III
LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES
12. Nous considérerons des suites infinies de nombres telles que
(1)
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On dit qu’une telle suite a pour limite le nombre
(ou encore que
tend vers
quand
croît indéfiniment) si, quels que soient les nombres
et
satisfaisant aux conditions
(2)
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,
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il y a un entier
tel que, pour
, on a
(3)
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.
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Nous donnerons quelquefois une portée plus grande à la notion de limite, en supposant que
peut être un élément quelconque de
(§ 11) ; ainsi,
peut être égal à
(auquel cas il n’y a pas lieu de considérer de nombre
), ou à
(auquel cas il n’y a pas de nombre
).
Nous dirons que la première définition correspond au sens ordinaire du mot limite, et que la deuxième définition correspond au sens étendu. Le mot limite, employé seul, sera entendu dans le sens ordinaire.
13. Suites non décroissantes. — Considérons le cas particulier où la suite (1) est non décroissante, c’est-à-dire où l’on a
![{\displaystyle u_{1}\leqslant u_{2}\leqslant \ldots \leqslant u_{n}\leqslant \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e96a36d01835a3db85a9922a9cbb8b32e5efea)
Soit
la borne supérieure de l’ensemble des nombres de la suite. Je dis que la suite a pour limite
(sens étendu). En effet,
, les
sont tous inférieurs à
; si
, l’ensemble des
contient au moins un nombre supérieur à
, tous les nombres de la suite qui suivent celui-là ont la même propriété ; donc la condition (3) est vérifiée quand
dépasse une certaine valeur.
Si les
sont tous inférieurs à un certain nombre
, on peut affirmer que la limite
est un nombre fini, au plus égal à
; dans le cas contraire,
est égal à
.
Suites non croissantes. — De la même manière, on reconnaît qu’une suite non croissante, soit
![{\displaystyle u_{1}\geqslant u_{2}\geqslant \ldots \geqslant u_{n}\geqslant \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699ae9764dc57b0441a5593b1c11510021db3ec0)
a pour limite sa borne inférieure
; si les
sont tous supérieurs à un certain nombre,
est fini ; dans le cas contraire,
est égal à
.
14. Reprenons maintenant le cas général d’une suite de nombres quelconques
(1)
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Désignons par
et
les bornes supérieure et inférieure de l’ensemble des nombres
![{\displaystyle u_{p},\;u_{p+1},\;u_{p+2},\;\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25bf57387f13c91dfa67fb2f7e85f39f2af8f57b)
On a
![{\displaystyle \mathrm {M} _{1}\geqslant \mathrm {M} _{2}\geqslant \ldots \geqslant \mathrm {M} _{p}\geqslant \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a72b57ff8744ef3869547121f44a264f4894c9)
![{\displaystyle m_{1}\leqslant m_{2}\leqslant \ldots \leqslant m_{p}\leqslant \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52711caaf1f660aeee9e97a255def274a8e2e57a)
Tous les nombres
et
appartiennent à
; soient
la borne inférieure des nombres
,
la borne supérieure des nombres
.
Je dis qu’on a
. Car si on avait
, il y aurait un nombre
tel que
; pour certaines valeurs de
, on aurait
, d’où
, ce qui est impossible.
est dit la plus grande limite de la suite (1),
sa plus petite limite. Le nombre
a les propriétés suivantes :
1o Si
, les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, inférieurs à
;
Cette double propriété ne peut appartenir qu’à un seul nombre ; elle caractérise donc le nombre
. De même,
possède la double propriété caractéristique suivante :
1o Si
, les nombres de (1) sont tous, à partir d’un certain rang, supérieurs à
;
15. Dans le cas où la suite (1) a une limite (sens étendu), soit
, je dis qu’on a
. En effet, si
et
sont tels que
, quand
surpasse une certaine valeur
, on a
![{\displaystyle \lambda '<u_{n}<\lambda ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc9f4e51ecfba1fe72dc6a9c77add76b5caee26)
,
d’où
![{\displaystyle \lambda '\leqslant m_{n}\leqslant \mathrm {M} _{n}\leqslant \lambda ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689b13b7c8f453b3c765ebde13bdeebbc29ef57f)
,
et aussi
![{\displaystyle \lambda '\leqslant m\leqslant \mathrm {M} \leqslant \lambda ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe1c838a586b216812148469f98a26df1f6fc6c)
.
On voit que
et
sont au moins égaux à tout nombre
, par suite aussi à la borne supérieure
de ces nombres ; de même ils sont au plus égaux à la borne inférieure
des nombres
. Donc
.
Réciproquement, supposons
. Posons
. Soit
,
. Quand
dépasse un certain entier
, on a
![{\displaystyle \mathrm {M} _{n}<\lambda ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fe2023a01dcbbe29a5d3beea7a6e3b08f1ea62)
,
![{\displaystyle m_{n}>\lambda '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932729c5b2806e81a5ced8f9337bf8d1f304c136)
,
et, par suite,
![{\displaystyle \lambda '<u_{n}<\lambda ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc9f4e51ecfba1fe72dc6a9c77add76b5caee26)
ce qui montre que la suite (1) a pour limite
.
Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (sens étendu) est qu’on ait
, et cette valeur est alors la limite.
On reconnaît ainsi que la limite, si elle existe, est unique.
La condition nécessaire et suffisante pour que la suite (1) ait une limite (finie) est que les nombres
et
soient égaux à un même nombre fini.
16. Si la suite
a pour limite
, la suite
a pour limite
. Car, soient
et
tels que
; on a (§ 8)
; donc, quand
dépasse une certaine valeur
, on a
, d’où résulte
; cela exprime que
tend vers
.
Dans les mêmes conditions, la suite
a pour limite
. En effet :