Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 15

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 163-169).

CHAPITRE XV.

Formule remarquable pour le développement en série d’une fonction quelconque de l’inconnue $z$ de l’équation $z=x+yf(z).$

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85. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à faire disparaître une fonction quelconque est très-utile dans beaucoup d’\alphacasions, et surtout pour les développements en série.

Pour en donner un exemple, soit proposée l’équation

$z=x+yf(x)$

pour la détermination de $z,$ $f(z)$ étant une fonction quelconque de $z,$ et supposons qu’on demande la valeur de $z$ en série suivant les puissances de $y\,;$ il est visible que les deux premiers termes seront $x+yf(x),$ et si, pour trouver les termes suivants, on suppose

$z=x+yf(x)+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y^{3}+\ldots ,$

il faudra développer la fonction $f(z)$ suivant les puissances de $y$ et comparer ensuite les termes pour pouvoir déterminer les valeurs de $\mathrm {A,B} ,\ldots .$ Mais, de cette manière, on n’aurait pas la loi de ces valeurs ; il y aura donc de l’avantage à employer, au lieu de l’équation proposée, une équation du premier ordre où la fonction $f(z)$ ne se trouve pas.

Prenant donc les équations primes suivant $x$ et suivant $y,$ on aura

$z'=1+yf'(z)z',\quad z_{_{'}}=f(z)+yf'(z)z_{_{'}},$

en dénotant par $f'(z)$ la fonction prime de $f(z)$ relativement à $z,$ d’où,

éliminant $f'(z),$ on tire d’abord

$z_{_{'}}-z'f(z)=0.$

Mais l’équation primitive donne

$f(z)={\frac {z-x}{y}}\,;$

donc, substituant cette valeur dans la dernière équation, on aura cette équation du premier ordre, délivrée de $f(z)$ :

$z'(z-x)-yz_{_{'}}=0.$

Comme le premier terme de l’expression de $z$ en série de $y$ est évidemment $x,$ nous supposerons, en général,

$z=x+\mathrm {A} y+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} y^{3}+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des fonctions de $x\,;$ nous aurons

$z'=1+\mathrm {A} 'y+\mathrm {B} 'y^{2}+\mathrm {C} 'y^{3}+\ldots ,$

$\mathrm {A',B'} ,\ldots$ étant les fonctions primes de $\mathrm {A,B} ,\ldots ,$ regardées comme fonctions de $x\,;$ ensuite

$z_{_{'}}=\mathrm {A} +2\mathrm {B} y+3\mathrm {C} y^{2}+4\mathrm {D} y^{3}+\ldots \,;$

donc on aura, en substituant ces valeurs,

$\left(1+\mathrm {A} 'y+\mathrm {B} 'y^{2}+\mathrm {C} 'y^{3}+\ldots \right)\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\ldots \right)$

$-\mathrm {A} -2\mathrm {B} y-3\mathrm {C} y^{2}-\ldots =0,$

savoir

$\mathrm {\left(AA'-B\right)} y+\mathrm {\left(BA'+AB'-2C\right)} y^{2}+\mathrm {\left(CA'+BB'+AC'-3D\right)} y^{3}+\ldots =0,$

d’où l’on tire tout de suite

$\mathrm {B=AA',\quad C={\frac {1}{2}}(AB'+BA'),\quad D={\frac {1}{3}}(AC'+BB'+CA')} ,\quad \ldots .$

Ici la quantité $\mathrm {A}$ demeure indéterminée ; mais nous avons déjà vu que les deux premiers termes de $z$ dans l’équation proposée sont $x-yf(x)\,;$ par conséquent, on aura $\mathrm {A} =f(x),$ et de là

$\mathrm {A} '=f'(x),\quad \mathrm {B} =f(x)f'(x),\quad \mathrm {B} '=f(x)f''(x)+\left[f'(x)\right]^{2}\,;$

donc

${\begin{aligned}&\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}\left[2f(x)f'^{2}(x)+f^{2}(x)f''(x)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais, en examinant les expressions de $\mathrm {B,C} ,\ldots ,$ on voit d’abord qu’elles peuvent se mettre sous cette forme,

$\mathrm {B=\left({\frac {A^{2}}{2}}\right)',\ \ C={\frac {1}{2}}(AB)',\ \ D={\frac {1}{2}}\left(AC+{\frac {1}{2}}B^{2}\right)',\ \ E={\frac {1}{4}}(AD+BC)'} ,\ldots ,$

en dénotant, en général, par le caractère $(\,)'$ la fonction prime selon $x$ de la quantité renfermée entre les deux crochets, et, si l’on fait les substitutions successives, on trouve que ces expressions sont réductibles à celles-ci, plus simples,

$\mathrm {B={\frac {1}{2}}\left(A^{2}\right)',\quad C={\frac {1}{2.3}}(A^{3})'',\quad D={\frac {1}{2.3.4}}\left(A^{4}\right)'''} ,\quad \ldots ,$

en marquant par un trait, deux traits, etc. les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable $x,$ de sorte que, en substituant la valeur de $\mathrm {A} ,$ on aura enfin

$z=x+yf(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+{\frac {y^{4}}{2.3.4}}\left[f^{4}(x)\right]'''+\ldots .$

86. Supposons maintenant qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque $\varphi (z)$ de $z,$ développée de même suivant les puissances de $y\,;$ on fera $u=\varphi (z),$ et, prenant les équations primes pour faire disparaître la fonction, on aura

$u'=\varphi '(z)z',\quad u_{_{'}}=\varphi '(z)z_{_{'}},$

d’où l’on tire

${\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}}.$

Substituant la valeur de ${\frac {z'}{z_{_{'}}}},$ tirée de l’équation $z'(z-x)-yz_{_{'}}=0$ du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre

$u'(z-x)-yu_{_{'}}=0.$

Supposons ici

$u=\mathrm {P} +\mathrm {Q} y+\mathrm {R} y^{2}+\mathrm {S} y^{3}+\ldots ,$

$\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ étant des fonctions de $x\,;$ substituant cette valeur, ainsi que celle de $z$ trouvée ci-dessus, on aura

$\left(\mathrm {P} '+\mathrm {Q} 'y+\mathrm {R} 'y^{2}+\mathrm {S} 'y^{3}+\ldots \right)\left\{f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+\ldots \right\}$

$-\mathrm {Q} -2\mathrm {R} y-3\mathrm {S} y^{2}-\ldots =0,$

d’où l’on tire

$\mathrm {Q=P'} f(x),\quad 2\mathrm {R=Q'} f(x)+{\frac {\mathrm {P} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]',$

$3\mathrm {S=R'} f(x)+{\frac {\mathrm {Q} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {\mathrm {P} '}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]'',$

Or, en substituant successivement les valeurs de $\mathrm {Q,R} ,\ldots ,$ il est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent se réduire à cette forme simple

$\mathrm {Q=P'} f(x),\quad \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {P} 'f^{2}(x)\right]',\quad \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\mathrm {P} 'f^{3}(x)\right]'',\quad \ldots .$

La fonction $\mathrm {P}$ demeure indéterminée, à cause de l’élimination de la fonction $\varphi \,;$ mais, puisque $u=\varphi (z)=\varphi \left[x+yf(x)+\ldots \right],$ il est visible qu’on aura $\mathrm {P} =\varphi (x),$ et par conséquent $\mathrm {P} '=\varphi '(x).$

Donc, enfin, on aura

$\varphi (z)=\varphi (x)+y\varphi '(x)f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]''+\ldots ,$

formule très-remarquable et d’un grand usage dans l’Analyse, surtout pour le retour des suites.

87. On pourrait parvenir immédiatement à ce dernier résultat par la formule du n^o 33, car il n’y aurait qu’à regarder $u$ comme une fonction de $y$ et chercher les fonctions primes, secondes, etc. de $u$ relatives à $y,$ c’est-à-dire les valeurs de $u_{_{'}},\ u_{_{''}},\ldots .$ Faisant ensuite $y=0,$ on aurait

$u,\ \ u_{_{'}},\ \ {\frac {1}{2}}u_{_{''}},\ \ {\frac {1}{2.3}}u_{_{'''}},\ \ \ldots$

pour les coefficients $\mathrm {P,Q,R,S} ,\ldots$ de la série.

Tout se réduit donc à trouver ces fonctions dérivées et à les mettre sous une forme simple et régulière. Pour cela, nous reprendrons les deux équations primes trouvées ci-dessus (n^os 85, 86),

$z_{_{'}}-z'f(x)=0,\quad {\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}},$

lesquelles donnent celles-ci

$u_{_{'}}=u'f(x),\quad z_{_{'}}=z'f(x).$

On aura donc. : 1^o

$u_{_{'}}=u'f(z)\,;$

2^o en prenant les fonctions primes selon $y,$

$u_{_{''}}=u'_{_{'}}f(z)+u'z_{_{'}}f'(z)\,;$

$f'(z)$ dénote la fonction prime de $z$ relativement à $z\,;$ or, de la première équation on tire aussi cette équation prime relative à $x,$

$u'_{_{'}}=u''f(z)+u'z'f'(z)\,;$

donc, substituant, on aura

$u_{_{''}}=u''f^{2}(z)+2u'z'f'(z)f(z)=\left[u'f^{2}(z)\right]'\,;$

3^o en prenant encore les fonctions primes relatives à $y,$ on aura

$u_{_{'''}}=\left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}\,;$

or

$\left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u'_{_{'}}f^{2}(z)+2u'z_{_{'}}zf(z)\,;$

substituant les valeurs de $u'_{_{'}}$ et de $z_{_{'}}$ données ci-dessus, on aura

$\left[u'f^{2}(z)\right]_{_{'}}=u''f^{3}(z)+3u'z'f'(z)f^{2}(z)=\left[u'f^{3}(z)\right]'\,;$

donc, prenant les fonctions primes relatives à $x,$ on aura

$\left[u'f^{2}(z)\right]'_{_{'}}=\left[u'f^{3}(z)\right]''=u_{_{'''}},$

et ainsi de suite

Donc, puisque $u=\varphi (z),$ on aura

$u'=z'\varphi '(z),$

par conséquent

$u_{_{'}}=z'\varphi '(z)f(z),\quad u_{_{''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{2}(z)\right]',\quad u_{_{'''}}=\left[z'\varphi '(z)f^{3}(z)\right]'',\quad \ldots ,$

$\varphi '(z)$ étant la fonction prime de $\varphi (z)$ relativement à $z$ seul.

Faisons maintenant $y=0\,;$ l’équation proposée

$z=x+yf(z)$

donnera $z=x\,;$ donc

$z'=1,\quad \varphi (z)=\varphi (x),\quad \varphi '(z)=\varphi '(x),\quad {\text{et}}\quad f(z)=f(x)\,;$

donc enfin

$\mathrm {P} =\varphi (x),\ \ \mathrm {Q} =\varphi '(x)f(x),\ \ \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]',\ \ \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]'',\ldots ,$

comme ci-dessus.

Pour montrer par une application l’usage de cette formule, soit proposée l’équation

$z=x+yz^{m},$

$x$ et $y$ étant des quantités données, et qu’on demande la valeur de $z^{n}$ en série suivant les puissances de $y\,;$ on fera donc

$f(z)=z^{m},\quad \varphi (z)=z^{n}\,;$

donc aussi

$f(x)=x^{m},\quad \varphi (x)=x^{n},\quad \varphi '(x)=nx^{n-1},$

et l’on aura sur-le-champ

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&x^{n},\\\mathrm {Q} =&nx^{m+n-1},\\\mathrm {R} =&{\frac {n}{2}}\left(x^{2m+n-1}\right)'={\frac {n(2m+n-1)}{2}}x^{2m+n-2},\\\mathrm {S} =&{\frac {n}{2.3}}\left(x^{3m+n-1}\right)''={\frac {n(3m+n-1)(3m+n-2)}{2.3}}x^{3m+n-3},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura

${\begin{aligned}z^{n}=x^{n}&+nx^{m+n-1}y+{\frac {n(2m+n-1)}{2}}x^{2m+n-2}y^{2}\\&+{\frac {n(3m+n-1)(3m+n-2)}{2.3}}x^{3m+n-3}y^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Voyez aussi sur ce sujet la Note XI du Traité de la résolution des équations numériques, seconde édition^[1].

1. Œuvres de Lagrange, t. VIII.