XIII
DÉFINITION DES FONCTIONS .
50. La fonction , étant un entier positif, considérée dans l’intervalle , est continue et croissante (d’après le calcul des inégalités étendu) ; elle est égale à pour , et tend vers quand tend vers . On désigne la fonction inverse de par la notation
;
c’est la racine e arithmétique du nombre positif . On voit que c’est une fonction continue et croissante de dans l’intervalle ; elle est égale à pour , et tend vers en même temps que .
Si est une fonction des variables , continue et non négative dans un champ, est définie dans ce champ et est continue, d’après le principe du § 38.
51. D’après la théorie des radicaux arithmétiques et des exposants fractionnaires, nul et négatifs, on sait, en supposant défini (), comment on définit , étant un nombre rationnel quelconque ; est ainsi une fonction d’argument rationnel, définie dans l’intervalle ; on démontre qu’elle a les propriétés suivantes :
1o
|
;
|
|
2o
|
;
|
|
3o tend vers 1 si prend une suite de valeurs rationnelles tendant vers 0 ;
4o Si , est croissante ; si , est décroissante.
Je dis que la fonction d’argument rationnel est uniformément continue dans tout intervalle borné . Il s’agit de satisfaire à l’inégalité
,
qui peut s’écrire
,
Or, si est un nombre positif supérieur à et , comme est compris entre ces deux valeurs, tout revient à résoudre l’inégalité
,
ou
.
Or, cette inégalité est vérifiée quand on a
,
étant un certain nombre positif, d’après la propriété 3o.
Ainsi le principe d’extension s’applique à la fonction d’argument rationnel et donne naissance à une fonction que nous continuons à appeler , définie pour toutes les valeurs réelles de , continue, croissante si , décroissante si , égale à si . C’est la fonction exponentielle.
Si , comme tend vers en même temps que si est entier, tend vers si tend vers . De même, tend vers 0 si tend vers . Le cas de s’étudie de même.
52. Les fonctions suivantes des deux variables et : et sont toutes deux continues, car si on a deux suites : , , , , tendant vers , et , , , , tendant vers , on a, d’une part
,
,
d’où
;
d’autre part
,
d’où
.
Les fonctions continues et , étant égales quand et sont rationnels, sont aussi égales quand et sont quelconques, d’après le § 39. Donc on a toujours
.
53. La fonction de , , où est un nombre rationnel, est continue ; car si est positif, soit , est fonction continue (§ 50) de , qui est elle-même fonction continue de ; si a est négatif, soit , on a , est fonction continue, donc aussi.
54. Quand et sont rationnels, on a
(1)
|
.
|
|
Étendons ce résultat au cas où et sont quelconques.
1o Supposons rationnel, étant quelconque ; formons une suite de nombres rationnels , , , , tendant vers . On a
et par suite, d’après le § 53 ( étant rationnel),
.
D’autre part, on a, et étant rationnels,
;
donc
.
2o Supposons et quelconques ; soit une suite de nombres rationnels , , , , tendant vers .
On a, d’après la continuité de la fonction exponentielle,
.
D’après le cas 1o, on a
.
Donc
.
L’égalité (1) est donc vraie dans tous les cas.
55. La fonction ( et ) étant définie dans l’intervalle , et étant, soit croissante, soit décroissante, a une fonction inverse bien définie. On la désigne par (logarithme de dans le système de base ). Ainsi, il y a équivalence entre
,
Des propriétés fondamentales de l’exponentielle
,
,
résultent les propriétés fondamentales des logarithmes :
,
.
La fonction logarithmique est définie pour les valeurs positives de , continue dans tout intervalle qui ne contient pas 0. Si , elle est croissante, tend vers quand tend vers 0, vers en même temps que . Si , elle est décroissante, tend vers quand tend vers 0, vers quand tend vers .
56. La fonction des variables et est définie lorsqu’on a , étant quelconque.
Je dis que c’est une fonction continue ; en effet, soit un nombre quelconque et ; soit .
On a
.
Si deux suites , , , , et , , , tendent respectivement vers et (les et étant positifs), on a, en posant ,
,
,
.
L’égalité montre la continuité de la fonction .
En particulier, si , supposé fixe, est égal à un nombre irrationnel , on reconnaît la continuité de la fonction de : ( étant positif).
La fonction , si et sont des fonctions de variables , est, dans un champ où est positif, une fonction de ; si et sont fonctions continues de , il en est de même de .