitives mérite la plus grande attention ; car toutes les classes dérivées
tirent leur origine de certaines classes primitives de déterminant
moindre, de la considération desquelles suit le plus souvent de
soi-même ce qui regarde les premières. Or nous ferons voir plus
bas qu’une classe improprement primitive quelconque répond toujours à une ou à trois classes proprement primitives, et l’on sait
que les classes négatives répondant toujours à certaines classes
positives, on pourra ne pas s’en occuper.
Afin d’examiner plus à fond la nature des classes proprement
primitives, nous expliquerons avant tout une certaine différence
essentielle, d’après laquelle un ordre entier de classes peut se
subdiviser en genres, et comme nous n’avons pas encore parlé de
cet important sujet, il faudra prendre la chose dès l’origine.
228. Théorème. Il y a une infinité de nombres non divisibles par un nombre premier donné quel qu’il soit, qui peuvent être représentés par une forme proprement primitive
Soit il est évident que ne divisera pas
à-la-fois les nombres Or, quand n’est pas divisible
par il suffira de donner à une valeur non-divisible par
et à une valeur divisible. Quand n’est pas divisible par on pourra donner à une valeur non-divisible et à une valeur
divisible ; enfin, quand et sont divisibles par , et que partant
ne l’est pas, on pourra donner à et à des valeurs non-divisibles. Dans ces trois cas, il est évident que la valeur de la
forme ne sera pas divisible par .
Le théorème a lieu également pour les formes improprement
primitives, pourvu qu’on n’ait pas .
Comme plusieurs conditions de cette espèce peuvent exister
à-la-fois, de manière qu’un nombre soit divisible par de certains
nombres premiers, et qu’il ne soit pas divisible par d’autres, on
voit facilement que les nombres , peuvent être déterminés
d’une infinité de manières qui rendent non-divisible par tant
de nombres premiers qu’on voudra (excepté lorsque la forme
est improprement primitive). Ainsi le théorème peut être énoncé
plus généralement ainsi qu’il suit :
On peut représenter par une forme primitive quelconque, une infinité de nombres premiers à un nombre donné quelconque (impair, quand la forme est improprement primitive).
229. Theorème. Soit une forme primitive de déterminant un nombre premier qui divise alors tous les nombres non-divisibles par qui peuvent être représentés par la forme seront tous résidus quadratiques de ou tous non-résidus.
Soit deux nombres quelconques non-divisibles par et qui peuvent être représentés par la forme
on aura
et partant
donc sera congru à un quarré, suivant le module et
parconséquent suivant le module c’est-à-dire que est résidu quadratique de Il suit de là que et seront tous deux
résidus ou non-résidus (no 98).
On prouve de la même manière, que si est divisible par
les nombres impairs qui peuvent être représentés par sont tous , ou tous ; en effet, le produit de deux d’entre
eux sera résidu de , et partant ; parconséquent ils
seront tous les deux , ou tous les deux .
Enfin, quand est divisible par , le produit de nombres impairs qui peuvent être représentés par , est résidu de , et partant ; ainsi dans ce cas les nombres impairs qui
peuvent être représentés par sont tous , ou tous , ou
tous , ou tous .
Par exemple, le nombre , qui est non-résidu de , pouvant
être représenté par la forme , tous les nombres non-divisibles par qui pourront être représentés par cette forme seront non-résidus de . Comme peut être représenté par la
forme et qu’il est , tous les nombres impairs qui pourront être représentés par cette forme seront aussi
.
Au reste, s’il était nécessaire pour notre objet, nous pourrions
démontrer facilement que les nombres représentables par la forme
n’ont pas ainsi une relation fixe à l’égard d’un nombre premier
qui ne divise pas , et que l’on peut représenter par la forme
des résidus ou non-résidus de ce nombre premier indifféremment.
Mais quant aux nombres et , il y a dans les autres cas quelque
chose d’analogue que nous ne pouvons pas passer sous silence.
I. Quand le déterminant d’une forme primitive est , les nombres impairs représentables par seront tous , ou tous .
Soient, en effet, , deux nombres représentables par , on pourra, comme ci-dessus, ramener leur produit à la forme ,
et les deux nombres , étant impairs, l’un des deux nombres , sera pair et l’autre impair, et partant l’un des quarrés , sera , l’autre ; d’où l’on conclut aisément que
, et parconséquent , tous deux ou
tous deux . Ainsi, par exemple, par la forme on ne peut représenter d’autres nombres impairs que ceux qui sont de la forme .
II. Quand le déterminant d’une forme primitive est , tous les nombres impairs représentables par seront
ou en partie et en partie , ou en partie et en partie .
Soient , deux nombres représentables par leur produit
peut être ramené à la forme ; si et sont impairs,
doit l’être puisque est pair, et parconséquent on a ; or si est pair, sera , ou ; s’il est
impair, sera ; ainsi ne peut être que
ou . Il suit de là que ou , et que
si ou , on aura aussi ou ; si ou ,
sera ou . Par exemple, tous les nombres représentables par la forme sont ou , et aucun nombre de la forme ou ne peut être représenté par la forme .
III. Quand le déterminant d’une forme primitive est , les nombres impairs qui pourront être représentés par seront ou en partie et en partie , , ou en partie et en partie .
Chacun pourra faire la démonstration, qui est absolument semblable à la précédente.
Par exemple, par la forme on ne pourra représenter
que des nombres qui sont ou .
230. Ainsi tous les nombres qui peuvent être représentés par
une forme primitive donnée de déterminant ont une relation
déterminée avec les différens diviseurs premiers de par lesquels ils ne sont pas divisibles, et les nombres impairs qui peuvent
être représentés par ont, dans certains cas, une relation avec
les nombres et savoir, avec , toutes les fois que
ou et avec , toutes les fois que ou
ou Cependant on pourra négliger la relation qui
a lieu avec , lorsque sera divisible par car cette relation
est contenue dans celles qui ont lieu avec . Nous appellerons caractère ou caractère particulier cette espèce de relation, et nous l’exprimerons de la manière suivante. Quand il n’y a que les résidus
du nombre premier qui peuvent être représentés par la forme
nous lui attribuerons le caractère et dans le cas contraire, le
caractère ; de même nous écrirons , quand on ne pourra représenter par la forme d’autres nombres impairs que ceux qui sont
, d’où l’on voit clairement quels sont les caractères
exprimés par les signes
Enfin quand on ne pourra représenter que des nombres qui sont
ou , nous attribuerons à la forme le caractère
et , d’où l’on voit ce que signifient les caractères et
; et ; et .
Les différens caractères d’une forme primitive donnée de déterminant peuvent se connaître au moins par un des nombres , qui sont évidemment représentables par cette forme. En effet, toutes les fois qu’un nombre premier est diviseur
de , il y aura au moins un des nombres , qui ne sera pas
divisible par , puisqu’on a , et que d’après cela et parconséquent sera divisible par tout diviseur premier de
et de l’un des nombres , et que si tous les deux l’étaient, il s’ensuivrait que la forme ne serait pas primitive. De même, dans les cas où la forme une relation déterminée avec les nombres et , il y aura au moins un des nombres , impair et dont on pourra tirer la relation.
Par exemple, le caractère de la forme à l’égard du nombre , se conclut du nombre , et il est , et à l’égard
du nombre , il se conclut du nombre , et il est ; enfin le caractère de cette forme, à l’égard du nombre , peut se déduire du nombre et du nombre .
Comme tous les nombres qui peuvent être représentés par une
forme contenue dans une classe , peuvent l’être aussi par toute autre forme de la même classe, il est évident que les différens caractères de la forme appartiennent aussi à toutes les autres formes de cette classe. Ainsi les caractères d’une classe
primitive quelconque se connaissent par leur représentante. Les
classes opposées ont toujours tous les mêmes caractères.
231. L’ensemble des caractères particuliers d’une forme ou
d’une classe donnée constitue le caractère complet de cette forme ou de cette classe. Ainsi, par exemple, le caractère de la forme
, ou celui de toute la classe qu’elle représente, est ;
; . De la même manière, le caractère complet de la
forme sera ; ; : car le caractère particulier de la forme est compris dans le caractère . De là nous
tirons une subdivision de tout l’ordre des classes proprement primitives (positives, quand le déterminant est négatif) d’un déterminant donné en plusieurs genres, en rapportant au même genre
toutes les classes qui ont le même caractère complet, et à des
genres différens toutes celles qui ont différens caractères complets.
Nous attribuerons à ces genres les caractères complets des classes
qui y sont contenues.
Par exemple, pour le déterminant , il y a seize classes
positives proprement primitives, qui peuvent se distribuer en quatre
genres, de la manière suivante :
- Caractère. ——————Formes représentantes des classes.
|
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On peut faire les remarques suivantes sur le nombre des caractères complets différens.
I. Quand le déterminant est divisible par , à l’égard du
nombre il peut y avoir quatre caractères particuliers différens ;
le nombre ne donne aucun caractère particulier (no précéd.).
En outre, à l’égard de chacun des diviseurs impairs et premiers
de , il peut y avoir deux caractères, ainsi, si leur nombre est ,
il y a caractères complets différens, en faisant toutes
les fois que est une puissance de .
II. Quand n’est pas divisible par , mais par et en outre
par nombres premiers impairs, il y aura caractères complets différens.
III. Quand est pair, mais non divisible par , il sera
ou ; dans le premier cas, on aura à l’égard du
nombre , savoir, et ; et , et autant dans le second.
Si donc l’on suppose diviseurs premiers impairs, il y aura
caractères complets.
IV. Quand est impair, il sera ou . Le caractère du premier cas n’entre pas dans le caractère complet. Dans
le second cas, il y a à l’égard de deux caractères. Ainsi étant
le même que ci-dessus, il y aura dans le premier cas , dans
le second caractères complets.
Mais il faut bien remarquer qu’il ne suit pas de là qu’on ait
autant de genres différens que de caractères complets possibles.
Dans l’exemple précédent, le nombre des genres est moitié de
celui des caractères, et il n’y a pas de classes positives qui aient
pour caractère
|
; ; |
——ou—— |
; ;
|
ou |
; ; |
——ou—— |
; ;
|
Nous traiterons plus bas avec détail ce sujet important.
Comme la forme est évidemment la plus simple
des formes de déterminant , nous lui donnerons le nom de
forme principale, à la classe dans laquelle elle est contenue,
celui de classe principale, et enfin au genre auquel cette classe
appartient, celui de genre principal. Ainsi il faut bien distinguer
la forme principale, de la forme d’une classe principale et de
la forme d’un genre principal, ainsi qu’une classe principale et
une classe d’un genre principal. Nous nous servirons toujours de
ces dénominations, même quand il arriverait que pour un certain
déterminant il n’y eût pas d’autre classe que la classe principale,
ou pas d’autre genre que le genre principal, comme cela a lieu
souvent dans le cas où est un nombre positif de la forme .
232. Quoique ce qui a été expliqué sur les caractères des
formes l’ait été surtout dans le dessein d’en déduire la subdivision en genres de l’ordre entier des classes positives proprement
primitives, rien n’empêche qu’on ne l’applique aux formes et aux
classes négatives ou improprement primitives, et qu’on ne subdivise en genres, tant l’ordre proprement primitif positif ou négatif, que l’ordre improprement primitif positif ou négatif.
Ainsi, par exemple, lorsqu’on a partagé en deux genres l’ordre
proprement primitif des formes de déterminant ,
|
|
|
|
|
;
|
l’ordre Improprement positif peut se subdiviser de même en deux
genres,
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ou, de même que les classes positives des formes de déterminant
se distribuent en quatre genres,
|
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les classes négatives se partagent aussi en quatre ordres,
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Mais puisque le système des classes négatives se trouve toujours
si semblable à celui des classes positives, il semble qu’il est le
plus souvent inutile de les considérer séparément. Quant à l’ordre
improprement primitif, nous enseignerons plus bas à le réduire
à l’ordre proprement primitif.
Pour la subdivision des ordres dérivés, il n’est pas nécessaire
de donner de nouvelles règles ; puisque chaque ordre dérivé tirant
son origine de quelque ordre primitif de déterminant moindre,
la subdivision d’un ordre dérivé suit naturellement de celle de
l’ordre primitif dont il provient.
233. Si une forme primitive est telle que l’on
puisse trouver deux nombres , pour lesquels on ait
, , , suivant un module donné , on aura , et partant on peut
dire que la forme est résidu de , et que est la valeur de l’expression , ce que nous
exprimerons plus simplement en écrivant que est une valeur de ; plus généralement, si un nombre premier avec est tel qu’on ait , , ,
nous dirons que est résidu de et .
Ainsi, par exemple, la forme est résidu quadratique de ,
et est la valeur de . De même
est la valeur de l’expression .
On verra plus bas l’usage de ces expressions ; ici nous ferons
les remarques suivantes :
1o. Si est résidu quadratique de , divisera le
déterminant de la forme ; en effet, puisqu’on a ,
, , on en tire
Mais comme est premier avec , il s’ensuit donc que
est divisible par .
2o. Si est résidu de et que soit un nombre
premier, ou une puissance d’un nombre premier, , par exemple,
le caractère particulier de la forme , à l’égard du
nombre , sera ou , suivant que sera résidu ou
non-résidu de . En effet, et sont résidus de , et il
y a au moins un des nombres , qui n’est pas divisible par
(no 230) ; donc si est résidu ou non-résidu, un des deux nombres
et le sera aussi.
De même, si toutes choses d’ailleurs égales, le caractère particulier de la forme sera ou suivant
que l’on aura ou ? et si ou une plus
haute puissance de , le caractère particulier de la forme
sera ; ; ; , suivant que ; ; ; .
3o. Réciproquement si est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier qui divise et que
soit résidu ou non-résidu de , suivant que le caractère particulier de la forme , à l’égard du nombre , est
ou respectivement, sera résidu de . En effet,
quand n’est pas divisible par , sera résidu de , et partant de lui-même ; si donc est une valeur de l’expression
et que soit une valeur de , on
aura , , et partant et ;
enfin , d’où ;
donc est une valeur de l’expression . Mais
quand est divisible par , comme alors ne l’est sûrement
pas, on voit qu’on arrivera au même résultat, en prenant
et .
On démontre de la même manière, que si qu’il divise
, et qu’on prenne le nombre ou , suivant que
le caractère particulier de la forme est ou ,
sera résidu de , et que ou une plus haute puissance de ,
par laquelle soit divisible, et que l’on prenne ;
; ; , suivant que le caractère particulier de la
forme le demande, sera résidu de .
4o. Si le déterminant de la forme est , et que
soit résidu de , tous les caractères particuliers de
la forme, tant à l’égard des diviseurs premiers de , qu’à
l’égard des nombres et , s’ils sont diviseurs de , peuvent
se connaître sur-le-champ par le nombre . Ainsi, par exemple,
comme est résidu de , c’est-à-dire que
est une valeur de l’expression , et qu’on
a et ; les caractères de la forme sont
; ; . Les caractères, relatifs à et à , toutes les
fois que ces nombres ne divisent pas , sont les seuls qui ne dépendent pas nécessairement du nombre .
5o. Réciproquement, si le nombre premier avec renferme tous les caractères particuliers de la forme excepté ceux relatifs à et à , quand ces nombres ne divisent pas , sera résidu de . En effet, par ce qui a été dit (3o.), il est clair qu’en mettant sous la forme … , , , etc. étant des nombres premiers différens, sera résidu
de chacun des nombres , , , etc. ; si donc la valeur de
est ; que
soit , que soit , etc.
et que les nombres , soient déterminés de manière qu’on ait
, , , etc., , , , etc., suivant les modules
, , , etc. respectivement (no 32), on verra facilement
que l’on aura , , , suivant chacun des
modules , , , et parconséquent suivant le module ,
qui est leur produit.
6o. Pour toutes ces raisons, les nombres tels que , qu’on
peut trouver sans peine, par ce que nous avons dit (5o.), dès qu’on
connaît les caractères particuliers de la forme, se nommera
nombre caractéristique. On trouve sans peine les plus simples, par
tâtonnement, dans un grand nombre de cas. Il est évident que si
est le nombre caractéristique d’une forme primitive donnée de
déterminant tous les nombres qui lui seront congrus suivant
le module seront caractéristiques de la même forme ; que
les formes d’une même classe, ou même de classes différentes,
mais du même genre, ont le même nombre caractéristique, et que parconséquent tout nombre caractéristique de la forme donnée peut être attribué à toute la classe et à tout le genre ; enfin que est nombre caractéristique des forme, classe et genre principaux, c’est-à-dire, que toute forme principale est résidu de son déterminant.
7o. Si est une valeur de l’expression et qu’on ait , sera aussi valeur de cette expression. De telles valeurs peuvent être regardées comme équivalentes ; au contraire, si et sont valeurs de l’expression et qu’on n’ait pas
, on doit les considérer comme différentes. Il est évident que si est une valeur, en est une aussi, et on démontre facilement qu’elles sont différentes, à moins qu’on n’ait On démontre aussi facilement que l’expression ne peut pas avoir plus de
valeurs différentes que ses deux opposées, quand m est un nombre
premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair,
ou ; mais quand ou une plus haute puissance de ,
il y en a quatre en tout. On conclut facilement de là, au moyen
de ce qui a été exposé (6o.), que si le déterminant de la
forme est , etc, , , etc. étant des
nombres premiers impairs dont le nombre est , et que soit
le nombre caractéristique de cette forme, il y aura en tout ,
ou valeurs différentes de l’expression , suivant que , ou . Ainsi, par exemple,
on a 16 valeurs de l’expression ,
qui sont :
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
.
|
Nous supprimons la démonstration, qui est assez longue, et qui
n’est pas nécessaire ici.
8o. Observons enfin que si deux formes équivalentes , ont
pour déterminant, que le nombre caractéristique soit et
que se change en par la substitution , , , , d’une valeur de , on tirera
pour la valeur de , chacun pourra trouver sans peine la démonstration.
234. Après avoir exposé ces détails sur la distribution des
formes en classes, en genres et en ordres, et avoir expliqué les
propriétés qui naissent de ces distinctions, nous allons passer à
un autre sujet très-important et dont personne ne s’est encore
occupé, à la composition des formes ; mais avant de commencer
cette recherche, nous placerons le lemme suivant, pour ne pas
être obligé d’interrompre l’ordre des démonstrations.
Lemme. Si l’on a quatre suites de nombres entiers : composées d’autant de termes, et telles qu’on ait
|
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|
|
|
|
etc.
|
|
|
|
etc., etc.
|
ou généralement étant un nombre entier donné, , des entiers différens dont est le plus grand, et compris entre et qu’en outre, toutes les quantités de la forme n’aient pas de diviseur commun ; alors on peut trouver quatre nombres entiers , , , tels que l’on ait
|
—— |
—— |
——etc.
|
|
|
——etc.
|
ou généralement auquel cas on aura
Puisque, par hypothèse, les nombres , , etc.
, etc., dont le nombre est , n’ont pas de diviseur commun, on peut trouver autant de nombres entiers tels
que la somme des produits des premiers par les derniers soit
(no 40). Désignons ces multiplicateurs par , , etc.
, etc. ; ou généralement désignons le multiplicateur de
par , desorte qu’on ait ,
désignant la somme de toutes les valeurs qui peuvent résulter de la quantité qu’il précède, lorsqu’on
donne successivement à et toutes les valeurs comprises entre
et , de manière que . Cela posé , si l’on fait
|
,
|
|
,
|
|
,
|
|
,
|
les nombres , , , jouiront des propriétés énoncées ci-dessus.
I. étant un nombre entier quelconque entre et , on aura
|
|
|
|
|
|
|
|
;
|
et par un calcul semblable, on prouve que .
II. On a parconséquent , , et
partant
|
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de même…………
|
de même…………… |
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|
|
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|
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|
|
, |
|
d’où l’on tirera plus facilement les valeurs de , , , , pourvu
qu’on prenne et de manière que ne soit pas ,
ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme
sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que parconséquent elles ne peuvent pas être toutes . On tire aisément de ces équations
|
|
|
|
|
|
d’où nécessairement .
235. Si la forme se change en le produit des deux formes ,
par la substitution
|
, |
|
|
, |
|
(ce que nous exprimerons d’une manière abrégée en disant : Si
se change en par la substitution , , , ; , , , )
la forme sera dite transformable en , et si de plus cette
transformation est telle que les six nombres
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n’aient pas de diviseur commun, la forme sera dite composée
des formes , .
Nous commencerons par l’hypothèse la plus générale, celle où
la forme se changerait en par la substitution , , , ;
, , , , et nous développerons les conséquences qui en
résultent.
Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes :
Soient , , les déterminans des formes , , respectivement ; , , les plus grands communs diviseurs des nombres
, , ; ; respectivement, , , étant pris
positivement. Déterminons les six nombres , , ; , , ; , ,
de manière qu’on ait
Faisons enfin , , , , , , et supposons que soit leur plus grand commun diviseur[2].
Posant maintenant
………(10),
l’équation (9) donne
………(11),
De ces onze équations on tire les suivantes, savoir :
En élevant l’équation (5) au quarré et en retranchant le
produit de l’équation (1) par l’équation (2),
……(12) ;
en multipliant l’équation (5) par l’équation (9), l’équation (1) par l’équation (7), l’équation (2) par l’équation (6), et retranchant du premier produit la somme des deux derniers,
……(13) ;
en multipliant l’équation (10) par l’équation (11), l’équation (6) par l’équation (7), et retranchant le second produit du premier,
……(14) ;
en ajoutant le double produit des équations (5) et (8), les quarrés des équations (10) et (11), et retranchant de leur somme les produits des équations (1) et (4), (2) et (3) et deux fois le produit des équations (6) et (7),
……(15) ;
en retranchant du produit de l’équation (8) par l’équation (9), la somme des produits des équations (5) et (7), (4) et (6),
……(16) ;
en retranchant du quarré de l’équation (8) le produit des équations (3} et (4),
……(17) ;
en remplaçant dans les mêmes calculs les équations (2), (5), (7), par les équations (3), (6), (8) respectivement, et réciproquement :
|
|
………(18)
|
|
|
………(19)
|
|
|
………(20)
|
|
|
………(21)
|
|
|
………(22)
|
|
|
………(23)
|
De ces équations on tire, 1o. en retranchant le quarré de
l’équation (13), du produit des équations (12) et (15) ; 2o. en
retranchant le produit des équations (12) et (17), du quarré de
l’équation (14) :
………
,
ce qui prouve la relation
, soit qu’on ait ou non
. Cette manière de trouver l’équation
suffit pour les recherches présentes ; mais nous aurions pu la trouver directement par une analyse plus élégante mais trop longue pour être placée ici, en déduisant directement des onze premières équations celle-ci
. Nous supposerons donc qu’on ait effacé dans les équations (14), (15), (20), (21).
Or si l’on fait
où , peuvent être des fractions, pourvu que et soient
entiers, on tire facilement des équations (12)……(17),
et des équations (18)..... .(23) ,
On a donc d’où nous tirons une première condition : les déterminans des formes sont entre eux comme des nombres quarrés ; et une seconde : divise toujours et Il suit donc de là que sont de même signe,
et qu’aucune forme ne peut être transformée en le produit si son déterminant est plus grand que le plus grand diviseur commun des nombres et
Si l’on multiplie les équations (12), (13), (14) par
respectivement ; les équations (13), (15), (16), les équations (14),
(16), (17) par les mêmes nombres et de la même manière ; que
l’on ajoute les trois produits en y remplaçant par on trouve, à l’aide de l’équation
de même, en multipliant, 1o. les équations (18), (19), (20) ; 2o. les équations (19), (21), (22) ; 3o. les équations (20), (22), (23) par respectivement, on a
Ce qui donne une troisième condition : les nombres sont proportionnels aux nombres et en supposant que leur rapport est celui de à sera la racine quarrée de de même, les nombres sont proportionnels aux nombres et si l’on suppose que leur rapport est celui de à sera la racine quarrée de
Au reste les quantités , peuvent être les racines positives
ou négatives de et , d’où nous tirons une distinction qui paraît stérile au premier abord, mais dont l’usage se reconnaîtra
par la suite. Nous dirons que dans la transformation de en ,
la forme est prise directement quand est positif, indirectement
quand est négatif, et de même à l’égard de . Mais en ajoutant
la condition que , nous dirons que la forme est composée
ou directement des deux formes , , ou indirectement de ces deux
mêmes formes, ou directement de et indirectement de , ou
directement de et indirectement de , suivant que les deux
nombres , seront positifs ou négatifs, ou que sera positif
et négatif, ou négatif et positif. D’ailleurs on voit facilement
que ces relations ne dépendent pas de l’ordre dans lequel ces formes
sont placées.
Or nous observons que le plus grand diviseur commun des nombres divise les nombres , ce qui
résulte des valeurs établies plus haut pour ces nombres, et que
parconséquent doit diviser , , et les nombres
, ; mais réciproquement tout diviseur commun de ,
divisera aussi . En effet, soit un de ces diviseurs, il divisera
évidemment les nombres , , , , , , et partant,
, , , , , et d’après cela et . Or si
était impair, le serait aussi, puisque la somme est paire ainsi que
la différence ; leur produit serait donc impair. Mais ce produit
est et parconséquent pair, puisque divise , , , . Donc est nécessairement pair, et partant, et sont divisibles par .
Donc divisant les six nombres , , , , , , divisera aussi leur plus grand commun diviseur . Donc est le plus grand diviseur commun entre et ; d’où l’on voit facilement que
est le plus grand commun diviseur des nombres , .
C’est la quatrième conclusion. Il est donc clair que toutes les fois que sera composée de et , comme on a , sera
le plus grand commun diviseur des nombres , et réciproquement. Cette propriété aurait pu être prise comme définition de la forme composée. Ainsi la forme composée des formes , ,
a le plus grand déterminant possible parmi toutes les formes qui
peuvent être transformées en le produit .
Avant que nous puissions aller plus loin, il faut déterminer avec
plus d’exactitude la valeur de que nous avons trouvé , mais dont le signe n’est pas encore fixé. À cet effet, nous déduirons des équations fondamentales l’équation ,
en retranchant le produit de l’équation (1) par l’équation (2), de
celui de l’équation (5) par l’équation (6) ; et partant, , ou , à moins qu’un des nombres , ne fut nul. Mais on tire des équations (1).... .(2) absolument de la même manière, huit autres équations dans lesquelles à gauche, à droite, sont multipliés par , , , , , , , ; et comme les nombres , , ne peuvent être nuls en même temps, non plus que les nombres , , , il s’ensuit qu’on aura dans tous
les cas , et que parconséquent aura le même signe que , , , ou un signe différent, suivant que et auront le même signe, ou un signe différent.
Or les nombres , , , , , , , , , sont tous divisibles par . La chose est évidente pour les neuf premiers ; quant aux deux autres, on les
démontrera comme nous avons démontré plus haut que et étaient divisibles par . En effet, et sont
divisibles par puisque , que est divisible par , par , partant, par et
par ; la somme et la différence des quotiens sont paires ; et comme l’on démontre facilement que le produit des quotiens est également pair, chacun de ces quotiens l’est aussi, et parconséquent et sont divisibles par .
Maintenant, on déduira facilement des équations fondamentales
les six suivantes :
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,
|
|
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,
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,
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|
,
|
|
|
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|
|
,
|
|
|
|
|
|
,
|
Il suit de là que , , , etc. sont divisibles par ,
d’où l’on conclut facilement que est divisible par , puisque
est le plus grand commun diviseur entre , , , etc. ; mais
en substituant pour , , , etc. leurs valeurs , etc., ou
, etc. Ces équations se changeront en six autres,
dans lesquelles on aura à droite les produits de la quantité
par , , , etc. ; nous laissons à effectuer ce
calcul qui est très-facile. Il suit de là qu’on a .
De la même manière on obtient six autres équations dans lesquelles est remplacé par , et , , , par , , , ,
où parvient à l’équation , et l’on prouve que
est divisible par .
Enfin on déduit encore les six équations :
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,
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,
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,
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|
,
|
|
|
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|
|
,
|
|
|
|
|
|
,
|
d’où l’on conclut que est divisible par ; on déduira
aisément par les mêmes substitutions que ci-dessus, l’équation
.
Puisque , , sont divisibles par , il s’ensuit
que est divisible aussi par ; mais on voit par les équations fondamentales que divise les nombres , , , , , , , , ; partant, , , , qui sont respectivement les plus grands diviseurs communs des trois premiers, des trois moyens et des trois derniers, et enfin qui est le plus
grand commun diviseur de ces trois nombres. Donc, lorsque est composée de et , c’est-à-dire lorsque , on a nécessairement . C’est la cinquième conclusion.
Si le plus grand commun diviseur des nombres , , est , ou aura , quand sera une forme propre ou dérivée d’une forme propre, et quand sera une forme impropre ou dérivée d’une forme impropre. Soient de même ,
, les plus grands diviseurs communs des nombres , , ;
, , , respectivement : on aura ou ,
ou . Or il est évident que divise , que divise ,
que parconséquent divise ou , et que divise .
Ainsi, des six équations etc., etc., il suit que divise , et partant , car il divise aussi et ;
donc toutes les fois que sera composée de et , divisera lui-même, et si, dans ce cas, les deux formes , sont
proprement primitives ou dérivées de formes proprement primitives ; on aura ; donc , c’est-à-dire que
sera une forme semblable. Mais si, dans le même cas, chacune des formes , , ou l’une des deux seulement, par exemple,
est improprement primitive ou dérivée d’une forme improprement
primitive, il suit des équations fondamentales, que les nombres
, , , , , , , , sont divisibles par ,
et partant, ; donc ; ainsi la forme
est improprement primitive, ou dérivée d’une forme improprement primitive. C’est la sixième conclusion.
Enfin nous observons que si les neuf équations
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……(Ω)
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sont supposées avoir lieu, pourvu que , ne soient pas ,
on s’assurera facilement, par la substitution, que toutes les équations fondamentales sont satisfaites, c’est-à-dire que la forme
se change, par la substitution , , , ; , ,
, , en le produit des formes , , et qu’on
a en outre , .
Nous laissons à l’intelligence du lecteur ce calcul, qui est trop
prolixe.
236. Problème. Étant données deux formes dont les déterminans sont égaux, ou du moins comme deux nombres quarrés, trouver une forme composée de ces deux formes.
Soient , les formes à composer ;
, leurs déterminans ; , les plus grands diviseurs communs
des nombres , , ; , , respectivement, et le plus
grand commun diviseur des nombres , pris avec le même
signe que et . Alors et seront des nombres positifs
premiers entre eux dont le produit sera un quarré, ainsi chacun
d’eux sera un quarré (no 21). Ainsi et seront des
quantités rationnelles que nous représenterons par et , en
prenant positif ou négatif, suivant que la forme doit entrer
directement ou indirectement dans la composition, et de même à
l’égard de . et seront parconséquent des entiers premiers
entre eux ; quant à , , ils peuvent être fractionnaires. Cela fait,
nous observerons que , , , , , sont
des nombres entiers, ce qui est évident pour les quatre premiers,
et qu’on démontrera pour les deux autres, comme on a démontré
que et étaient divisibles par .
Soient pris maintenant quatre nombres entiers , , ,
à volonté, pourvu qu’ils ne rendent pas zéro à-la-fois les premiers
membres des quatre équations suivantes, et qu’on suppose
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, |
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…… (I).
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de manière que , , , soient des nombres entiers premiers entre eux, ce qu’on obtiendra en prenant pour le plus grand commun diviseur des quatre premiers membres. On pourra alors trouver quatre nombres , , , tels qu’on ait
et cela fait on déterminera
,
,
,
, par les équations suivantes :
enfin en posant.
|
,
|
|
,
|
|
,
|
, , seront des nombres entiers, et la forme
sera composée des formes et .
En effet 1o. des équations (I) on déduit sans peine les suivantes :
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, |
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……(III)
|
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2o. Supposons que les nombres entiers , , , , , , , soient déterminés de manière qu’on ait
|
,
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|
,
|
|
,
|
on en tire, par la substitution des valeurs de , dans la troisième équation
de cette équation et des équations (III), en posant
|
|
,
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|
|
,
|
|
|
,
|
|
|
,
|
on trouvera facilement
|
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, |
|
……
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|
, |
|
……(IV) |
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|
|
, |
|
……
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|
|
, |
|
……
|
Lorsque ces équations ne sont pas nécessaires, et l’on peut
prendre à leur place les équations (I) elles-mêmes, dont elles
sont les analogues. Or si l’on substitue dans les valeurs de
celles de on trouvera, en
réduisant, que les différens termes sont des entiers multipliés
les uns par les autres par ou et que tous les termes
de la valeur de contiennent le facteur ; or et
Donc , sont des nombres entiers.
3o. En substituant les valeurs de dans les six premières des équations (Ω), on trouvera qu’elles sont satisfaites
à l’aide de l’équation et des équations (III). Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse ;
donc la forme se changera en par la substitution , , , , , , , et son déterminant sera , qui est égal au
plus grand commun diviseur des nombres , donc par
la quatrième conclusion du no précédent, sera composée de , .
237. Théorème. Si la forme est transformable en le produit de deux formes et que la forme renferme la forme
pourra aussi se transformer en
Conservons pour les formes , , les signes du no 235, soit
, et , , , la transformation qui change .
en . On voit alors sans peine que se change en par la
substitution
, ,
, ,
, ,
, .
Représentons, pour abréger, ces coefficiens par , , , ; , , , et faisons , en appliquant ici les équations Ω du no 235. On trouve
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donc en représentant par le déterminant de , et faisant , on aura parceque , et que suivant que la forme renferme proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de en la forme entrera de la même manière que dans la transformation de en , ou d’une manière différente, suivant que sera positif ou négatif, c’est-à-dire, suivant que renfermera proprement ou improprement.
238. Théorème. Si la forme renferme et que puisse se changer en la forme pourra aussi se changer en .
Conservons pour les formes , , les mêmes signes que plus haut, et supposons que se change en par la substitution
,
,
,
, on voit facilement que
se changera en
par la substitution
On prouvera en outre, par un calcul semblable à celui du no
précédent, que si renferme proprement, les formes ,
entreront dans la transformation de en de la même manière que dans la transformation de en et que dans le
cas contraire, elles entreront d’une manière inverse.
En combinant le présent théorème avec celui du no précédent,
nous obtenons le suivant, qui est plus général :
Si une forme est transformable en que renferment les formes respectivement, et que renferme sera transformable en
En effet, par le théorème du no présent, se changera en ,
donc par le théorème du no précédent, se changera en et de
même en . Or il est évident que si les trois formes , ,
renferment proprement les trois formes , , , se composera
de la même manière en que en ; de même, si les trois
premières renferment improprement les trois dernières ; et enfin on
déterminera facilement de quelle manière doit se composer
de , , si une des transformations est différente des deux autres.
Si les formes , , sont équivalentes aux formes , , ,
respectivement, les premières auront les mêmes déterminans que
les dernières, et (no 161) et seront pour , ce qu’ils sont
pour , . D’où il suit, par la quatrième conclusion du no 235,
que si est composée de , , sera aussi composée de , ,
et même que la forme entre dans cette dernière composition
comme dans la première, si , ; , sont équivalentes de la
même manière, ou au contraire. De même à l’égard de et .
239. Théorème. Si la forme est composée des formes
toute forme qui pourra se transformer en de la même manière que renfermera proprement cette dernière.
Conservons toujours pour , , les signes du no 235, et supposons que la forme , dont le déterminant
se change en par la substitution , , , , , , , et représentons pour cette composition, par etc. les
analogues de etc. Dans la première on aura
|
, |
……(Ω'),
|
|
,
|
|
,
|
|
,
|
|
, |
|
|
,
|
|
,
|
|
,
|
|
|
et étant les racines de et et de mêmes signes que Soit donc pris positivement, on aura On déduit alors des six premières équations de et
donc par le lemme du no 234, on pourra déterminer de manière qu’on ait
|
, |
, |
etc. |
|
|
, |
, |
etc. |
|
et |
. |
|
En substituant maintenant les valeurs de etc., etc.
dans les trois dernières équations de on trouvera, à l’aide des équations et des trois dernières de
|
|
|
ainsi la forme se change en par la substitution qui est propre, puisque et que est positif.
Si donc est aussi composée de et de la même manière que on aura et partant et sont proprement équivalentes. Plus généralement, si est composée de de la même manière que l’est de et que les formes soient proprement équivalentes aux formes et seront proprement équivalentes.
Comme le cas où les formes à composer entrent directement
dans la composition est le plus simple de tous, et que les autres
s’y ramènent facilement, nous nous y attacherons principalement,
ensorte que lorsque nous parlerons d’une forme composée de deux
autres, on devra toujours entendre que chaque forme entre directement dans la composition ; il en sera de même pour les
formes transformables en produits d’autres formes.
240. Théorème. Si la forme est composée des formes et de et que le soit de et de les formes , sont proprement équivalentes.
I. Soient
et leurs determinans , , , , , , , qui ont tous les
mêmes signes, et sont entre eux comme des quarrés. Soit le plus grand commun diviseur des nombres , , , et que , , aient la même signification par rapport aux formes , , ; par la conclusion 4 du no 235, sera le plus grand commun diviseur des nombres et , et partant celui
des nombres, ; ; le plus grand commun diviseur des nombres , , ou des nombres et ;
donc est le plus grand commun diviseur des trois
nombres , , . Par la même raison est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres ; donc
puisque et doivent avoir le même signe, on a ,
c’est-à-dire que les formes , ont le même déterminant.
II. Supposons maintenant que se change en par la substitution
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, |
|
|
|
, |
|
et en par la substitution
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, |
|
|
|
, |
|
et désignons par , , , les racines positives de , , , . Alors, par le no 235, on aura dix-huit équations, dont la moitié appartiendra à la transformation de en , et l’autre moitié à la transformation de en : la première sera ,
et on peut, à l’instar, former toutes les autres, que nous omettons ici. Au reste, les quantités , , , sont rationnelles,
mais peuvent être fractionnaires.
III. Si l’on substitue les valeurs de , dans celles de , ,
on a un résultat de la forme
Le coefficient , le coefficient ; les
quatorze autres peuvent se former de la même manière, nous ne
les plaçons pas ici, parceque chacun les trouvera sans peine.
Désignons maintenant les racines quarrées positives de et
par , , on aura , . Cela posé, on trouvera facilement les vingt-huit équations suivantes :
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
que nous désignerons par , et les neuf suivantes :
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
que nous désignerons par [3].
IV. Il serait trop long de faire ici le calcul pour ces trente-sept équations ; il suffira de le placer pour quelques-unes, afin
de donner un type d’après lequel on puisse trouver les autres.
1o. |
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………………………… première équation |
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2o. |
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………………………… deuxième équation |
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3o. |
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|
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|
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,
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|
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puisque ( III)
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...... septième équation de Θ.
|
Les autres se trouveront de la même manière.
V. Des équations Θ, il suit, comme on va le voir, que les
vingt-huit nombres , , etc. n’ont aucun diviseur
commun. Nous observerons d’abord qu’avec les nombres , , ;
, , ; , , ; , , on peut former vingt-sept produits
de trois facteurs, tels que l’un de ces facteurs étant , le second
sera un des nombres , , , et le troisième un des nombres
, , ; ou bien, le premier étant , le second sera l’un des
nombres , , , et le troisième un des nombres , , ;
ou enfin le premier étant , le second sera l’un des nombres , , , et le troisième un des nombres , , . Or on s’assurera aisément, d’après les équations Θ, que chacun de ces produits est égal à l’un des nombres , etc., ou à la somme de plusieurs, ou à leur différence. Si donc ces derniers nombres avaient un commun diviseur, les vingt-sept produits en auraient un. Mais il est facile de prouver, à l’aide du no 40, par une méthode souvent employée dans ce qui précède, que ce diviseur devrait aussi diviser les nombres , , , et partant leurs quarrés, qui sont , , . Mais (I) est le plus grand commun diviseur des trois numérateurs ; donc les fractions sont premières entre elles, et n’ont parconséquent pas de diviseur commun.
VI. Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent regarde la
transformation de en et est tiré de celle de la forme .
en , et de en . Mais on trouvera absolument de la même
manière, par les transformations de en et de en ,
la transformation de en :
On en tirera, comme plus haut, vingt-huit équations que nous
désignerons par Θ’, et neuf que nous désignerons par Ψ’. Or sans
faire le calcul, il est aisé de voir que les équations Θ’ auront
les mêmes seconds membres que les équations Θ, et que les équations Ψ’ ne différeront des équations Ψ que par l’accent de , , . Donc, puisque tous les nombres , etc., n’ont point
de commun diviseur, on pourra, par le lemme du no 234, trouver
quatre nombres entiers tels que l’on ait
VII. De là, en substituant les valeurs de , , tirées des trois premières équations Ψ, et les valeurs de , , tirées des trois premières équations Ψ’, on s’assure aisément que l’on a
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, |
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, |
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; |
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d’où il suit, si l’on n’a pas , que la forme se change en
par la substitution propre , , , .
Mais en prenant, au lieu des trois premières équations de Ψ
et Ψ', les trois suivantes ou les trois dernières, on obtiendra trois équations qui ne différeront des précédentes que parcequ’il y aura ou à la place de , et comme on ne peut avoir à-la-fois
, , , la forme se changera nécessairement en par la substitution , , , .
241. Une forme telle que ou , qui naît de la composition avec une troisième, d’une forme composée de deux autres, sera dite composée de ces trois formes, et par le no précédent, on voit qu’il n’importe pas dans quel ordre se fait la composition. On voit que de cette manière on composera une forme d’autant d’autres
formes qu’on voudra, et l’on démontrerait facilement que l’ordre
dans lequel ces formes sont composées est indifférent, c’est-à-dire, que les formes composées des mêmes formes sont toujours proprement équivalentes. Or il est évident que si les formes , , , etc.
sont proprement équivalentes aux formes , , , etc., la forme
composée des premières est proprement équivalente à la forme
composée des dernières.
242. Les propositions précédentes renferment la composition des
formes dans sa plus grande généralité ; passons maintenant à des
applications plus particulières, par lesquelles nous n’avons pas
voulu interrompre l’ordre du sujet. Nous commencerons par reprendre le problème du no 236, que nous limiterons par les conditions suivantes : 1o. que les formes à composer aient le même
déterminant, ou qu’on ait ; 2o. que et soient premiers
entre eux ; 3o. que la forme cherchée soit composée directement
des formes , . Il suit de là que et seront aussi premiers entre eux ; donc on aura , puisque doit être le plus grand commun diviseur des nombres et ; donc . Comme les quatre nombres , , , peuvent être pris à volonté, supposons-les , , , , ce qui sera toujours permis, à moins qu’on n’ait à-la-fois , cas dont nous ne nous occuperons parconséquent pas ici, mais qui ne peut avoir lieu que pour les formes de déterminant positif quarré. Alors sera le plus grand diviseur commun aux nombres , , , et les nombres , , doivent être pris de manière qu’on ait ; quant à , il reste entièrement indéterminé. On tire de là, en substituant pour , , , , etc. leurs valeurs,
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[4].
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Ainsi dans cette solution la valeur de ne dépend pas des nombres , , , , qui peuvent être déterminés d’un nombre infini de manières ; à l’égard de , il aura des valeurs différentes quand on en donnera d’autres à ces mêmes nombres, et il sera utile de chercher la liaison de ces valeurs de .
1o. De quelque manière qu’on détermine, , , , les valeurs de qui en résultent sont congrues suivant le module . Supposons en effet qu’en faisant , , , ,
on ait , et qu’en faisant , , , on ait , il en résultera les deux équations de condition.
multipliant le premier membre de la seconde équation par
, et le second par , et retranchant du premier produit la quantité
qui est évidemment , en vertu de la première équation, on trouvera, réduction faite,
et partant, est divisible par , ou par .
2o. Si l’on rend en faisant
on peut trouver pour ces nombres d’autres valeurs qui rendent égal à un nombre quelconque donné congru à suivant le module
c’est-à-dire, telles qu’on ait Observons d’abord que les nombres ne peuvent avoir de diviseur
commun, car s’ils en avaient un, il diviserait les six nombres
et partant, les six nombres et parconséquent et qui sont premiers entre eux par hypothèse. Ainsi on peut assigner quatre nombres entiers tels qu’on ait cela fait, si
l’on prend il est clair que sont des nombres entiers, et l’on s’assurera facilement qu’on a
La première équation fait voir que
, , , ,
sont des valeurs de , , , , et la seconde, que
ces valeurs rendent .
Il suit de là que peut toujours être déterminé de manière à tomber entre et , si est positif, ou entre et , si est négatif.
243. Des équations
on tire
donc , et . Toutes les fois que
et seront premiers entre eux, il n’y aura entre et (ou entre et , si) qu’un seul nombre qui soit
congru à , suivant le module , et à , suivant . Si on le fait , et , la forme sera composée
des formes , . Dans ce cas, il n’est pas nécessaire, pour la composition, de considérer les nombres , ,
, . Par exemple, si l’on cherche une forme composée des deux formes , , , , seront respectivement , , et ; donc ,
et , d’où ; et la forme sera celle qu’on cherchait. Au reste, la condition que et soient premiers entre eux, revient à ce qu’ils n’aient pas d’autre diviseur commun que le plus grand commun diviseur des trois nombres , , , ou encore que le plus grand diviseur commun des nombres , , divise .
On doit remarquer particulièrement les cas suivans :
1o. Étant proposées deux formes , de même déterminant , telles que le plus grand diviseur commun des nombres , , soit premier avec celui des nombres , , , et que a soit premier avec ; on trouvera une forme composée de ces deux-là en faisant , et , . Ce cas aura toujours lieu quand l’une des formes à composer est une forme principale, c’est-à-dire qu’on a , , .
On aura alors , pourra être pris , d’où l’on tirera ; donc une forme quelconque est toujours composée d’elle-même et de la forme principale de même déterminant.
2o. Si deux formes opposées proprement primitives doivent être
composées, par exemple, et , on aura
d’où l’on voit facilement que la forme principale est composée de ces deux formes.
3o. Étant données tant de formes qu’on voudra etc., proprement primitives et de même déterminant et dont les premiers termes etc. soient des nombres premiers entre eux, on trouvera une forme composée de celles-là, en prenant égal au produit des nombres
etc., congru aux nombres etc., suivant les modules etc. respectivement, et En effet, on voit facilement que est composée des formes que est composée de cette dernière et de etc.
4o. Réciproquement, étant donnée une forme proprement primitive de déterminant si l’on décompose le nombre en facteurs premiers entre eux etc., et que l’on prenne les nombres etc. égaux à ou du moins congrus à suivant les modules etc., etc., la forme sera composée des formes etc., ou sera décomposable en ces différentes formes. On prouve sans peine que la même proposition a lieu également quand même la forme serait improprement primitive ou dérivée. De cette manière on pourra décomposer toute forme en d’autres de même déterminant, dont
les premiers termes sont tous des nombres premiers ou des puissances
de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour
composer plusieurs formes en une.
Soient, par exemple, à composer les trois formes
on décomposera la seconde en les deux
la troisième en
et il est clair que la forme composée des cinq formes en quelque
ordre que ce soit, sera composée des trois formes données. Mais
la composition de la première et de la quatrième donne (1o.) la
forme principale ; la composition de la première et de la cinquième
la donne aussi ; donc (2o.) la forme composée définitive est
5o. Il nous semble qu’attendu l’utilité que présente ce procédé,
il n’est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L’observation précédente prouve que pour composer tant de formes
proprement primitives qu’on voudra, on peut réduire la difficulté à
n’avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient
des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer surtout le cas où l’on doit composer deux formes proprement primitives
, , dans lesquelles et sont des puissances
d’un même nombre premier. Soit donc , , étant
un nombre premier, et soit , sera le plus grand diviseur commun des nombres , , et s’il divise , on rentrera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et
sera composée des formes proposées, pourvu que l’on
prenne , , et , condition qui peut évidemment s’omettre ; enfin . Mais si
ne divise pas , le plus grand diviseur commun des trois
nombres , , divisera et sera une puissance de
; supposons-le , il faudra déterminer les nombres ,
, de manière qu’on ait
étant pris à volonté ; et la forme sera composée des formes données, si l’on prend
Mais on voit facilement que dans ce cas peut être pris aussi à volonté ; donc en faisant , on a , ou plus généralement (no précédent). Cette formule très-simple ne renferme que , qui est la valeur de l’expression .
Soit, par exemple, à trouver une forme composée des deux
formes et , on a , , ,
. Donc , est la valeur de l’expression ,
qui est , d’où , ou en faisant , et
; donc est la forme cherchée.
Étant donc proposées tant de formes qu’on voudra, dont les
premiers termes sont des puissances de nombres premiers, il faut
examiner si quelques-uns d’entre eux sont des puissances de mêmes
nombres premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous
venons de donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De
cette manière on obtiendra des formes dont les premiers termes
seront encore des puissances de nombres premiers, mais de nombres
premiers differens ; ainsi par l’observation (3) on pourra trouver
une forme composée de ces dernières.
Par exemple, étant proposées les formes
, , , , , ; de la première et de la cinquième on tire la forme ; de la seconde et de la quatrième, la forme ; de cette dernière et de la sixième, la forme , qui peut être négligée. Il reste les deux formes et , qui produisent la forme , pour laquelle on peut prendre , qui lui est proprement équivalente. Ainsi est la résultante de la composition des six formes proposées.
Au reste, on peut tirer de là plusieurs artifices utiles dans la
pratique ; mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter plus
long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles,
244. Si un nombre peut être représenté par une certaine
forme et un nombre par la forme que d’ailleurs la forme
soit transformable en on voit sans peine que le produit
peut être représenté par la forme Il suit de là que lorsque
les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme sera positive, si et sont ou toutes deux positives, ou toutes deux
négatives, et négative, si l’une est positive et l’autre négative.
Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons considéré au no précédent, où est composée de et où
ont le même déterminant supposons encore que les représentations des nombres , par les formes se fassent
par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la première appartienne à la valeur de l’expression et
la seconde à la valeur de l’expression et que
l’on prenne alors (no 168), les formes
seront proprement équivalentes aux formes
donc sera composée de ces deux formes ; mais la forme
sera composée des deux mêmes formes si, étant le
plus grand commun diviseur des nombres on fait
et donc
cette forme sera proprement équivalente à la forme Or le
nombre se représente par la forme en faisant dont le plus grand diviseur commun est
donc pourra être représenté par la forme de manière que
les valeurs des indéterminées aient un diviseur commun (no 166).
Donc toutes les fois que pourra être représenté par ,
au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et
cette représentation appartiendra à la valeur de l’expression
qui est congrue à suivant les modules
La condition a lieu quand est premier avec ou plus
généralement, quand le plus grand commun diviseur de est
premier avec