CHAPITRE XVI.
Méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation du premier ordre entre plusieurs variables, lorsque les fonctions dérivées sont linéaires, et pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre entre trois variables.
88. Nous avons vu comment on peut faire disparaître une fonction arbitraire contenue dans une équation donnée, au moyen de ses équations primes ; mais il y a, pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (no 82).
Considérons en général l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9895884ce03d6c57a7ecc49ee85d9658cc4c0e41)
dans laquelle
soit égale à
les deux fonctions désignées par les caractéristiques
et
étant données, et la fonction marquée par la caractéristique
étant arbitraire ; on peut supposer
une fonction de
telle que la fonction prime de
soit nulle ; alors
pourra être traitée comme constante dans la fonction
pourvu qu’on détermine
par la condition que la fonction prime de
soit nulle.
Désignons simplement par
et de même par ![{\displaystyle f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9295da6cc8baaeecdd6fd3e8c7401c781765d127)
les fonctions primes de
et de
prises relativement à
isolées et regardées comme indépendantes on aura, comme dans l’endroit cité, les deux équations primes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f97ca3311707170acb696721597e08d625cee0)
dont la première contiendra
![{\displaystyle \varphi (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5010ee68a212e10a819fe83ef23d8e54cb18cf3)
et dont la seconde ne contiendra point
![{\displaystyle p\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d2f706ad18c8ae067f0c2d1227fb13689d4ac9)
celle-ci servira à éliminer l’inconnue
![{\displaystyle y'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45241b321963a6c09bd731ab90fe2198531bb93d)
la première, jointe à son équation primitive, servira à éliminer l’inconnue
Cette méthode a l’avantage de pouvoir s’appliquer aux équations qui contiendraient plusieurs fonctions arbitraires de la même fonction
En effet, si l’on avait l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p),\psi (p)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80eff21f7b5dda4d1743f88b516c98b4e3d75765)
on trouverait d’abord, comme ci-dessus, une équation du premier ordre sans la fonction
mais qui contiendrait encore la fonction
ensuite, appliquant à cette équation le même procédé et éliminant de nouveau la fonction
qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus, on aura une équation du second ordre qui contiendra
et d’où l’on éliminera cette fonction par le moyen de l’équation du premier ordre ; et ainsi de suite, quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires de la même quantité ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Mais, si l’équation proposée contenait les fonctions
et
et
étant des fonctions différentes de
on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre, débarrassée des fonctions
et
et de leurs dérivées ; il faudrait alors passer à des équations d’un ordre supérieur.
89. Considérons les équations du premier ordre qui peuvent résulter de l’élimination d’une fonction arbitraire
et supposons, pour plus de simplicité, ce qui est toujours possible, que l’équation primitive soit de la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p),\quad p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d1c1e22714609b6a05eae0104b12b1a053a696)
étant
![{\displaystyle =f(x,y,z)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09af3b568cc2c1156050cf8cbd653e7afd4b1e9f)
on aura alors les deux équations primes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f97ca3311707170acb696721597e08d625cee0)
qui seront délivrées de
et il ne s’agira plus que d’éliminer ![{\displaystyle y'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421ef86a37f3e826be46d6200a70f66b222fb198)
Le résultat de cette élimination est
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)}{f'(x)+z'f'(z)}}={\frac {\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)}{f'(y)+z_{_{'}}f'(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4878efe2b277b3d3a99312ac63150995665a04dc)
d’où résulte cette équation du premier ordre
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)+z'\left[\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997f78af4998f6d130760485dea4585d95950669)
![{\displaystyle +z_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d5dcaaef4f42080c7f1c298db61feb160a234b)
qui ne contient que
avec les fonctions primes
et ![{\displaystyle z_{_{'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aded9b56f137dab4a2a607c121de12cf879db2b)
Cette équation pourra donc être mise sous cette forme
![{\displaystyle z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e2bcd7cc17afd15ad94ba47f3c6be3e27b74e3)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\\\mathrm {N} \,=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b32367dbb1606e6d4e3c8d0887278696035b5a4)
d’où l’on peut conclure :
1o Que toutes les équations du premier ordre entre
et
qui ne seront pas réductibles à la forme précédente ne pourront pas être dérivées d’une équation primitive entre
et
étant une fonction de
2o Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée
étant égal à
Car les valeurs des coefficients
et
étant données en fonction de
on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques
et
et la fonction marquée pour
demeurera arbitraire.
Ce problème étant l’un des plus intéressants de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.
90. Regardons, ce qui est permis,
et
comme des fonctions de
dont les fonctions primes soient
et
et considérons les deux quantités
et
ces quantités deviendront, par la substitution des expressions précédentes de
et de
![{\displaystyle {\frac {f'(y)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(x)\right]-\operatorname {F} '(y)\left[f'(z)z'+f'(x)\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b9c51466f5d8b1de0338a510f93087ae3124eb)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} '(x)\left[f'(z)z'+f'(y)y'\right]-f'(x)\left[\operatorname {F} '(z)z'+\operatorname {F} '(y)y'\right]}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10a1ad39dbd4449bbb97f3f9d5587b83ab8a8d0)
Si l’on ajoute, et qu’on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité
et du numérateur de la seconde la quantité
et qu’on fasse attention que
est la fonction prime de
que nous dénoterons simplement par
que de même
est la fonction prime de
que nous dénoterons pareillement par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'+\mathrm {N} =&{\frac {f'(y)\operatorname {F} (x,y,z)'-\operatorname {F} '(y)f(x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}\\\mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f(x,y,z)'-f'(x)\operatorname {F} (x,y,z)'}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3c13fa12ee076838050fbddbaa51a157aba510)
Donc, si l’on fait les deux équations
![{\displaystyle z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80af2b56cc1152550ede5e660f13c3789cd352e)
ces équations seront équivalentes à ces deux-ci,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)'=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y,z)'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a05c8ee40b4eb2118fb6ea16bd2bb77a841b9c)
dont les équations primitives sont évidemment
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=\mathrm {A} ,\quad f(x,y,z)=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8acd163ff22a5d916ed13aa3f0960144be6af4)
et
étant des constantes arbitraires, de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires
et ![{\displaystyle \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290ba95cad121a2f562a2a768db14d469a248087)
Mais il est possible qu’en cherchant les équations primitives des équations
![{\displaystyle z'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {M} z'+\mathrm {N} y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80af2b56cc1152550ede5e660f13c3789cd352e)
où
et
sont des fonctions données de
on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu’elles
puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64)
elles doivent être comprises dans les précédentes, et les constantes
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93003d072991ba424a73ed1e081afe55c124b6ce)
ne pourront qu’être fonctions des constantes
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef051eb30c89e5493d672f6479566c673b0890a)
Si donc on tire de ces équations primitives les valeurs des constantes
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
en
![{\displaystyle x,y,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08d690d7e19ea7aee8574fc6abd6a15d97fa026)
et que ces valeurs soient
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
et
![{\displaystyle \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e83ec0e972d08bb4fe22f6d4dd8b65297a6492)
en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme
![{\displaystyle \mathrm {Q} =b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed707597ce0e847fe45b84e66c670bebc334e8c)
il s’ensuit que les fonctions
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd11016b3b36bd866079de4a4dd3a15f7c9fc3b7)
et
![{\displaystyle f(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d48dce2c4341575269f1709237a2e18923237a)
ne pourront être aussi que des fonctions de
![{\displaystyle \mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72172888980d0d3565baec875a4c3e8eed50ed26)
et
Donc, puisque l’équation primitive d’où l’équation du premier ordre
est dérivée, est de la forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p)=\varphi \left[f(x,y,z)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143fc8979fda8e33deedf16738ee55204d6b2048)
cette équation primitive deviendra
![{\displaystyle \operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )=\varphi \left[\operatorname {fonct} .(\mathrm {P,Q} )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdb47c10d57e01349e66c9801d5434e926717e0)
la fonction marquée par
demeurant arbitraire d’où il résulte que
sera une fonction quelconque de
de sorte que l’équation primitive de l’équation du premier ordre
![{\displaystyle z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8dfa64c9f8ae984cb58839492435dcf45c855a6)
pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple,
![{\displaystyle \mathrm {P} =\varphi (\mathrm {Q} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a756ef6c2aa250f2f16e90384954e72d27789f)
la fonction marquée par la caractéristique
étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l’on voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d’une seule variable, et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.
91. La méthode précédente peut s’étendre aussi aux fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si
est une fonction de trois variables
déterminée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,u)=\varphi (p,q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92707de2c256d410b96f663d2c2a75230b173644)
et
étant des fonctions données de
et
étant une
fonction quelconque de
![{\displaystyle p,q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a0fdfe349e039ba91ed08af2f3d8f16a3a0660)
on trouvera, par une analyse semblable à celle du
no 89, et regardant
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
comme des fonctions de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
dont on déterminera les fonctions primes
![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b)
et
![{\displaystyle z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c017ef8616d0c836e4b2a88c40931333c38dd19)
par la supposition que
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
et
![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
demeurent constantes, on trouvera, dis-je, une équation du premier ordre, dérivée de la fonction
![{\displaystyle \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4baf1e617abd3f5384bab1851bf109ea0b614)
de la forme suivante,
![{\displaystyle u'+\mathrm {L} u_{_{'}}+\mathrm {M} _{_{'}}u+\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfec72c08b2f59c1bc5bbd71b378375cf8926f3)
étant des fonctions données de
et
étant les fonctions primes de
relativement à
et
de sorte que toute équation entre
et les fonctions primes de
qui ne serait pas de cette forme ne pourra pas être dérivée d’une équation primitive de la forme ci-dessus.
Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente, on trouvera aussi, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, que, si l’on regarde
comme des fonctions de
déterminées par ces trois équations du premier ordre,
![{\displaystyle u'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {L} u'+\mathrm {N} y'=0,\quad \mathrm {M} u'+\mathrm {N} z'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f16d211489070104cf1645880a27953408b5252)
et qu’on en cherche les équations primitives qui devront renfermer trois constantes arbitraires
qu’ensuite on tire de ces équations les valeurs de ces constantes, de manière que l’on ait
![{\displaystyle a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,\quad c=\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b32e886414ec1cfc4e38c32b685ca93993773eb)
étant des fonctions données de
on aura sur-lechamp
![{\displaystyle \mathrm {P=\varphi (Q,R)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebd39ccd67013f5048dea5152773c0f647a3abc)
pour l’équation primitive de l’équation proposée, dans laquelle
sera une fonction arbitraire de
et ![{\displaystyle \mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafe3c7b1af943a7447f3915045d0bb6f3d5af84)
Cette méthode est présentée d’une manière plus simple et plus directe dans la Leçon XX du Calcul des fonctions[1], à laquelle nous nous contentons de renvoyer.
92. Mais, si l’on avait, pour la détermination de
en fonction de
et
une équation quelconque du premier ordre entre
et
non réductible à la forme du no 89, la même méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle que soit la forme de l’équation proposée, la ramener à la forme du no 91 en y introduisant une variable de plus.
Soit donc proposée l’équation
![{\displaystyle z'=\operatorname {F} (x,y,z,z_{_{'}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870d0b4e892b9e0fea4a62ce681167b7daf233b1)
la fonction indiquée par la caractéristique
étant donnée ; je suppose
et, comme
est fonction de
il est clair que
sera aussi fonction de
donc, prenant les fonctions primes relativement à
seul, on aura
Maintenant, l’équation proposée deviendra
![{\displaystyle z'=\operatorname {F} (x,y,z,u)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b78001d007476546399db532f87e3351047461)
prenant les fonctions primes relativement à
seul, et observant que
et
sont fonctions de
on aura
![{\displaystyle z'_{_{'}}=\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)+u_{_{'}}\operatorname {F} '(u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b70fca43076128375cb0cba463f338b9889594a)
où les quantités
dénotent les fonctions primes de
prises relativement aux variables isolées
ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici ; donc, substituant
et
pour
et
on aura l’équation
![{\displaystyle u'=\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)+u_{_{'}}\operatorname {\operatorname {F} } '(u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6c8bb1919d9225f13c411f0727e1643d82b019)
dans laquelle les quantités
seront des fonctions données de
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Cette équation serait donc susceptible de la méthode précédente si
était une fonction des variables
regardées comme indépendantes entre elles ; mais rien n’empêche de les regarder comme telles et de regarder en même temps
comme une simple fonction de
, pourvu qu’on exprime, d’une manière conforme à cette supposition, les fonctions primes
et
qui se rapportent aux seules variables
et
Qu’on dénote par
et
les fonctions primes de
relativement à
il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque
est essentiellement une fonction de
et
dont
et
sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prime de
relativement à
sera
et que la valeur complète de la fonction prime de
relativement à
sera
ces valeurs sont celles qui, dans l’équation ci-dessus, sont représentées simplement par
et
mais on a supposé
et, par l’équation proposée, on a
donc les valeurs à substituer à
et
seront
et
Faisant donc ces substitutions dans la dernière équation en
et ordonnant les termes suivant les quantités
et
on aura
![{\displaystyle u'-u_{_{'}}\operatorname {F} '(u)+\,_{_{'}}\!u\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056fa7c7397c4517d9b9896dd21a4f4b245a6fdc)
équation qui, étant comparée à la formule générale du no 91, donne
![{\displaystyle \mathrm {L} =-\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {M} =\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u),\quad \mathrm {N} =-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1331a985dd8362ca198cd2715f23139c670b14db)
de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer
en fonction de
seront
![{\displaystyle u'-\operatorname {F} '(y)-u\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3cfa9cd5298278a5d36d0897b3f627d495be4d)
![{\displaystyle u'\operatorname {F} '(u)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edf7cfea4901247fd0036728b3c323cdb8f1e09)
![{\displaystyle u'\left[\operatorname {F} (x,y,z,u)-u\operatorname {F} '(u)\right]-z'\left[\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a92a9c313c75e5dacc183b2eaf7833c0425a95)
Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où celles-ci peuvent être déduites ; mais il suffira d’en trouver une, et il serait même inutile de trouver les deux autres.
93. En effet, supposons qu’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires
et soient
les valeurs de ces constantes qui en résultent ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {P=\varphi (Q,R)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebd39ccd67013f5048dea5152773c0f647a3abc)
pour la forme générale de l’équation primitive en
(no 91).
Cette équation, où la caractéristique
désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier ordre en
dans laquelle
est regardée comme fonction de
mais
a été supposée égale à
et
doit être, d’après l’équation proposée, une fonction de
et
donc l’équation
![{\displaystyle \mathrm {P=\varphi (Q,R)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebd39ccd67013f5048dea5152773c0f647a3abc)
est trop générale, et il faudra encore chercher les limitations qu’on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités
et
pour que cette équation réponde exactement à l’équation proposée.
Mais, sans entrer dans cette recherche, j’observe que, quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut la supposer égale à une constante, de sorte que
c’est-à-dire une des équations primitives des trois équations ci-dessus, avec une constante arbitraire, donnera une valeur de
qui satisfera à l’équation en
Maintenant, en remettant
pour
dans cette équation, on aura une équation du premier ordre entre
et
dans laquelle
devra être regardée comme fonction de
et
mais, puisque cette équation ne contient que la fonction prime
relative à
on pourra regarder
comme constante et
comme une simple fonction de
on trouvera donc son équation primitive par l’analyse des fonctions d’une seule variable, et, puisque
est regardée comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de
que nous nommerons
On aura ainsi une valeur de
en
et
avec les deux quantités
et
qui satisfera à l’équation proposée. La constante
demeurera arbitraire mais la fonction
devra être déterminée conformément à cette équation. Pour cela, il n’y aura qu’à y substituer l’expression de
dont il s’agit ; tous les termes qui renfermeront
se détruiront, et il ne restera que des termes qui contiendront
et
de sorte que l’on aura de nouveau une équation du premier ordre entre les variables
et
dont l’équation primitive donnera la valeur de
en
avec une nouvelle constante arbitraire
De cette manière, on aura enfin une valeur de
en
et
avec deux constantes arbitraires
et
qui satisfera à la proposée indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que particulière ; mais on pourra, par la méthode du no 83, trouver la valeur générale de
qui contiendra une fonction arbitraire.
En effet, si
![{\displaystyle f(x,y,z,a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74af796b97920b267e8cb1bbd1c75c3d125afb0)
est l’équation trouvée pour la détermination de
on fera
et l’on égalera à zéro la fonction prime de
prise relativement à la quantité
regardée comme seule variable ; on aura une équation qui servira à déterminer
et l’équation
![{\displaystyle f\left[(x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a86119b85e7e1b0e67ee5c879f6de4928df7f4)
sera l’équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre, la fonction marquée par la caractéristique
demeurant arbitraire.
J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux variables qui ne passent pas le premier ordre à l’analyse des fonctions d’une seule variable.
94. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple, supposons que l’équation proposée soit de cette forme
![{\displaystyle z'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,z_{_{'}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5edb518f4d8ba59c6e786edf8dacf012e801b31)
et
étant des constantes, et
une fonction quelconque donnée de
et de
En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,z_{_{'}})=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,z_{_{'}})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cba2126fbd23e431bd60f22774aab184d1e511)
donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,u)=\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+f(x,u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffaa8258cfab20fa89456cb91ace4ff392fb116)
et de là, en prenant les fonctions primes relativement à
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)=\mathrm {A} ,\quad \operatorname {F} '(z)=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ce4823f3b07508ee088d12e7af2942d96a9ec5)
de sorte que, en faisant ces substitutions dans les trois équations du premier ordre entre
la première d’entre elles deviendra
![{\displaystyle u'-\mathrm {A-B} u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede6324d251cb5d30cceaadc573c3a8ffbdf25bb)
laquelle ne contenant que la variable
qu’on suppose fonction de
aura une équation primitive indépendamment des deux autres. En effet, si l’on multiplie cette équation par
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, son premier membre deviendra la fonction prime de
![{\displaystyle ue^{-\mathrm {B} x}+{\frac {\mathrm {A} e^{-\mathrm {B} x}}{\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7b9a2c41e16a2e1ad6eb08ada620caf21f3eaa)
comme il est aisé de s’en assurer en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formules du Chapitre III.
Ainsi, comme le second membre est nul, on aura, en passant aux fonctions primitives,
![{\displaystyle \left(u+\mathrm {\frac {A}{B}} \right)e^{-\mathrm {B} x}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba201d5376eed470cc6067a331711ab0fdd0182)
étant une constante arbitraire. Cette équation donnera donc
![{\displaystyle u=-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d341c8284f25d2de56cd3d80a652bafa1b40b29)
et, substituant pour
sa valeur
on aura l’équation prime
![{\displaystyle z_{_{'}}=-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794ea034ef1679cf09f915d2425559e49ec6fc57)
dans laquelle,
étant la fonction prime de
relativement à
seul, on pourra regarder
comme constante et
comme fonction de
Ainsi, comme le second membre ne contient ni
ni
sa fonction primitive dans cette supposition sera simplement
![{\displaystyle \left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c296e0f1b65f38a8e8bda2bbb823b04956758cd7)
donc, passant des fonctions primes relatives à
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
seul aux fonctions primitives, on aura l’équation primitive
![{\displaystyle z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463dc3444fea90e3d8b8d8c5ba9e5b728d8cdc60)
étant une fonction quelconque de
qui peut être ajoutée comme constante, puisque sa fonction prime relativement à
est nulle.
De cette expression de
on tirera celles des deux fonctions primes
et
relatives à
et
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p',\\z_{_{'}}=&-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1af5d1e37a7af7c367b67ae09f9ecfd9b0a164)
ces valeurs étant substituées dans l’équation proposée, elle deviendra
![{\displaystyle a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} \left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34f543e0a9d0fb359f71bf1a5a501342f85a61f)
laquelle se réduit à
![{\displaystyle p'=\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98f2a1147c677c615f53fe7f5e88c873b218b6b)
où l’on voit que les
ont disparu, de manière qu’on pourra déterminer
en fonction de
seul.
Qu’on multiplie cette équation par
et qu’on suppose
![{\displaystyle e^{-\mathrm {B} x}f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)=\operatorname {F} '(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f3b7a904694d95c6a010333e9cf10ea83b3a45)
elle deviendra
![{\displaystyle \left(pe^{-\mathrm {B} x}\right)'=\operatorname {F} '(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3b00175f8bb148940fcb7f368ec9d1da784c2b)
et, passant aux fonctions primitives, on aura
![{\displaystyle pe^{-\mathrm {B} x}=\operatorname {F} (x)+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef4675cc5e04f61bba027d1f242f5282121d5ff)
étant une constante arbitraire. De là on tire
![{\displaystyle p=e^{\mathrm {B} x}\left[\operatorname {F} (x)+b\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c43fa9ced8fa0e7c28fefb02296bdb5c9c08331)
donc, substituant cette valeur dans l’expression de
trouvée ci-dessus, on aura
![{\displaystyle z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\left[\operatorname {F} (x)+b\right]e^{\mathrm {B} x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376852d57ee7177b7b26b85597acf26565cc1cd2)
Cette valeur de
n’est que particulière ; mais, comme elle contient les deux constantes arbitraires
et
elle donnera la valeur générale si l’on fait
et que l’on détermine
par l’équation
![{\displaystyle y+\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f0cd547166db963c84a5ebd44796e4ed4af307)
en désignant par
la fonction prime de
prise relativement à ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
Si
le calcul devient plus simple, et l’on trouvera, en faisant
les deux équations
![{\displaystyle z=(\mathrm {A} x+a)y+\operatorname {F} (x)+\varphi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b867b4d7a407c4706bda2608225e87e292c6be0a)
![{\displaystyle y+\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f0cd547166db963c84a5ebd44796e4ed4af307)
d’où il faudra éliminer ![{\displaystyle a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b803da9c45c1186883bde55107e9ccb102c92c6)
95. Cette dernière méthode est néanmoins sujette à quelques difficultés que nous avons résolues complétement dans la même Leçon XX déjà citée, où cette matière est envisagée d’une manière plus générale que nous ne l’avons fait ici.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce qui regarde les fonctions de plusieurs variables. Ceux qui connaissent le Calcul qu’on appelle aux différences partielles pourront aisément le rapprocher de l’analyse de ces fonctions et donner par là à cette analyse les développements qu’on y pourrait encore désirer.
Notre objet, dans cette première Partie, n’a été que d’établir la théorie des fonctions et des équations dérivées d’une manière purement analytique et indépendante de toute supposition ou considération étrangère.