CHAPITRE XIV.
Des équations dérivées d’une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables.
81. Lorsqu’une fonction
n’est donnée que par une équation entre
on considérera que, comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de
et
il s’ensuit qu’elle aura lieu aussi en y mettant
et
à la place de
et
quelles que soient les quantités
et
de sorte que, en développant, après cette substitution, l’équation suivant les puissances et les produits de
et
il faudra que les termes multipliés par une même puissance ou produits de
et
forment des équations séparées. Mais nous venons de voir que, dans le développement d’une fonction de
et
les termes multipliés par
donnent la fonction prime selon
ceux multipliés par
donnent la fonction prime selon
ceux multipliés par
donnent la fonction seconde selon
etc. Donc, ayant une équation quelconque entre
et regardant
comme une fonction de
et
donnée par cette équation, on pourra, en prenant les différentes fonctions dérivées de tous ses termes, en déduire autant d’équations dérivées de différents ordres, qu’on appellera de même équations primes, secondes, etc. selon
ou
équations primo-primes, secundo-primes, etc., et en général, équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Ces équations serviront à trouver les valeurs de
Si donc on représente par
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
l’équation proposée pour la détermination de
![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
et qu’on désigne simplement par
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242fdbaba50b77f0cc99c0d1616cebc441fe6499)
les fonctions primes de
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd11016b3b36bd866079de4a4dd3a15f7c9fc3b7)
prises relativement à
![{\displaystyle x,y,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08d690d7e19ea7aee8574fc6abd6a15d97fa026)
considérées séparément et comme des variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonctions d’une seule variable, que
![{\displaystyle i\left[\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea64efc9a0db86b47544cd3453076ce282d2bcb5)
sera le terme affecté de
![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
et
![{\displaystyle o\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a812016cf7d151e31dfbd1949f782a46b4bab1cd)
le terme affecté de
![{\displaystyle o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1031f61947aa3d1cf3a70ec3e4904df2c3675d)
dans le développement de
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecad882918a636ee30b067a98e3e235dfca39b86)
après la substitution de
![{\displaystyle x+i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592c5470963349259939fb62941812b1c89351cb)
et
![{\displaystyle y+o}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2184133692198ddc04b43544d20093096124620f)
pour
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
étant regardé comme fonction de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et
Ainsi,
sera la fonction prime relative à
et
la fonction prime relative à
de
de sorte qu’on aura ces deux équations primes
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad9aee52093b96810f8c43e3f7ff99687fbfa3b)
d’où l’on tire
![{\displaystyle z'={\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad z_{_{'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58be26a284c9797fc0223ce9950b5c1cf46759a)
Ayant ainsi les valeurs de
et
on en déduira celles de
en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives à
et
et ainsi de suite.
82. On peut aussi rapporter immédiatement cette théorie à celle des fonctions d’une variable en regardant
comme donné en
et
et
comme une fonction indéterminée de
Ainsi, en regardant d’abord
et
comme fonctions de
la fonction prime de
sera
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83706f4d4cc5c2b4dcc13408b7c9d4ff4fd77461)
mais,
étant considéré comme fonction de
et
et
comme fonction de
la fonction prime de
sera représentée par
mettant cette valeur à la place de
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350284d684e0b62c79de7757e3206bae07612ead)
pour la fonction prime de ![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee3c910c928f8544393e737d5b66444813838f6)
Donc, ayant l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501234595663d816811185ca701010a2b5cadcfd)
on aura l’équation prime
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255de1a792122de3893cb0a6be944d9f0cf6fd10)
Mais,
étant regardé comme une fonction indéterminée de
l’équation précédente doit avoir lieu quelle que soit la fonction
elle se décomposera donc en ces deux-ci,
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad9aee52093b96810f8c43e3f7ff99687fbfa3b)
comme plus haut.
On pourrait trouver de la même manière les équations dérivées des ordres supérieurs.
83. Cela posé, considérons en général l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dfb6e32ec0b22e4f84c743a908533d8a285e48)
elle donne les deux équations primes
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad9aee52093b96810f8c43e3f7ff99687fbfa3b)
qui auront par conséquent lieu en même temps que la proposée. Donc une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi et pourra, par conséquent, tenir lieu de l’équation primitive.
Soient
et
deux constantes quelconques contenues dans la fonction
ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées
ainsi l’on pourra, au moyen des trois équations dont il s’agit, éliminer ces deux constantes, et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre
et
qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive. Donc, réciproquement, si l’on n’a pour la détermination de
en
et
qu’une équation du premier ordre entre
et
l’équation primitive entre
et
devra contenir deux constantes arbitraires.
Ceci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions d’une seule variable (no 46) ; mais nous avons vu aussi (no 60) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dans l’équation primitive peut n’être pas constante et donner cependant, par l’élimination, la même équation du premier ordre. La même chose peut donc avoir lieu ici ; et il est aisé de concevoir qu’on aura encore la même équation du premier ordre par l’élimination des deux arbitraires
et
quoiqu’elles ne soient pas constantes, pourvu que les deux équations primes soient encore de la même forme.
Désignons simplement par
et
les fonctions primes de
prises relativement aux quantités
et
contenues dans cette dernière fonction ; il est aisé de voir, par les principes établis, que, si
et
sont regardés comme des fonctions de
et
la fonction prime de
relative à
devra être augmentée, à raison des deux nouvelles variables
et
de la quantité
et que la fonction prime relative à
devra être augmentée pareillement de
Supposons
on aura, en prenant les fonctions primes relativement à
et
![{\displaystyle b'=a'f'(a),\quad b_{_{'}}=a_{_{'}}f'(a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60983f5b2f1cbabbc3918805abb221bc928b1fb)
donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront
![{\displaystyle a'[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)],\quad a_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8316a056b27c5e86a1af7b4bfe409e0243081651)
par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant
telle qu’elle satisfasse à l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a45a0f2b7308d293e341f954192091d6ff9703)
la fonction
de
qu’on a prise pour
demeurant absolument arbitraire.
De là résultent donc ces conclusions importantes :
1o Que l’équation primitive qui satisfait, en général, à une équation du premier ordre doit renfermer une fonction arbitraire ;
2o Que, si pour une équation donnée du premier ordre on trouve une équation primitive
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0417a080fc4b7ee4e083cb7c317afec908bbb41d)
qui renferme deux constantes arbitraires
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
il n’y aura qu’à faire
![{\displaystyle b=f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d5fa9e22f532bf4ec46c55528d51088ffa4413)
et prendre
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
de manière qu’elle satisfasse à l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a463ca772a900361ca61e9420907e8e07e718f)
la fonction désignée par
sera la fonction arbitraire ;
3o Qu’ayant une équation quelconque entre
qui renferme une fonction donnée, on en peut déduire une équation du premier ordre où cette fonction ne se trouve plus. En effet, si
est la fonction qu’on veut faire disparaître,
étant une fonction donnée de
il n’y aura qu’à prendre les deux équations primes suivant
et suivant
de l’équation proposée ; on aura trois équations qui renfermeront
et
en désignant par
la fonction prime de
prise relativement à
d’où, éliminant ces deux fonctions, il résultera une équation du premier ordre où la fonction
ne se trouvera plus.
84. Soit, par exemple,
![{\displaystyle z-ax-by-c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1762ac8dbd6c041b785a1db30acc6ee2233c94)
une équation donnée ; les deux équations primes seront
![{\displaystyle z'-a=0,\quad z_{_{'}}-b=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4373cb882a8feb3ad2aa68b2578b616405cf0f76)
éliminant
et
de ces trois équations, on aura l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z-xz'-yz_{_{'}}-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f936aea2e8075980ba3acfb7ac2882a90cf06c)
dont
![{\displaystyle z-ax-by-c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1762ac8dbd6c041b785a1db30acc6ee2233c94)
sera l’équation primitive,
et
étant les constantes arbitraires.
Maintenant, en supposant
![{\displaystyle z-ax-by-c=\operatorname {F} (x,y,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7edcb8b2fefbae7e996f8baed87ca92b1ae4b7b)
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=-x,\quad \operatorname {F} '(b)=-y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1105dc3fecbca74acda76d355e8c6ae212c3731)
Donc, faisant
l’équation pour déterminer
sera
![{\displaystyle -x-yf'(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fe63c9427f3ac70d9090ddd49e6ad5aed73f39)
d’où l’on tire
![{\displaystyle f'(a)=-\left({\frac {x}{y}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239321841027eee803d49f9a9359068dd3b0e1c6)
ce qui donne
![{\displaystyle a=\varphi \left({\frac {x}{y}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2c59f3811c1e1f272f7a5909c3c7778906c8f6)
désignant la fonction inverse de
Ainsi, la fonction
étant indéterminée, la fonction
le sera aussi ; donc
et
seront deux fonctions indéterminées de
ou plutôt dépendantes d’une même fonction indéterminée de
et
sera, par conséquent, une fonction indéterminée de
Désignant donc cette fonction simplement par
l’équation primitive deviendra
![{\displaystyle z-y\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)-c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32edada21b1cdf7d7e29d65f6850134e3c436881)
Si l’on prend les deux équations primes de celle-ci, on aura
![{\displaystyle -\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)=0,\quad z_{_{'}}-\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)+\varphi \left({\frac {x}{y}}\right){\frac {x}{y}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2d437c68566cffadbf86570cef88d6e3179f0c)
Éliminant de ces trois équations les deux inconnues
et
on aura, comme plus haut,
![{\displaystyle z-xz'-yz_{_{'}}-c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f936aea2e8075980ba3acfb7ac2882a90cf06c)
pour l’équation dérivée du premier ordre, délivrée de la fonction ![{\displaystyle \varphi \left({\frac {x}{y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17326d4cb37135e151a5021b8e73be6bf52a532d)