Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 14

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 157-162).

CHAPITRE XIV.

Des équations dérivées d’une équation entre trois variables. Des fonctions arbitraires qui entrent dans les équations primitives complètes entre trois variables.

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81. Lorsqu’une fonction $z$ n’est donnée que par une équation entre $x,y,z,$ on considérera que, comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de $x$ et $y,$ il s’ensuit qu’elle aura lieu aussi en y mettant $x+i$ et $y+o$ à la place de $x$ et $y,$ quelles que soient les quantités $i$ et $o,$ de sorte que, en développant, après cette substitution, l’équation suivant les puissances et les produits de $i$ et $o,$ il faudra que les termes multipliés par une même puissance ou produits de $i$ et $o$ forment des équations séparées. Mais nous venons de voir que, dans le développement d’une fonction de $x$ et $y,$ les termes multipliés par $i$ donnent la fonction prime selon $x,$ ceux multipliés par $o$ donnent la fonction prime selon $y,$ ceux multipliés par ${\frac {i^{2}}{2}}$ donnent la fonction seconde selon $x,$ etc. Donc, ayant une équation quelconque entre $x,y,z,$ et regardant $z$ comme une fonction de $x$ et $y$ donnée par cette équation, on pourra, en prenant les différentes fonctions dérivées de tous ses termes, en déduire autant d’équations dérivées de différents ordres, qu’on appellera de même équations primes, secondes, etc. selon $x$ ou $y,$ équations primo-primes, secundo-primes, etc., et en général, équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc. Ces équations serviront à trouver les valeurs de $z',z_{_{'}},z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots .$

Si donc on représente par

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

l’équation proposée pour la détermination de $z,$ et qu’on désigne simplement par $\operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement à $x,y,z,$ considérées séparément et comme des variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonctions d’une seule variable, que $i\left[\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)\right]$ sera le terme affecté de $i,$ et $o\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]$ le terme affecté de $o$ dans le développement de $\operatorname {F} (x,y,z),$ après la substitution de $x+i$ et $y+o$ pour $x$ et $y,$ $z$ étant regardé comme fonction de $x$ et $y.$

Ainsi, $\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)$ sera la fonction prime relative à $x,$ et $\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)$ la fonction prime relative à $y$ de $\operatorname {F} (x,y,z),$ de sorte qu’on aura ces deux équations primes

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,$

d’où l’on tire

$z'={\frac {\operatorname {F} '(x)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad z_{_{'}}=-{\frac {\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(z)}}.$

Ayant ainsi les valeurs de $z'$ et $z_{_{'}},$ on en déduira celles de $z'',z'_{_{'}},z_{_{''}},\ldots$ en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives à $x$ et $y,$ et ainsi de suite.

82. On peut aussi rapporter immédiatement cette théorie à celle des fonctions d’une variable en regardant $z$ comme donné en $x$ et $y,$ et $y$ comme une fonction indéterminée de $x.$ Ainsi, en regardant d’abord $y$ et $z$ comme fonctions de $x,$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z)$ sera

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)\,;$

mais, $z$ étant considéré comme fonction de $x$ et $y,$ et $y$ comme fonction de $x,$ la fonction prime de $z$ sera représentée par $z'+y'z_{_{'}}\,;$ mettant cette valeur à la place de $z',$ on aura

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]$

pour la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z).$

Donc, ayant l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

on aura l’équation prime

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0.$

Mais, $y$ étant regardé comme une fonction indéterminée de $x,$ l’équation précédente doit avoir lieu quelle que soit la fonction $y'\,;$ elle se décomposera donc en ces deux-ci,

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,$

comme plus haut.

On pourrait trouver de la même manière les équations dérivées des ordres supérieurs.

83. Cela posé, considérons en général l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0\,;$

elle donne les deux équations primes

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,$

qui auront par conséquent lieu en même temps que la proposée. Donc une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi et pourra, par conséquent, tenir lieu de l’équation primitive.

Soient $a$ et $b$ deux constantes quelconques contenues dans la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)\,;$ ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées $\operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)\,;$ ainsi l’on pourra, au moyen des trois équations dont il s’agit, éliminer ces deux constantes, et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}}$ qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive. Donc, réciproquement, si l’on n’a pour la détermination de $z$ en $x$ et $y$ qu’une équation du premier ordre entre $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}},$ l’équation primitive entre $x,y$ et $z$ devra contenir deux constantes arbitraires.

Ceci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions d’une seule variable (n^o 46) ; mais nous avons vu aussi (n^o 60) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dans l’équation primitive peut n’être pas constante et donner cependant, par l’élimination, la même équation du premier ordre. La même chose peut donc avoir lieu ici ; et il est aisé de concevoir qu’on aura encore la même équation du premier ordre par l’élimination des deux arbitraires $a$ et $b,$ quoiqu’elles ne soient pas constantes, pourvu que les deux équations primes soient encore de la même forme.

Désignons simplement par $\operatorname {F} '(a)$ et $\operatorname {F} '(b)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement aux quantités $a$ et $b$ contenues dans cette dernière fonction ; il est aisé de voir, par les principes établis, que, si $a$ et $b$ sont regardés comme des fonctions de $x$ et $y,$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z)$ relative à $x$ devra être augmentée, à raison des deux nouvelles variables $a$ et $b,$ de la quantité $a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b),$ et que la fonction prime relative à $y$ devra être augmentée pareillement de $a_{_{'}}\operatorname {F} '(a)+b_{_{'}}\operatorname {F} '(b).$

Supposons $b=f(a)\,;$ on aura, en prenant les fonctions primes relativement à $x$ et $y,$

$b'=a'f'(a),\quad b_{_{'}}=a_{_{'}}f'(a)\,;$

donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront

$a'[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)],\quad a_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)\right]\,;$

par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant $a$ telle qu’elle satisfasse à l’équation

$\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)=0,$

la fonction $f(a)$ de $a,$ qu’on a prise pour $b,$ demeurant absolument arbitraire.

De là résultent donc ces conclusions importantes :

1^o Que l’équation primitive qui satisfait, en général, à une équation du premier ordre doit renfermer une fonction arbitraire ;

2^o Que, si pour une équation donnée du premier ordre on trouve une équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

qui renferme deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ il n’y aura qu’à faire $b=f(a)$ et prendre $a$ de manière qu’elle satisfasse à l’équation

$\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)=0\,;$

la fonction désignée par $f(a)$ sera la fonction arbitraire ;

3^o Qu’ayant une équation quelconque entre $x,y,z$ qui renferme une fonction donnée, on en peut déduire une équation du premier ordre où cette fonction ne se trouve plus. En effet, si $\varphi (p)$ est la fonction qu’on veut faire disparaître, $p$ étant une fonction donnée de $x,y,z,$ il n’y aura qu’à prendre les deux équations primes suivant $x$ et suivant $y$ de l’équation proposée ; on aura trois équations qui renfermeront $\varphi (p)$ et $\varphi '(p),$ en désignant par $\varphi '(p)$ la fonction prime de $\varphi (p)$ prise relativement à $p,$ d’où, éliminant ces deux fonctions, il résultera une équation du premier ordre où la fonction $\varphi (p)$ ne se trouvera plus.

84. Soit, par exemple,

$z-ax-by-c=0$

une équation donnée ; les deux équations primes seront

$z'-a=0,\quad z_{_{'}}-b=0\,;$

éliminant $a$ et $b$ de ces trois équations, on aura l’équation du premier ordre

$z-xz'-yz_{_{'}}-c=0,$

dont

$z-ax-by-c=0$

sera l’équation primitive, $a$ et $b$ étant les constantes arbitraires.

Maintenant, en supposant

$z-ax-by-c=\operatorname {F} (x,y,z),$

on aura

$\operatorname {F} '(a)=-x,\quad \operatorname {F} '(b)=-y.$

Donc, faisant $b=f(a),$ l’équation pour déterminer $a$ sera

$-x-yf'(a)=0,$

d’où l’on tire

$f'(a)=-\left({\frac {x}{y}}\right),$

ce qui donne

$a=\varphi \left({\frac {x}{y}}\right),$

$\varphi$ désignant la fonction inverse de $f'.$ Ainsi, la fonction $f$ étant indéterminée, la fonction $\varphi$ le sera aussi ; donc $a$ et $b$ seront deux fonctions indéterminées de ${\frac {x}{y}}$ ou plutôt dépendantes d’une même fonction indéterminée de ${\frac {x}{y}},$ et $b+{\frac {ax}{y}}$ sera, par conséquent, une fonction indéterminée de ${\frac {x}{y}}.$ Désignant donc cette fonction simplement par $\varphi \left({\frac {x}{y}}\right),$ l’équation primitive deviendra

$z-y\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)-c=0.$

Si l’on prend les deux équations primes de celle-ci, on aura

$-\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)=0,\quad z_{_{'}}-\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)+\varphi \left({\frac {x}{y}}\right){\frac {x}{y}}=0.$

Éliminant de ces trois équations les deux inconnues $\varphi \left({\frac {x}{y}}\right)$ et $\varphi '\left({\frac {x}{y}}\right),$ on aura, comme plus haut,

$z-xz'-yz_{_{'}}-c=0,$

pour l’équation dérivée du premier ordre, délivrée de la fonction $\varphi \left({\frac {x}{y}}\right).$