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Recherches arithmétiques/Section troisième

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SECTION TROISIÈME.


Des Résidus des Puissances.


45. Théorème. Dans toute progression géométrique etc., outre le premier terme il y en a encore un autre congru à l’unité suivant le module premier avec l’exposant étant

Puisque le module est premier avec et parconséquent avec une puissance quelconque de aucun terme de la progression ne sera mais chacun d’eux sera congru à quelqu’un des nombres . Comme le nombre de ces derniers est il est évident que si l’on considère plus de termes de la progression, ils ne pourront pas avoir tous des résidus minima différens. Ainsi parmi les nombres on en trouvera au moins deux congrus. Soit donc et on aura, en divisant par (no 22), et

Exemple. Dans la progression etc. le premier terme qui est congru avec l’unité suivant le module se trouve être , mais suivant le module on a dans la même progression, de même et Ainsi dans quelques cas la puissance de congrue avec l’unité, est plus petite que et dans d’autres, il faut remonter jusqu’à la puissance elle-même.

46. Quand la progression est continuée au delà du terme qui est congru à l’unité, ou retrouvera les mêmes résidus qu’on avait à partir du commencement. Ainsi, soit on aura etc., jusqu’à ce qu’on parvienne au terme dont le résidu minimum sera de nouveau et la période des résidus recommencera. On aura ainsi une période de résidus qui se répétera continuellement, et l’on ne pourra trouver un seul résidu qui ne fasse partie de cette période. On aura en général et  ; ce qui peut se présenter ainsi suivant notre notation : si , on aura .

47. Ce théorème fournit le moyen de trouver facilement les résidus des puissances, quelle que soit la grandeur de l’exposant dont elles sont affectées, en même temps qu’on découvrira la puissance congrue à l’unité. Si, par exemple, on demande le reste de la division de par , comme , on a , et comme d’ailleurs , on trouvera .

48. Si est la plus petite puissance congrue à l’unité, (en exceptant , cas que nous ne considérons pas), les restes qui composent la période seront tous différens, comme on le voit sans difficulté par la démonstration du no 45. Alors la proposition du no 46 peut être renversée. Savoir, si , on aura  : car si et étaient incongrus suivant , leurs résidus minima et seraient différens. Mais , donc , c’est-à-dire, que toutes les puissances au dessous de ne seraient pas incongrues, ce qui est contre l’hypothèse.

Si donc , on aura , c’est-à-dire que sera divisible par .

Nous avons parlé jusqu’ici de modules quelconques, pourvu qu’ils fussent premiers avec . À présent examinons à part les modules qui sont des nombres premiers absolus, et établissons sur ce fondement des recherches plus générales.

49. Théorème. Si est un nombre premier qui ne divise pas et que soit la plus petite puissance de congrue à l’unité, l’exposant sera ou une partie aliquote de

Voyez pour des exemples le no 45.

Comme nous avons déjà prouvé que est ou il reste à faire voir que dans le dernier cas il est toujours une partie aliquote de .

1o. Rassemblons les résidus minima positifs de tous les termes, et désignons-les par etc. desorte qu’on ait etc. Il est visible qu’ils seront tous différens ; car si deux termes donnaient les mêmes résidus, on aurait (en supposant et ce qui est absurde, puisque est la plus petite puissance de congrue à l’unité. Au reste tous les nombres etc., sont compris dans la série série qu’ils n’épuisent pas lorsque Nous désignerons par la somme de tous ces résidus, et comprendra un nombre de termes.

2o. Prenons un nombre quelconque parmi ceux de la série qui manquent dans Multiplions par etc. et nommons etc. les résidus minima qui en proviendront, et qui seront aussi en nombre . Ces résidus seront différens entr’eux , et différeront des nombres etc. En effet, si la première assertion était fausse, on aurait d’où l’on tire, en divisant par ce qui est contre ce que nous venons de démontrer : si la dernière l’était, on aurait d’où quand c’est-à-dire que serait congru à quelqu’un des nombres etc. : ce qui est contre l’hypothèse ; mais si on aura, en multipliant par ou, comme d’où résulte la même absurdité. Désignons par la somme des nombres etc. qui sont en nombre on aura déjà nombres parmi ceux-ci Donc si et ) épuisent cette série, on aura

3o. Mais s’il en manque quelques-uns, soit un de ceux-là. Multiplions etc. par et soient etc. les résidus minima de ces produits, dont nous désignerons l’ensemble par comprendra nombres pris dans la série qui seront tous différens entr’eux et non-compris dans et . Les deux premières assertions se démontrent comme ci-dessus (2o) ; quant à la troisième, si l’on avait on en tirerait ou , suivant que ou Dans l’un ou l’autre cas serait congru à quelqu’un des nombres qui composent ce qui serait contre l’hypothèse. On aura ainsi

nombres pris dans la série , , , et s’il n’en reste plus, , conformément au théorême.

4o. Mais s’il en reste encore quelques-uns, on arrivera de même à une quatrième somme de nombres , etc. ; et comme la série , , , etc. est finie, on voit que l’on parviendra nécessairement à l’épuiser, et sera un multiple de  ; donc sera une partie aliquote de .

50. Puisque est un nombre entier, il suit qu’en élevant chaque membre de la congruence à la puissance , on aura  ; c’est-à-dire, que sera toujours divisible par quand est premier et qu’il ne divise pas

Ce théorême remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s’appelle ordinairement théorême de Fermat, du nom de l’inventeur, (Fermatii opera Math. Tolosœ 1679. Fol. p. 163) Fermat n’en a pas donné la démonstration, bien qu’il ait assuré qu’il l’avait trouvée. Euler en a le premier publié une dans la Dissertation intitulée : Démonstration de quelques théorèmes relatifs aux nombres premiers. (Comm. Ac. Pétrop. T. VIII)[1] ; elle est tirée du développement de qui fait voir par la forme des coefficiens, que est toujours divisible par , et que parconséquent le sera si l’est. Or comme est divisible par , le sera donc ; et partant , et généralement . Donc si ne divise pas , on aura aussi divisible par . Ce que nous venons de dire suffit pour faire connaître l’esprit de la démonstration. Lambert en a donné une semblable, (Acta eruditorum. 1769, p. 109.). Mais comme le développement de la puissance d’un binôme semble étranger à la théorie des nombres, Euler (Comm. nov. Petrop. T. VIII, p. 70.) donna une autre démonstration qui est conforme à celle que nous venons d’exposer. Dans la suite il s’en présentera encore d’autres : ici nous nous contenterons d’en donner encore une déduite du même principe que celle d’Euler. La proposition suivante, dont le théorême en question n’est qu’un cas particulier, nous sera utile pour d’autres recherches.

51. Si est un nombre premier, la puissance du polynôme etc. est etc. suivant le module

On sait que est composé de termes de la forme etc. où l’on a étant le nombre de permutations de choses, dont etc. sont respectivement égales à etc. Mais nous avons fait voir (no 41) que ce nombre était toujours divisible par , à moins que toutes les lettres ne fussent égales entr’elles ; c’est-à-dire, à moins que l’un des nombres etc. ne fût égal et les autres égaux à zéro ; d’où il suit que tous les termes du développement, excepté etc. sont divisibles par et que parconséquent

Si toutes les quantités , , , etc. sont supposées et que leur nombre soit on aura comme dans le no précédent.

52. Comme les nombres qui sont diviseurs de sont les seuls qui puissent servir d’exposans aux plus petites puissances congrues avec l’unité, on est porté à chercher si tous les diviseurs de jouissent de cette propriété ; et, quand on classe tous les nombres non divisibles par p suivant l’exposant de leur plus petite puissance congrue à l’unité, combien il y en a pour chaque exposant. Nous observerons d’abord qu’il suffit de considérer les nombres positifs depuis jusqu’à il est évident en effet que les nombres congrus doivent être élevés à la même puissance pour devenir congrus à l’unité, et que parconséquent un nombre quelconque doit être rapporté au même exposant que son résidu minimum

positif ; ainsi nous avons à rechercher comment les nombres doivent être distribués sous ce point de vue, relativement aux facteurs de Pour abréger, si est un des facteurs de entre lesquels on doit compter et nous représenterons par la multitude des nombres positifs plus petits que dont la puissance est la plus petite qui soit congrue à l’unité.

53. Pour nous faire entendre plus facilement, nous présenterons d’abord un exemple. Soit les nombres peuvent se distribuer de la manière suivante relativement aux diviseurs de


Ainsi dans ce cas Avec une légère attention on voit qu’il y en a, relativement à chaque exposant, autant qu’il y a de nombres premiers avec cet exposant et non plus grands que lui, ou bien, en reprenant le signe du no 40, que Mais on peut démontrer généralement cette observation de la manière suivante :

1o. S’il y a un nombre appartenant à l’exposant c’est-à-dire dont la puissance soit congrue à l’unité, et les puissances inférieures incongrues, toutes les puissances de ce nombre, savoir ou leurs résidus minima, auront leur puissance congrue avec l’unité ; et comme cela peut s’exprimer en disant que les résidus minima des nombres qui sont tous différens sont les racines de la congruence qui ne peut avoir plus de racines différentes, il est évident qu’il n’y a pas de nombres autres que les résidus minima de dont les puissances soient congrues à l’unité ; d’où il suit que les nombres appartenans à l’exposant se trouvent tous entre les résidus minima des nombres On déterminera comme il suit quels ils sont et quel est leur nombre. Si est un nombre premier avec toutes les puissances de dont les exposans sont ne seront pas congrues à l’unité. Soit en effet (voyez no 31), on aura donc si la puissance de était congrue à l’unité, et que l’on eût on aurait aussi et parconséquent ce qui est contre l’hypothèse. Il est évident, d’après cela, que le résidu minimum de appartiendra à  ; mais si a un commun diviseur avec , le résidu minimum de n’appartiendra pas à l’exposant Car est divisible par , ou bien parconséquent c’est-à-dire Nous conclurons de là qu’il y a autant de nombres appartenans à l’exposant , qu’il y a de nombres premiers avec dans la série Mais il faut se souvenir que cette conclusion suppose qu’il existe déjà un nombre appartenant à l’exposant parconséquent il reste douteux s’il ne pourrait pas se faire qu’aucun nombre n’appartînt à un exposant donné, et la conclusion se réduit à ou

54. 2o. Soient etc. les diviseurs de comme tous les nombres , , ,… doivent être distribués entre ces diviseurs, on aura, . Mais (no 40) nous avons démontré que , et du no précédent il suit que ou  ; et parconséquent que ne peut pas être  ; ce qui s’étend à et , etc. Si donc un ou plusieurs des nombres , , etc. étaient plus petits que leurs correspondants parmi les nombres etc., la somme des premiers ne pourrait être égale à la somme des derniers. D’où nous concluons enfin que dans tous les cas, et que parconséquent ne dépend point de la grandeur de

55. Il y a un cas particulier de la proposition précédente qui mérite de fixer notre attention ; le voici : il existe toujours des nombres dont aucune puissance plus petite que n’est congrue à l’unité ; il y en a même autant entre et qu’il y a au-dessous de de nombres qui lui soient premiers. Comme il s’en faut bien que la démonstration de ce théorème soit aussi évidente qu’elle le paraît d’abord, nous en donnerons une un peu différente de celle qui précède, d’autant plus que la diversité des méthodes aide beaucoup à jeter du jour sur les points les plus obscurs.

On décomposera en facteurs premiers, de manière qu’on ait etc. , , , etc. étant des nombres premiers inégaux. Alors nous composerons la démonstration des deux propositions suivantes :

1o. On peut toujours trouver un nombre , ou plusieurs appartenans à l’exposant , et de même des nombres , , etc. appartenant aux exposans , , etc.

2o. Le produit des nombres , , , etc. ou le résidu minimum de ce produit appartiendra à l’exposant  ; ce qui se démontre ainsi qu’il suit.

1o. Soit un des nombres , , qui ne satisfasse pas à la congruence  ; car tous les nombres ne peuvent pas satisfaire à cette congruence, dont le degré est . Alors je dis que si l’on fait , ou son résidu minimum appartiendra à l’exposant .

En effet il est évident que  ; mais , et parconséquent sera incongru à l’unité, et à plus forte raison les puissances , le seront aussi. Or l’exposant de la plus petite puissance de congrue à l’unité, c’est-à-dire l’exposant auquel appartient, doit être un diviseur de (no 48) ; et comme n’est divisible que par lui-même, ou par les puissances inférieures de , il s’ensuit nécessairement que sera l’exposant auquel appartient. On démontrera de la même manière, qu’on peut trouver des nombres appartenans aux exposans , , etc.

2o. Si nous supposons que le produit de tous les nombres , , , etc. n’appartienne pas à l’exposant , etc., mais à un exposant plus petit, devra être un des diviseurs de (no 48), ou sera un entier . Il suit de là que ce quotient sera un des nombres premiers , , etc., ou du moins qu’il sera divisible par quelqu’un d’eux (no 17), par par exemple, car le raisonnement est le même pour les autres. divisera ainsi  ; donc le produit serait encore congru à l’unité, en l’élevant à la puissance (no 46). Mais il est évident que tous les nombres, (excepté ) deviennent congrus à l’unité, si on les élève à la puissance puisque les exposants auxquels ils appartiennent divisent . Donc donc doit diviser (no 48), c’est-à-dire que doit être entier, ce qui est absurde (no 15). Donc enfin notre supposition ne peut subsister, c’est-à-dire que le produit appartient réellement à l’exposant

La dernière démonstration semble un peu plus longue que la première, mais elle est plus directe.

56. Ce théorème nous fournit un exemple remarquable de la circonspection dont on a besoin dans la théorie des nombres, pour ne pas regarder comme démontrées des choses qui ne le sont pas. Lambert, dans la Dissertation que nous avons citée plus haut, fait mention de cette proposition, mais ne dit pas un mot de la nécessité de la démontrer. Personne même n’a tenté de le faire, excepté Euler (Comm. nov. Ac. Pétrop. T. XVIII, p. 85), dans son Mémoire intitulé : Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia. On peut voir surtout l’art. 37, dans lequel il a parlé avec étendue de la nécessité de démontrer cette proposition. Cependant la démonstration de cet homme pénétrant présente deux défauts ; l’un tient à ce qu’il suppose tacitement, art. 31 et suivants, que la congruence (en ramenant ses raisonnemens à notre notation) a réellement n racines différentes, tandis qu’il était seulement démontré que cette congruence ne peut en avoir davantage ; l’autre, à ce qu’il ne déduit que par induction la formule du no 34.

57. Nous nommerons avec Euler, racines primitives les nombres qui appartiennent à l’exposant . Si donc est une racine primitive, tous les résidus minima des puissances , , , … seront différens d’où l’on déduit facilement qu’ils se trouvent tous parmi les nombres , , qui sont en même nombre qu’eux, c’est-à-dire que tout nombre non divisible par est congru à quelque puissance de . Cette propriété remarquable est d’une bien grande utilité, et peut considérablement abréger les opérations arithmétiques relatives aux congruences, à peu près de la même manière que l’introduction des logarithmes dans l’arithmétique ordinaire en abrège les opérations. Nous prendrons arbitrairement pour base une racine primitive , à laquelle nous rapporterons tous les nombres non divisibles par  ; et si on a , nous appellerons l’indice de . Par exemple, est une racine primitive suivant le module  ; si on la prend pour base,

aux
nombres
, , , , , , , , , , , , , , , , ,
répondront
les indices
, , , , , , , , , , , , , , , , , .


Au reste il est évident que pour la même base chaque nombre a plusieurs indices, mais qui seront tous congrus suivant le module  ; aussi quand il sera question d’indices, ceux qui seront congrus suivant le module , seront regardés comme équivalens, de même que les nombres sont regardés comme équivalens lorsqu’ils sont congrus suivant le module .

58. Les théorèmes qui regardent les indices sont absolument analogues à ceux qui regardent les logarithmes.

L’indice d’un produit de tant de facteurs qu’on voudra, est congru à la somme des indices des différens facteurs, suivant le module

L’indice de la puissance d’un nombre est congru, suivant le module au produit de l’exposant par l’indice du nombre donné.

Nous omettons les démonstrations à cause de leur simplicité.

On voit par là que si nous voulions construire une table qui

donnât les indices de tous les nombres pour différens modules, nous pourrions nous dispenser de tenir compte de tous les nombres plus grands que le module et de tous les nombres composés. On trouvera à la fin de cet ouvrage un essai de cette table (Tab. I). Dans la première colonne sont rangés les nombres premiers et les puissances de nombres premiers depuis jusqu’à , qui doivent être regardés comme des modules : à côté de chacun d’eux, dans la colonne suivante, les nombres pris pour bases ; suivent alors les indices des nombres premiers successifs, qui sont écrits par tranches composées de cinq chacune ; en tête se trouvent les nombres premiers disposés dans le même ordre. Desorte qu’on peut trouver facilement l’indice qui répond à un nombre premier donné, suivant un module donné.

Soit par exemple  ; l’indice de , en prenant pour base, sera

59. L’indice de la valeur d’une expression quelconque , (no 31) est congru suivant le module , à la différence des indices du numérateur et du dénominateur , pourvu que les nombres et ne soient pas divisibles par .

Soit en effet une valeur quelconque de cette expression ; on aura  ; donc , et


Si donc on a deux tables, dont l’une donne les indices qui répondent à chaque nombre pour un module quelconque, et dont l’autre donne les nombres qui répondent à des indices donnés, on pourra résoudre facilement toutes les congruences du premier degré, puisqu’on peut toujours les ramener à d’autres dont les modules soient premiers (no 30).

Soit par exemple la congruence , on aura .
De là

or est le nombre qui a pour indice donc Nous n’avons point ajouté la seconde table, mais on verra dans la section VI comment on peut la remplacer par une autre.

60. De même que dans le no 31 nous avons désigné par un signe particulier, les racines des congruences du premier degré, dans ce qui va suivre, nous représenterons par un autre signe les racines des congruences à deux termes des degrés supérieurs ; et comme ne signifie autre chose que la racine de l’équation en ajoutant le module représentera une racine quelconque de la congruence Ainsi nous dirons que l’expression a autant de valeurs qu’elle en a d’incongrues suivant car toutes celles qui sont congrues suivant doivent être regardées comme équivalentes (no 26). Au reste il est clair que si et sont congrus suivant les expressions seront équivalentes.

Maintenant si l’on fait on aura On déduit de cette congruence, d’après les règles de la section II, les valeurs de et de là les valeurs correspondantes de mais on voit facilement que a autant de valeurs qu’il y a de racines dans la congruence. donc n’aura qu’une valeur, quand sera premier avec mais lorsque et auront un commun diviseur, et que sera le plus grand, aura valeurs incongrues suivant et parconséquent aura autant de valeurs incongrues suivant pourvu que soit divisible par Sans cette condition, n’aurait aucune valeur réelle.

Si l’on cherche par exemple les valeurs de l’expression , il faut résoudre la congruence , on trouvera trois valeurs de , , , d’où il résulte , , .

61. Quoique cette méthode soit très-expéditive, quand on a les tables nécessaires, nous ne devons cependant pas oublier qu’elle est indirecte ; il sera donc utile de chercher ce que peuvent donner les méthodes directes. Nous allons exposer ici les observations que l’on peut déduire des notions précédentes ; quant à ce qui exige des considérations plus profondes, nous le réserverons pour la section VIII.

Nous commencerons par le cas le plus simple ; celui où , c’est-à-dire, dans lequel on cherche les racines de la congruence . En prenant pour base une racine primitive quelconque, on doit avoir . Quand est premier avec , cette congruence n’aura qu’une seule racine, savoir  ; donc, dans ce cas n’aura qu’une valeur  ; mais quand et ont pour plus grand diviseur commun, la solution complète de la congruence sera (no 30), c’est-à-dire, que devra être congru suivant le module à quelqu’un des nombres , , , … ou qu’il aura valeurs incongrues suivant le module  ; donc aussi, dans ce cas, aura valeurs incongrues suivant . On voit que l’expression a aussi valeurs dont les indices sont absolument les mêmes que les précédens ; donc l’expression est tout-à-fait équivalente à l’expression , ou ce qui revient au même, la congruence et la congruence ont les mêmes racines ; mais la première est d’un degré inférieur à moins qu’on n’ait .

Ex. a trois valeurs, parceque est le plus grand commun diviseur de et  ; elles seront également celles de l’expression 1 . Ces valeurs sont , , .

62. Cette réduction nous offre un grand avantage, puisqu’on n’a plus besoin de résoudre parmi les congruences de la forme que celles où est diviseur du module diminué de l’unité. Mais nous ferons voir plus bas que les congruences de cette forme peuvent encore s’abaisser davantage, quoique ce qui précède ne suffise pas pour cela. Il y a cependant un cas que nous pouvons traiter ici à fond, celui où Il est évident en effet que les valeurs de l’expression seront et puisqu’elle n’en peut avoir plus de deux, et que et sont incongrus, à moins que le module ne soit , cas auquel il est clair que n’aurait qu’une seule valeur. Il suit de là que et sont aussi les valeurs de l’expression quand est premier avec ce qui arrivera toujours lorsque le module sera tel que soit un nombre absolument premier ; par exemple, quand etc., à moins que cas auquel tous les nombres sont racines. Remarquons, comme conséquence, que l’indice de est toujours quelle que soit la racine primitive que l’on prenne pour base ; car donc sera ou mais est toujours l’indice de et et doivent avoir des indices différens, excepté dans le cas où qu’il n’est pas nécessaire de considérer.

63. Nous avons fait voir (no 61) que l’expression a valeurs différentes ou n’en a absolument aucune, si est le plus grand commun diviseur des nombres et Or de même que nous avons trouvé que et étaient équivalentes quand on a nous prouverons plus généralement que l’expression peut toujours être ramenée à une autre à laquelle elle est équivalente. Soit en effet et une valeur quelconque de l’expression qui aura toujours (no 31) des valeurs réelles. De la congruence on déduit mais à cause de donc Ainsi une valeur quelconque de sera aussi une valeur de  ; et toutes les fois que aura des valeurs réelles, elle sera absolument équivalente à l’expression , puisqu’elle ne peut avoir de valeurs différentes, ni en moindre nombre. Il est vrai cependant que peut avoir des valeurs réelles, sans que pour cela en ait nécessairement.

Exemple. Si l’on cherche les valeurs de l’expression , le plus grand commun diviseur des nombres et est , et est une valeur de  ; donc si a des valeurs réelles, elle équivaudra à l’expression ou  ; on trouve effectivement que les valeurs de la dernière qui sont , et , satisfont aussi à la première.

64. Mais afin de ne pas entreprendre inutilement cette opération, il est nécessaire de chercher le caractère auquel on pourra reconnaître si admet ou non des valeurs réelles. Si on a une table d’indices la chose est facile, car (no 60) aura des valeurs réelles quand sera divisible par , en prenant pour base une racine primitive quelconque, et dans le cas contraire elle n’en aura pas ; mais on peut aussi le découvrir sans le secours de cette table. Soit en effet , si est divisible par , sera divisible par et réciproquement ; mais l’indice du nombre est  ; donc si a des valeurs réelles, sera congru à l’unité ; sinon, il sera incongru. Ainsi dans l’exemple de l’article précédent, on a a , d’où l’on conclut que l’expression a des valeurs réelles. De même nous voyons par là que a toujours deux valeurs réelles, quand est de la forme , et n’en a aucune quand est de la forme , car et . Ce théorème élégant qui s’énonce ordinairement ainsi : Si est un nombre premier de la forme on peut trouver un quarré qui rende divisible par mais si est de la forme on ne le pourra pas, a été démontré de cette manière par Euler (Comment. nov. Ac. Petrop. T. XVIII, p. 112, 1773). Il en avait donné une autre démonstration bien antérieurement (Comm. nov. T. v, p. 5, 1760) ; dans une première dissertation (T. iv, p. 25), il n’était pas encore parvenu au but. Lagrange a depuis donné aussi une démonstration de ce théorème (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin. 1775, p. 342). Nous en exposerons encore une différente dans la section suivante, qui sera consacrée à ce genre de considérations.

65. Après avoir examiné comment on peut réduire toutes les expressions à d’autres dans lesquelles soit diviseur de , et après avoir trouvé le caractère auquel on reconnaît s’il y a des racines réelles ou non, considérons avec plus de soin les expressions , dans lesquelles est diviseur de . Nous ferons voir d’abord quelle est la relation qu’ont entr’elles les différentes valeurs de cette expression, ensuite nous indiquerons quelques artifices au moyen desquels on peut le plus souvent trouver une des valeurs.

1o. Quand , et que sera une des valeurs de l’expression , ou que , toutes les puissances de seront aussi des valeurs de cette expression ; et il y en aura autant de différentes qu’il y a d’unités dans l’exposant auquel appartient (no 48). Si donc est une valeur appartenant à l’exposant , les puissances ,… (où l’unité peut remplacer la dernière) renfermeront toutes les valeurs de l’expression . Nous expliquerons plus en détail dans la section VIII comment on peut trouver ces valeurs qui appartiennent à l’exposant .

2o. Quand est incongru à l’unité, et que l’on connaît une valeur de l’expression , on trouve les autres de la manière suivante : soient , , , , …, les valeurs de , on aura , , , pour les valeurs de  ; car il est évident que tous ces nombres satisferont à la congruence  ; puisqu’en effet, si est un des nombres de la suite, comme et que , on aura et partant . Il est aisé de juger que toutes ces valeurs sont différentes (no 23) ; donc l’expression ne peut avoir d’autres valeurs, puisqu’elle ne peut en avoir plus de . Par exemple, si une valeur de est , l’autre sera . On doit conclure de ce qui précède, que l’on ne peut trouver toutes les valeurs de , à moins qu’on ne puisse avoir toutes celles de .

66. La seconde recherche que nous nous étions proposée, consiste à déterminer le cas où l’on peut trouver directement une valeur de l’expression , dans laquelle est diviseur de . Cela arrive quand il y a une valeur congrue à une puissance de , et comme ce cas est très-fréquent, il ne sera pas déplacé de s’y arrêter un instant. Soit cette valeur, si elle existe, on aura et  ; donc et si l’on peut déterminer de manière que cette condition soit remplie, sera la valeur cherchée ; mais la condition précédente revient à celle-ci , étant l’exposant auquel appartient. Or pour que cette congruence soit possible, il faut que soit premier avec , et dans ce cas on aura  ; si au contraire et ont un diviseur commun, aucune valeur de ne sera congrue à une puissance de .

67. Mais comme il est nécessaire pour cette solution de connaître , voyons comment il faut procéder quand on ne le connaît pas. On voit d’abord facilement que doit être diviseur de , lorsque a des valeurs réelles, ce que nous supposons ici. Soit en effet l’une quelconque de ces valeurs, on aura (no 50) , et  ; en élevant à la puissance les deux membres de la congruence , on aura d’ailleurs  ; donc (no 48). Or si est premier avec la congruence pourra être résolue suivant le module et toute valeur de qui y satisfera suivant ce module, y satisfera aussi (no 5) suivant le module diviseur de  ; donc on trouvera alors ce qu’on cherchait. Si n’est pas premier avec , soit le produit des facteurs premiers de qui divisent en même temps sera premier avec et si la condition que soit premier avec a lieu, sera aussi premier avec et comme il divise il divisera donc ainsi en résolvant la congruence ce qui peut se faire puisque est premier avec la valeur de satisfera aussi à la congruence, suivant le module Tout l’artifice consiste à trouver un nombre qui puisse remplacer que nous ne connaissons pas ; mais il faut se souvenir que dans le cas où n’est pas premier avec nous avons supposé premier avec et si cette condition manque, toutes les conclusions sont fausses ; c’est pourquoi, si en suivant témérairement les règles, on trouve pour une valeur dont la puissance ne soit pas congrue à le résultat prouvera que cette condition n’a pas lieu, et que partant la méthode n’est pas applicable,

68. Mais dans ce cas même, il est souvent avantageux de faire cette recherche : elle offre l’avantage de faire trouver de vraies valeurs au moyen des fausses. Supposons en effet que les nombres et aient été convenablement déterminés, mais qu’on n’ait pas Alors si on pouvait seulement déterminer les valeurs de , ces différentes valeurs étant multipliées par donneraient celles de en effet, si est une valeur de on aura mais l’expression est plus simple que parceque le plus souvent appartient à un exposant moindre que car si est le plus grand commun diviseur de et de appartiendra à l’exposant ce qui se démontre ainsi : puisque il vient mais est divisible par (no préc.), l’est par ou par D’ailleurs est premier avec donc aussi est divisible par ou par et partant par ou par Donc d’où l’on déduit facilement que élevé à la puissance est congru à l’unité. Il serait facile de démontrer que ne peut pas appartenir à un exposant plus petit que mais comme cette démonstration ne peut nous être utile, nous ne nous y arrêterons pas. Nous sommes donc certains que appartient toujours à un plus petit exposant que excepté dans le cas unique où l’on aurait

Mais à quoi sert que appartienne à un plus petit exposant que Il y a plus de nombres qui peuvent être qu’il n’y en a qui peuvent être et quand on a occasion de résoudre plusieurs expressions de la forme suivant le même module, on y gagne de pouvoir tirer d’une même source la solution de plusieurs. Ainsi, par exemple, on déterminera au moins une valeur de si l’on connaît seulement les valeurs de qui sont en effet l’on voit sans peine, par les articles précédens, que l’on déterminera d’une manière directe une valeur quand est impair, et que sera quand est pair ; or il n’y a que qui appartienne à l’exposant


Exemples.

Soit on a et partant il faut donc qu’on ait ce qui donne . Donc  ; l’on trouve effectivevement . Si les valeurs de étaient connues, on pourrait aussi déterminer les autres valeurs de  : or les valeurs de sont , ,  ; donc celles de seront , , .

Soit maintenant  ; on aura , , , et partant  ; donc on doit avoir , d’où  ; donc  ; mais n’est pas congru avec , mais avec  ; or on a et  ; d’où l’on tire les vraies valeurs

Voilà à-peu-près tout ce que nous pouvions exposer ici sur la résolution de ces expressions. Il est clair que les méthodes directes deviennent souvent assez longues ; mais cet inconvénient a lieu dans presque toutes les méthodes directes de la théorie des nombres : Aussi nous n’avons pas cru devoir négliger de faire voir ce qu’on peut en attendre. Il convient aussi d’observer que les artifices particuliers qui se présentent à un homme exercé, n’entrent pas dans notre plan.

69. Revenons maintenant aux racines que nous avons appelées primitives. Nous avons fait voir que, si l’on prenait pour base une racine primitive quelconque, tous les nombres dont les indices sont premiers avec , étaient aussi des racines primitives, et qu’il n’y en aurait pas d’autres, d’où nous avons conclu le nombre de ces racines (no 53) : et comme le choix de celle que l’on prend pour base est en général arbitraire, on voit qu’ici, comme dans les logarithmes, on peut avoir plusieurs systèmes[2]. Cherchons les relations qui les lient entr’eux. Soient et deux racines primitives, et un autre nombre. Soit de plus , quand est pris pour base, . Soit au contraire , dans l’hypothèse où l’on prend pour base ; on aura , donc d’où On trouvera de même Si donc on a une table d’indices construite pour la base on pourra facilement la changer en une autre dont la base est En effet, si pour la base sera pour la base et multipliant par ce nombre tous les indices de la table, on aura tous les indices pour la base

70. Mais quoiqu’un nombre donné puisse avoir plusieurs indices, en prenant pour base différentes racines primitives, tous ces indices auront cette propriété commune, que leur plus grand commun diviseur avec sera le même. En effet, étant un nombre donné, si pour la base et pour la base , et si leurs plus grands communs diviseurs et avec sont supposés inégaux ; soit , ne divisera pas  ; mais si pour la base on aura (art. précéd.) , et partant divisera aussi .

On peut encore s’assurer que ce diviseur commun des indices d’un nombre donné et de , est indépendant de la base en observant qu’il est égal à , étant l’exposant auquel appartient le nombre dont il s’agit. En effet, si l’indice est pour une base quelconque, sera le plus petit nombre (zéro excepté), qui multiplié par , donne un produit divisible par , ou la plus petite valeur de l’expression  ; mais on déduit sans peine du no 29 que cette valeur est égale au plus grand commun diviseur des nombres et .[3]

71. On démontre facilement que l’on peut toujours trouver une base telle, qu’un nombre appartenant à l’exposant ait un indice donné à volonté. Le plus grand commun diviseur de cet indice et de étant désignons par ce diviseur, et soit l’indice proposé soit l’indice du nombre donné quand on prend pour base la racine primitive quelconque on aura et premiers avec ou Or si est une valeur de l’expression et en même temps premier avec sera la racine primitive cherchée, car on aura au nombre proposé Il nous reste à prouver que l’expression peut admettre des valeurs premières avec elle équivaut à ou (no 31, 2o) et toutes les valeurs en seront premières avec car si une valeur avait un diviseur commun avec ce diviseur devrait aussi diviser et partant diviser qui est congru à suivant le module , ce qui est contre l’hypothèse suivant laquelle est premier avec Ainsi, quand tous les diviseurs premiers de divisent aussi toutes les valeurs de l’expression sont premières avec et leur nombre est mais quand renferme encore d’autres facteurs premiers etc. qui ne divisent pas soit une valeur de comme etc. sont premiers entre eux, on peut trouver un nombre congru à suivant le module et congru, suivant etc., à des nombres quelconques premiers avec ceux-ci (no 32). Ce nombre ne sera divisible par aucun facteur de et partant sera premier avec lui, comme il est nécessaire. On pourrait démontrer sans peine par la théorie des combinaisons, que le nombre de ces valeurs est etc. ; mais nous omettons cette démonstration qui ne peut nous être d’aucune utilité.

72. Quoiqu’en général on puisse prendre arbitrairement pour base une racine primitive quelconque, certains avantages particuliers peuvent faire préférer une base à toute autre. Dans la table I nous avons toujours pris pour base quand il était racine primitive, et dans les autres cas nous avons choisi la base de manière que l’indice du nombre fût le plus petit possible, c’est-à-dire étant l’exposant auquel appartient. On en reconnaîtra l’avantage dans la sect. VI, où la même table sera employée à d’autres usages. Mais comme il peut encore rester ici quelque chose d’arbitraire, ainsi qu’on le voit par l’article précédent, nous avons toujours choisi, parmi toutes les racines primitives qui satisfont à la question, la plus petite pour base : ainsi pour on a et a valeurs qui sont et nous avons pris pour base.

73. La plupart des méthodes qui servent à trouver les racines primitives reposent en grande partie sur le tâtonnement. Si l’on réunit ce que nous avons dit (no 55) avec ce que nous dirons plus bas sur la résolution de la congruence , on aura à-peu-près tout ce qui peut se faire par les méthodes générales. Euler avoue (Opuscula analyt. T. i, p. 152.) qu’il lui semble extrêmement difficile d’assigner ces nombres, et que leur nature doit être rangée parmi les points les plus épineux de la théorie des nombres ; mais on les trouve assez facilement par la méthode suivante. Les hommes exercés préviendront facilement la longueur du calcul par beaucoup d’artifices ; mais l’usage les indique mieux que les préceptes.

1o. On prendra à volonté un nombre premier avec le module [4], et souvent le calcul devient plus simple lorsqu’on prend le plus petit possible, par exemple ; on déterminera sa période (no 46), c’est-à-dire les résidus minima de ses puissances, jusqu’à ce que l’on parvienne à une puissance qui ait pour résidu minimum[5]. Si l’on sera une racine primitive.

2o. Mais si on prendra un autre nombre qui ne soit pas contenu dans la période de et l’on cherchera de la même manière sa période. En nommant l’exposant auquel appartient, on voit facilement que n’est ni égal à ni une de ses parties aliquotes, car dans les deux cas on aurait ce qui est impossible, la période de renfermant tous les nombres dont la puissance est congrue à l’unité (no 55). Or si sera une racine primitive ; si n’est pas mais un multiple de nous aurons encore l’avantage de connaître un nombre qui appartienne à un exposant plus grand, et partant nous approcherons de notre but, puisque nous cherchons le nombre qui appartient à l’exposant maximum ; mais si n’est ni ni multiple de nous pouvons trouver un nombre appartenant à un exposant plus grand que et cet exposant sera le plus petit nombre divisible à la fois par et . En effet, soit ce dernier nombre ; on décomposera en deux facteurs et premiers entre eux, dont l’un divise et l’autre [6].

Soit appartiendra à l’exposant car on voit facilement que appartient à l’exposant à l’exposant et parconséquent appartiendra à l’exposant , puisque et sont premiers entre eux, comme on peut le démontrer en suivant exactement le procédé du no 55.

3o. Si sera une racine primitive, sinon on prendra de même un troisième nombre qui ne se trouve pas dans la période de ce nombre sera une racine primitive, ou bien il appartiendra à un exposant ou bien enfin par son moyen on déterminera un nombre appartenant à un exposant donc, comme les nombres qui résultent de la répétition de cette opération, appartiennent à des exposans qui vont toujours en augmentant, et sont néanmoins diviseurs de , il est évident qu’on en trouvera enfin un qui appartiendra au maximum , ce sera la racine primitive.

74. Éclaircissons ceci par un exemple. Soit , pour lequel on demande une racine primitive. Essayons d’abord le nombre , dont la période est

etc.
etc.


Donc puisque , n’est pas racine primitive. Essayons le nombre qui ne se trouve pas dans la période de sa période est

etc.