CHAPITRE VI.
Résolution générale des fonctions en séries. Développement des fonctions en séries terminées et composées d’autant de termes qu’on voudra. Moyen d’exprimer les restes depuis un terme quelconque proposé. Théorème nouveau sur ces séries
33. Nous avons vu jusqu’ici comment on peut trouver directement tous les termes du développement de la fonction
suivant les puissances de
on peut, de la même manière, développer une fonction quelconque suivant les puissances ascendantes d’une des variables contenues dans la fonction.
En effet, si l’on reprend la formule
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c0a9abfe2f092ad502d223a72f550ff29d4337)
puisque
et
sont deux quantités indéterminées, on y peut substituer
à la place de
ce qui donnera
![{\displaystyle f(x)=f(x-i)+if'(x-i)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x-i)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cc6f424d79575fe86a303d8163e47722872608)
De plus, on pourra mettre
à la place de
et l’on aura
![{\displaystyle f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12e5cb4257a9eb7541405a92e19c83e268ca83d)
où
est une quantité arbitraire quelconque.
Ici
représente, comme l’on voit, une fonction quelconque de
et
représentent les fonctions primes, secondes, etc., de
en y substituant
à la place de
Mais, quoique
ne représente qu’une fonction de
relativement à ses fonctions dérivées, il est clair qu’elle peut représenter en général une fonction quelconque de
et d’autres quantités quelconques, pourvu que ces quantités
soient regardées comme constantes dans la formation des fonctions dérivées
Si dans la formule précédente on fait
l’équation devient identique à
et, si l’on fait
la quantité
s’évanouit, de sorte que, si l’on dénote simplement par
les valeurs des fonctions
lorsque
on aura
![{\displaystyle f(x)=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b0235f5cb0a66dc04dc6903e401c0d65bf706f)
Ainsi, lorsque
sera une fonction donnée de plusieurs variables
il n’y aura qu’à chercher par les règles générales les fonctions dérivées par rapport à
seul et y faire ensuite
on aura tous les termes du développementde la fonction suivant les puissances ascendantes de
et il est clair que les valeurs des quantités
seront des fonctions de
sans
toutes dérivées de la fonction primitive suivant une loi dépendante de la manière dont la quantité
entrera dans cette fonction.
34. On pourrait trouver ce développement d’une manière plus simple en supposant tout de suite
![{\displaystyle f(x)=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c1fadfb3e36d7524be0e504f1c042909221a86)
étant des quantités indépendantes de
Pour les déterminer, on considérera que cette équation, devant être identique, doit avoir lieu pour toutes les valeurs de
Donc : 1o en faisant
on aura
2o en prenant les fonctions primes de tous ses termes (nos 10, 17), on aura encore l’équation identique
![{\displaystyle f'(x)=\mathrm {B} +2\mathrm {C} x+3\mathrm {D} x^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a328822f6e8dfc00df6b004069a2a48c50df106e)
où, faisant de nouveau
on aura
3o en prenant de nou-
veau les fonctions primes, on aura
![{\displaystyle f''(x)=2\mathrm {C} +2.3\mathrm {D} x+3.4\mathrm {E} x^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87388429b5bec47cba00b042a9992343e7455a7)
où, faisant derechef
on aura
Continuant de la même manière, on trouvera
![{\displaystyle f'''=2.\mathrm {3} D,\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=2.3.4\mathrm {E} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc7fb46992c02106e565d176c9fcff9cb8e7c72)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {A} =f,\quad \mathrm {B} =f',\quad \mathrm {C} ={\frac {1}{2}}f'',\quad \mathrm {D} ={\frac {1}{2.3}}f''',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621ca1d6fa62f483a19e12fbbdb234ad0675c01c)
ce qui donnera, par la substitution, la même série pour
que ci-dessus. Mais cette méthode est moins directe que la précédente, et elle suppose déjà la théorie des fonctions dérivées ; elle est d’ailleurs moins rigoureuse, en ce qu’elle suppose de plus que la somme de tous les termes affectés de
devient nulle lorsque
quoique les coefficients de ces termes augmentent à l’infini dans les équations dérivées ; mais le grand avantage de la méthode précédente consiste en ce qu’elle donne le moyen d’arrêter le développement de la série à tel terme que l’on voudra et de juger de la valeur du reste de la série.
Ce problème, l’un des plus importants de la théorie des séries, n’a pas encore été résolu d’une manière générale. On pourrait, à la vérité, le résoudre pour chaque fonction en particulier par les méthodes exposées dans le Chapitre premier ; mais il serait impossible de parvenir par cette voie à une solution générale pour une fonction quelconque.
35. Reprenons donc la formule générale trouvée ci-dessus (no 33),
![{\displaystyle f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12e5cb4257a9eb7541405a92e19c83e268ca83d)
et supposons qu’on veuille s’arrêter au premier terme
Comme tous les termes suivants sont multipliés par
nous supposerons
![{\displaystyle f(x)=f(x-xz)+x\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9236771133274c96753d9651da1e2f7456630a15)
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
étant regardé comme une fonction de
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
qui devra être nulle lorsque
![{\displaystyle z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463359fa7c7563dc29f2079e63195b0035f1ab5a)
puisqu’alors
![{\displaystyle f(x-xz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba79ad04db6d0f5825648450cbf0d50d5726f28)
devient
Comme cette équation doit avoir lieu quelle que soit la valeur de
qui est arbitraire, son équation prime relativement à
aura donc lieu aussi (no 17). On prendra donc les fonctions primes relativement a cette variable, et il est facile de voir que la fonction prime du terme
sera
car on a démontré (no 16) que, si
étant une fonction de
on a
![{\displaystyle y'=p'f'(p)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718fba209d5a8bcb55b392df7617576a1d06d29f)
ainsi, en rapportant les fonctions dérivées à la variable
et faisant
on aura
![{\displaystyle p'=-x\quad {\text{et}}\quad y'=-xf'(p)=-xf'(x-xz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de649234ef9b857309dc92277bbe7fcd3aa5cbf9)
Donc, à cause que
ne renferme point
l’équation prime relative à
de l’équation ci-dessus sera
![{\displaystyle 0=-xf'(x-xz)+x\mathrm {P} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e21efc772c950cd4de68f1d973d191883127c7)
étant la fonction prime de
relativement à
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {P} '=f'(x-xz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd41b2d470d6fa5c85c08b8911fe2a1be5f668e4)
On aura donc la valeur de
en cherchant une fonction de
dont la fonction prime soit égale à
et qui, de plus, soit telle qu’elle devienne nulle lorsque
Cette valeur de
ainsi trouvée, si l’on y fait
on aura
![{\displaystyle f(x)=f+x\mathrm {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb783a3518229d5fc1c2e4a321214abb7ac0e3e0)
Supposons, en second lieu,
![{\displaystyle f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+x^{2}\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d153283212a541d10628fac3f319c0ad5a6e328b)
étant une fonction de
qui devra être nulle, comme l’on voit, lorsque ![{\displaystyle z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4b4f587279c117e1bc45384fbd68d090bf4b8b)
En prenant, comme ci-dessus, les fonctions primes relativement à
on aura cette équation prime
![{\displaystyle 0=-xf'(x-xz)+xf'(x-xz)-x^{2}zf''(x-xz)+x^{2}\mathrm {Q} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb05aef1033338452af81351943ce94ca5776673)
où les fonctions désignées par
![{\displaystyle f',f''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652aa305a888f7b513a553c060d0f951ff02b78c)
sont les fonctions primes et secondes de
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
relativement à
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et dans lesquelles on a mis ensuite
![{\displaystyle x-xz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b6e14e96f6b0e5e00d7961dfc783364ba19bbe)
pour
![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
On tire de là, en effaçant ce qui se détruit,
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=zf''(x-xz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb75b5ee4e4db3f54c579d963838cac1b4403bc)
de sorte qu’on aura la valeur de
en cherchant une fonction de
dont la fonction prime ait la valeur qu’on vient de trouver pour
et qui ait la condition de devenir nulle lorsque
Si ensuite on fait
on aura
![{\displaystyle f(x)=f+xf'+x^{2}\mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf57ec872ba50b04f96ef14d3de8c434bba5182c)
Soit, en troisième lieu,
![{\displaystyle f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz)+x^{3}\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cadaea2346aa5440ef5056f2f72f05172cc9c3b)
étant une fonction de
qui s’évanouisse lorsque
On trouvera, en prenant les fonctions primes relativement à
et effaçant les termes qui se détruisent mutuellement,
![{\displaystyle \mathrm {R} '={\frac {z^{2}}{2}}f'''(x-xz),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7c7f8213867072fe4f219e92fbbe3eae2a9f36)
la fonction représentée par
étant la fonction tierce de
relativement à
transformée par la substitution de
à la place de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Il faudra donc, pour avoir la valeur de
trouver une fonction primitive de
dont la fonction prime soit la valeur précédente de
et qui soit telle qu’elle s’évanouisse lorsque
Cette fonction étant trouvée, on aura, en faisant
![{\displaystyle f(x)=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+x^{3}\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4400fe47ec95e5f7b9971efa30eea698800c32f2)
et ainsi de suite.
En continuant ainsi, on aura la formule du no 33
![{\displaystyle f(x)=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0c57baf10d81e87a9b43b875ee68832036c036)
Mais l’analyse précédente a l’avantage de donner la manière d’avoir les restes
![{\displaystyle x\mathrm {P} ,x^{2}\mathrm {Q} ,x^{3}\mathrm {R} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacc2c45c5a5064e7f6075ceb8a80905aea3051c)
de la série lorsqu’on veut l’interrompre à son premier, deuxième, troisième, etc., terme.
36. Voilà le problème résolu analytiquement ; mais, comme les quantités
ne sont connues que par leurs fonctions primes, il reste encore à remonter de ces fonctions aux fonctions primitives, ce qui peut être souvent fort difficile et même impossible.
Cependant, si l’on connaissait la quantité
on en pourrait déduire toutes les autres par les simples fonctions dérivées, car la comparaison des valeurs de
donne
![{\displaystyle \mathrm {P} =zf'(x-xz)+x\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60e7ab15d4dec55d5e7bec8d99d7ac2c53fbfcf)
et l’on a trouvé
donc, substituant, on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} =z\mathrm {P} '+x\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801e44bed39b8145be3721bb389f35628b9764bf)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {\mathrm {P} -z\mathrm {P} '}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfa2e1609f35e4273f8186b0acae85cf8426166)
On a ensuite
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {z^{2}}{2}}f''(x-xz)+x\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092d7172ceb4bef8e479fe65ac8e470efd7ed52c)
et l’on a trouvé
![{\displaystyle 2f''(x-xz)=\mathrm {Q} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4414ce07eb4de8e1266c458ba1e91089fbb7ec71)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {z}{2}}\mathrm {Q} '+x\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49ce0184d8b422014257842aec7ee379dda4087)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\mathrm {Q} -{\frac {1}{2}}z\mathrm {Q} '}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe377d80d6d8fcb84930e0390c86dac32b114b18)
On trouvera de même
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\mathrm {R} -{\frac {1}{3}}z\mathrm {R} '}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24edf512bb729b25b447a08ca79d2768a74c1d7f)
et ainsi de suite.
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle q=-{\frac {p'}{x}},\quad r=-{\frac {q'}{2x}},\quad s=-{\frac {r'}{3x}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b301a619146a71b1c7d5a0a31d360fa2a425a9f)
et la fonction
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
deviendra, en remettant
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
à la place de
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(x-i)+ip,\\&=f(x-i)+if'(x-i)+i^{2}q,\\&=f(x-i)+if'(x-i)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x-i)+i^{3}r,\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33806e0728df6ca52d6f5813fcee118319192129)
Ainsi, connaissant le premier reste
on pourra connaître tous les autres restes
par les simples fonctions dérivées relatives à
et, si l’on prend simplement les fonctions dérivées relativement à
on aura
![{\displaystyle q=-p',\quad r=-{\frac {q'}{2}},\quad s=-{\frac {r'}{3}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a249215128884fbd9fae65ef297c86720310668c)
Par exemple, en faisant
comme dans le no 4, on aura
![{\displaystyle f(x-i)={\frac {1}{x-i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efdcd90b18ee9f6266cc1124b6fb28b3418c199)
et, prenant les fonctions dérivées par rapport à
on aura
![{\displaystyle f'(x-i)=-{\frac {1}{(x-i)^{2}}},\quad f''(x-i)={\frac {2}{(x-i)^{3}}},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968e07cc90df8f1bece7c319a17f87bab7049ac5)
or on trouve
![{\displaystyle p={\frac {f(x)-f(x-i)}{i}}=-{\frac {1}{x(x-i)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abf22a53f447b001798621b95867c26072c6fd1)
de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
on tirera tout de suite
![{\displaystyle q=-p'={\frac {1}{x(x-i)^{2}}},\quad r=-{\frac {q'}{2}}=-{\frac {1}{x(x-i)^{3}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61cc3e117cf9b4b788ba523f113a339c432e3494)
Donc, si l’on fait ces substitutions dans les expressions de
et qu’on y mette ensuite
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{x+i}}={\frac {1}{x}}-{\frac {i}{x(x+i)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {i}{x^{2}}}+{\frac {i^{2}}{x^{2}(x+i)}}=\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b56918925482c4c9e62f6138dd5bb2834e4f08)
comme dans le numéro cité.
Soit encore
on aura
![{\displaystyle f(x-i)={\sqrt {x-i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65378dd63f18febdd3f41202e18a35e1c173bbbd)
et, prenant les fonctions dérivées par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f'(x-i)={\frac {1}{2{\sqrt {x-i}}}},\quad f''(x-i)=-{\frac {1}{4(x-i)^{\frac {3}{2}}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da4e7f2968c1736a9bf1d6b51a8de50bcb2cbc4)
Ici on aura
![{\displaystyle p={\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x-i}}}{i}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48892827c174117fca53de18f5d89e96d5da23b)
et de là, en prenant les fonctions dérivées relatives à ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&-{\frac {1}{2{\sqrt {x-i}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{2}}},\\r=&-{\frac {1}{8(x-i)^{\frac {3}{2}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{2}}}+{\frac {1}{4(x-i)\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{3}}}\\=&{\frac {{\sqrt {x}}+3{\sqrt {x-i}}}{8(x-i)^{\frac {5}{2}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e6d4e8808c3cedd30ab1d38cf187307d914d5)
Par ces substitutions dans les expressions de
on aura, en mettant
à la place de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x+i}}&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{{\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}}}={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{2{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}\left({\sqrt {x+i}}+3{\sqrt {x}}\right)}{8x{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{3}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}}{16x^{2}{\sqrt {x}}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213e4ed31ad46e04cd0562a01fe46e23c940a6e1)
comme dans le même numéro cité.
37. On peut aussi tirer directement de la formule du no 3
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126ee88e944103b3d708f0a5cd57327f20c3acaa)
la loi de la série et l’expression des restes, en prenant alternativement
les fonctions dérivées par rapport à
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et à
![{\displaystyle i\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfa9742cf310174998800f1a5940c99da3c2e7e)
nous marquerons ces dernières par un trait placé au bas.
On a d’abord, par les fonctions dérivées relatives à
![{\displaystyle f'(x+i)=f'(x)+i\mathrm {P} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd404f8166d48475a2290029e015123fd3dcbcce)
ensuite, par les fonctions dérivées relatives à ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle f'(x+i)=\mathrm {P} +i\mathrm {P} _{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4d590bf47259b8c6574fa4bc0bc2411bca4878)
car il est visible que, relativement à
la dérivée de
est la même que relativement à
On aura donc
![{\displaystyle f'(x)+i\mathrm {P} '=\mathrm {P} +i\mathrm {P} _{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae0f000b2e3c82fe5442a2b5d9c92428e0ba552)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {P} =f'(x)+i\mathrm {\left(P'-P_{_{'}}\right)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9235a1ac9ea8123d4815583b34b4ea8d7aa44f2c)
Faisons
on aura, en substituant la valeur de ![{\displaystyle \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780cae1add02ad4aa1c3719fb704cc88e591f64f)
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+i^{2}\mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a8415f55874073f3b798bcebb8717658f06a3b)
Prenons de nouveau les fonctions dérivées par rapport à
et par rapport à
on aura
![{\displaystyle f'(x+i)=f'(x)+if''(x)+i^{2}\mathrm {Q} '\quad {\text{et}}\quad f'(x+i)=f'(x)+2i\mathrm {Q} +i^{2}\mathrm {Q} _{_{'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd0a8ac9c3989637f8a3187a88e7f8dca370023)
donc
![{\displaystyle f''(x)+i\mathrm {Q} '=2\mathrm {Q} +i\mathrm {Q} _{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77946c5beab63751c7cebf2357857882195fd196)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {f''(x)+i\mathrm {\left(Q'-Q_{_{'}}\right)} }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e752a4bf83dc52a2543d55f1d239bd5ce03ec7c4)
Donc, si l’on fait
on aura, en substituant,
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+i^{3}\mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2976cea44261070d5a1a224c24479b25bfbe464e)
On trouvera de même, en faisant
et ainsi de suite.
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+i^{4}\mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76829bb621e9f01ab007f4e58f34faa97738dfc7)
et ainsi de suite.
Si l’on fait, par exemple,
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1}{i}}\left({\frac {1}{x+i}}-{\frac {1}{x}}\right)=-{\frac {1}{x(x+i)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c0996b210012ef3587c455b41c87e5ad4db064)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} '={\frac {1}{x^{2}(x+i)}}+{\frac {1}{x(x+i)^{2}}},\quad \mathrm {P} _{_{'}}={\frac {1}{x(x+i)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21eec74e4ebd868ab8404a36f5415f5834214c0e)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Q} ={\frac {1}{x^{2}(x+i)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3c6feb7ec712bd70076e6fc23bced25f63f865)
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=-{\frac {2}{x^{3}(x+i)}}-{\frac {1}{x^{2}(x+i)^{2}}},\quad \mathrm {Q} _{_{'}}=-{\frac {1}{x^{2}(x+i)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e99e01c5b42eedd13baa4f89c778c79ae0f891)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {R} =-{\frac {1}{x^{3}(x+i)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cb9eed6940bc48774b90cc650e3be58b7c5d9a)
on trouvera de même
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{x^{4}(x+i)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40c995dda5faa2cd02b3fd0c02947809611e76e)
et ainsi de suite, ce qui redonnera la série déjà trouvée.
Mais, pour notre objet, il importe moins de connaître les restes exacts de la série développée jusqu’à un terme quelconque que d’avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprécier l’erreur qu’on peut commettre en ne tenant compte que de quelques-uns des premiers termes.
38. Pour cela, nous allons établir ce lemme général :
Si une fonction prime de
telle que
est toujours positive pour toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
étant
la différence des fonctions primitives qui répondent à ces deux valeurs de
savoir
sera nécessairement une quantité positive.
Reprenons la formule
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052dedd3069abf04322db6c60220f058c6b64395)
dans laquelle
est une fonction de
et
qui, en faisant
devient
![{\displaystyle f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)
(n
os 3, 8) ; il est évident que, si
![{\displaystyle f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)
est une quantité positive, la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
sera nécessairement positive depuis
![{\displaystyle i=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a682d568ee6a5fe51d76423186057f625ada5c)
jusqu’à une certaine valeur de
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
qu’on pourra prendre aussi petite qu’on voudra. Donc, lorsque la valeur de la fonction prime
![{\displaystyle f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)
est positive, on pourra toujours prendre pour
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
une quantité positive et assez petite pour que la quantité
![{\displaystyle f(x+i)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d076520d82d8c0e8469e5d2af77bd956bdd447f)
soit nécessairement positive.
Mettons successivement à la place de
les quantités
![{\displaystyle a,\quad a+i,\quad a+2i,\quad a+3i,\quad \ldots ,\quad a+ni\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b60a99d2506c08c3fa3b3ff5548cd3fc4f4b06d)
il en résultera que l’on peut prendre
positif et assez petit pour que toutes les quantités
![{\displaystyle f(a+i)-f(a),\quad f(a+2i)-f(a+i),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ed5f6aaef4254796e3e5a00bc363d7642375e0)
![{\displaystyle f(a+3i)-f(a+2i),\quad \ldots ,\quad f(\left[a+(n+1)i\right]-f(a+ni)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63ce96f1684f97ec3f1866c58b23715a0162e4c)
soient nécessairement positives si les quantités
![{\displaystyle f'(a),\quad f'(a+i),\quad f'(a+2i),\quad \ldots ,\quad f'(a+ni)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34c0bb0d43dd9bf6ffd821bbc895ad22027a760)
le sont. Donc aussi, dans ce cas, la somme des premières quantités, c’est-à-dire la quantité
sera positive.
Faisons maintenant
on aura
![{\displaystyle i={\frac {b-a}{n+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcd2f87a997fa610f8e386fc4b0a9fe2016b925)
et l’on en conclura que la quantité
sera nécessairement positive si toutes les quantités
![{\displaystyle f'(a),\quad f'\left(a+{\frac {b-a}{n+1}}\right),\quad f'\left(a+{\frac {2(b-a)}{n+1}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae45f9e79bacaa59e6b2670c84e6ead689f52e6a)
![{\displaystyle f'\left(a+{\frac {3(b-a)}{n+1}}\right),\quad \ldots ,\quad f'\left(a+{\frac {n(b-a)}{n+1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0c5b14a9784a5a672e15fb3ec0fb3845f68bc5)
sont positives, en prenant
aussi grand qu’on voudra.
Donc, à plus forte raison, la quantité
sera positive, si
est toujours une quantité positive, en donnant à
toutes les valeurs possibles, depuis
jusqu’à
puisque parmi ces valeurs se trouveront nécessairement les valeurs
![{\displaystyle a,\quad a+{\frac {b-a}{n+1}},\quad a+{\frac {2(b-a)}{n+1}},\quad \ldots ,\quad a+{\frac {n(b-a)}{n+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25c96a4f9935af371c98d20ca19197ef2362057)
en prenant
aussi grand qu’on voudra.
39. À l’aide de ce lemme, on peut trouver des limites en plus et en moins de toute fonction primitive dont on connaît la fonction prime.
Soit la fonction primitive
dont la fonction prime
soit exprimée par
étant une fonction donnée de
Soient
la plus grande et
la plus petite valeur de
pour toutes les valeurs de
comprises entre les quantités
et
en regardant comme plus grandes les négatives moindres et comme moindres les négatives plus grandes, ce qui est conforme à la marche du calcul, puisque, par exemple,
et de même
et ainsi des autres. Donc les quantités
et
seront toujours positives depuis
jusqu’à
et il en sera de même des quantités
et
Donc : 1o si l’on fait
on aura, par le lemme précédent,
![{\displaystyle f(b)-f(a)>0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31185a159948f4c8c47d5f05cd1e17b61b9f2499)
or,
étant
sa fonction primitive sera
et, comme
est une quantité constante, la fonction primitive de
est
donc on aura
![{\displaystyle f(z)={\frac {\mathrm {M} z^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f48f8a6f63aa5ed2347ffa2517cf9140cbe256)
et, faisant successivement
et
l’équation
![{\displaystyle f(b)-f(a)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f1d4ca1521deed2173bcb2eb229f6b3596977a)
donnera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} b^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (b)-{\frac {\mathrm {M} a^{m+1}}{m+1}}+\operatorname {F} (a)>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a339d8344d9e25b943b4f7c1bfee8ef89015ee1)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {F} (b)<\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {M} \left(b^{m+1}-a^{m+1}\right)}{m+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14970f460a73967852a5c9107331a3c8d510bfd1)
2o Si l’on fait
on aura aussi
![{\displaystyle f(b)-f(a)>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f353577c01c7245a682641a3dae6ea4232b5317)
et l’on trouvera, comme ci-dessus,
![{\displaystyle f(z)=\operatorname {F} (z)-{\frac {\mathrm {N} z^{m+1}}{m+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dcde4999f1f13dfd4ced78c5126703d8989312)
donc, faisant successivement
et
l’équation
![{\displaystyle f(b)-f(a)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f1d4ca1521deed2173bcb2eb229f6b3596977a)
donnera
![{\displaystyle \operatorname {F} (b)-{\frac {\mathrm {N} b^{m+1}}{m+1}}-\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {N} a^{m+1}}{m+1}}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8db3159a986e4fddb43648f3efa50b2da560616)
id’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {F} (b)>\operatorname {F} (a)+{\frac {\mathrm {N} \left(b^{m+1}-a^{m+1}\right)}{m+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857d3ef68760f1ab2e8b3ae533eb8d036d600da6)
Appliquons ces résultats aux quantités
du no 35.
Comme ces quantités sont regardées comme des fonctions de
nous supposerons d’abord
et par conséquent.
![{\displaystyle \mathrm {P} '=\operatorname {F} '(z)=f'(x-xz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364201a096eaac9ab5b78ace4b93697645939aba)
donc, puisqu’on a supposé
prenant
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} =f'(x-xa).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362238355e577e43ea6cf7659f72841c4e299633)
Faisons maintenant
et
la condition de la fonction
qui doit être nulle lorsque
donnera
et alors
sera la valeur de
répondant à ![{\displaystyle z=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078535cde78d90bfa1d9fbb2446204593a921d57)
Donc, si
et
sont la plus grande et la plus petite valeur de
relativement à toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (b)<\mathrm {M} \quad {\text{et}}\quad >\mathrm {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bbd25e750ff9d0368449ba78292697c7173de6)
Par conséquent,
et
seront les deux limites de la quantité
en y faisant ![{\displaystyle z=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddec9f8d152f8fcb4ca00215b7bcc4d1c2c54d7)
Supposons, en second lieu,
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=\operatorname {F} '(z)=zf''(x-xz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ec5cd6363af20ee79da3e10df70b576a89a8e0)
donc, faisant
![{\displaystyle m=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9b2e0c3a281b794d3547a628fc6796720f601c)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z} =f''(x-xz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b1bdc74be101aa03a9e5b47f50ffef43ec9f28)
Soient pareillement
et
on aura aussi, par la condition de la fonction
qui doit être nulle lorsque
est nul,
![{\displaystyle \operatorname {F} (a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c313d9035d7717a668cc2935949fa8b162c00f3)
et alors
sera égale à la valeur de
répondant à ![{\displaystyle z=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078535cde78d90bfa1d9fbb2446204593a921d57)
Donc, si
et
sont la plus grande et la plus petite valeur de
pour toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (b)<{\frac {\mathrm {M} _{1}}{2}}\quad {\text{et}}\quad >{\frac {\mathrm {N} _{1}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acb67be4c23515d23bb2b5b5ea90ca2d94e5f9b)
de sorte que
et
seront les limites de la valeur
lorsque
y est égal à ![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Supposons, en troisième lieu,
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} '=\operatorname {F} '(z)={\frac {z^{2}}{2}}f'''(x-xz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8ca9f541697dcbce2c14c9f9783a6111a0afb3)
donc, faisant
on trouvera de la même manière que, si
et
sont la plus grande et la plus petite valeur de
en donnant à
toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’unité, on aura
et
pour les limites de la valeur de la quantité
lorsqu’on y fait
Et ainsi de suite.
Maintenant il est clair que, en donnant à
dans une fonction de
toutes les valeurs depuis
jusqu’à
les valeurs que recevra cette fonction seront les mêmes que celles que recevrait une pareille fonction de
en donnant successivement à
toutes les valeurs depuis
jusqu’à
car, faisant
donne
donne
et les valeurs intermédiaires de
donneront des valeurs de
intermédiaires entre celles-ci. D’où il est aisé de conclure que les quantités
et
seront la plus grande et la plus petite valeur de
relativement à toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
et que, par conséquent, toute valeur intermédiaire entre
et
pourra être exprimée par
en donnant à
une valeur intermédiaire entre
et
Donc la valeur de la quantité
relative à
pourra être exprimée par
étant une quantité entre
et
On en conclura de même que la valeur de
répondant à
pourra être exprimée par
en donnant à
une valeur intermédiaire entre
et
et l’on en conclura pareillement que la valeur de
relative à
pourra être exprimée par
en prenant pour
une quantité entre
et
Et ainsi de suite.
40. D’où résulte enfin ce théorème nouveau et remarquable par sa simplicité et sa généralité, qu’en désignant par
une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites
et
on peut développer successivement toute fonction de
et d’autres quantités quelconques suivant, les puissances de
de cette manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f+xf'(u)\\&=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''(u)\\&=f+xf'+{\frac {x^{2}}{2}}f''+{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(u)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a25ef280627ea7b43717e33ef5e6bd587f1311b)
les quantités
étant les valeurs de la fonction
et de ses dérivées
lorsqu’on y fait ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Ainsi, pour le développement de
suivant les puissances de
on aura
![{\displaystyle f=f(z),\quad f'=f'(z),\quad f''=f''(z),\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688d90a36bd116fcf6dc44748873491bb2affb11)
où l’on remarquera que les quantités
sont également les fonctions primes, secondes, etc. de
ce qui est évident ; car il est visible que
sont également les fonctions primes, secondes, etc. de
soit qu’on les prenne relativement
à
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ou relativement à
![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
puisque l’augmentation de
![{\displaystyle z+x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d245277996ed417b8e2abe50691b199a0df5b2)
est la même enchangeant
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
en
![{\displaystyle x+i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592c5470963349259939fb62941812b1c89351cb)
ou
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
en
Prenant donc
pour les fonctions dérivées de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z+x)&=f(z)+xf'(z+u)\\&=f(z)+xf'(z)+{\frac {x^{2}}{2}}f''(z+u)\\&=f(z)+xf'(z)+{\frac {x^{2}}{2}}f''(z)+{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(z+u)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9f58885d36e493af89735b7c5153eddd4353d3)
où
désigne une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites
et ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
En changeant
en
et
en
on aura le développement de
suivant les puissances de
et l’on voit que dans ce développement la série infinie, à commencer d’un terme quelconque, est toujours égale à la valeur de ce premier terme en y mettant
à la place de
étant une quantité entre
et
que par conséquent la plus grande et la plus petite valeur de ce terme relativement à toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
seront les limites de la valeur du reste de la série continuée à l’infini.
Si l’on fait
on aura le développement du binôme
et l’on en conclura que la somme de tous les termes, à commencer d’un terme quelconque
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}}z^{m-n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49170deb8b2ae64a6d66a171a676b0f5dc895a17)
sera renfermée entre ces limites
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}}z^{m-n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49170deb8b2ae64a6d66a171a676b0f5dc895a17)
et
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}}(z+x)^{m-n}x^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9dad6a0927a1bfa99fb22c968d2ba80a63abf5)
car il est évident que la plus grande et la plus petite valeur de
seront
et ![{\displaystyle z^{m-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6b9cd68767080233245aea8ff5fe32408bddac)
La perfection des méthodes d’approximation dans lesquelles on emploie les séries dépend non-seulement de la convergence des séries, mais encore de ce qu’on puisse estimer l’erreur qui résulte des termes qu’on néglige, et à cet égard on peut dire que presque toutes les méthodes d’approximation dont on fait usage dans la solution des problèmes géométriques et mécaniques sont encore très-imparfaites. Le théorème précédent pourra servir, dans beaucoup d’occasions, à donner à ces méthodes la perfection qui leur manque et sans laquelle il est souvent dangereux de les employer.
On trouve dans la Leçon IX du Calcul des fonctions[1] une méthode plus simple d’avoir les limites du développement d’une fonction, avec de nouvelles remarques sur ce sujet. (Voir aussi un Mémoire de M. Ampère dans le Tome VI du Journal de l’École Polytechnique.)