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Recherches arithmétiques/Section quatrième

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SECTION QUATRIÈME.


Des Congruences du second degré.


94. Théorème. Un nombre quelconque étant pris pour module, il ne peut y avoir dans la suite plus de nombres, quand est pair, et plus de quand est impair, qui soient congrus à un quarré.

Comme les quarrés des nombres congrus sont congrus entre eux, un nombre qui peut être congru à un quarré, le sera à un autre quarré, dont la racine est plus petite que Il suffit donc de considérer les résidus minima des quarrés mais on voit facilement qu’on a etc. Donc aussi, quand est pair, les quarrés et et etc., auront les mêmes résidus minima ; et quand est impair, et et etc. seront congrus. D’où il suit évidemment qu’il n’y a pas d’autres nombres congrus à un quarré que ceux qui le sont à l’un des quarrés : ,… quand est pair ; et que quand est impair, il n’y en a pas d’autres que ceux qui sont congrus à l’un des quarrés Donc il y aura au plus résidus minima, différens dans le premier cas, et dans le second.

Exemple Suivant le module , les résidus minima des quarrés des nombres sont et après cela ils reviennent dans l’ordre inverse etc. Ainsi un nombre qui n’est pas congru avec l’un de ceux-là, ou qui l’est à l’un des nombres ne peut être congru à aucun quarré.

Suivant le module on trouve pour résidus minima qui reviennent ensuite dans l’ordre inverse ; ainsi le nombre des résidus qui peuvent être congrus à un quarré, est ici moindre que puisqu’ils sont Les nombres et ceux qui leur sont congrus, ne peuvent être congrus à aucun quarré.

95. Il résulte de là que pour un module quelconque, tous les nombres peuvent se distinguer en deux classes, dont l’une renferme tous ceux qui peuvent être congrus à un quarré, et l’autre tous ceux qui ne le peuvent pas. Nous appellerons les premiers résidus quadratiques[1] du nombre que nous prenons pour module, et les derniers non-résidus quadratiques ; ou même plus simplement toutes les fois qu’il n’en résultera pas d’ambiguité, résidus et non-résidus. Au reste il est évident qu’il suffit de classer les nombres car les nombres congrus doivent être rapportés à la même classe.

Nous commencerons aussi dans ces Recherches par les modules premiers, ce qui doit toujours être sous-entendu, quand nous n’en avertirons pas expressément. Mais il faut exclure le nombre , ou ne considérer que des nombres impairs.

96. Le nombre premier étant pris pour module, la moitié des nombres sera composée de résidus quadratiques, et l’autre moitié de non-résidus, c’est-à-dire qu’il y aura résidus, et autant de non-résidus.

On prouve facilement que tous les quarrés , , sont incongrus ; car si l’on pouvait avoir et que les nombres et fussent inégaux et , soit , on aurait , divisible par  ; mais chaque facteur étant , la supposition ne peut subsister (no 13). Il y a donc , résidus quadratiques entre les nombres , , il ne peut y en avoir davantage, car en y joignant , le nombre en devient , limite qu’il ne peut pas dépasser. Donc les autres nombres seront non-résidus, et il y en aura .

Comme zéro est toujours résidu, nous l’excluons, ainsi que les nombres divisibles par le module, parceque ce cas est clair par lui-même, et ne pourrait que nuire à l’élégance des théorèmes ; par la même raison nous excluons aussi le nombre .

97. Comme la plupart des choses que nous exposerons dans cette section peuvent être déduites des principes exposés dans la section précédente, et comme il n’est pas inutile de rechercher la vérité par différentes voies ; nous nous attacherons à faire voir la liaison des différentes méthodes. Par exemple, il est aisé de voir que tous les nombres congrus à un quarré ont des indices pairs, et que ceux qui ne sont congrus à aucun quarré ont des indices impairs. Mais puisque est un nombre pair, il y aura autant d’indices pairs qu’il y en a d’impairs, savoir :  ; parconséquent il y aura autant de résidus que de non-résidus.

Exemples


Pour les modules———on a les résidus
…………………
…………………
…………………
………………… ,
…………………
…………………
etc.

et les autres nombres moindres que ces modules sont non-résidus.

98. Theorème. Le produit de deux résidus quadratiques d’un nombre premier est un résidu ; le produit d’un résidu et d’un non-résidu est non-résidu ; enfin le produit de deux non-résidus est résidu.

1o. Soient et les résidus qui proviennent des quarrés ou soient et on aura c’est-à-dire qu’il sera un résidu.

2o. Quand est résidu, ou que , mais que est non-résidu, est non-résidu. Soit en effet, s’il se peut et on aura et partant contre l’hypothèse.

Autrement. Si l’on multiplie par les nombres de la suite qui sont résidus, tous les produits seront des résidus quadratiques, et ils seront tous incongrus. Or si l’on multiplie par un nombre non-résidu, le produit ne sera congru à aucun des précédens ; donc, s’il était résidu, il y aurait résidus incongrus, parmi lesquels ne serait pas , ce qui est impossible (no 96)

3o. Soient et deux nombres non-résidus, en multipliant par tous les nombres qui sont résidus dans la suite on aura non-résidus incongrus entr’eux (2o). Or le produit ne peut être congru à aucun de ceux-là ; donc s’il était non-résidu, on aurait non-résidus incongrus entr’eux ; ce qui est impossible (no 96).

Ces théorèmes se déduisent encore plus facilement des principes de la section précédente. En effet, puisque l’indice d’un résidu est toujours pair, et celui d’un non-résidu toujours impair, l’indice du produit de deux résidus ou non-résidus sera pair, et partant, le produit sera lui-même un résidu. Au contraire, si l’un des facteurs est non-résidu, et l’autre résidu, l’indice sera impair, et le produit non-résidu.

On peut aussi faire usage des deux méthodes pour démontrer ce théorème : la valeur de l’expression , sera un résidu, quand les nombres et seront tous les deux résidus ou non-résidus. Elle sera un non-résidu, quand l’un des nombres et sera résidu et l’autre non-résidu. On le démontrerait encore en renversant les théorèmes précédens.

99. Généralement, le produit de tant de facteurs qu’on voudra est un résidu, soit lorsque tous les facteurs en sont eux-mêmes, soit lorsque le nombre de facteurs non-résidus est pair ; mais quand le nombre des facteurs non-résidus est impair, le produit est non-résidu. On peut donc juger facilement si un nombre composé est résidu ou non ; pourvu qu’on sache ce que sont ses différens facteurs. Aussi dans la table II, nous n’avons admis que les nombres premiers. Quant à sa disposition, les modules sont en marge[2], en tête les nombres premiers successifs ; quand l’un de ces derniers est résidu, on a placé un trait dans l’espace qui correspond au module et à ce nombre ; quand il est non-résidu, on a laissé l’espace vide.

100. Avant de passer à des sujets plus difficiles, nous devons dire un mot des modules composés.

Si l’on prend pour module la puissance d’un nombre premier , étant , une moitié des nombres non-divisible par et seront des résidus, et l’autre des non-résidus ; c’est-à-dire qu’il y en aura de chaque espèce.

En effet, si r est un résidu, il sera congru à un quarré dont la racine ne surpasse pas la moitié du module (no 94) ; et l’on voit facilement qu’il y a nombres et non divisible par . Ainsi il reste à démontrer que les quarrés de tous ces nombres sont incongrus, ou qu’ils donnent des résidus différens. Or si deux nombres et non-divisibles par et plus petits que la moitié du module, avaient leurs quarrés congrus, on aurait ou divisible par , en supposant , ce qui est permis. Mais cette condition ne peut avoir lieu, à moins que l’un des deux nombres , ne soit divisible par , ce qui est impossible, puisque chacun d’eux est plus petit que , ou bien que l’un étant divisible par , l’autre le soit par ou chacun d’eux par  ; ce qui est encore impossible, puisqu’il s’ensuivrait que la somme et la différence , et partant et eux-mêmes seraient divisibles par , contre l’hypothèse. Donc enfin parmi les nombres non-divisibles par , et moindres que le module, il y a résidus, et les autres, en même nombre, sont non-résidus.

Ce théorème peut se déduire aussi de la considération des indices, comme au no 97.

101. Tout nombre non-divisible par , qui est résidu de , sera aussi résidu de celui qui ne sera pas résidu de ne le sera pas non plus de

La seconde partie de cette proposition est évidente par elle-même ; ainsi si la première n’était pas vraie, parmi les nombres plus petits que et non-divisibles par , il y en aurait plus qui fussent résidus de qu’il n’y en aurait qui le fussent de , c’est-à-dire plus de . Mais on peut voir sans peine que le nombre des résidus de qui se trouvent entre et est précisément .

Il est tout aussi facile de trouver effectivement un quarré qui soit congru à un résidu donné, suivant le module , si l’on connaît un quarré congru à ce résidu suivant le module .

Soit en effet un quarré congru au résidu donné , suivant le module , on en déduira, de la manière suivante, un quarré , suivant le module , étant et non plus grand que , Supposons que la racine du quarré cherché soit  ; et il est aisé de s’assurer que c’est là la forme qu’elle doit avoir. Il faut donc qu’on ait , ou comme , on aura, Soit on aura donc sera la valeur de l’expression

Ainsi étant donné un quarré congru à suivant le module on en déduira un quarré congru à , suivant le module de là au module au module etc.

Exemple. Étant proposé le résidu congru au quarré suivant le module on trouve le quarré auquel il est congru suivant le module auquel il est congru suivant le module etc.

102. Quant à ce qui regarde les nombres divisibles par il est clair que leurs quarrés seront divisibles par et que partant tous les nombres qui seront divisibles par et non par seront non-résidus de Et en général, si l’on propose le nombre n’étant pas divisible par il y a trois cas à distinguer ;

1o. Si ou on aura c’est-à-dire qu’il sera résidu.

2o. Si et impair, sera non-résidu.

En effet, si l’on avait serait divisible par ce qui ne peut avoir lieu, à moins que ne le soit par donc alors serait aussi divisible par ce qui conduirait, à cause de non plus grand que à aussi divisible par , et supposerait divisible par contre l’hypothèse.

3o. Si et pair, sera résidu ou non-résidu de suivant que sera résidu ou non-résidu de En effet, quand sera résidu de il le sera aussi de (no précédent). Mais si l’on suppose on aura or est un quarré. Quand au contraire est non-résidu de ne peut être résidu de Supposons en effet serait nécessairement divisible par et le quotient serait un quarré auquel serait congru, suivant le module et parconséquent suivant le module c’est-à-dire, que serait résidu de contre l’hypothèse.

103. Comme nous avons commencé (no 100) par exclure le cas où , il faut ajouter quelque chose à ce sujet. Quand est module, tous les nombres sont résidus, et il n’y en a point de non-résidus. Quand le module est , tous les nombres impairs de la forme sont résidus, et tous ceux de la forme sont non-résidus. Enfin, quand le module est ou une plus haute puissance de , tous les nombres impairs de la forme sont résidus, et les autres, ou ceux qui sont de la forme , , sont non-résidus ; la dernière partie de cette proposition est évidente, puisque le quarré d’un nombre impair de la forme ou est toujours de la forme . On peut démontrer la première comme il suit.

1o. Si la somme ou la différence de deux nombres est divisible par , les quarrés de ces nombres seront congrus suivant le module . En effet, soit un de ces nombres, l’autre sera , dont le quarré est .

2o. Tout nombre impair qui est résidu quadratique de est congru à un quarré dont la racine est un nombre impair et . Soit en effet un quarré quelconque, auquel ce nombre soit congru, et , n’étant pas plus grand que la moitié du module (no 4), on aura , et partant le nombre proposé sera . Mais il est évident que et seront impairs, et que parconséquent .

3o. Les quarrés de tous les nombres impairs moindres que seront incongrus, suivant le module . Soient en effet deux nombres et , deux nombres impairs moindres que  ; si leurs quarrés étaient congrus suivant , on aurait divisibles par , étant  ; mais on voit aisément que et ne peuvent être à-la-fois divisibles par , et si l’un est seulement divisible par , l’autre doit l’être par , ce qui est absurde, puisque chacun d’eux est .

4o. Si l’on ramène ces quarrés à leurs résidus minima positifs, on aura résidus quadratiques différens, et plus petits que le module ; mais comme il y a précisément , nombres de la forme plus petits que le module, nécessairement tous ces nombres se trouveront parmi les résidus.

Pour trouver un quarré congru à un nombre donné de la forme , suivant le module on peut employer une méthode semblable à celle du no 101, ou suivre le procédé du no 88. Pour les nombres pairs, on peut faire usage de ce que nous avons dit généralement no 102.

104. Pour ce qui regarde le nombre de valeurs différentes, c’est-à-dire incongrues suivant le module, que peut admettre l’expression , pourvu que soit un résidu de , on déduit facilement de ce qui précède, les conclusions suivantes. Nous supposons toujours que est un nombre premier et, pour abréger, nous considérons en même temps le cas où .

1o. Si n’est pas divisible par , n’a qu’une seule valeur pour et  ; ce sera  ; il en a deux quand est impair, ou bien quand on a et  ; et, si l’une est , l’autre sera  ; il en a quatre pour et  ; et si l’une est les autres seront , .

2o. Si est divisible par , mais non par , soit la plus haute puissance de qui divise , car cette puissance doit être paire (no 102), et  ; il est clair que toutes les valeurs de doivent être divisibles par et que tous les quotiens donnés par ces divisions seront les valeurs de l’expression  ; on aura donc toutes les valeurs différentes de , en multipliant par , toutes celles de contenues entre et . Elles seront, par conséquent, , , ,……, étant une valeur quelconque de  : suivant donc que aura , ou , ou valeurs, en aura , ou , ou (1o.).

3o. Si est divisible par , on voit facilement, en posant ou , suivant que est pair ou impair, que tous les nombres divisibles par sont des valeurs de , et qu’il n’y en a pas d’autres ; mais les nombres divisibles par sont , , ,… dont le nombre est .

105. Il reste à examiner le cas où le module m est composé de plusieurs nombres premiers. Soit etc., , , , etc. étant des nombres premiers différens, ou des puissances de nombres premiers différens. Il est clair d’abord que si est résidu de , il le sera aussi des différens nombres , , , etc., et que partant il sera non-résidu de , s’il est non-résidu de quelqu’un de ces nombres. Réciproquement, si est résidu des différens nombres etc., il le sera de leur produit en effet, si l’on a etc., suivant les modules etc. respectivement, et qu’on cherche un nombre congru aux nombres etc., suivant les modules etc. respectivement (no 32), on aura suivant tous ces modules, et conséquemment suivant leur produit.

Comme on voit facilement que la valeur de résulte de la combinaison d’une valeur quelconque de ou de l’expression avec une valeur quelconque de avec une valeur quelconque de etc, que les différentes combinaisons donneront des valeurs différentes, et qu’elles les donneront toutes ; le nombre des valeurs de sera égal au produit des nombres de valeurs de etc. que nous avons appris à déterminer dans l’article précédent.

Il est évident que si l’on connaît une valeur de l’expression ou de ce sera aussi une valeur de etc. ; et comme par l’article précédent on peut en déduire toutes les autres valeurs de ces quantités, il s’ensuit que l’on pourra trouver toutes les valeurs de lorsqu’on en connaîtra une.

Exemple. Soit le module on demande si est un résidu ou un non-résidu. Les diviseurs premiers de sont et est résidu de chacun d’eux ; donc il est résidu de Or comme et et et on trouve pour les racines des quarrés congrus à suivant le module les nombres

106. On voit par ce qui précède, qu’il suffit de reconnaître si un nombre donné est résidu ou non-résidu d’un nombre premier donné, et que tous les cas reviennent à celui-là. Nous devons donc chercher pour ce cas des caractères certains ; mais avant d’entreprendre cette recherche, nous présenterons un caractère qui se déduit de la section précédente, et qui est digne d’être conservé à cause de sa simplicité et de sa généralité, quoiqu’il ne soit presque d’aucune utilité dans la pratique.

Un nombre quelconque non divisible par un nombre premier est résidu ou non-résidu de ce nombre premier suivant que ou

Soit en effet, pour le module , l’indice du nombre , dans un système quelconque, sera pair quand sera un résidu, et impair quand sera non-résidu ; mais l’indice du nombre est , c’est-à-dire ou suivant que est pair ou impair. Donc dans le premier cas on aura et dans le second (nos 57, 62).

Exemple. est résidu de , parceque  ; au contraire n’est pas résidu de , parceque  ; mais pour peu que les nombres à examiner soient grands, ce caractère devient tout-à-fait inutile à cause de l’immensité du calcul.

107. Il est très-facile d’assigner tous les nombres qui sont résidus ou non-résidus d’un nombre donné. Soit en effet ce nombre ; on déterminera les quarrés dont les racines ne surpassent pas  ; ou des nombres congrus à ces quarrés suivant le module (pour la pratique il y a encore des méthodes plus expéditives) ; alors tous les nombres congrus à quelqu’un de ceux-là, suivant le module , seront résidus, et tous ceux qui ne seront congrus à aucun, seront non-résidus ; mais la question inverse, étant donné un nombre quelconque, assigner tous ceux dont il est résidu ou non-résidu, est d’une bien plus grande difficulté ; aussi nous allons nous occuper de ce problème, de la solution duquel dépend ce que nous nous sommes proposé dans l’article précédent ; et nous commencerons par les cas les plus simples.

108. Théorème. est résidu de tous les nombres premiers de la forme et non-résidu de tous les nombres premiers de la forme

Exemple. est résidu des nombres etc. ; il provient des quarrés des nombres etc., respectivement. Il est au contraire non-résidu des nombres etc.

Nous avons déjà fait mention de ce théorème (no 64) ; mais on le démontre facilement par le no 106. En effet, pour un nombre premier de la forme , on a , et pour un nombre de la forme , on a Cette démonstration revient à celle du no 64 ; mais à cause de l’élégance du théorème et de son utilité, il ne sera pas inutile de le démontrer encore d’une autre manière.

109. Désignons par la somme de tous les résidus du nombre premier  ; leur nombre, en excluant , est , qui sera pair toutes les fois que sera de la forme , et impair lorsque sera de la forme . Par analogie avec la nomenclature adoptée dans le no 77, dans lequel il était question de nombres en général, nous appellerons, résidus associés, ceux dont le produit sera  ; en effet il est évident que si est un résidu, en sera un aussi, et comme le même résidu ne peut avoir plusieurs associés dans , il est clair que peut être distribué en classes, dont chacune contiendra deux résidus associés. Or il est évident que, s’il n’y avait aucun résidu qui n’eût d’autre associé que lui-même, c’est-à-dire si chaque classe contenait deux résidus différens, le nombre des résidus serait double de celui des classes. Si donc il y a des nombres qui soient eux-mêmes leurs associés, c’est-à-dire quelques classes qui ne contiennent qu’un résidu, ou, si on aime mieux, qui contiennent deux fois le même ; soit le nombre de ces classes, le nombre des autres, le nombre de tous les résidus sera donc sera pair ou impair suivant que sera de la forme ou  ; mais (no 77) il n’y a pas de nombres plus petits que , autres que et qui soient eux-mêmes leurs associés, et le premier fait certainement partie des résidus ; ainsi dans le premier cas ou, ce qui revient au même, doit être résidu, et dans le second il doit être non-résidu ; autrement dans le premier cas on aurait , et dans le second , ce qui est impossible.

110. Cette démonstration est encore due à Euler, ainsi que la précédente qu’il a donnée le premier (Opusc. analyt. T. I, p. 135). Il est aisé de voir qu’elle repose sur des principes semblables à ceux sur lesquels nous avons appuyé notre seconde démonstration du théorème de Wilson (no 77). Mais en supposant ce théorème, la démonstration précédente se simplifierait beaucoup. En effet, entre les nombres il y en a qui sont résidus et autant de non-résidus ; donc le nombre des non-résidus est pair ou impair suivant que sera de la forme ou de la forme donc le produit de tous les nombres sera résidu dans le premier cas et non-résidu dans le second (no 99). Or ce produit donc enfin est résidu dans le premier cas et non-résidu dans le second.

111. Si donc est résidu d’un nombre premier de la forme le sera aussi, et tous les non-résidus seront encore non-résidus en changeant les signes[3]. Le contraire arrive pour les nombres premiers de la forme dont les résidus deviennent non-résidus, et réciproquement, quand on change le signe (no 98).

Au reste on déduit facilement de ce qui précède cette règle générale : est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par ni par aucun nombre de la forme Il est non-résidu de tous les autres. (nos 103 et 105).

112. Passons aux résidus et .

Si dans la table II on prend tous les nombres premiers dont est résidu, on trouvera Or on remarque facilement qu’aucun d’eux n’est de la forme ou

Voyons donc si cette induction peut devenir une certitude.

Observons d’abord que tout nombre composé de la forme ou renferme nécessairement un facteur premier de l’une ou l’autre forme ; en effet, les nombres premiers de la forme et ne peuvent former que des nombres de la forme ou . Si donc notre induction est généralement vraie, il n’y aura aucun nombre de la forme , , dont le résidu soit . Or il est bien certain qu’il n’existe aucun nombre de cette forme et au-dessous de , dont le résidu soit  ; mais s’il y en avait au-dessus de cette limite, supposons que soit le plus petit de tous ; sera de la forme ou , et sera son résidu, mais il sera non-résidu de tous les nombres semblables plus petits. Soit , on pourra toujours prendre impair et car a au moins deux valeurs positives plus petites que , dont la somme , et dont parconséquent l’une est paire et l’autre impaire (nos 104, 105). Cela posé, soit ou , sera de la forme , et parconséquent de la forme  ; donc sera de la forme ou suivant que sera de la forme ou  ; mais de l’équation , on tire la congruence , c’est-à-dire que serait aussi résidu de . Il est aisé de voir qu’on a  ; il s’ensuivrait que ne serait pas le plus petit nombre qui eût pour résidu, ce qui est contre l’hypothèse ; d’où suit enfin une démonstration rigoureuse de cette proposition, que nous avions déduite de l’induction.

En combinant cette proposition avec celles du no 111, on en déduit les théorèmes suivans :

I. est non-résidu, et est résidu de tous les nombres premiers de la forme .

II. et sont non-résidus de tous les nombres premiers de la forme .

113. Par une semblable induction on tirera de la table II, pour les nombres premiers dont le résidu est , ceux-ci : , , , , , , , , , , , [4], Parmi ces nombres il ne s’en trouve aucun de la forme ou  ; cherchons donc si de cette induction nous pouvons tirer un théorème général. On fera voir de la même manière que dans l’article précédent, qu’un nombre composé de la forme ou , doit renfermer un facteur premier de la forme ou de la forme desorte que si notre induction est généralement vraie, ne peut être résidu d’aucun nombre de la forme ou  ; or s’il peut y en avoir de tels, soit le plus petit de tous, et qu’on ait . Si l’on prend, comme plus haut, impair et , sera de la forme ou , suivant que sera de la forme ou  ; mais, de ce qu’on a et , il est facile de déduire que est et comme serait aussi résidu de , il s’ensuivrait que ne serait pas le plus petit nombre dont est le résidu, ce qui est contre l’hypothèse. Donc sera nécessairement non-résidu de tous les nombres de la forme ou .

En combinant cette proposition avec celles du no 111, on en déduit les théorèmes suivans :

I. et sont non-résidus de tous les nombres premiers de la forme comme nous l’avons déjà trouvé.

II. est non-résidu et résidu de tous les nombres premiers de la forme

Au reste, nous aurions pu prendre pair dans les deux démonstrations ; mais alors il eût fallu distinguer le cas où est de la forme , de celui où il est de la forme  ; d’ailleurs la marche est absolument la même et n’est sujette à aucune difficulté.

114. Il nous reste encore à traiter le cas où le nombre premier est de la forme  ; mais il échappe à la méthode précédente et demande des artifices tout-à-fait particuliers.

Soit, pour le module premier , une racine primitive quelconque , on aura (no 62 )  ; cette congruence peut se mettre sous la forme , ou  ; d’où il suit que et sont résidus de  ; mais comme est un quarré non-divisible par le module, et seront aussi résidus (no 98 ).

115. Il ne sera pas inutile d’ajouter encore une autre démonstration de ce théorème, qui a le même rapport avec celle que nous venons de donner, que la seconde démonstration du théorème du no 108, a avec la première. Les gens instruits s’appercevront facilement que ces deux démonstrations ne sont pas aussi différentes qu’elles le paraissent au premier aspect, tant dans le premier cas que dans le second.

1o. Pour un module premier quelconque de la forme , parmi les nombres on en trouvera qui peuvent être congrus à un biquarré, et les autres ne pourront pas l’être.

On peut le conclure facilement des principes de la section précédente ; mais on peut aussi s’en passer sans difficulté. En effet nous avons démontré que pour un pareil module, était toujours résidu quadratique. Soit donc , il est clair que si est un nombre quelconque non divisible par le module, les biquarrés des quatre nombres (qu’on voit facilement être incongrus) seront congrus entre eux. Or il est évident que le biquarré de tel nombre qu’on voudra, qui ne serait congru à aucun de ces nombres, ne pourrait pas être congru à leurs biquarrés ; autrement la congruence aurait plus de quatre racines (no 43). On déduit facilement de là que les nombres fournissent seulement m biquarrés incongrus, pour lesquels, parmi les mêmes nombres, on en trouvera qui leur sont congrus ; les autres ne pourront être congrus à aucun biquarré.

2o. Suivant un module premier de la forme , peut être rendu congru à un biquarré ; c’est-à-dire que sera résidu blquadratique de ce nombre premier.

En effet le nombre des résidus biquadratiques moindres que (zéro excepté), sera c’est-à-dire, pair. Or on prouve facilement que, si est résidu biquadratique de la valeur de l’expression est un pareil résidu. Donc on peut distribuer les résidus biquadratiques par classes, comme nous l’avons fait, au no 109, pour les résidus quadratiques, et le reste de la démonstration est exactement le même qu’à l’article cité.

3o. Soit maintenant et la valeur de l’expression . On aura alors , puisque  ; mais ; donc d’ailleurs donc ou et c’est-à-dire que et sont des résidus quadratiques de

116. Au reste on tire facilement de ce qui précède la règle générale suivante : est résidu de tout nombre qui n’est divisible ni par ni par aucun nombre premier de la forme ou et non-résidu de tous les autres, par exemple, de tous ceux de la forme , , tant premiers que composés.

est résidu de tout nombre qui n’est divisible ni par ni par aucun nombre premier de la forme ou , non-résidu de tous les autres.

Ces théorèmes élégans étaient connus de Fermat (Op. mathém., p. 168) ; mais il n’en a point donné la démonstration, qu’il a dit avoir trouvée. Depuis, Euler l’a toujours cherchée en vain ; mais Lagrange en a publié le premier une démonstration rigoureuse (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin. 1775, p. 349, 351) ; et il paraît qu’Euler ne la connaissait pas encore quand il a écrit la dissertation que renferme le T. 1 des Opuscula analyt., p. 259.

117. Passons aux résidus et , et commençons par le dernier.

On trouve par la table II que les nombres premiers dont est résidu, sont , , , , , , , , , , , , parmi lesquels il n’y en a aucun de la forme . On démontre comme il suit qu’au-delà des tables il n’y a pas de nombres de cette forme dont soit résidu : il est d’abord évident que tout nombre composé de la forme renferme un facteur premier de la même forme ; ainsi, quand il sera démontré qu’il n’y a pas de nombres premiers de la forme dont soit résidu, il demeurera prouvé qu’il n’y a pas non plus de nombres composés. Si donc au-delà des limites de la fable il y avait de tels nombres, soit le plus petit de tous, et qu’on ait  ; alors en prenant pair et moindre que , on aura et résidu de  ; or si était de la forme , serait de la forme , et partant de la forme , ce qui est absurde, puisque nous avons supposé que était le plus petit nombre contraire à notre induction ; en second lieu, si était de la forme , serait de la forme , et partant de la forme  ; donc serait de la forme  ; or il est clair que serait aussi résidu de , ce qui est absurde, puisque  ; donc ne sera résidu d’aucun nombre de la forme .

Comme tout nombre de la forme est contenu sous la forme , ou , et que la première revient à et la seconde à , on a les théorèmes suivant :

I. et non-résidus de tout nombre premier de la forme .

II. est non-résidu, et résidu de tout nombre premier de la forme .

118. On trouve dans la table II, que les nombres dont est résidu sont parmi lesquels aucun n’est de la forme ou  ; or on démontrera, comme dans les nos 112, 115, 117, qu’il n’y a absolument aucuns nombres de cette forme dont le résidu soit  ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas. Nous en conclurons donc à l’aide du no 111, les théorèmes suivans ;

I. et sont non-résidus d’un nombre premier quelconque de la forme .

II. est non-résidu, résidu de tout nombre premier de la forme .

119. Cette méthode n’apprend rien pour les nombres de la forme , qui demandent des artifices particuliers. L’induction fait voir aisément que et sont résidus de tous les nombres premiers de cette forme. Or il suffit de démontrer que l’est effectivement, puisqu’alors le sera aussi (no 111) ; mais nous allons faire voir plus généralement que est résidu de tout nombre premier de la forme .

Soit un de ces nombres premiers, et un nombre appartenant à l’exposant , suivant le module  : et il est évident qu’il existe de tels nombres, puisque divise (no 55). On aura ainsi , c’est-à-dire divisible par  ; mais on ne peut pas avoir , parceque appartient à l’exposant  ; donc n’est pas divisible par , et partant le sera. D’où il s’ensuit que le sera aussi, c’est-à-dire qu’on aura , ou que sera résidu de .

Au reste il est clair que cette démonstration, qui est indépendante des précédentes, renferme aussi les nombres premiers de la forme , cas que nous avons résolu dans le no précédent.

Nous observerons encore qu’on pourrait employer la méthode des nos 109 et 115 ; mais pour abréger nous ne nous y arrêterons pas.

120. On déduit facilement de ce qui précède les théorèmes suivans (nos 102, 103, 105) :

I. est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par , ni par , ni par aucun nombre premier de la forme , et non-résidu de tous les autres.

II. est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par ni par ni par aucun nombre premier de la forme ou et non-résidu de tous les autres.

On doit remarquer surtout ce cas particulier :

est résidu de tous les nombres premiers de la forme , ou, ce qui est la même chose, de tous ceux qui sont résidus de  ; et il est non-résidu de tous les nombres premiers de la forme , ou de tous ceux de la forme ( excepté), c’est-à-dire de tous ceux qui sont non-résidus de , et l’on voit facilement que tous les autres cas suivent naturellement de celui-là.

Les propositions relatives aux résidus et , étaient connues de Fermat (Opera Wallisii, T. II, p. 857) ; mais Euler est le premier qui les ait démontrées (Comment. nov. Petrop. T. VIII, p. 105), c’est pourquoi il est encore plus étonnant que la démonstration des propositions relatives aux résidus et aient toujours échappé à sa sagacité, puisqu’elles sont appuyées sur les mêmes principes. On peut voir aussi les Recherches de Lagrange (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin. 1775, p. 357).

121. L’induction fait voir que n’est résidu d’aucun nombre impair de la forme , ou , c’est-à-dire d’aucun nombre impair qui soit non-résidu de lui-même. Or nous allons démontrer que cette règle ne souffre aucune exception. Soit, s’il est possible, le plus petit nombre à en excepter, sera résidu de , et non-résidu de . Soit , desorte que soit pair et  ; sera impair et , et sera résidu de . Si n’est pas divisible par , ne le sera pas non plus ; mais il est évident que est résidu de  ; donc comme est non-résidu de , le sera aussi, c’est-à-dire qu’il y a un nombre impair qui est non-résidu de et dont est résidu ; mais si est divisible par , soit et , il en résultera c’est-à-dire que sera résidu de . La marche de la démonstration est pour le reste la même que dans le cas précédent.

122. Donc et sont non-résidus de tous les nombres premiers qui sont à-la-fois non-résidus de et de la forme , c’est-à-dire de tous les nombres premiers de la forme ou  ; mais sera non-résidu, et résidu de tous les nombres premiers de la forme ou .

Or on démontrera absolument de la même manière que est non-résidu de tous les nombres premiers des formes , , , , et l’on voit facilement qu’il suit de là que est résidu de tous les nombres premiers de la forme , ou  ; enfin non-résidu de tous ceux de la forme , ou  ; et comme tout nombre premier, excepté , et dont est résidu, est contenu dans l’une des formes : , , , , , , ,  ; il clair que l’on peut juger de tous, excepté de ceux qui sont de la forme , ou .

123. Par induction, on trouve facilement que et sont résidus de tous les nombres premiers de la forme et  ; et si cette proposition est généralement vraie, on aura cette loi élégante que est résidu de tous les nombres premiers qui sont résidus de lui-même, (car ces nombres sont contenus dans les formes , ou , ou ce qui revient au même dans les formes , , , , parmi lesquelles la troisième et la quatrième ont déjà été traitées), et non-résidu de tous les nombres premiers impairs, qui sont résidus de , comme nous l’avons déjà démontré plus haut, Or il est clair que ce théorème suffit pour juger si et partant , qui n’est autre que , sont résidus ou non-résidus d’un nombre donné quelconque. On peut observer aussi l’analogie de ce théorème avec celui du no 120 sur le résidu .

Mais la vérification de cette induction n’est pas facile. Quand le nombre proposé est de la forme , ou plus généralement de la forme , on peut employer une méthode semblable à celles des nos 114, 119. Soit en effet un nombre quelconque appartenant à l’exposant , suivant le module , nombre qu’on a appris à trouver dans la section précédente, on aura , ou . Mais comme on ne peut avoir , il s’ensuit qu’on aura  ; donc  ; c’est-à-dire, que est résidu de  ; et partant lui-même, puisque est un résidu non-divisible par  ; car, à cause de , n’est pas divisible par .


Comme le cas où il est question d’un nombre premier de la forme demande des artifices particuliers de calculs, et comme nous traiterons par la suite, d’une manière générale, les propositions au moyen desquelles on peut résoudre ce problème, nous nous contenterons d’en parler ici en passant.

1o. Si est un nombre premier, et un nombre aussi donné non-résidu de la valeur de l’expression , dont le développement ne contiendra pas d’irrationnelles, sera toujours divisible par , quelque valeur que l’on attribue à . En effet il est clair, par l’inspection des coefficiens qui naissent de ce développement, que tous les termes, depuis le second jusqu’à l’avant-dernier inclusivement, sont divisibles par , et que partant  ; mais parceque b est non-résidu de p, on aura , (no 106) ; or on a toujours (section précédente), d’où s’ensuit .

2o. Dans la congruence , l’indéterminée aura dimensions, et tous les nombres , seront racines de cette congruence. Soit un diviseur de , l’expression que nous représenterons par , sera rationnelle, y aura dimensions, et il est constant par les premiers élémens d’analyse, que est divisible par . Or je dis qu’il y a valeurs, qui rendent divisible par . En effet, soit , aura dans , dimensions, et partant la congruence , ne pourra avoir plus de racines, d’où il suit que les autres nombres pris dans la série , seront racines de la congruence .

3o. Supposons maintenant de la forme , , un non-résidu de , et le nombre déterminé de manière à rendre divisible par . Cette expression devient

 ;


donc  ; c’est-à-dire que est résidu de  ; mais comme est un résidu non-divisible par , (car on voit facilement que ne peut être divisible par ), sera lui-même résidu de . Il est clair par là que le théorème énoncé au commencement de cet article est généralement vrai.

Observons encore que les démonstrations des deux cas sont dues à Lagrange. (Mémoires de l’Académie de Berlin, 1775, p. 352).

124. On démontre par une méthode semblable que est non-résidu de tout nombre premier qui est non-résidu de , et l’on peut conclure par induction, que est résidu de tout nombre qui est résidu de  ; mais personne n’a encore démontré rigoureusement cette seconde partie. Pour les nombres qui sont résidus de et de la forme , la démonstration est facile, car on peut démontrer par la méthode précédente qui est maintenant assez connue, que est toujours non-résidu de ces nombres, et partant résidu. Mais nous sommes peu avancés par là, car les autres cas ne peuvent être traités par cette méthode. Il y a cependant un cas qui peut être résolu de la même manière qu’aux nos 119, 123. Soit un nombre de la forme , et un nombre appartenant à l’exposant  ; on voit facilement que , et que partant est résidu de . Mais comme quarré, est résidu de  ; de plus il est non divisible par . En effet n’est ni , ni , c’est-à-dire que ni , ni ne sont divisibles par , et partant le quarré ne l’est pas non plus. Donc lui-même est résidu de . Mais les nombres de la forme , ou échappent à toutes les méthodes que nous avons fait connaître jusqu’à présent. Au reste, cette démonstration est encore due à Lagrange, (ibidem). Nous montrerons plus bas généralement, section VII, que l’expression peut toujours être ramenée à la forme et étant des fonctions rationnelles et entières de et où l’on doit prendre le signe supérieur, quand est un nombre premier de la forme et le signe inférieur, quand est de la forme Lagrange n’a pas poussé cette analyse au-delà du cas où (Voyez ibidem).

125. Puisque les méthodes précédentes ne suffisent pas pour établir des démonstrations générales, il est temps d’en exposer une autre exemple de ce défaut. Commençons par un théorème dont la démonstration nous a long-temps échappé, quoique au premier aspect il paraisse si facile, que plusieurs auteurs n’ont pas même cru qu’il fût nécessaire de le démontrer. C’est celui-ci : Tout nombre, si l’on en excepte les quarrés pris positivement, est toujours non-résidu de quelques nombres premiers. Mais comme ce théorème ne nous servira que d’auxiliaire pour d’autres démonstrations, nous ne présenterons que les cas dont nous pourrons avoir besoin ; les autres se trouveront démontrés par la suite. Nous allons donc faire voir que tout nombre premier de la forme soit positif, soit négatif, est non-résidu de quelques nombres premiers, et même de nombres premiers plus petits que lui[5].

Quand le nombre premier de la forme est pris négativement, soit le nombre pair immédiatement plus grand que On voit facilement que est toujours [6] ou que Mais est de la forme et est résidu quadratique de puisque Si donc est un nombre premier, sera non-résidu ; dans le cas contraire renfermera un facteur de cette forme ; donc sera résidu, et partant non-résidu.

Quand le nombre premier est pris positivement, il est nécessaire de distinguer deux cas ; celui où est de la forme et celui où il est de la forme

Soit d’abord de la forme , prenons un nombre positif quelconque  ; alors sera un nombre positif de la forme ou , suivant que sera pair ou impair, et nécessairement divisible par un nombre premier de la forme ou , car le produit des nombres de la forme et ne peut avoir ni la forme , ni la forme Soit cette différence égale à , on aura . Mais (no 112) est non-résidu de , et partant et (no 98). en effet n’est pas divisible par , car sans cela le nombre premier serait divisible par .

126. La démonstration n’est pas aussi simple dans le cas où le nombre premier positif est de la forme . Mais comme cette vérité est d’une grande importance, nous ne pouvons omettre la démonstration, quoiqu’un peu longue.

Lemme. Si l’on a deux suites de nombres etc. (I), etc. (II), (dans lesquelles il est indifférent que les termes soient ou non en même nombre) telles que étant un nombre premier quelconque ou une puissance d’un nombre premier qui divise un ou plusieurs termes de la seconde, il y ait au moins autant de termes de la première qui soient divisibles par  ; alors je dis que le produit de tous les nombres de (I) est divisible par le produit de tous les nombres de (II).

Exemple. Soit (I) composé des nombres , , , et (II) composé des nombres , , , ,  ; alors en faisant successivement , , , , , on trouvera dans (I) , , , , , termes divisibles, et , , , , dans (II) respectivement ; or le produit de tous les termes de (I) qui est divisible par , produit des termes de (II).

Démonstration. Soit le produit de tous les termes de (I), et le produit de tous les termes de (II), il est évident que tout nombre premier diviseur de le sera aussi de . Prouvons maintenant que tout facteur premier de est au moins élevé à la même puissance dans . Soit ce diviseur, et supposons qu’il y ait dans la suite (I) termes divisibles par et non par , par et non par , par et non par , etc. ; , , , etc. ayant la même signification dans la suite (II). On verra facilement que , est l’exposant de dans , et , l’exposant de