Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité/Section IV

René Baire

Théorie des nombres irrationnels, des limites et de la continuité

Vuibert et Nony, 1905 (p. 22-24).

IV

VALEURS APPROCHÉES D’UN NOMBRE

17. Soit $\lambda$ un nombre, soit $\alpha$ un nombre rationnel positif. Cherchons à comparer $\lambda$ à tous les nombres $n\alpha$, ($n$ étant un entier positif, nul ou négatif), soient

(1)

$\ldots ,\quad -2\alpha ,\quad -\alpha ,\quad 0,\quad \alpha ,\quad 2\alpha ,\quad 3\alpha ,\quad \ldots .$

Prenons d’abord deux nombres rationnels $a,$ $b$, tels que ${a<\lambda <b}$ ; prenons un entier $p$ inférieur au nombre rationnel ${\frac {a}{\alpha }}$, un entier $q$ supérieur au nombre rationnel ${\frac {b}{\alpha }}$ ; on a

$p\alpha <a<\lambda <b<q\alpha$.

Bornons-nous à considérer les nombres $n\alpha$ de la suite (1) pour lesquels ${p\leqslant n\leqslant q}$ ; ils sont en nombre fini, le premier est inférieur à $\lambda$, le dernier est supérieur à $\lambda$ ; parmi ceux qui sont inférieurs ou égaux à $\lambda$, prenons le plus grand, soit $n\alpha$ ; le nombre suivant ${(n+1)\alpha }$, est supérieur à $\lambda$. Ainsi, on a

(2)

$n\alpha \leqslant \lambda <(n+1)\alpha$,

et il y a une seule valeur entière qui, mise à la place de $n$, vérifie les conditions (2). Les nombres $n\alpha ,(n+1)\alpha$, ainsi définis, sont les valeurs approchées à $\alpha$ près, par défaut et par excès, de $\lambda$.

18. Si on remplace $\alpha$ par un nombre $\alpha '$ tel que ${\alpha '={\frac {\alpha }{k}}}$, $k$ étant entier et ${>1}$, on reconnaît que dans la suite qui remplace (1), soit

$\ldots ,\quad -2\alpha ',\quad -\alpha ',\quad 0,\quad \alpha ',\quad 2\alpha ',\quad \ldots ,$

figurent les termes de (1), en particulier $n\alpha$ et $(n+1)\alpha$, de sorte que la valeur approchée par défaut à $\alpha '$ près de $\lambda$, $n'\alpha '$, est au moins égale à $n\alpha$ ; de même, $(n'+1)\alpha '$ est au plus égal à $(n+1)\alpha$.

Prenons une suite de nombres rationnels positifs $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{n},$ $\ldots$ tels que les quotients ${\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}}},$ ${\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{3}}},$ $\ldots ,$ ${\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{n+1}}}$ soient des entiers supérieurs à $1$ : $k_{1},$ $k_{2},$ $\ldots ,$ $k_{n},$ $\ldots .$ ${\bigg (}$On peut prendre par exemple ${\alpha _{n}={\frac {1}{10^{n}}}}{\bigg )}$. Dans ces conditions, $\alpha$ tend vers 0 quand $n$ croît indéfiniment, car

$\alpha _{n}={\frac {\alpha _{1}}{k_{1}k_{2}\ldots k_{n-1}}}<{\frac {\alpha _{1}}{2^{n-1}}}$

finit par être inférieur à tout nombre positif donné.

En désignant par $u_{n}$ et $v_{n}$ les valeurs approchées de $\lambda$ à $\alpha _{n}$ près, par défaut et par excès, on a

(1)	$u_{1}\leqslant u_{2}\leqslant \ldots \leqslant u_{n}\leqslant \ldots ,$
(2)	$v_{1}\geqslant v_{2}\geqslant \ldots \geqslant v_{n}\geqslant \ldots ,$
(3)	$u_{n}\leqslant \lambda \leqslant v_{n}$,
(4)	$v_{n}-u_{n}=\alpha _{n}$.

Si on désigne par $\mu$ la borne supérieure des $u_{n}$, par $\nu$ la borne inférieure des $v_{n}$, on déduit de (3) :

(5)

$\mu \leqslant \lambda \leqslant \nu$.

Je dis qu’on ne peut avoir ${\mu <\nu }$, car alors soient deux nombres rationnels $a$, $b$, tels que

$\mu <a<b<\nu$ ;

prenons $n$ assez grand pour que

$\alpha _{n}<b-a$.

On a

$u_{n}<a<b<v_{n}$,

d’où

$v_{n}-u_{n}>b-a>\alpha _{n}$,

ce qui contredit (4).

Ainsi on a

$\mu =\nu$,

d’où

$\lambda =\mu =\nu$.

Ainsi $\lambda$ est la borne supérieure des nombres $u_{n}$, et la borne inférieure des nombres $v_{n}$ ; c’est aussi, par conséquent, la limite commune des deux suites (1) et (2). Donc :

Tout nombre peut être considéré comme la limite d’une suite de nombres rationnels non décroissante ou non croissante.

Si $\lambda$ est irrationnel, aucun nombre $u_{n}$ n’est égal à $\lambda$.

19. Si $\lambda$ est un nombre, et si $\varepsilon$ est un nombre positif, on peut trouver deux nombres rationnels $a$ et $b$ tels que

$a<\lambda <b$,$b-a<\varepsilon$.

En effet, prenons d’abord un nombre positif rationnel ${\eta <\varepsilon }$.

Si $\lambda$ est rationnel, on prendra ${a=\lambda -{\frac {\eta }{2}}}$, ${b=\lambda +{\frac {\eta }{2}}}$.

Si $\lambda$ est irrationnel, on prendra pour $a$ et $b$ les valeurs approchées de $\lambda$ à $\eta$ près, par défaut et par excès.

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