CHAPITRE XV.
Formule remarquable pour le développement en série d’une fonction quelconque de l’inconnue
de l’équation ![{\displaystyle z=x+yf(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16aa4f60b1895ce203b706d791e764babc76d81)
85. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à faire disparaître une fonction quelconque est très-utile dans beaucoup d’\alphacasions, et surtout pour les développements en série.
Pour en donner un exemple, soit proposée l’équation
![{\displaystyle z=x+yf(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a615e4bd9e2f8969c8667823aa1b1dd6eb85f17a)
pour la détermination de
étant une fonction quelconque de
et supposons qu’on demande la valeur de
en série suivant les puissances de
il est visible que les deux premiers termes seront
et si, pour trouver les termes suivants, on suppose
![{\displaystyle z=x+yf(x)+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdef0e106602325bdef7de458462645d497884f5)
il faudra développer la fonction
suivant les puissances de
et comparer ensuite les termes pour pouvoir déterminer les valeurs de
Mais, de cette manière, on n’aurait pas la loi de ces valeurs ; il y aura donc de l’avantage à employer, au lieu de l’équation proposée, une équation du premier ordre où la fonction
ne se trouve pas.
Prenant donc les équations primes suivant
et suivant
on aura
![{\displaystyle z'=1+yf'(z)z',\quad z_{_{'}}=f(z)+yf'(z)z_{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca4ef9e9fc068a4a60f5dafc69c6f5c9ed908eb)
en dénotant par
la fonction prime de
relativement à
d’où,
éliminant
![{\displaystyle f'(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb79b694693ee85b19afb3ac5a08aa85cf97899)
on tire d’abord
![{\displaystyle z_{_{'}}-z'f(z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf0186c88240000a417bcba6f7b829415db62e0d)
Mais l’équation primitive donne
![{\displaystyle f(z)={\frac {z-x}{y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6bf560430b9ff5469020ef37a21c5db3003f1e)
donc, substituant cette valeur dans la dernière équation, on aura cette équation du premier ordre, délivrée de
:
![{\displaystyle z'(z-x)-yz_{_{'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd680c11bda0a0a7d0ccacb4bccdc405e58bb91)
Comme le premier terme de l’expression de
en série de
est évidemment
nous supposerons, en général,
![{\displaystyle z=x+\mathrm {A} y+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6dbcc3740c3f6700748a347c4d17625db671ad7)
étant des fonctions de
nous aurons
![{\displaystyle z'=1+\mathrm {A} 'y+\mathrm {B} 'y^{2}+\mathrm {C} 'y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bd73fbe6af8b258bbaaa708396522e592e5ed5)
étant les fonctions primes de
regardées comme fonctions de
ensuite
![{\displaystyle z_{_{'}}=\mathrm {A} +2\mathrm {B} y+3\mathrm {C} y^{2}+4\mathrm {D} y^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd6e409c1a3b7707876454d9226c2db4c5cb1b1)
donc on aura, en substituant ces valeurs,
![{\displaystyle \left(1+\mathrm {A} 'y+\mathrm {B} 'y^{2}+\mathrm {C} 'y^{3}+\ldots \right)\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b2224b703184bc3a7ce2cae713bd7eaa279c253)
![{\displaystyle -\mathrm {A} -2\mathrm {B} y-3\mathrm {C} y^{2}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af6d62d78480c07c5e667c2fa2e46c026bd5c64)
savoir
![{\displaystyle \mathrm {\left(AA'-B\right)} y+\mathrm {\left(BA'+AB'-2C\right)} y^{2}+\mathrm {\left(CA'+BB'+AC'-3D\right)} y^{3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b660e322efdc4a203b80c9fb2b6a20b83c1d3f0)
d’où l’on tire tout de suite
![{\displaystyle \mathrm {B=AA',\quad C={\frac {1}{2}}(AB'+BA'),\quad D={\frac {1}{3}}(AC'+BB'+CA')} ,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f4d91b8c2a67f6b749144260a2b39bf17e2e83)
Ici la quantité
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
demeure indéterminée ; mais nous avons déjà vu que les deux premiers termes de
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
dans l’équation proposée sont
![{\displaystyle x-yf(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9c6a7176325a3c81fdfdb19fa54d436c1748ff)
par conséquent, on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f4fad37977516db9b3556fab8e9c4302c8ca99)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {A} '=f'(x),\quad \mathrm {B} =f(x)f'(x),\quad \mathrm {B} '=f(x)f''(x)+\left[f'(x)\right]^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb532a961d4dfb99dcdb8edbba3a7dabaa2bec50)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}\left[2f(x)f'^{2}(x)+f^{2}(x)f''(x)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaadfc552eec7546b16590682843b43726209c74)
Mais, en examinant les expressions de
on voit d’abord qu’elles peuvent se mettre sous cette forme,
![{\displaystyle \mathrm {B=\left({\frac {A^{2}}{2}}\right)',\ \ C={\frac {1}{2}}(AB)',\ \ D={\frac {1}{2}}\left(AC+{\frac {1}{2}}B^{2}\right)',\ \ E={\frac {1}{4}}(AD+BC)'} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916b542fcfab7ef0e7541a3b014c15cf2a93291c)
en dénotant, en général, par le caractère
la fonction prime selon
de la quantité renfermée entre les deux crochets, et, si l’on fait les substitutions successives, on trouve que ces expressions sont réductibles à celles-ci, plus simples,
![{\displaystyle \mathrm {B={\frac {1}{2}}\left(A^{2}\right)',\quad C={\frac {1}{2.3}}(A^{3})'',\quad D={\frac {1}{2.3.4}}\left(A^{4}\right)'''} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e307e36e83a53bc9eeb74d776a5fb2ef6657885f)
en marquant par un trait, deux traits, etc. les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable
de sorte que, en substituant la valeur de
on aura enfin
![{\displaystyle z=x+yf(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+{\frac {y^{4}}{2.3.4}}\left[f^{4}(x)\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ddea77b46572e4b770b54ee1af194ddb0f6780)
86. Supposons maintenant qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque
de
développée de même suivant les puissances de
on fera
et, prenant les équations primes pour faire disparaître la fonction, on aura
![{\displaystyle u'=\varphi '(z)z',\quad u_{_{'}}=\varphi '(z)z_{_{'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e9d7d4789247a06678b3ebd9139d4c93b604b2)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4dab008f603b9cc3c99dfd948bf36ba3870abf)
Substituant la valeur de
tirée de l’équation
du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre
![{\displaystyle u'(z-x)-yu_{_{'}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793f6a3e5b685025506dda25a0ae22e2978a4a9b)
Supposons ici
![{\displaystyle u=\mathrm {P} +\mathrm {Q} y+\mathrm {R} y^{2}+\mathrm {S} y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16bd09e2a0a27f4cce981f88d5c0dccc629e262)
étant des fonctions de
substituant cette valeur, ainsi que celle de
trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \left(\mathrm {P} '+\mathrm {Q} 'y+\mathrm {R} 'y^{2}+\mathrm {S} 'y^{3}+\ldots \right)\left\{f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bc307859ad99a7db67fb019991b06eeead7adb)
![{\displaystyle -\mathrm {Q} -2\mathrm {R} y-3\mathrm {S} y^{2}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb3d8952b322e3e87c9bfe610ddd8970c8d1657)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {Q=P'} f(x),\quad 2\mathrm {R=Q'} f(x)+{\frac {\mathrm {P} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fb7de13e29adea2c1d0be025c5dafac2c96a68)
![{\displaystyle 3\mathrm {S=R'} f(x)+{\frac {\mathrm {Q} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {\mathrm {P} '}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08771f2ae328dfba4150934569ca75aaf25248b5)
Or, en substituant successivement les valeurs de
il est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent se réduire à cette forme simple
![{\displaystyle \mathrm {Q=P'} f(x),\quad \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {P} 'f^{2}(x)\right]',\quad \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\mathrm {P} 'f^{3}(x)\right]'',\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0d830702be82402129ce11f9bf8b3f5e9ac55e)
La fonction
demeure indéterminée, à cause de l’élimination de la fonction
mais, puisque
il est visible qu’on aura
et par conséquent ![{\displaystyle \mathrm {P} '=\varphi '(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6599cff0367bf489f32b83589c094357ca51b7)
Donc, enfin, on aura
![{\displaystyle \varphi (z)=\varphi (x)+y\varphi '(x)f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23761b261d9e88bf0a862a0bef8843d029acb4fd)
formule très-remarquable et d’un grand usage dans l’Analyse, surtout pour le retour des suites.
87. On pourrait parvenir immédiatement à ce dernier résultat par la formule du no 33, car il n’y aurait qu’à regarder
comme une fonction de
et chercher les fonctions primes, secondes, etc. de
relatives à
c’est-à-dire les valeurs de
Faisant ensuite
on aurait
![{\displaystyle u,\ \ u_{_{'}},\ \ {\frac {1}{2}}u_{_{''}},\ \ {\frac {1}{2.3}}u_{_{'''}},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76568dfe0292972fe4b8a741b7de316e103b1bf6)
pour les coefficients
de la série.
Tout se réduit donc à trouver ces fonctions dérivées et à les mettre sous une forme simple et régulière. Pour cela, nous reprendrons les deux équations primes trouvées ci-dessus (nos 85, 86),
![{\displaystyle z_{_{'}}-z'f(x)=0,\quad {\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c40372a49b9880fdee2b5f174ebb1bbe011266f)
lesquelles donnent celles-ci
![{\displaystyle u_{_{'}}=u'f(x),\quad z_{_{'}}=z'f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc291cfcfa6e3f60a144ed0d0fb64b9ee82ae4b7)
On aura donc. : 1o
![{\displaystyle u_{_{'}}=u'f(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6dd753beee864163cddcf3f388cf10ea6a9676)
2o en prenant les fonctions primes selon ![{\displaystyle y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bd9829c9ef4adcb0f9f5d53b27463a873a8e88)
![{\displaystyle u_{_{''}}=u'_{_{'}}f(z)+u'z_{_{'}}f'(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a41f254617bf42fcc630a38574ec7a18fac005c8)
dénote la fonction prime de
relativement à
or, de la première équation on tire aussi cette équation prime relative à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle u'_{_{'}}=u''f(z)+u'z'f'(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf04657fc3a53339f1e3382359a1a64cad29895)
donc, substituant, on aura
![{\displaystyle u_{_{''}}=u''f^{2}(z)+2u'z'f'(z)f(z)=\left[u'f^{2}(z)\right]'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0062b2b8014ef47a13eee0ac62beb099ca4af592)
3o en prenant encore les fonctions primes relatives à
on aura
![{\displaystyle u_{_{'''}}=\left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3185564e9e055ad710b2b86d5ca616aa819c4ddf)
or
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u'_{_{'}}f^{2}(z)+2u'z_{_{'}}zf(z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcb768744c5b09f737d788299048d00309f4fe7)
substituant les valeurs de
![{\displaystyle u'_{_{'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07adeedfc03b21fbd44c644f24c4d441cb9ad314)
et de
![{\displaystyle z_{_{'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090137bd099e54c622062d2e6f39c0319d37b41f)
données ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u''f^{3}(z)+3u'z'f'(z)f^{2}(z)=\left[u'f^{3}(z)\right]'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a224fcaf1354ca33a97ff402cc03eae910f099)
donc, prenant les fonctions primes relatives à
on aura
![{\displaystyle \left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}=\left[u'f^{3}(z)\right]''=u_{_{'''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8787e199a51f50d9d1591f9b3d27a5361ce7b27)
et ainsi de suite
Donc, puisque
on aura
![{\displaystyle u'=z'\varphi '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e999f4868ccd67757a0a2aa444b1b4e53758b4f9)
par conséquent
![{\displaystyle u_{_{'}}=z'\varphi '(z)f(z),\quad u_{_{''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{2}(z)\right]',\quad u_{_{'''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{3}(z)\right]'',\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b501d32a729b5dbab5211a44df518baaf6973d5e)
étant la fonction prime de
relativement à
seul.
Faisons maintenant
l’équation proposée
![{\displaystyle z=x+yf(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea91080f770b478fea07d2dea54f4e404667aec0)
donnera
donc
![{\displaystyle z'=1,\quad \varphi (z)=\varphi (x),\quad \varphi '(z)=\varphi '(x),\quad {\text{et}}\quad f(z)=f(x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fc956e2c9225da86525bc2abe4d12fcc1d79ac)
donc enfin
![{\displaystyle \mathrm {P} =\varphi (x),\ \ \mathrm {Q} =\varphi '(x)f(x),\ \ \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]',\ \ \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358444da18219029d0af52ce06f4aa8bf2580ace)
comme ci-dessus.
Pour montrer par une application l’usage de cette formule, soit proposée l’équation
![{\displaystyle z=x+yz^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b6366151296443ce5135e8a2f0a514be51f676)
et
étant des quantités données, et qu’on demande la valeur de
en série suivant les puissances de
on fera donc
![{\displaystyle f(z)=z^{m},\quad \varphi (z)=z^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385895a40a33470d14cf4b40d426d0c3d411651c)
donc aussi
![{\displaystyle f(x)=x^{m},\quad \varphi (x)=x^{n},\quad \varphi '(x)=nx^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeaeecaae1d62fa95399062faa62dd73a87920e)
et l’on aura sur-le-champ
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&x^{n},\\\mathrm {Q} =&nx^{m+n-1},\\\mathrm {R} =&{\frac {n}{2}}\left(x^{2m+n-1}\right)'={\frac {n(2m+n-1)}{2}}x^{2m+n-2},\\\mathrm {S} =&{\frac {n}{2.3}}\left(x^{3m+n-1}\right)''={\frac {n(3m+n-1)(3m+n-2)}{2.3}}x^{3m+n-3},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2bef1b78a9c7e5e21b626e4bbd7429bf6bd3c5)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z^{n}=x^{n}&+nx^{m+n-1}y+{\frac {n(2m+n-1)}{2}}x^{2m+n-2}y^{2}\\&+{\frac {n(3m+n-1)(3m+n-2)}{2.3}}x^{3m+n-3}y^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180ee6deda16b8c3384e2ed0c58be7a6ee56a807)
Voyez aussi sur ce sujet la Note XI du Traité de la résolution des équations numériques, seconde édition[1].