Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 2)

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 200-223).

206. Problème. Étant donnée une forme $\mathrm {(a,b,c)}$ de déterminant quarré $\mathrm {h^{2}}$ dont $\mathrm {h} h$ est la racine positive, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, dans laquelle $\mathrm {A}$ tombe entre $0$ et $\mathrm {2h-1}$ inclusivement, et où l’on ait $\mathrm {B=h} ,$ $\mathrm {C=0} .$

I. Puisque $h^{2}=b^{2}-ac$, on aura ${\frac {h-b}{a}}={\frac {c}{-(h+b)}}$. Soit fait ce rapport $={\frac {\beta }{\delta }}$, $\beta$ étant premier avec $\delta$, et déterminons $\alpha$, $\gamma$ de manière que $\alpha \delta -\beta \gamma =1$, ce qui peut se faire. Par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, la forme $(a,b,c)$ se changera en une autre $(a',b',c')$, qui lui sera proprement équivalente. Or on aura

$b'=a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$

   $=(h-b)\alpha \delta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )-(h+b)\beta \gamma =h(\alpha \delta -\beta \gamma )$

    $=h(\alpha \delta -\beta \gamma )$

     $=h$

$c'=\alpha \beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$

    $=(h-b)\beta \delta +2b\beta \delta -(h+b)\beta \delta$

    $=0.$

Si donc $a'$ est situé entre $0$ et $2h-1$, la forme $(a',b',c')$ satisfera à toutes les conditions.

II. Mais si $a'$ tombe hors de ces deux limites, soit $A$ le résidu minimum positif de $A'$, suivant le module $2h$, $A$ sera évidemment entre $0$, et $2h-1$ ; soit posé $A-a'=2hk$, alors la forme $(a',b',c')=(a',h,0)$, se changera, par la substitution $1$, $0$, $k$, $1$, en $(A,h,0)$ qui sera proprement équivalente aux formes $(a',b',c')$, $(a,b,c)$ et satisfera à toutes les conditions. Au reste, il est aisé de voir que la forme $(a,b,c)$ se change en $(A,h,0)$ par la substitution $\alpha +\beta k,$ $\beta ,$ $\gamma +\delta k,$ $\delta .$

Exemple. Soit la forme $(27,15,8)$ dont le déterminant est $9$ ; ici $h=3$ et ${\frac {\beta }{\delta }}={\frac {4}{-9}}$ ; en prenant donc $\beta =4$, $\delta =-9$, $\alpha =-1$, $\gamma =2$, la forme $(a',b',c')$ se trouve être $(-1,3,0)$, qui se change en $(5,3,0)$ par la substitution $1$, $0$, $1$, $1$. Cette dernière est parconséquent la forme demandée, et la proposée se change en elle par la substitution propre $3$, $4$, $-7$, $-9$.

Les formes telles que $(A,h,0)$, dans lesquelles $A$ est compris entre $0$ et $2h-1$ inclusivement, s’appelleront formes réduites ; mais il faut bien les distinguer des formes réduites de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré.

207. Théorème. Deux formes réduites $\mathrm {(a,h,0)} ,$ $\mathrm {(a',h,0)}$ ne peuvent être proprement équivalentes sans être identiques.

En effet, si on les suppose proprement équivalentes, soit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ la transformation qui change la première en la seconde, on aura les équations

$a\alpha ^{2}+2h\alpha \gamma$	$=a'$……(1)—	$a\alpha \beta +h(\alpha \delta +\beta \gamma )$	$=h$……(2)—
$a\beta ^{2}+2h\beta \delta$	$=0$……(3)—	$\alpha \delta -\beta \gamma$	$=1$……(4).—

De l’équation (3) on tire $\beta =0$ ou $\alpha \beta +2h\delta =0$ ; mais si l’on suppose que $\beta$ ne soit pas zéro, comme l’équation (2) peut se mettre sous la forme $a\alpha \beta +2h\beta \gamma$, qui donne alors nécessairement $a\alpha +2h\gamma$ il s’ensuivrait par l’équation (1) que $a'=0$. Donc on doit seulement supposer ce qui réduit l’équation (4) à $a\alpha \delta =1$, d’où $\alpha =\pm 1$. Ainsi l’équation (1) devient $a\pm 2h\gamma =a'$, ce qui ne peut avoir lieu qu’en supposant $\gamma =0$, puisque $a$ et $a'$ sont tous les deux compris entre $0$ et $2h-1$ ; ainsi on a donc $a=a'$, c’est-à-dire que les deux formes sont identiques.

On résout par là sans difficulté les problèmes suivans, qui en offraient beaucoup pour les autres déterminans.

I. Déterminer si deux formes $F$, $F'$, de même déterminant quarré, sont équivalentes ou non.

On cherchera deux formes réduites équivalentes aux formes $F$ et $F'$ respectivement, et suivant que ces réduites seront ou non identiques, les formes proposées seront ou non équivalentes.

II. Déterminer si deux formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F'}$ sont improprement équivalentes.

Soit $G$ la forme opposée à l’une des deux formes, à $F$, par exemple ; si $G$ est proprement équivalente à $F'$, $F$ et $F'$ seront improprement équivalentes.

208. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ de même déterminant $\mathrm {h^{2}}$ proprement équivalentes, trouver une transformation propre de l’une en l’autre.

Soit $\varphi$ la réduite équivalente à $F$ et à $F'\,;$ on cherchera par le n^o 106 une transformation propre $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ de $F$ en $\varphi ,$ et une transformation propre $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$ de $F'$ en $\varphi .$ Alors $\varphi$ se changera en $F'$ par la substitution propre $\delta '$, $-\beta '$, $-\gamma '$, $\alpha '$, et partant $F$ en $F'$ par la substitution propre $\alpha \delta '-\beta \gamma '$, $\beta \alpha '-\alpha \beta '$, $\gamma \delta '-\delta \gamma '$, $\delta \alpha '-\gamma \beta '$.

Il peut être utile de donner pour cette transformation de $F$ en $F'$ une autre formule, pour laquelle il n’est pas nécessaire de connaître la réduite $\varphi$ elle-même. Soit $F=(a,b,c)$, $F'=(a',b',c')$, $\varphi =(A,h,0)$ ; puisque ${\frac {\beta }{\delta }}$ est la plus simple expression de la fraction ${\frac {h-b}{a}}$ ou de la fraction ${\frac {c}{-(h+b)}}$, on aura ${\frac {h-b}{\beta }}={\frac {a}{\delta }}$ égal à un entier que nous supposerons $=f$, et de même ${\frac {c}{\beta }}={\frac {-h-b}{\delta }}=g$. Or on a

$A=a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +C\gamma ^{2},\quad$ d’où $\quad \beta A=a\alpha ^{2}\beta +2b\alpha \beta \gamma +C\gamma ^{2}\beta ,$

ou en substituant pour $\alpha \beta ,$ $\delta (h-b),$ pour $c,$ $\beta g,$

$\beta A=\alpha ^{2}\delta h+b(2\beta \gamma -\alpha \delta )\alpha +\beta ^{2}\gamma ^{2}g\,;$

et comme $b=-h-\delta g,$

$\beta A=2\alpha (\alpha \delta -\beta \gamma )h+(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}g=2\alpha h+g\,;$

de même

$\delta A$	$=a\alpha ^{2}\delta +2b\alpha \gamma \delta +c\gamma \delta =\alpha ^{2}\delta ^{2}f+b(2\alpha \delta -\beta \gamma )\gamma -\beta \gamma ^{2}h$
	$=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}f+2\gamma (\alpha \delta -\beta \gamma )h=f+2\gamma h$ ;

donc $\alpha ={\frac {\beta A-g}{2h}}$ et $\gamma ={\frac {\delta A-f}{2h}}$.

On a de même, relativement à la forme $F'$, $\alpha '={\frac {\beta '-g'}{2h}}$ et $\gamma ={\frac {\delta 'A-f'}{2h}}$

En substituant ces valeurs de $\alpha$, $\gamma$, $\alpha '$, $\gamma '$ dans la formule précédente, elle se change en la substitution suivante :

${\frac {\beta f'-\delta 'g}{2h}},\quad {\frac {\beta 'g-\beta g'}{2h}},\quad {\frac {\delta f'-\delta 'f}{2h}},\quad {\frac {\beta 'f-\delta g'}{2h}},$

d’où $A$ a disparu.

Si l’on propose deux formes $F$, $F'$ improprement équivalentes, et qu’on demande une transformation impropre de l’une en l’autre, soit $G$ la forme opposée à $F$, et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation propre de $G$ en $F'$, il est clair que $\alpha$, $\beta$, $-\gamma$, $-\delta$, sera une transformation impropre de $F$ en $F'$.

Enfin on voit que si les formes sont proprement et improprement équivalentes, on pourra trouver de cette manière deux transformations, l’une propre et l’autre impropre.

209. Il ne nous reste plus parconséquent qu’à déduire d’une seule transformation toutes celles qui lui sont semblables, ce qui dépend de la solution de l’équation $t^{2}-h^{2}u^{2}=m^{2}$. Mais cette équation ne peut se résoudre que de deux manières, savoir, en faisant $t=m$, $u=0$, ou $t=-m$, $u=0$. Supposons en effet une autre solution $t=T$, $u=U$ où $U$ ne soit pas zéro ; comme $m^{2}$ divise $4h^{2}$, on aura ${\frac {4T^{2}}{m^{2}}}={\frac {4h^{2}U^{2}}{m^{2}}}+4$, et ${\frac {4T^{2}}{m^{2}}}$, ainsi que ${\frac {4h^{2}U^{2}}{m^{2}}}$ sont des quarrés entiers ; mais on voit facilement que la différence de deux quarrés entiers ne peut être $4$ à moins que le plus petit ne soit $=0$ ; si donc la forme $F$ se change en $F'$ par la transformation $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on ne trouvera d’autre transformation semblable que $-\alpha$, $-\beta$, $-\gamma$, $-\delta$, et si elles ne sont équivalentes que d’une manière, il n’y aura que deux transformations ; il y en aura quatre si elles sont équivalentes des deux manières, savoir, deux propres et deux impropres.

210. Théorème. Si deux formes réduites $\mathrm {(a,h,0)} ,$ $\mathrm {(a',h,0)}$ sont improprement équivalentes, on aura $\mathrm {aa'\equiv m^{2}{\pmod {2mh}}} ,$ $\mathrm {m}$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2h}$ ou $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2h} \,;$ et réciproquement si $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {2h} \,;$ $\mathrm {a'} ,$ $\mathrm {2h}$ ont le même plus grand diviseur commun $\mathrm {m} ,$ et qu’on ait $\mathrm {aa'\equiv m^{2}{\pmod {2hm}}} ,$ les formes $\mathrm {(a,h,0)} ,$ $\mathrm {(a',h,0)}$ seront improprement équivalentes.

I. Si la forme $(a,h,0)$ se change en $(a',h,0)$ par la transformation impropre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on aura les équations

$a\alpha ^{2}+2h\alpha \gamma$	$=a'$	……(1),	—	$a\alpha \beta ^{2}+h(\alpha \delta +\beta \gamma )$	$=h$	……(2),
$a\beta ^{2}+2h\beta \delta$	$=0$	……(3),	—	$a\delta -\beta \gamma$	$=-1$	……(4).

On déduit de l’équation (1)

	$(a\alpha +2h\gamma )^{2}-(a\alpha +2h\gamma )2h\gamma$	$=aa'$
ou	$(a\alpha +2h\gamma )^{2}$	$\equiv aa'{\pmod {2h\gamma (a\alpha +2h\gamma )}}$

Or en combinant les équations (2) et (4), on tire $(a\alpha \beta +2h\delta )\alpha =0$, et comme la supposition $\alpha =0$ réduirait l’équation (1) à $a'=0,$ contre l’hypothèse, on doit avoir $\alpha \beta +2h\delta =0,$ ou ${\frac {\beta }{\delta }}=-{\frac {2h}{a}},$ et partant $\beta =\pm {\frac {2h}{m}},$ $\delta =\mp {\frac {a}{m}}\,;$ l’équation (4) donne alors ${\frac {\mp a\alpha \mp 2h\gamma }{m}}=-1,$ ou $a\alpha +2h\gamma =\pm m.$ Ainsi la congruence que nous avions trouvée devient $m^{2}\equiv aa'{\pmod {2mh}}.$

II. Si $m$ est le plus grand diviseur commun des nombres $a,$ $2h\,;$ $a',$ $2h,$ et qu’on ait $aa'\equiv m^{2}{\pmod {2mh}},$ ${\frac {a}{m}},$ ${\frac {2h}{m}},$ ${\frac {a'}{m}},$ ${\frac {aa'-m^{2}}{2mh}}$ seront entiers, et l’on s’assure aisément que la forme $(a,h,0)$ se change en $(a',h,0)$ par la substitution $-{\frac {a'}{m}},$ $-{\frac {2h}{m}},$ ${\frac {aa'-m^{2}}{2mh}},$ ${\frac {a}{m}},$ et que cette substitution est impropre. Ainsi ces formes seront improprement équivalentes.

On peut aussi juger sur-le-champ si une forme réduite $(a,h,0)$ est improprement équivalente à elle-même, puisqu’on aura alors $a^{2}\equiv m^{2}{\pmod {2mh}}.$

211. On trouve toutes les formes réduites de déterminant $h^{2}$ en prenant pour $A$ dans la forme $(A,h,0)$ tous les nombres entiers depuis et y compris $0,$ jusqu’à $2h-1$ inclusivement ; ainsi le nombre en sera $2h.$ Il est évident que l’on peut distribuer toutes les formes de déterminant $h^{2}$ en autant de classes, et qu’elles jouiront de la même propriété que ci-dessus (n^os 175, 185), pour les formes de déterminant négatif et de déterminant positif non quarré. Ainsi toutes les formes de déterminant $=25$ peuvent se distribuer en dix classes, qui se distingueront par les différentes formes réduites qui y seront contenues. Ces formes réduites sont : $(0,5,0),$ $(1,5,0),$ $(2,5,0),$ $(5,5,0),$ $(8,5,0),$ $(9,5,0),$ qui sont improprement équivalentes à elles-mêmes ; $(3,5,0),$ qui est improprement équivalente à $(7,5,0)$ ; $(4,5,0),$ qui est improprement équivalente à $(6,5,0).$

212. Problème. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné $M,$ par une forme donnée $\mathrm {ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ de déterminant $\mathrm {h^{2}} .$

On peut tirer la solution de ce problème, des principes de l’art. 165, absolument de la même manière que nous l’avons fait plus haut (n^os 180, 181, 205), pour les formes de déterminant négatif, et positif non quarré, et comme il n’y a en cela aucune difficulté, il serait superflu de le reprendre ici. Mais il ne sera pas hors de propos de déduire la solution d’un autre principe qui est propre à ce cas particulier.

Ayant fait comme aux n^os 206, 208, ${\frac {h-b}{a}}={\frac {c}{-(h+b)}}={\frac {\beta }{\delta }}$, ${\frac {h-b}{\beta }}={\frac {a}{\delta }}=f$, ${\frac {c}{\beta }}={\frac {-h-b}{\delta }}=g$, on prouve sans peine que la forme proposée est le produit des deux facteurs $\delta x-\beta y$ et $fx-gy$ ; d’où il suit évidemment que toute représentation du nombre $M$ par la forme proposée donne la résolution du nombre $M$ en deux facteurs. Si donc tous les diviseurs du nombre $M$ sont $d$, $d'$, $d''$, etc. (1 et $M$ y compris et chacun d’eux étant pris positivement et négativement), il est clair que l’on obtiendra toutes les représentations du nombre $M$, en posant successivement $\delta x-\beta y=d$, $fx-gy={\frac {M}{d}}$ ; $\delta x-\beta y=d'$, $fx-gy={\frac {M}{d'}}$, etc. On tirera de là différentes valeurs de $x$ et de $y$, parmi lesquelles on rejettera celles qui ne sont pas entières. Or les deux premières équations donnent évidemment

$x={\frac {\beta M-gd^{2}}{(\beta f-\delta g)d}}\ldots \ldots y={\frac {\delta M-fd^{2}}{(\beta f-\delta g)d}},$

valeurs qui sont toujours déterminées parceque $\beta f-\delta g=2h$, et que parconséquent le dénominateur des fractions n’est jamais $=0$,

On aurait pu tirer de la décomposition en deux facteurs, les problèmes précédées mais nous avons préféré employer une méthode analogue à celle que nous avions suivie pour les autres determinans.

Exemple. Cherchons les représentations du nombre $12$ par la forme $3x^{2}+4xy-7y^{2}$. Cette forme se décompose en deux facteurs $x-y$ et $3x-7y$ ; les diviseurs du nombre $12$ sont : $\pm 1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$. Faisons $x-y=1$, $3x+7y=12$, on tire $x={\frac {19}{10}}$, $y={\frac {9}{10}}$, valeurs à rejeter comme fractionnaires. Les diviseurs $-1$, $\pm 3$, $\pm 4$, $\pm 6$, $\pm 12$ donnent aussi des valeurs inutiles ; mais le diviseur $+2$ donne $x=-2$, $y=0$, et le diviseur $-2$ donne $x=-2$, $y=0$. Ainsi il n’y aura exactement que ces deux représentations.

Cette méthode ne peut s’employer si $M=0$ ; mais dans ce cas, il est clair que toutes les valeurs de $x$ et $y$ doivent satisfaire à l’une des équations $\delta x-\beta y=0$, $fx-gy=0$. Or toutes les solutions de la première équation sont contenues dans la formule $x=\beta z$, $y=\delta z$, en désignant par $z$ un nombre quelconque, si $\beta$, $\delta$ sont premiers entre eux, comme on le suppose. De même, nommant $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $f$, $g$, toutes les solutions de la seconde équation seront données par la formule $x={\frac {gz}{m}}$, $y={\frac {hz}{m}}$. Ainsi ces deux formules contiendront toutes les représentations du nombre $M=0$.

_______________

Dans ce qui précède, tout ce qui appartient à la recherche des caractères de l’équivalence des formes, à leur transformation et à la représentation des nombres donnés par des formes données, a été expliqué de manière à ne rien laisser à désirer. Il ne nous reste plus qu’à prendre deux formes de déterminant différent, qui par conséquent ne peuvent être équivalentes, et à enseigner le moyen de juger si l’une est contenue dans l’autre, et dans ce cas, celui de trouver les transformations de l’une en l’autre.

213. Nous avons déjà fait voir (n^os 157 et 158) que si une forme $f$ de déterminant $D$ renferme la forme $F$ de déterminant $E$, et se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on a $E=(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}D$, et que si l’on a $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$, la forme $f$ non-seulement renferme la forme $F$, mais lui est équivalente, et que partant, si $f$ renferme $F$ sans lui être équivalente, le quotient ${\frac {E}{D}}$ sera entier $>1$. Ainsi le problème à résoudre est : Juger si une forme donnée $\mathrm {f}$ de déterminant $\mathrm {D}$ renferme la forme donnée de déterminant $\mathrm {De^{2}} ,$ où $e$ est supposé un nombre positif $>1$. Pour y parvenir, nous assignerons un nombre fini de formes contenues sous la forme $f$, et telles que $F$ soit équivalente à l’une d’elles, si elle est contenue dans $f$.

I. Soient $m$, $m'$, $m''$, etc. les diviseurs positifs du nombre $e$ (y compris $1$ et $e$) et $mn=m'n'=m''n''=...=e$. Désignons, pour abréger, par $(m;0)$ la forme en laquelle $f$ se change par la substitution propre $m$, $0$, $0$, $n$ ; par $(m;1)$ celle qui résulte de la substitution propre $m$, $1$, $0$, $n$, etc., et généralement par $(m;k)$ celle qui résulte de la substitution propre $m$, $k$, $0$, $n$. On entendra de même les expressions $(m';0)$, $(m';1)$, etc. $(m';k)$, etc. Toutes ces formes seront contenues proprement dans la forme $f$, et le déterminant de chacune d’elles sera $De^{2}$. Nous représenterons par $\Omega$ l’ensemble de toutes les formes $(m;0)$, $(m;1)$,… $(m;m-1)$ ; $(m';0)$, $(m';1)$… $(m';m'-1)$, etc., dont le nombre est $m+m'+m''+$ etc., et qui sont toutes différentes, comme on le verra aisément.

Si l’on a, par exemple, $f=(2,5,7)$ et $e=5$, $\Omega$ comprendra les six formes $(1;0)$ ; $(5;0)$ ; $(5;1)$, $(5;2)$, $(5;3)$, $(5;4)$, qui sont, calcul fait, $(2,25,175)$ ; $(50,25,7)$, $(50,35,19)$, $(50,45,35)$, $(50,65,79)$, $(50,55,55)$.

II. Or je dis que si la forme $F$ de déterminant $De^{2}$ est contenue dans $f$, elle sera nécessairement proprement équivalente à une des formes $\Omega$. Supposons en effet que $f$ se change en $F$ par la substitution propre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; on aura $\alpha \delta -\beta \gamma =e$^[1]. Soit n le plus grand commun diviseur des nombres $\gamma$, $\delta$, qui ne peuvent être nuls tous les deux, et ${\frac {e}{n}}=m$. Soient les nombres $g$, $h$ tels que $\gamma g+\delta h=n$, $k$ le résidu minimum positif du nombre $\alpha g+\beta h$ suivant le module $m$. Alors la forme $(m;k)$, qui est évidemment une des formes $\Omega$, sera proprement équivalente à la forme $F$, et se changera même en elle par la substitution propre

${\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h,\quad {\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\quad {\frac {\gamma }{n}},\quad {\frac {\delta }{n}}.$

Car 1^o . il est évident que ces quatre nombres sont entiers ; 2^o . on s’assure aisément que la substitution est propre ; 3^o . il est clair (n^o 159) que la forme en laquelle se change $(m;k)$, par la transformation précédente, est la même que celle en laquelle $f$ se change par la transformation

$m\left({\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h\right)+{\frac {k\gamma }{n}},\quad m\left({\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\right)+{\frac {k\delta }{n}},\quad \gamma ,\quad \delta .$

Or le premier de ces quatre nombres se réduit sur-le-champ à ${\frac {1}{n}}\left(\alpha \gamma g+(\beta \gamma +mn)h\right)$, le second à ${\frac {1}{n}}\left((\alpha \delta -mn)g+\beta \delta h\right)$ ; d’ailleurs on a $mn=e=\alpha \delta -\beta \gamma$ : donc $\beta \gamma +mn=\alpha \delta$ et $\alpha \delta -mn=\beta \gamma$, ce qui donne pour les deux expressions précédentes ${\frac {\alpha }{n}}(\gamma g+\delta h)$, ${\frac {\beta }{n}}(\gamma g+\delta h)$ se réduisent évidemment à $\alpha$, $\beta$, puisqu’on a $\gamma g+\delta h=n$. Ainsi cette transformation est $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; donc $(m;k)$ se change en $F$ et partant $(m;k)$ et $F$ sont proprement équivalentes, puisqu’elles ont d’ailleurs le même déterminant.

On pourra toujours juger par là si une forme $f$ de déterminant $D$ renferme proprement une forme de déterminant $De^{2}$ ; mais quand on cherche si $f$ renferme $F$ improprement, on doit chercher si la forme opposée à $F$ est renfermée dans $f$.

214. Problème. Étant données deux formes $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F}$ dont les déterminans sont respectivement $\mathrm {D}$ et $\mathrm {De^{2}} ,$ et dont la première renferme la seconde proprement ; trouver toutes les transformations propres de $\mathrm {f}$ en $\mathrm {F} .$

En représentant par $\Omega$ le même ensemble de formes qu’au numéro précédent, on en extraira toutes les formes auxquelles $F$ est proprement équivalente. Désignons-les par $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. ; chacune de ces formes fournira des transformations propres de $f$ en $F$, en donnera de différentes, et il n’y aura aucune transformation de la forme $f$ en $F$ qui ne soit donnée par une des formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. Au reste, comme la méthode est la même pour toutes ces formes, nous ne nous occuperons que d’une seule.

Supposons $\varphi =(M;K)$ et $e=MN$ de manière que $f$ se change en $\varphi$ par la substitution propre, $M$, $K$, $0$, $N$. Désignons par $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, une transformation propre quelconque de $\varphi$ en $F$, la forme $f$ se changera évidemment en $F$ par la substitution propre $M\alpha '+K\gamma '$, $M\beta '+K\delta '$, $N\gamma '$, $N\delta '$ ; et de même, toute transformation de $\varphi$ en $F$ en donnera une de $f$ en $F$, et ainsi des autres : pour prouver que cette solution est complète, il reste à démontrer,

1^o. Que de cette manière on obtient toutes les transformations possibles de $\mathrm {f}$ en $\mathrm {F} .$ Soit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation propre quelconque de $f$ en $F$ et comme au n^o précédent, $n$ le plus grand commun diviseur des nombres $\gamma$, $\delta$, et les nombres $m$, $g$, $h$, $k$ déterminés de la même manière qu’à ce numéro. Alors la forme $(m;k)$ se trouve parmi les formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$ etc.

${\frac {\gamma }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}+h,\quad {\frac {\delta }{n}}.{\frac {\alpha g+\beta h-k}{m}}-g,\quad {\frac {\gamma }{n}},\quad {\frac {\delta }{n}}.$

sera une transformation de cette forme en $F$, et de cette transformation on tire par la règle que nous venons de donner, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ pour celle de $f$ en $F$ Tout ceci a été démontré au n^o précédent.

2^o . Toutes les transformations que l’on obtient de cette manière sont différentes. On voit sans peine que des transformations différentes d’une même forme $\varphi$, $\varphi '$, etc. en $F$, ne peuvent produire la même transformation de $f$ en $F$. Il reste donc seulement à prouver que deux formes différentes $\varphi$ et $\varphi '$, par exemple, ne peuvent donner la même transformation.

Supposons que la transformation propre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ de la forme $f$ en $F$, s’obtienne de la transformation $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ de $\varphi$ en $F$, et de la transformation $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$, $\delta ''$ de $\varphi '$ en $F$. Soit $\varphi =(m;k)$, $\varphi '=(m';k')$, $e=mn=m'n'$. On aura les équations

$\alpha$	$=$	$m\alpha '+k\gamma '$	$=$	$m'\alpha ''+k'\gamma ''$	……(1),
$\beta$	$=$	$m\beta '+k\delta '$	$=$	$m'\beta ''+k'\delta ''$	……(2),
$\gamma$	$=$	$n\gamma '$	$=$	$n'\gamma ''$	……(3),
$\delta$	$=$	$n\delta '$	$=$	$n'\delta ''$	……(4),
$\alpha '\delta '-\beta '\gamma '$	$=$	$\alpha ''\delta ''-\beta ''\gamma ''$	$=$	$1$	……(5).

Multipliant les équations (4) et (3) par $\alpha '$ et $\beta '$ respectivement, on trouvera par la soustraction, $n=n'(\alpha '\delta ''-\beta '\gamma '')$ ; en les multipliant au contraire par $\alpha ''$ et $\beta ''$ respectivement, on trouvera de même $n'=n'(\alpha ''\delta ''-\beta ''\gamma ')$ ; donc $n$ est divisible par $n'$ et $n'$ par $n$, ce qui exige qu’on ait $n=n'$, puisque $n$ et $n'$ sont supposés tous les deux positifs. Donc aussi $m=m'$, $\gamma '=\gamma ''$, $\delta '=\delta ''$. Or en éliminant $m$ entre les équations (1) et (2), on trouve $k=m'(\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')+k'(\alpha '\delta ''-\beta '\gamma '')=m\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')+k'$ ;
donc $k\equiv k'{\pmod {m}}$ ; ce qui ne peut avoir lieu à moins que l’on n’ait $k=k'$ puisque $k$ et $k'$ sont compris entre $0$ et $m-1$. Donc les formes $\varphi$ et $\varphi '$ sont les mêmes contre l’hypothèse.

Au reste, il est clair que si le déterminant $D$ est négatif, ou positif et quarré, on trouvera effectivement par cette méthode, toutes les transformations propres de $f$ en $F$ ; mais que s’il est positif et non quarré, on trouvera certaines formules générales qui contiendront toutes les transformations propres, dont le nombre est infini.

Enfin si la forme $F$ est contenue improprement dans la forme $f$, on peut trouver par la même méthode toutes les transformations de $f$ en $F$. Soit en effet $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation indéterminée de $f$ en la forme opposée à $F$, toutes les transformations impropres de $f$ en $F$ seront représentées par $\alpha$, $-\beta$, $\gamma$, $-\delta$.

Exemple. On demande toutes les transformations de la forme $(2,5,7)$ en $(275,0,-1)$, qui y est contenue des deux manières. Nous avons donné au n^o précédent la suite $\Omega$ de formes pour la proposée. Examen fait, on trouve que dans cette suite les formes $(5;1)$ et $(5;4)$ sont proprement équivalentes à la forme $(5;-1)=(50,35,19)$ en $(275,0,-1)$. Toutes les transformations de la forme $(5;1)=(50,55,19)$ en $(275,0,1)$ se trouvent, par la théorie que nous avons expliquée plus haut, être contenues dans la formule générale,

$16t-275u,\quad -t+16u,\quad -15t+275u,\quad t-15u.$

où $t$, $u$ désignent les nombres entiers qui satisfont à l’équation indéterminée $t^{2}-275u^{2}=1$ ; ainsi toutes les transformations propres de la forme $(2,5,7)$ en $(275,0,-1)$ qui en résultent, seront comprises dans la formule générale

$65t-1100u,\quad -4t+65u,\quad -15t+275u,\quad t-15u.$

De même, toutes les transformations propres de la forme $(5;4)=(50,65,79)$ en $(275,0,-1)$ sont contenues dans la formule

$14t+275u,\quad t+14u,\quad -15t-275u,\quad -t-15u,$

ce qui donne encore la suivante pour les transformations propres de $(2,5,7)$ en $(275,0,-1)$,

$10t+$

$275u$,

—

$t+$

$10u$,

—

$-15t-$

$275u$,

—

$-t$

$-15u$.

Ainsi ces deux formules embrassent toutes les transformations propres cherchées.

On trouve de la même manière que les transformations impropres sont données par les deux formules,

$65t-$	$1100u$,	—	$4t$	$-65u$,	—	$-15t+$	$275u$,	—	$-t$	$+15u$,
$10t+$	$275u$,	—	$-10t$	$-10u$,	—	$-15t-$	$275u$,	—	$t$	$+15u$,

215. Jusqu’à présent nous avons écarté de nos recherches les formes dont le déterminant $=0$. Pour compléter notre théorie, il nous reste à ajouter quelque chose à leur sujet. Comme il a été démontré généralement que si une forme de déterminant $D$ renferme une forme de déterminant $D'$, $D'$ est multiple de $D$ ; il s’ensuit qu’une forme de déterminant $=0$ ne peut renfermer aucune forme dont le déterminant ne soit aussi $=0$. Il ne nous reste donc que deux problèmes à résoudre ; savoir :

1^o . Étant données deux formes $\mathrm {f}$ et $\mathrm {F} ,$ dont la seconde a $0$ pour déterminant, découvrir si la première renferme la seconde ; et dans ce cas, trouver toutes les transformations de $\mathrm {f}$ en $\mathrm {F} .$

2^o . Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée de déterminant $=0$.

Le premier problème doit être traité différemment, quand le déterminant de la première forme est aussi $=0$, et quand il ne l’est pas.

I. Observons avant tout qu’une forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ dont le déterminant $=0$, peut se représenter ainsi : $m(gx+hy)^{2}$, $g$ et $h$ étant entiers et premiers entre eux, et m un nombre entier. Soit en effet $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $c$, en lui donnant le même signe qu’à ces nombres, qui doivent évidemment en avoir un semblable, ${\frac {a}{m}}$ et ${\frac {c}{m}}$ seront entiers, positifs et premiers entre eux ; leur produit doit être égal à ${\frac {b^{2}}{m^{2}}}$ qui est un quarré, et partant, chacun d’eux en doit être un aussi. Soit ${\frac {a}{m}}=g^{2}$ et ${\frac {c}{m}}=h^{2}$, $g$ et $h$ seront aussi premiers entre eux, et l’on aura $g^{2}h^{2}={\frac {b^{2}}{m^{2}}}$ ou $gh=\pm {\frac {b}{m}}$. D’où il suit qu’on a

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}=m(gx\pm hy)^{2}.$

Soient proposées maintenant deux formes $f$ et $F$ de déterminant $=0$, et $f=m(gx+hy)^{2}$, $F=M(GX+HY)^{2}$, dans lesquelles $g$ est premier avec $h$, et $G$ avec $H$. Je dis que si $f$ renferme $F$, on aura $m=M$, ou que du moins $m$ divisera $M$, et donnera pour quotient un quarré, et réciproquement. En effet, si $f$ se change en $F$ par la substitution $x=\alpha +\beta Y$, $y=\gamma X+\delta Y$, on aura

${\frac {M}{m}}(GX+HY)^{2}=\{(\alpha g+\gamma h)X+(\beta g+\delta h)Y\}^{2},$

d’où il suit évidemment que ${\frac {M}{m}}$ est un quarré ; faisons ${\frac {M}{m}}=e^{2}$, on aura

$e(GX+HY)=\pm \{(\alpha g+\gamma h)X+(\beta g+\delta h)Y\}$

et partant, $eG=\pm (\alpha g+\gamma h)$, $eH=\pm (\beta g+\delta h)$ ; comme $G$, $H$ sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres $G'$, $H'$, tels qu’on ait $G.G'+H.H'=1$ ; et partant, $\pm e=G'(\alpha g+\gamma h)+H'(\beta g+\delta h)$, ou égal à un entier. Réciproquement, si l’on suppose que ${\frac {M}{m}}$ soit un quarré entier $=e^{2}$, la forme $f$ renfermera la forme $F$, c’est-à-dire qu’on pourra toujours déterminer des valeurs entières de manière à satisfaire aux équations

$\alpha g+\gamma h=\pm eG,\quad \beta g+\delta h=\pm eH,$

car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. Il suffit, comme on sait, de résoudre l’équation $g'g+h'h=1$, et on aura

$\alpha =\pm$	$eGg'+hz$,——	$\gamma =eGh'-gz$,
$\beta =$	$eHg'+hz'$,	$\delta =eHh'-gz'$,

en donnant à $z$, $z'$ des valeurs entières quelconques.

Il est clair en même temps que ces formules donnent toutes les transformations de $f$ en $F$, pourvu qu’on attribue à $z$ et $z'$ toutes les valeurs entières.

II. Supposons maintenant que tout restant le même d’ailleurs, la forme $f=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ n’ait pas $0$ pour déterminant. Je dis que, 1^o . si $f$ renferme $F$, le nombre $M$ pourra se représenter par la forme $f$ ; 2^o . si $M$ peut être représenté par $f$, la forme $F$ sera renfermée dans $f$ ; 3^o . si, dans ce cas, la formule $x=\xi$, $y=\nu$ donne indéfiniment toutes les représentations du nombre $M$ par la forme $f$ ; les transformations de $f$ en $F$ seront contenues dans la formule $G\xi$, $H\xi$, $G\nu$, $H\nu$.

Supposons que $f$ se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ; en prenant les nombres $G'$, $H'$, tels qu’on ait $GG'+HH'=1$ ; si l’on fait $x=\alpha G'+\beta H'$, $y=\gamma G'+\delta H'$, la valeur de la forme $f$ devient $M$ et partant, $M$ peut être représenté par $f$ ;

2^o. Si l’on suppose $a\xi ^{2}+2b\xi \nu +c\nu ^{2}=M$, il est évident que par la substitution $G\xi$, $H\xi$, $G\nu$, $H\nu$, la forme $f$ se change en $F$.

3^o. Pour démontrer que la substitution $G\xi$, $H\xi$, $G\nu$, $H\nu$ donne toutes les transformations de $f$ en $F$, si $\xi$, $\nu$ représentent toutes les valeurs de $x,y$ qui rendent $f=M$ ; soit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ une transformation quelconque de $f$ en $F$, et, comme plus haut, $GG'+HH'=1$, parmi les valeurs de $x,y$ seront les suivantes : $x=\alpha G'+\beta H'$, $y=\gamma G'+\delta H'$, qui donneront la substitution

$G(\alpha G'+\beta H'),\quad H(\alpha G'+\beta H'),\quad G(\gamma G'+\delta H'),\quad H(\gamma G'+\delta H'),$

d’où l’on tire

$\alpha +H'(\beta G-\alpha H)$ ; $\beta +G'(\alpha H-\beta G)\ ;$

$\gamma +H'(\delta G-\gamma H)$ ; $\delta +G'(\gamma H-\delta G)$ ;

mais comme on a

$a(\alpha X+\beta Y)^{2}+2b(\alpha X+\beta Y)(\gamma X+\delta Y)+c(\gamma X+\delta Y)^{2}=M(GX+HY)^{2}\ ;$

on en tire au moyen des trois équations qui en dérivent,

$M(\beta G-\alpha H)^{2}=c(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}$ ; $M(\delta G-\gamma H)^{2}=a(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}.$

Or $\alpha \delta -\beta \gamma =0$, puisque le déterminant de $F$ qui est $=0$, est égal au produit de $\alpha \delta -\beta \gamma$ par le déterminant de $f$ qui n’est pas égal à zéro ; on a donc $\beta G-\alpha H=0$, et partant, la substitution en question se réduit à $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Ainsi la formule que nous avons donnée fournit toutes les transformations de $f$ en $F$^[2].

III. Il ne reste plus qu’à faire voir comment on peut trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée dont le déterminant $=0$. Soit cette forme $m(gx+hy)^{2}$, il suit de là que ce nombre doit être divisible par $M$, et que le quotient doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par $me^{2}$, on aura à trouver les valeurs de $x$, $y$ pour qu’on ait $(gx+hy)^{2}=e^{2}$, ou ce qui revient au même, $gx+hy=\pm e$. Or cette équation est toujours résoluble en nombres entiers, puisque $g$ et $h$ sont premiers entre eux. On déterminera $g'$ et $h'$ de manière qu’on ait $gg'+hh'=1$, et l’on aura $x=\pm g'e+hz$, $y=\pm h'e-gz$, où $z$ est un nombre entier quelconque.

Comme application des recherches précédentes, nous ajouterons le problème suivant.

216. Problème. Trouver toutes les solutions en nombres entiers, de l’équation générale du second degré à deux inconnues,

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0$,^[3]

où $a$, $b$, $c$, etc. sont des nombres entiers quelconques.

Si l’on introduit à la place des inconnues $x$, $y$, d’autres inconnues

$p=(b^{2}-ac)x+be-cd,\quad q=(b^{2}-ac)y+bd-ae$,

qui seront évidemment entiers quand $x$, $y$ le seront, on aura l’équation

$ap^{2}+2bpq+cq^{2}+(b^{2}-ac)(ae^{2}-2bed+cd^{2})+f(b^{2}-ac)^{2}=0,$

ou, en faisant pour abréger                               $(b^{2}-ac)(ae^{2}-2bed+cd^{2})+f(b^{2}-ac)^{2}=-M$,

$ap^{2}+2bpq+cq^{2}=M.$

Or nous avons donné la manière de trouver toutes les solutions de cette équation, c’est-à-dire, toutes les représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ ; mais on a par les relations entre $p$, $q$, $x$ et $y$,

$x={\frac {p+cd-be}{b^{2}-ac}},\qquad y={\frac {q+ae-bd}{b^{2}-ac}}.$

Si donc on rejette de toutes les valeurs qui en résultent pour $x$ et $y$, celles qui sont fractionnaires, il ne restera que les solutions cherchées.

À l’égard de cette solution, il y a plusieurs observations à faire.

1^o . Si $M$ ne peut être représenté par la forme $(a,b,c)$, ou si aucune représentation ne fournit de valeurs entières pour $x$, $y$ ; l’équation n’est pas résoluble.

2^o . Quand le déterminant $b^{2}-ac$ de la forme $(a,b,c)$ est négatif ou positif quarré, et qu’on a en même temps $\pm M>0,$ les représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ sont limitées, et parconséquent aussi les solutions de l’équation proposée, s’il en existe.

3^o . Quand $b^{2}-ac$ est positif non quarré, ou qu’il est quarré, et qu’on a en même temps $M=0,$ si le nombre $M$ peut être représenté par la forme $(a,b,c),$ le nombre des représentations sera infini. Mais comme il est impossible de trouver alors toutes ces représentations, et partant, d’essayer si elles donnent pour $x$, $y$ des valeurs fractionnaires ou entières, il est nécessaire d’établir une règle par laquelle on puisse s’assurer, quand cela arrive, qu’il n’y a aucune représentation qui donne des valeurs entières pour $x$, $y$ ; car, sans cette règle, quel que fût le nombre des représentations essayées, on n’arriverait jamais à la certitude, et quand une partie des représentations donne des valeurs entières, et l’autre des valeurs fractionnaires, il faudra savoir distinguer les premières représentations des dernières.

4^o . Quand $b^{2}-ac=0$, les formules précédentes ne déterminent pas les valeurs de $x$, $y$. Ainsi, dans ce cas, il faudra avoir recours à une méthode particulière.

217. Dans le cas où $b^{2}-ac$ est un nombre positif non quarré, nous avons fait voir plus haut que toutes les représentations du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$, s’il y en a quelques-unes, peuvent être données par une ou plusieurs formules telles que

$p={\frac {1}{m}}(At+Bu),\quad q={\frac {1}{m}}(Ct+Du)$ ;

$A$, $B$, $C$, $D$ étant des nombres entiers donnés, $m$ le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $2b$, $c$ ; enfin $t$, $u$ des nombres entiers qui satisfont à l’équation $t^{2}-(b^{2}-ac)u^{2}=m^{2}$. Comme les valeurs de $t$, $u$ peuvent être prises positivement et négativement, au lieu des formules précédentes, on peut prendre les quatre suivantes :

$p=$	${\frac {1}{m}}$	$(At+Bu)$,		$q=$	${\frac {1}{m}}$	$(Ct+Du)$ ;
$p=$	${\frac {1}{m}}$	$(At-Bu)$,		$q=$	${\frac {1}{m}}$	$(Ct-Du)$ ;
$p=$	${\frac {1}{m}}$	$(-At+Bu)$,		$q=$	${\frac {1}{m}}$	$(-Ct+Du)$ ;
$p=-$	${\frac {1}{m}}$	$(At+Bu)$,		$q=-$	${\frac {1}{m}}$	$(Ct+Du)$ ;

ensorte que le nombre de toutes les formules soit quatre fois plus grand qu’auparavant, mais que $u$ et $t$ soient positifs ; examinons donc séparément chacune de ces formules, et cherchons quelles sont les valeurs de $t$, $u$ qui donnent des valeurs entières pour $x$, $y$.

La formule

$p={\frac {1}{m}}(At+Bu),\quad q={\frac {1}{m}}(Ct+Du)$……(1)

donne pour $x$ et $y$

$x={\frac {At+Bu+mcd-mbe}{m(b^{2}-ac)}},\quad y={\frac {Ct+Du+mae-mbd}{m(b^{2}-ae)}},$

Or nous avons fait voir plus haut que toutes les valeurs positives de $t$ forment une suite récurrente $t$, $t'$, $t''$, etc., et que les valeurs correspondantes de $u$ en forment une autre $u$, $u'$, $u''$, etc. ; qu’en outre on pouvait toujours trouver un nombre $\mu$ tel qu’on eût, suivant un module donné quelconque,

$t^{\mu }$	$\equiv t^{0}$,——	$t^{\mu +1}$	$\equiv t'$——	$t^{\mu +2}$	$\equiv t''$,	etc.,
$u^{\mu }$	$\equiv u^{0}$,	$u^{\mu +1}$	$\equiv u'$	$u^{\mu +2}$	$\equiv u''$,	etc.,

Prenons pour ce module le nombre $m(b^{2}-ac)$, et désignons par $x^{0}$, $y^{0}$ les valeurs qui résultent pour $x$, $y$ de la substitution de $t^{0}$, $u^{0}$ ; par $x'$, $y'$ celles qui résultent de $t'$, $u'$, etc. On voit alors sans peine que si $x^{(k)}$, $y^{(k)}$ sont des nombres entiers, et que $\mu$ soit convenablement déterminé, les valeurs $x^{h+\mu }$, $y^{h+\mu }$ ; $x^{h+2\mu }$, $x^{h+2\mu }$ etc. ; $x^{h+k\mu }$, $y^{h+k\mu }$ seront des nombres entiers, et qu’au contraire si $x^{h}$ ou $y^{h}$ est fractionnaire $x^{h+k\mu }$, ou $y^{h+k\mu }$ le sera aussi. Il suit de là que si l’on cherche les valeurs de $x$, $y$ depuis $x^{0}$, $y^{0}$ jusqu’à $x^{\mu -1}$, $y^{\mu -1}$, et qu’aucunes d’elles ne soient entières, la formule (1) ne donnera absolument aucunes valeurs entières pour $x$, $y$. Mais si l’on en trouve quelques-unes, par exemple, $x^{\nu }$, $y^{\nu }$ ; $x^{\nu '}$, $y^{\nu '}$, etc,, toutes les valeurs entières données par la formule (1) seront celles de $x$, $y$, dont les accens seront $\nu +k\mu$, $\nu '+k\mu$, etc., $k$ désignant tous les nombres entiers positifs, y compris zéro.

Les autres formules dans lesquelles sont contenues les valeurs de $p$, $q$ doivent être traitées absolument de la même manière, et s’il arrivait que d’aucune d’elles on n’obtînt des valeurs entières pour $x$, $y$, l’équation proposée, ne serait pas résoluble en nombres entiers ; mais toutes, les fois qu’elle le sera, les solutions entières pourront s’obtenir par ce que nous venons d’exposer.

218. Quand $b^{2}-ac$ est un quarré et qu’on a $M=0$, toutes les valeurs de $p$, $q$ sont comprises sous deux formules de cette forme

$p=Az,\quad q=Bz\,;\quad p=A'z,\quad q=B'z$

où $z$ est un nombre entier quelconque, $A$, $B$, $A'$, $B'$, des nombres entiers premiers entre eux ; c’est-à-dire $A$ avec $B,$ $A'$ avec $B'$ (n^o 212). Il en résulte

$x={\frac {Az+cd-be}{b^{2}-ac}}$,——	$y={\frac {Bz+ae-bd}{b^{2}-ac}}$	……(1),
$x={\frac {A'z+cd-be}{b^{2}-ac}}$,——	$y={\frac {B'z+ae-bd}{b^{2}-ac}}$	……(2).

Mais comme ces formules peuvent conduire à des valeurs fractionnaires pour $x,$ $y,$ moins que l’on n’ait $b^{2}-ac=1\,;$ il sera utile de distinguer les valeurs de $z$ qui rendent $x$ et $y$ entiers dans chaque formule ; d’ailleurs il suffira de considérer la première, parceque la même méthode s’appliquera à la seconde.

Puisque $A$ et $B$ sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres $A_{1},$ $B_{1},$ tels qu’on ait $AA_{1}+BB_{1}=1$ ; substituant $A$ et $B$ leurs valeurs tirées de la formule (1), on a

$(A_{1}x+B_{1}y)(b^{2}-ac)=z+A_{1}(cd-be)+B_{1}(ae-bd)\ ;$

d’où il suit que les valeurs de $z$ qui rendront $x$, $y$ entiers, doivent être congrues à $A_{1}(be-cd)+B_{1}(bd-ae),$ suivant le module $b^{2}-ac,$ ou être contenues sous la formule $(b^{2}-ac)z'+A_{1}(be-cd)+B_{1}(bd-ce),$ $z'$ étant un nombre entier quelconque. On obtient facilement par là, au lieu de la formule (1), la formule suivante :

$x$	$=Az'+B_{1}{\frac {A(bd-ae)-B(be-cd)}{b^{2}-ac}}$
$y$	$=Bz'-A_{1}{\frac {A(bd-ae)-B(be-cd)}{b^{2}-ac}}$

qui donnera évidemment des valeurs entières pour toutes les valeurs de $z'$, si elle en donne pour une seule. Or il suffit pour cela, qu’on ait $A(bd-ae)\equiv B(be-ad){\pmod {b^{2}-ac}}.$ Si cette congruence n’a pas lieu, la formule (1) ne donnera pas de valeurs entières. On traitera de même la formule (2).

219. Quand $b^{2}-ac=0,$ la forme $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ peut se changer en $m(\alpha x+\beta y)^{2},$ où $m$, $\alpha ,$ $\beta$ sont des entiers (n^o 215). Soit fait $\alpha x+\beta y=z,$ l’équation proposée devient

$mz^{2}+2dx+2ey+f=0\ ;$

éliminant entre cette équation et l’équation $\alpha x+\beta y=z,$ on a

$x={\frac {\beta mz^{2}ez+\beta f}{2(\alpha e-\beta d)}},\quad y={\frac {\alpha mz^{2}dz+\alpha f}{2(\beta d-\alpha e)}}.$

Or il est clair que ces valeurs satisferont à l’équation, en donnant à $z$ une valeur quelconque, à moins qu’on n’ait $\alpha e=\beta d$, cas que nous considérerons tout-à-l’heure à part ; il ne reste donc qu’à faire voir quelles doivent être les valeurs de $z$, pour qu’il en résulte des valeurs entières de $x$ et de $y$.

Comme $\alpha x+\beta y=z$, on ne peut prendre pour $z$ que des nombres entiers ; en outre, il est évident que si une valeur de $z$ rend $x$ et $y$ entiers, la même chose aura lieu pour toutes les valeurs de $z$ congrues à celle-là, suivant le module $2(\alpha e-\beta d)$. Si donc on substitue pour $z$ tous les nombres entiers depuis $0$ jusqu’à $\pm 2(\alpha e-\beta d)-1$, suivant que $\alpha e-\beta d$ sera positif ou négatif, et qu’aucune de ces substitutions ne rende $x$ et $y$ entiers, l’équation proposée ne sera pas résoluble en nombres entiers ; mais si quelques-unes de ces valeurs ont cette propriété, supposons que ce soient les valeurs $\zeta ,\zeta ',\zeta ''$, etc., on aura toutes les solutions, en prenant $z=2(\alpha e-\beta d)k+\zeta$, etc., $k$ étant un entier quelconque. Les valeurs de $z,\zeta ,\zeta '$, etc. peuvent aussi se trouver par la solution des congruences du second degré. (Voyez Section IV. )

220. Pour le cas où $\alpha e=\beta d$, il faut chercher une méthode particulière. Par le n^o 215, $\alpha$ et $\beta$ sont premiers entre eux ; ainsi ${\frac {d}{\alpha }}={\frac {e}{\beta }}$ sera un nombre entier que nous nommerons $h$. Alors l’équation proposée prend la forme

$(m\alpha x+m\beta y+h)^{2}-h^{2}+mf=0,$

et partant ne peut avoir de solutions rationnelles, à moins que $h^{2}mf$ ne soit un quarré. Soit donc $h^{2}-mf=k^{2}$, on tire de l’équation précédente

$m\alpha x+m\beta y+h\pm k=0.$

Cette équation exige, pour être résoluble en nombres entiers, que $h=\pm k$ soit divisible par $m$ car d’ailleurs $\alpha$, $\beta$ étant premiers entre eux, on trouvera toutes les solutions par les règles connues.

221. Éclaircissons par un exemple le cas du n^o 217, qui est le plus difficile. Soit l’équation

$x^{2}+8xy+y^{2}+2x-4y+1=0.$

En introduisant de nouvelles indéterminées $p=15x-9$, $q=15y+6$, on en tire l’équation $p^{2}+8pq+q^{2}=-540$. Or on trouve que toutes les solutions de cette équation sont renfermées dans les quatre formules

$p=$	$6t$,——	$q=-$	$24t-90u$ ;
$p=$	$6t$,	$q=-$	$24t+90u$ ;
$p=-$	$6t$,	$q=$	$24t-90u$ ;
$p=-$	$6t$,	$q=$	$24t+90u$ ;

$t$, $u$ étant des nombres indéterminés qui doivent satisfaire à l’équation $t^{2}-15u^{2}=1$, et qui sont donnés par la formule

$t=$	${\frac {1}{2}}$	$\left[\left(4+{\sqrt {15}}\right)^{n}+\left(4-{\sqrt {15}}\right)^{n}\right]$,
$u=$	${\frac {1}{2{\sqrt {15}}}}$	$\left[\left(4+{\sqrt {15}}\right)^{n}-\left(4-{\sqrt {15}}\right)^{n}\right]$,	(no 200).

Ainsi toutes les valeurs de $x$, $y$ seront contenues dans les formules

$x$	$={\frac {1}{5}}(2t+3)$,——	$y=-$	${\frac {1}{5}}(8t+30u+2)$ ;
$x$	$={\frac {1}{5}}(2t+3)$,	$y=-$	${\frac {1}{5}}(8t-30u+2)$ ;
$x$	$={\frac {1}{5}}(-2t+3)$,	$y=$	${\frac {1}{5}}(8t-30u-2)$ ;
$x$	$={\frac {1}{5}}(-2t+3)$,	$y=$	${\frac {1}{5}}(8t+30u-2)$.

En appliquant convenablement ce que nous avons dit plus haut, on trouvera que pour avoir des nombres entiers il faut prendre pour $t$, $u$ dans la première et la seconde formule, les valeurs qui résultent en supposant $n$ pair, et au contraire, dans la troisième et la quatrième, celles qui résultent en le supposant impair. Les solutions les plus simples sont $x=1$, $-1$, $-1$ ; $y=2$, $0$, $12$, respectivement.

Au reste, nous ferons remarquer que la solution du problème précédent peut le plus souvent s’abréger par un grand nombre d’artifices, surtout quand on en vient à l’exclusion des valeurs fractionnaires ; mais nous sommes obligés de ne pas nous y arrêter pour éviter les longueurs.

222. Comme beaucoup des choses que nous avons traitées jusqu’ici l’ont été aussi par d’autres géomètres, nous ne pouvons passer sous silence leurs travaux. Lagrange a fait des Recherches générales sur l’équivalence des formes (nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1773, p. 265, et 1775, p. 323), où il prouve surtout que, pour un déterminant donné quelconque, on peut trouver un nombre fini de formes telles, que toute forme de même déterminant soit équivalente à une d’entre elles, et que partant, toutes les formes d’un déterminant donné peuvent se distribuer par classes. Ensuite Legendre a découvert plusieurs propriétés élégantes de cette classification, mais pour la plus grande partie par induction, et nous les donnerons plus bas avec les démonstrations. Au reste, personne n’avait encore songé à faire la distinction de l’équivalence propre et impropre, dont l’usage est sensible dans les recherches délicates.

Le fameux problème du n^o 216 a été résolu complètement, pour la première fois, par Lagrange (Hist. de l’Acad. de Berlin, 1767, p. 165, et 1768, p. 181). Sa solution existe aussi, mais moins complète, dans les Supplémens à l’Algèbre d’Euler. Euler lui-même avait auparavant attaqué le même sujet (Comm. Petr. T, VI, p.175 ; Comm. nov. T. IX, p. 3 ; ibid. Τ. XVIII, p. 185) ; mais il a toujours borné sa recherche à déduire toutes les solutions d’une seule qu’il suppose connue ; et d’ailleurs ses méthodes ne donnent toutes les solutions que dans un petit nombre de cas. Bien que le dernier de ces trois mémoires soit postérieur à celui dans lequel est renfermée la solution de Lagrange qui embrasse le problème dans toute sa généralité, et à cet égard ne laisse rien à desirer ; il paraît cependant qu’Euler à cette époque ne la connaissait pas encore. Au reste, notre solution, ainsi que tout ce qui a été donné dans cette section, est fondée sur des principes tout-à-fait différens.

Ce que d’autres, tels que Diophante, Fermat, etc. ont fait connaître à ce sujet, n’appartient qu’à des cas très-particuliers ; aussi, comme nous avons rappelé en temps et lieu ce qui était le plus digne de mémoire, nous ne nous arrêtons pas à parler de chaque chose en particulier.

__________

Ce que nous avons dit jusqu’à présent sur les formes du second degré, ne doit être regardé que comme les premiers élémens de cette théorie. Nous avons vu le champ s’agrandir considérablement, en poursuivant nos recherches avec persévérance ; nous donnons dans ce qui va suivre les choses qui nous ont paru les plus dignes d’attention. Car la fertilité de ce sujet est telle, que nous sommes forcés pour abréger, de passer sous silence une grande partie de ce que nous avons pu découvrir ; et une plus grande partie sans doute est encore cachée et attend de nouveaux efforts. Nous prévenons que les formes dont le déterminant $=0$ sont excluses de nos Recherches, à moins que nous n’avertissions spécialement du contraire.

1. L’auteur a été probablement conduit à sa démonstration par l’analyse suivante qui peut la remplacer.

   Supposons la forme $F$ renfermée dans la forme $f$, et que $f$ se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Soit $\varphi$ une des formes $\Omega$, et $m$, $k$, $0$, $n$, la substitution qui change $f$ en $\varphi$. Soit enfin $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ la substitution propre qui change $\varphi$ en une forme équivalente ; la forme $f$ se changera en cette dernière par la substitution : $m\alpha '+k\gamma '$, $m\beta '+k\delta '$. Si donc l’on peut déterminer les nombres $m,$ $k,$ $n,$ $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta ',$ de manière qu’on ait

   $m\alpha '+k\gamma '=\alpha ,\quad m\beta '+k\delta =\beta ,\quad n\gamma '=\gamma ,\quad n\delta '=\delta ,$

   
   il est clair que $\varphi$ sera équivalente à $F$.

   Or les équations $n\gamma '=\gamma$, $n\delta '=\delta$ donnent $\gamma '={\frac {\gamma }{n}}$, $\delta '={\frac {\delta }{n}}$ : et comme $\gamma '$, $\delta '$ doivent être premiers entre eux, $n$ sera le plus grand commun diviseur des nombres $\gamma$, $\delta$. Des deux autres équations, on tire en éliminant $m$ ou $k$,

   $k=\alpha '\beta -\alpha \beta ',\quad m=\alpha \delta '-\beta \gamma '\ ;$

   
   et comme la seconde de ces équations revient évidemment à $\alpha \delta -\beta \gamma =e=mn$, il ne reste plus qu’à satisfaire à la première et à l’équation $\alpha '\delta '-\beta '\gamma '=1$. Si l’on suppose que $\alpha '=h$ et $\beta '=g$ soit une solution quelconque de cette dernière, on aura en général $\alpha '=h+p\gamma '$, $\beta '=g$ ; substituant ces valeurs dans celle de $k$, elle devient

   $k=h\beta -g\alpha +p(\beta \gamma '-\alpha \delta )=h\beta -g\alpha -pm$,

   
   ou

   $k\equiv h\beta -g\alpha {\pmod {m}}$.

   
   Ainsi en prenant pour $k$ le résidu minimum positif de $h\beta -g\alpha$, suivant le module $m$, la forme $\varphi$ ou $(m;k)$ se trouvera parmi les formes $\Omega$. On a pour lors

   $\alpha '=\gamma '.{\frac {h\beta -g\alpha -k}{m}}+h$, $\beta '=\delta '.{\frac {h\beta -g\alpha -k}{m}}+g$,

   
   ce qui est, au signe de $g$ près, le résultat de l’auteur.

   Il est aisé de voir que la forme $\varphi$ restera la même de quelque manière que $p$ et $q$ soient déterminés ; elle serait encore la même, quand on aurait d’autres valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ pourvu que le diviseur commun de [mot oublié ?], $\delta \gamma$ n’eût pas changé, non plus que le résidu minimum positif de $h\beta -g\alpha$ : mais dans tout autre cas la forme $\varphi$ changera. Il suit de là qu’il peut y avoir plusieurs formes $\varphi$, $\varphi '$, $\varphi ''$, etc. Les propositions que l’auteur démontre dans le n^o suivant, sont évidentes d’après ces observations. (Note du traducteur).

2. On pourrait encore présenter ces différentes propositions de la manière suivante.

   Si la forme $f$ se change en $F$ par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, on aura les équations

   $a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$	$=MG^{2}$,
   $a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$	$=MGH$,
   $a\beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$	$=MH^{2}$ ;

   
   on aura encore $\alpha \delta -\beta \gamma =0$, ou ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}$.

   Si de la première, multipliée par $\delta$, on retranche la seconde, multipliée par $\gamma$, on en déduit sur-le-champ $G\delta -H\gamma =0,$ ou ${\frac {\gamma }{\delta }}={\frac {G}{H}},$ et puisqu’on a ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }},$ ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {G}{H}}\,;$ $G$ et $H$ sont premiers entre eux, donc $\gamma$ et $\alpha$ sont divisibles par $G,$ et $\delta$ et $\beta$ par $H\,;$ desorte que l’on aura $\alpha =\xi G,$ $\beta =\xi H,$ $\gamma =\nu G,$ $\delta =\nu H,$ $\xi$ et $\nu$ étant des indéterminées. Or ces valeurs, substituées dans les trois équations, réduisent chacune d’elles à

   $a\xi ^{2}+2b\xi \nu +c\nu ^{2}=M.$

   
   Donc nous prouvons à-la-fois, 1^o . que $M$ doit être représentable par la forme $(a,b,c)\ ;$ 2^o . que s’il est représentable, la transformation de $f$ en $F$ est possible ; 3^o . qu’elle se fait par la substitution $\xi G,$ $\xi H$, $\nu G,$ $\nu H,$ et en même temps qu’on obtiendra ainsi toutes les transformations. (Note du traducteur).

3. Si l’on proposait une équation dans laquelle le 2^e , le 4^e  et le 5^e  coefficiens ne fussent pas pairs, cette équation, multipliée par $2$, prendrait la forme que nous lui supposons.