Théorie des fonctions analytiques/Partie I/Chapitre 16

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 170-182).

CHAPITRE XVI.

Méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre entre trois variables.

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88. Nous avons vu comment on peut faire disparaître une fonction arbitraire contenue dans une équation donnée, au moyen de ses équations primes ; mais il y a, pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (n^o 82).

Considérons en général l’équation

$\operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p)\right]=0,$

dans laquelle $p$ soit égale à $f(x,y,z),$ les deux fonctions désignées par les caractéristiques $\operatorname {F}$ et $f$ étant données, et la fonction marquée par la caractéristique $\varphi$ étant arbitraire ; on peut supposer $y$ une fonction de $x$ telle que la fonction prime de $p$ soit nulle ; alors $p$ pourra être traitée comme constante dans la fonction $\operatorname {F} [x,y,z,\varphi (p)],$ pourvu qu’on détermine $y'$ par la condition que la fonction prime de $f(x,y,z)$ soit nulle.

Désignons simplement par $\operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)$ et de même par $f'(x),$$f'(y),f'(z)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p)\right]$ et de $f(x,y,z),$ prises relativement à $x,y,z$ isolées et regardées comme indépendantes on aura, comme dans l’endroit cité, les deux équations primes

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}$

dont la première contiendra $\varphi (p)$ et dont la seconde ne contiendra point $p\,:$ celle-ci servira à éliminer l’inconnue $y'\,;$ la première, jointe à son équation primitive, servira à éliminer l’inconnue $\varphi (p).$

Cette méthode a l’avantage de pouvoir s’appliquer aux équations qui contiendraient plusieurs fonctions arbitraires de la même fonction $p.$

En effet, si l’on avait l’équation

$\operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p),\psi (p)\right]=0,$

on trouverait d’abord, comme ci-dessus, une équation du premier ordre sans la fonction $\varphi (p),$ mais qui contiendrait encore la fonction $\psi (p)\,;$ ensuite, appliquant à cette équation le même procédé et éliminant de nouveau la fonction $y'$ qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus, on aura une équation du second ordre qui contiendra $\psi (p)$ et d’où l’on éliminera cette fonction par le moyen de l’équation du premier ordre ; et ainsi de suite, quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires de la même quantité $p.$

Mais, si l’équation proposée contenait les fonctions $\varphi (p)$ et $\psi (q),$ $p$ et $q$ étant des fonctions différentes de $x,y,z,$ on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre, débarrassée des fonctions $\varphi (p)$ et $\psi (q)$ et de leurs dérivées ; il faudrait alors passer à des équations d’un ordre supérieur.

89. Considérons les équations du premier ordre qui peuvent résulter de l’élimination d’une fonction arbitraire $\varphi (p),$ et supposons, pour plus de simplicité, ce qui est toujours possible, que l’équation primitive soit de la forme

$\operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p),\quad p$ étant $=f(x,y,z)\,;$

on aura alors les deux équations primes

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}$

qui seront délivrées de $\varphi (p),$ et il ne s’agira plus que d’éliminer $y'.$

Le résultat de cette élimination est

${\frac {\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)}{f'(x)+z'f'(z)}}={\frac {\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)}{f'(y)+z_{_{'}}f'(z)}},$

d’où résulte cette équation du premier ordre

$\operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)+z'\left[\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)\right]$

$+z_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)\right]=0,$

qui ne contient que $x,y,z$ avec les fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}.$

Cette équation pourra donc être mise sous cette forme

$z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\\\mathrm {N} \,=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\end{aligned}}$

d’où l’on peut conclure :

1^o Que toutes les équations du premier ordre entre $x,y,z'$ et $z_{_{'}}$ qui ne seront pas réductibles à la forme précédente ne pourront pas être dérivées d’une équation primitive entre $x,y,z$ et $\varphi (p),$ $p$ étant une fonction de $x,y,z\,;$

2^o Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée $\operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p),$ $p$ étant égal à $f(x,y,z).$

Car les valeurs des coefficients $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant données en fonction de $x,y,$ on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques $\operatorname {F}$ et $f,$ et la fonction marquée pour $\varphi$ demeurera arbitraire.

Ce problème étant l’un des plus intéressants de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.

90. Regardons, ce qui est permis, $y$ et $z$ comme des fonctions de $x$ dont les fonctions primes soient $y'$ et $z',$ et considérons les deux quantités $z'+\mathrm {N}$ et $\mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'\,;$ ces quantités deviendront, par la substitution des expressions précédentes de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N} ,$

${\frac {f'(y)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(x)\right]-\operatorname {F} '(y)\left[f'(z)z'+f'(x)\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},$

${\frac {\operatorname {F} '(x)\left[f'(z)z'+f'(y)y'\right]-f'(x)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(y)y'\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.$

Si l’on ajoute, et qu’on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité $\operatorname {F} '(y)f'(y)y'$ et du numérateur de la seconde la quantité $\operatorname {F} '(x)f'(x),$ et qu’on fasse attention que $\operatorname {F} '(x)+\operatorname {F} '(y)y'+\operatorname {F} '(z)z'$ est la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z),$ que nous dénoterons simplement par $\operatorname {F} (x,y,z)'\,;$ que de même $f'(x)+f'(y)y'+f'(z)z'$ est la fonction prime de $f(x,y,z),$ que nous dénoterons pareillement par $f(x,y,z)',$ on aura

${\begin{aligned}z'+\mathrm {N} =&{\frac {f'(y)\operatorname {F} (x,y,z)'-\operatorname {F} '(y)f(x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}\\\mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f(x,y,z)'-f'(x)\operatorname {F} (x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait les deux équations

$z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,$

ces équations seront équivalentes à ces deux-ci,

$\operatorname {F} (x,y,z)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,z)'=0,$

dont les équations primitives sont évidemment

$\operatorname {F} (x,y,z)=\mathrm {A} ,\quad f(x,y,z)=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes arbitraires, de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Mais il est possible qu’en cherchant les équations primitives des équations

$z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,$

où $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont des fonctions données de $x,y,z,$ on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu’elles

puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ elles doivent être comprises dans les précédentes, et les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ne pourront qu’être fonctions des constantes $a$ et $b.$ Si donc on tire de ces équations primitives les valeurs des constantes $a$ et $b$ en $x,y,z,$ et que ces valeurs soient $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme $\mathrm {P} =a,$ $\mathrm {Q} =b,$ il s’ensuit que les fonctions $\operatorname {F} (x,y,z)$ et $f(x,y,z)$ ne pourront être aussi que des fonctions de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$

Donc, puisque l’équation primitive d’où l’équation du premier ordre $z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0$ est dérivée, est de la forme

$\operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p)=\varphi \left[f(x,y,z)\right],$

cette équation primitive deviendra

$\operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )=\varphi \left[\operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )\right],$

la fonction marquée par $\varphi$ demeurant arbitraire d’où il résulte que $\mathrm {P}$ sera une fonction quelconque de $\mathrm {Q} ,$ de sorte que l’équation primitive de l’équation du premier ordre

$z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0$

pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple,

$\mathrm {P} =\varphi (\mathrm {Q} ),$

la fonction marquée par la caractéristique $\varphi$ étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l’on voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d’une seule variable, et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.

91. La méthode précédente peut s’étendre aussi aux fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si $u$ est une fonction de trois variables $x,y,z,$ déterminée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,u)=\varphi (p,q),$

$p$ et $q$ étant des fonctions données de $x,y,z,u,$ et $\varphi (p,q)$ étant une

fonction quelconque de $p,q,$ on trouvera, par une analyse semblable à celle du n^o 89, et regardant $y$ et $z$ comme des fonctions de $x$ dont on déterminera les fonctions primes $y'$ et $z'$ par la supposition que $p$ et $q$ demeurent constantes, on trouvera, dis-je, une équation du premier ordre, dérivée de la fonction $\varphi ,$ de la forme suivante,

$u'+\mathrm {L} u_{_{'}}+\mathrm {M} _{_{'}}u+\mathrm {N} =0,$

$\mathrm {L,M,N}$ étant des fonctions données de $x,y,z,u,$ et $u',u_{_{'}},$ $\,_{_{'}}\!u$ étant les fonctions primes de $u$ relativement à $x,y$ et $z,$ de sorte que toute équation entre $x,y,z,u$ et les fonctions primes de $u$ qui ne serait pas de cette forme ne pourra pas être dérivée d’une équation primitive de la forme ci-dessus.

Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente, on trouvera aussi, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, que, si l’on regarde $y,z,u$ comme des fonctions de $x$ déterminées par ces trois équations du premier ordre,

$u'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {L} u'+\mathrm {N} y'=0,\quad \mathrm {M} u'+\mathrm {N} z'=0,$

et qu’on en cherche les équations primitives qui devront renfermer trois constantes arbitraires $a,b,c,$ qu’ensuite on tire de ces équations les valeurs de ces constantes, de manière que l’on ait

$a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,\quad c=\mathrm {R} ,$

$\mathrm {P,Q,R}$ étant des fonctions données de $x,y,z,u,$ on aura sur-lechamp

$\mathrm {P=\varphi (Q,R)}$

pour l’équation primitive de l’équation proposée, dans laquelle $\varphi (\mathrm {P,Q} )$ sera une fonction arbitraire de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$

Cette méthode est présentée d’une manière plus simple et plus directe dans la Leçon XX du Calcul des fonctions^[1], à laquelle nous nous contentons de renvoyer.

92. Mais, si l’on avait, pour la détermination de $z$ en fonction de $x$ et $y,$ une équation quelconque du premier ordre entre $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}}$ non réductible à la forme du n^o 89, la même méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle que soit la forme de l’équation proposée, la ramener à la forme du n^o 91 en y introduisant une variable de plus.

Soit donc proposée l’équation

$z'=\operatorname {F} (x,y,z,z_{_{'}}),$

la fonction indiquée par la caractéristique $\operatorname {F}$ étant donnée ; je suppose $z_{_{'}}=u,$ et, comme $z$ est fonction de $x,y,$ il est clair que $u$ sera aussi fonction de $x,y\,;$ donc, prenant les fonctions primes relativement à $x$ seul, on aura $z'_{_{'}}=u'.$ Maintenant, l’équation proposée deviendra

$z'=\operatorname {F} (x,y,z,u)\,;$

prenant les fonctions primes relativement à $y$ seul, et observant que $z$ et $u$ sont fonctions de $x,y,$ on aura

$z'_{_{'}}=\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)+u_{_{'}}\operatorname {F} '(u),$

où les quantités $\operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z),\ \operatorname {F} '(u)$ dénotent les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z,u)$ prises relativement aux variables isolées $y,z,u,$ ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici ; donc, substituant $u$ et $u'$ pour $z_{_{'}}$ et $z'_{_{'}},$ on aura l’équation

$u'=\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)+u_{_{'}}\operatorname {\operatorname {F} } '(u),$

dans laquelle les quantités $\operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z),\ \operatorname {F} '(u)$ seront des fonctions données de $x,y,z$ et $u.$

Cette équation serait donc susceptible de la méthode précédente si $u$ était une fonction des variables $x,y,z,$ regardées comme indépendantes entre elles ; mais rien n’empêche de les regarder comme telles et de regarder en même temps $u$ comme une simple fonction de $x,y,z$, pourvu qu’on exprime, d’une manière conforme à cette supposition, les fonctions primes $u'$ et $u_{_{'}}$ qui se rapportent aux seules variables $x$ et $y.$

Qu’on dénote par $u',u_{_{'}}$ et $\,_{_{'}}\!u$ les fonctions primes de $u$ relativement à $x,y,z,$ il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque $z$ est essentiellement une fonction de $x$ et $y$ dont $z'$ et $z,$ sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prime de $u$ relativement à $x$ sera $u'+\,_{_{'}}\!uz',$ et que la valeur complète de la fonction prime de $u$ relativement à $y$ sera $u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz_{_{'}}\,;$ ces valeurs sont celles qui, dans l’équation ci-dessus, sont représentées simplement par $u'$ et $u_{_{'}}\,;$ mais on a supposé $z_{_{'}}=u,$ et, par l’équation proposée, on a $z'=\operatorname {F} (x,y,z,u)\,;$ donc les valeurs à substituer à $u'$ et $u_{_{'}}$ seront $u'+\,_{_{'}}\!u\operatorname {F} (x,y,z,u)$ et $u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uu.$ Faisant donc ces substitutions dans la dernière équation en $u,u',u_{_{'}}$ et ordonnant les termes suivant les quantités $u',u_{_{'}}$ et $\,_{_{'}}\!u,$ on aura

$u'-u_{_{'}}\operatorname {F} '(u)+\,_{_{'}}\!u\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,$

équation qui, étant comparée à la formule générale du n^o 91, donne

$\mathrm {L} =-\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {M} =\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {N} =-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z),$

de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer $y,z,u$ en fonction de $x$ seront

$u'-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,$

$u'\operatorname {F} '(u)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0,$

$u'\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-z'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0.$

Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où celles-ci peuvent être déduites ; mais il suffira d’en trouver une, et il serait même inutile de trouver les deux autres.

93. En effet, supposons qu’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires $a,b,c,$ et soient $\mathrm {P,Q,R}$ les valeurs de ces constantes qui en résultent ; on aura

$\mathrm {P=\varphi (Q,R)}$

pour la forme générale de l’équation primitive en $u$ (n^o 91).

Cette équation, où la caractéristique $\varphi$ désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier ordre en $u,$ dans laquelle $u$ est regardée comme fonction de $x,y,z\,;$ mais $u$ a été supposée égale à $z_{_{'}},$ et $z$ doit être, d’après l’équation proposée, une fonction de $x$ et $y\,;$ donc l’équation

$\mathrm {P=\varphi (Q,R)}$

est trop générale, et il faudra encore chercher les limitations qu’on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ pour que cette équation réponde exactement à l’équation proposée.

Mais, sans entrer dans cette recherche, j’observe que, quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut la supposer égale à une constante, de sorte que $\mathrm {P} =a,$ c’est-à-dire une des équations primitives des trois équations ci-dessus, avec une constante arbitraire, donnera une valeur de $u$ qui satisfera à l’équation en $u.$

Maintenant, en remettant $z_{_{'}}$ pour $u$ dans cette équation, on aura une équation du premier ordre entre $x,y,z$ et $z_{_{'}},$ dans laquelle $z$ devra être regardée comme fonction de $x$ et $y\,;$ mais, puisque cette équation ne contient que la fonction prime $z_{_{'}}$ relative à $y,$ on pourra regarder $x$ comme constante et $z$ comme une simple fonction de $y\,;$ on trouvera donc son équation primitive par l’analyse des fonctions d’une seule variable, et, puisque $x$ est regardée comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de $x,$ que nous nommerons $p.$

On aura ainsi une valeur de $z$ en $x$ et $y,$ avec les deux quantités $a$ et $p,$ qui satisfera à l’équation proposée. La constante $a$ demeurera arbitraire mais la fonction $p$ devra être déterminée conformément à cette équation. Pour cela, il n’y aura qu’à y substituer l’expression de $z$ dont il s’agit ; tous les termes qui renfermeront $y$ se détruiront, et il ne restera que des termes qui contiendront $x,p$ et $p',$ de sorte que l’on aura de nouveau une équation du premier ordre entre les variables $x$ et $p,$ dont l’équation primitive donnera la valeur de $p$ en $x,$ avec une nouvelle constante arbitraire $b.$

De cette manière, on aura enfin une valeur de $z$ en $x$ et $y,$ avec deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ qui satisfera à la proposée indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que particulière ; mais on pourra, par la méthode du n^o 83, trouver la valeur générale de $z,$ qui contiendra une fonction arbitraire.

En effet, si

$f(x,y,z,a,b)=0$

est l’équation trouvée pour la détermination de $z,$ on fera $b=\varphi (a),$ et l’on égalera à zéro la fonction prime de $f\left[(x,y,z,a,\varphi (a)\right]$ prise relativement à la quantité $a,$ regardée comme seule variable ; on aura une équation qui servira à déterminer $a,$ et l’équation

$f\left[(x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0$

sera l’équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre, la fonction marquée par la caractéristique $\varphi$ demeurant arbitraire.

J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux variables qui ne passent pas le premier ordre à l’analyse des fonctions d’une seule variable.

94. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple, supposons que l’équation proposée soit de cette forme

$z'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,z_{_{'}}),$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des constantes, et $f(x,z_{_{'}})$ une fonction quelconque donnée de $x$ et de $z_{_{'}}.$ En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura

$\operatorname {F} (x,y,z,z_{_{'}})=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,z_{_{'}})\,;$

donc

$\operatorname {F} (x,y,z,u)=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,u),$

et de là, en prenant les fonctions primes relativement à $y$ et $z,$

$\operatorname {F} '(y)=\mathrm {A} ,\quad \operatorname {F} '(z)=\mathrm {B} ,$

de sorte que, en faisant ces substitutions dans les trois équations du premier ordre entre $x,y,z,u,$ la première d’entre elles deviendra

$u'-\mathrm {A-B} u=0,$

laquelle ne contenant que la variable $u,$ qu’on suppose fonction de $x,$ aura une équation primitive indépendamment des deux autres. En effet, si l’on multiplie cette équation par $e^{-\mathrm {B} x},$ $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, son premier membre deviendra la fonction prime de

$ue^{-\mathrm {B} x}+{\frac {\mathrm {A} e^{-\mathrm {B} x}}{\mathrm {B} }},$

comme il est aisé de s’en assurer en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formules du Chapitre III.

Ainsi, comme le second membre est nul, on aura, en passant aux fonctions primitives,

$\left(u+\mathrm {\frac {A}{B}} \right)e^{-\mathrm {B} x}=a,$

$a$ étant une constante arbitraire. Cette équation donnera donc

$u=-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x},$

et, substituant pour $u$ sa valeur $z_{_{'}},$ on aura l’équation prime

$z_{_{'}}=-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x},$

dans laquelle, $z_{_{'}}$ étant la fonction prime de $z$ relativement à $y$ seul, on pourra regarder $x$ comme constante et $z$ comme fonction de $y.$ Ainsi, comme le second membre ne contient ni $y$ ni $z,$ sa fonction primitive dans cette supposition sera simplement

$\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y\,;$

donc, passant des fonctions primes relatives à $y$ seul aux fonctions primitives, on aura l’équation primitive

$z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+p,$

$p$ étant une fonction quelconque de $x$ qui peut être ajoutée comme constante, puisque sa fonction prime relativement à $y$ est nulle.

De cette expression de $z$ on tirera celles des deux fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}$ relatives à $x$ et $y,$ et l’on aura

${\begin{aligned}z'=&a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p',\\z_{_{'}}=&-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\,;\end{aligned}}$

ces valeurs étant substituées dans l’équation proposée, elle deviendra

$a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} \left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),$

laquelle se réduit à

$p'=\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),$

où l’on voit que les $y$ ont disparu, de manière qu’on pourra déterminer $p$ en fonction de $x$ seul.

Qu’on multiplie cette équation par $e^{-\mathrm {B} x}$ et qu’on suppose

$e^{-\mathrm {B} x}f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)=\operatorname {F} '(x),$

elle deviendra

$\left(pe^{-\mathrm {B} x}\right)'=\operatorname {F} '(x),$

et, passant aux fonctions primitives, on aura

$pe^{-\mathrm {B} x}=\operatorname {F} (x)+b,$

$b$ étant une constante arbitraire. De là on tire

$p=e^{\mathrm {B} x}\left[\operatorname {F} (x)+b\right]\,;$

donc, substituant cette valeur dans l’expression de $z$ trouvée ci-dessus, on aura

$z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\left[\operatorname {F} (x)+b\right]e^{\mathrm {B} x}.$

Cette valeur de $z$ n’est que particulière ; mais, comme elle contient les deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ elle donnera la valeur générale si l’on fait $b=\varphi (a)$ et que l’on détermine $a$ par l’équation

$y+\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)=0,$

en désignant par $\operatorname {F} '(a)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x)$ prise relativement à $a.$

Si $\mathrm {B} =0,$ le calcul devient plus simple, et l’on trouvera, en faisant $f(x,\mathrm {A} x+a)=\operatorname {F} '(x),$ les deux équations

$z=(\mathrm {A} x+a)y+\operatorname {F} (x)+\varphi (a),$

$y+\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)=0,$

d’où il faudra éliminer $a.$

95. Cette dernière méthode est néanmoins sujette à quelques difficultés que nous avons résolues complétement dans la même Leçon XX déjà citée, où cette matière est envisagée d’une manière plus générale que nous ne l’avons fait ici.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce qui regarde les fonctions de plusieurs variables. Ceux qui connaissent le Calcul qu’on appelle aux différences partielles pourront aisément le rapprocher de l’analyse de ces fonctions et donner par là à cette analyse les développements qu’on y pourrait encore désirer.

Notre objet, dans cette première Partie, n’a été que d’établir la théorie des fonctions et des équations dérivées d’une manière purement analytique et indépendante de toute supposition ou considération étrangère.

1. Œuvres de Lagrange, t. X.