Théorie du mouvement des corps célestes/L1S3

Carl Friedrich Gauss

Théorie du mouvement des corps célestes

Traduction par Edmond Dubois.
1864 (p. 105-164).

TROISIÈME SECTION.

RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

78

La comparaison de deux ou plusieurs positions d’un corps céleste, soit dans son orbite, soit dans l’espace, fournit une telle abondance de propositions élégantes, qu’elles rempliraient facilement le volume entier. Notre but ne tend pas assurément à épuiser ce sujet fécond, mais principalement à en retirer des ressources importantes pour la solution du grand problème de la détermination des orbites inconnues, d’après les observations ; c’est pourquoi, en négligeant les questions qui seraient trop étrangères à notre but, nous développerons le plus soigneusement toutes celles qui, de quelque manière, peuvent y conduire. Nous faisons précéder ces recherches de quelques propositions trigonométriques auxquelles il faudra très-souvent avoir recours, puisqu’elles sont plus habituellement employées.

I. En désignant par $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C}$ des angles quelconques, on a

${\begin{aligned}\sin \mathrm {A} \sin(\mathrm {C} -\mathrm {B} )+\,\sin \mathrm {B} \sin(\mathrm {A} -\mathrm {C} )+\sin \mathrm {C} \sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )&=0,\\\cos \mathrm {A} \sin(\mathrm {C} -\mathrm {B} )+\cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {A} -\mathrm {C} )+\cos \mathrm {C} \sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )&=0.\end{aligned}}$

II. Si deux quantités $p,\,\mathrm {P}$ doivent être déterminées par des équations telles que

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}$

ceci s’obtiendra généralement par le secours des formules

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )-a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )-a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {H}$ est un angle arbitraire. De là se déduiront (art. 14, II) l’angle $(\mathrm {H} -\mathrm {P} ),$ et $p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\,;$ et de là $\mathrm {P}$ et $p$. La plupart du temps il est ajouté la condition que $p$ doit être une quantité positive, d’où se trouve écartée l’ambiguïté qui résulte de la détermination de l’angle $\mathrm {H} -\mathrm {P}$ par sa tangente ; mais en l’absence de cette condition, l’incertitude sera levée arbitrairement. Pour la plus grande facilité du calcul, il sera convenable de prendre l’angle auxiliaire $\mathrm {H} =\mathrm {A}$ ou $=\mathrm {B}$ ou $={\frac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} ).$ Dans le premier cas, les équations, pour la détermination de $\mathrm {P}$ et $p,$ seront

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {b-a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}$

Dans le second cas, les équations seront entièrement analogues ; mais dans le troisième on aura

${\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b+a}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {b-a}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}}.\end{aligned}}$

Et alors, si l’on introduit l’angle auxiliaire $\zeta$, dont la tangente $={\frac {a}{b}}$, on trouvera $\mathrm {P}$ par la formule

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )$,

et ensuite $p$ par l’une des formules précédentes, dans lesquelles

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(b+a)&=\sin(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\sin(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}},\\[1ex]{\frac {1}{2}}(b-a)&=\cos(45^{\circ }\!+\zeta ){\sqrt {\frac {ab}{\sin 2\zeta }}}\\&={\frac {a\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\sin \zeta {\sqrt {2}}}}={\frac {b\cos(45^{\circ }\!+\zeta )}{\cos \zeta {\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}$

III. Si $p$ et $\mathrm {P}$ doivent être déterminées d’après les équations

${\begin{aligned}p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a,\\p\cos(\mathrm {B} -\mathrm {P} )&=b,\end{aligned}}$

tout ce qui est exposé dans II peut immédiatement s’appliquer, pourvu qu’à la place de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ on mette partout $90^{\circ }\!+\mathrm {A} ,$ $90^{\circ }\!+\mathrm {B} \,;$ mais pour que l’application en soit plus facile, nous ne craignons pas d’ajouter les formules développées. Les formules générales seront

${\begin{alignedat}{5}p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\sin(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=-&&b\cos(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}+{}&a\cos(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\\p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\cos(\mathrm {H} -\mathrm {P} )&=&&b\sin(\mathrm {H} -\mathrm {A} )&{}-{}&a\sin(\mathrm {H} -\mathrm {B} ),\end{alignedat}}$

de manière que pour $\mathrm {H} =\mathrm {A}$ elles se changent en

${\begin{aligned}p\sin(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&={\frac {a\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )-b}{\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos(\mathrm {A} -\mathrm {P} )&=a.\end{aligned}}$

Pour $\mathrm {H} =\mathrm {B}$ elles prennent une forme semblable ; mais pour $\mathrm {H} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )$ elles deviennent

${\begin{aligned}p\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a-b}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\\p\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)&={\frac {a+b}{2\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )}},\end{aligned}}$

de sorte que par l’introduction de l’angle auxiliaire $\zeta$, dont la tangente $={\frac {a}{b}},$ il vient

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} -\mathrm {P} \right)=\operatorname {tang} (\zeta -45^{\circ }\!)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {B} -\mathrm {A} )$.

Enfin, si nous désirons déterminer $p$ immédiatement au moyen de $a$ et de $b,$ sans faire le calcul préalable de l’angle $\mathrm {P}$, nous avons la formule

$p\sin(\mathrm {B} -\mathrm {A} )={\sqrt {\left[a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\mathrm {B} -\mathrm {A} )\right]}}$,

aussi bien dans le problème actuel que dans II.

79

Pour la détermination complète d’une section conique dans son plan, trois quantités sont demandées : la position du périhélie, l’excentricité et le demi-paramètre. Si ces quantités doivent être déterminées d’après les quantités données qui en dépendent, il faut qu’il y ait assez de données pour pouvoir former trois équations indépendantes les unes des autres. Tout rayon vecteur donné en grandeur et en position fournit une équation ; c’est pourquoi trois rayons donnés en grandeur et en position sont nécessaires pour la détermination d’une orbite. Mais si l’on en a deux seulement, un élément même doit être déjà donné, ou au moins quelque autre quantité à l’aide de laquelle il soit permis d’établir une troisième équation. De là surgit une variété de problèmes que nous traiterons maintenant successivement.

Soient $r$, $r'$ deux rayons vecteurs qui font avec une droite arbitraire menée par le Soleil, dans le plan de l’orbite, les angles $\mathrm {N}$, $\mathrm {N} '$ selon la direction du mouvement ; soit ensuite $\Pi$ l’angle que fait, avec la même droite, le rayon vecteur mené au périhélie, de telle sorte que les anomalies vraies $\mathrm {N} -\Pi$, $\mathrm {N} '-\Pi$ répondent aux rayons vecteurs $r$, $r'$ ; soient enfin $e$ l’excentricité, $p$ le demi-paramètre. On obtient alors les équations

${\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\end{aligned}}$

desquelles, si l’une des quantités $p$, $e$, $\Pi$ est en outre donnée, on pourra déterminer les deux autres.

Supposons d’abord que le demi-paramètre $p$ soit donné, et il est évident que la détermination des quantités $e,$ $\Pi ,$ au moyen des équations

${\begin{aligned}e\cos(\mathrm {N} -\Pi )&={\frac {p}{r}}-1,\\e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&={\frac {p}{r'}}-1,\end{aligned}}$

peut s’effectuer d’après la règle du lemme III de l’article précédent. Nous avons donc

${\begin{aligned}\operatorname {tang} (\mathrm {N} -\Pi )=\operatorname {cotang} (\mathrm {N} '-\mathrm {N} )-{\frac {r(p-r')}{r'(p-r)\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}},\\\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)={\frac {(r'-r)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{r'+r-{\dfrac {2rr'}{p}}}}.\end{aligned}}$

80

Si l’angle $\Pi$ est donné, $p$ et $e$ seront déterminés au moyen des équations

${\begin{aligned}p&={\frac {rr'\left[\cos(\mathrm {N} -\Pi )-\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\\e&={\frac {r'-r}{r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )}},\end{aligned}}$

On peut réduire le dénominateur commun dans ces formules, à la forme $a\cos(\mathrm {A} -\Pi ),$ de telle sorte que $a$ et $\mathrm {A}$ soient indépendantes de $\Pi .$ En désignant en effet par $\mathrm {H}$ un angle arbitraire, nous avons

${\begin{alignedat}{5}r\cos(\mathrm {N} -\Pi )-&{}r'\cos(\mathrm {N} '-\Pi )&=&\\{}&{\big [}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\cos(\mathrm {H} -\Pi )\\-{}&{\big [}r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )&{}-{}&r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} ){\big ]}&&\sin(\mathrm {H} -\Pi ),\end{alignedat}}$

et par suite,

$=a\cos(\mathrm {A} -\Pi )$,

si $a$ et $\mathrm {A}$ sont déterminées par les équations

${\begin{aligned}r\cos(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\cos(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\\r\sin(\mathrm {N} -\mathrm {H} )-r'\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {H} )&=a\sin(\mathrm {A} -\mathrm {H} ),\end{aligned}}$

De cette manière il vient.

${\begin{aligned}p&={\frac {2rr'\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} +{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right)}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}},\\e&={\frac {r'-r}{a\cos(\mathrm {A} -\mathrm {B} )}}.\end{aligned}}$

Ces formules sont principalement commodes toutes les fois que $p$ et $e$ sont calculés pour plusieurs valeurs de $\Pi \,;$ $r,$ $r',$ $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} '$ ne changeant pas. — Comme pour le calcul des quantités auxiliaires $a,$ $\mathrm {A}$ il est permis de prendre l’angle $\mathrm {H}$ arbitrairement, on pourra alors poser $\mathrm {H} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {N} +\mathrm {N} '),$ d’après quoi les formules se changent en celles-ci :

${\begin{aligned}(r'-r)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\cos \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right),\\(r+r')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )&=-a\sin \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right).\end{aligned}}$

L’angle $\mathrm {A}$ étant donc déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )$,

on a aussitôt

$e=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\cos(\mathrm {A} -\Pi )}}$.

Le calcul du logarithme de l’expression ${\frac {r'+r}{r'-r}}$ pourra se simplifier par une méthode déjà souvent expliquée.

81

Si l’excentricité est donnée, on trouve l’angle $\Pi$ par l’équation

$\cos(\mathrm {A} -\Pi )=-{\frac {\cos \left(\mathrm {A} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)}{e\cos {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}$,

après que l’angle auxiliaire $\mathrm {A}$ a été déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \left(\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} -{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '\right)={\frac {r'+r}{r'-r}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )$.

L’ambiguïté qui existe dans la détermination de l’angle $\mathrm {A} -\Pi$, par son cosinus, résulte de la nature du problème, de manière qu’on peut satisfaire à la question par deux solutions différentes ; il faudra décider, d’autre part, laquelle devra être adoptée et laquelle rejetée ; dans ce but, la valeur au moins approchée de $\Pi$ devra déjà être connue. — Une fois $\Pi$ trouvé, on calculera $p$ par les formules

$p=r\left[1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi )\right]=r'\left[1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi )\right]$,

ou par celle-ci :

$p={\frac {2rr'e\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )\sin \left({\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\dfrac {1}{2}}\mathrm {N} -\Pi \right)}{r'-r}}$

82

Supposons enfin, que nous connaissions les trois rayons vecteurs $r$, $r',$ $r''$ qui font, avec la droite menée arbitrairement par le Soleil dans le plan de l’orbite, les angles $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} ',$ $\mathrm {N} ''.$ Nous aurons alors, en conservant les mêmes notations, les équations (I) :

${\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\\{\frac {p}{r''}}&=1+e\cos(\mathrm {N} ''-\Pi ),\end{aligned}}$

qui permettront d’obtenir $p$, $\Pi$, $e$ de plusieurs manières. Si l’on veut calculer la quantité $p$ avant les autres, on doit multiplier les trois équations (I) respectivement par $\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '),$ $-\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ),$ $\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ),$ et l’on aura, d’après le lemme 1, art. 78, en ajoutant les produits,

$p={\frac {\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{{\dfrac {1}{r}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-{\dfrac {1}{r'}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+{\dfrac {1}{r''}}\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}$.

Cette expression mérite d’être considérée plus attentivement. Le numérateur devient évidemment,

${\begin{aligned}2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''&-\mathrm {N} ')\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\\&\quad -2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\mathrm {N} \right)\\&=4\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).\end{aligned}}$

En posant, ensuite,

${\begin{alignedat}{5}r'r''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} ')&{}={}&n,\\rr''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n',\\rr'&\sin(\mathrm {N} '&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n'',\end{alignedat}}$

il est évident que ${\frac {1}{2}}n$, ${\frac {1}{2}}n'$, ${\frac {1}{2}}n''$ sont les aires des triangles compris entre le second rayon vecteur et le troisième, entre le premier et le troisième, entre le premier et le second. De là on apercevra facilement, dans la nouvelle formule

$p={\frac {4\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).rr'r''}{n-n'+n''}}$

que le dénominateur est le double de l’aire du triangle compris entre les extrémités des trois rayons vecteurs, c’est-à-dire entre les trois positions du corps céleste dans l’espace. Toutes les fois que ces positions sont peu écartées les unes des autres, cette aire est toujours une quantité très-petite et certainement du troisième ordre si $\mathrm {N} '-\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '$ sont considérées comme de petites quantités du premier ordre. On conclut de là en même temps, que si une ou plusieurs des quantités $r,$ $r',$ $r'',$ $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} ',$ $\mathrm {N} ''$ sont affectées d’erreurs même légères, il pourra en résulter, sur la détermination de $p$, une erreur très-grande ; c’est pourquoi cette méthode-ci n’admet jamais une grande précision, à moins que les trois lieux héliocentriques ne soient distants l’un de l’autre d’un intervalle considérable.

Enfin, du moment que le demi-paramètre $p$ sera trouvé, $e$ et $\Pi$ se détermineront par la combinaison de deux quelconques des équations (I), d’après la méthode de l’art. 79.

83

Si nous aimons mieux commencer la résolution du même problème par le calcul de l’angle $\Pi$, nous emploierons la méthode suivante. Nous retranchons, dans les équations (I) la troisième de la seconde, la troisième de la première, la seconde de la première ; nous obtenons ainsi les trois nouvelles équations (II) :

${\begin{aligned}{\frac {{\dfrac {1}{r'}}-{\dfrac {1}{r''}}}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')}}={\frac {e}{p}}\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right),\\{\frac {{\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {1}{r''}}}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )}}={\frac {e}{p}}\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right),\\{\frac {{\dfrac {1}{r}}-{\dfrac {1}{r'}}}{2\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}={\frac {e}{p}}\sin \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi \right).\end{aligned}}$

Deux quelconques de ces équations donneront, d’après le lemme II, art. 78, $\Pi$ et ${\frac {e}{p}}$, d’où l’on obtiendra $e$ et $p$ par l’une ou l’autre des équations (I). Si nous adoptons la troisième solution enseignée dans l’art. 78, II, la combinaison de la première équation avec la troisième produit l’algorithme suivant : l’angle auxiliaire $\zeta$ sera déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} \zeta ={\frac {{\dfrac {r'}{r}}-1}{1-{\dfrac {r'}{r''}}}}.{\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')}{\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}$,

et l’on aura

$\operatorname {tang} \left({\frac {1}{4}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{4}}\mathrm {N} ''-\Pi \right)=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\zeta )\operatorname {tang} {\frac {1}{4}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ).$

En changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième, on obtiendra deux autres solutions entièrement analogues à celle-ci.

Comme en employant cette méthode les formules relatives à ${\frac {e}{p}}$ se résolvent moins promptement, il vaudra mieux déduire $e$ et $p$ des deux équations (I) par la méthode de l’art. 80. Enfin, l’ambiguïté dans la détermination de $\Pi$ par la tangente de l’angle ${\frac {1}{4}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '+{\frac {1}{4}}\mathrm {N} ''-\Pi$ devra être ici écartée par la considération que $e$ est une quantité positive ; il est en effet évident, que $e$ acquière des valeurs opposées si l’on prend pour $\Pi$ des valeurs différant entre elles de 180°. Mais le signe de $p$ ne dépend pas de cette ambiguïté et sa valeur ne peut être prise négativement, à moins que les trois points donnés n’appartiennent à un arc d’hyperbole opposé au Soleil, cas contraire aux lois de la nature, et auquel nous n’avons pas ici égard.

Les quantités que l’on obtiendrait, d’après l’application de la première méthode de l’art. 78, II, après de pénibles substitutions, peuvent être, dans le cas actuel, déterminées plus commodément de la manière suivante : Que l’on multiplie la première des équations II par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '),$ la troisième par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ),$ et que l’on retranche le dernier produit du premier. Alors, par l’application exacte

du lemme I de l’art. 78^[1], on obtiendra l’équation

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r'}}\!-\!{\frac {1}{r''}}\right)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} ')-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}\!-\!{\frac {1}{r'}}\right)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '\!-\!\mathrm {N} )\\={\frac {e}{p}}\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} )\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right).\end{aligned}}$

En combinant cette équation avec la seconde des équations II, $\Pi$ et ${\frac {e}{p}}$ seront déterminés ; et alors $\Pi$, par la formule.

${\begin{aligned}&\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right)\\[0ex]&\qquad ={\frac {{\dfrac {r'}{r}}-{\dfrac {r'}{r''}}}{\left(1\!-\!{\dfrac {r'}{r''}}\right)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} )-\left({\dfrac {r'}{r}}\!-\!1\right)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '\!-\!\mathrm {N} )}}.\end{aligned}}$

De là aussi, dérivent deux autres formules entièrement analogues en changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième.

84

Puisqu’on peut déterminer l’orbite entière, au moyen de deux rayons vecteurs donnés de grandeur et de position, avec un élément de l’orbite, on pourra aussi, avec ces données, déterminer le temps pendant lequel le corps céleste se meut d’un rayon vecteur à l’autre, si à la vérité nous négligeons la masse de l’astre ou si nous la regardons comme connue : nous nous en tiendrons à la première hypothèse, à laquelle la seconde est facilement réduite. De là, réciproquement, il est évident que deux rayons vecteurs donnés de grandeur et de position avec le temps pendant lequel le corps céleste décrit l’espace compris, déterminent l’orbite entière. Mais ce problème, qui doit être considéré comme très-important dans la théorie du mouvement des corps célestes, n’est pas si facilement résolu, puisque l’expression du temps en fonction des éléments est transcendante et de plus assez compliquée. Il est, pour cela, le plus digne d’être traité avec tout le soin possible ; c’est pourquoi, nous espérons qu’il ne sera pas désagréable au lecteur que, outre la solution enseignée plus loin, solution qui parait ne rien laisser à désirer, nous ayons considéré comme devant aussi être arrachée à l’oubli, celle dont nous nous sommes fréquemment servis, avant que la première ne se soit offerte à nous. Il est toujours favorable d’attaquer par plusieurs voies un problème plus difficile, et de ne pas mépriser la bonne quoiqu’on préfère la meilleure. Nous entamons la question par l’exposition de cette méthode plus ancienne.

85

Nous conserverons aux lettres $r$, $r'$, $\mathrm {N}$, $\mathrm {N} '$, $p$, $e$, $\Pi$ la même signification que précédemment. Nous désignerons par $\Delta$ la différence $\mathrm {N} '-\mathrm {N} ,$ et par $t,$ le temps pendant lequel le corps céleste se transporte de la première position à la seconde. Il est maintenant évident, que si l’on connaît la valeur approchée de l’une des quantités $p,$ $e,$ $\Pi ,$ on pourra aussi en déduire la valeur des deux autres, et ensuite, par les méthodes développées dans la première section, le temps correspondant au mouvement de l’astre pour aller de la première position à la seconde. Si ce temps se trouve égal à l’intervalle proposé $t,$ la valeur supposée de $p,$ $e$ ou $\Pi$ est exacte et l’orbite est déjà trouvée : si cela n’est pas, le calcul recommencé avec une autre valeur un peu différente de la première, montrera quelle variation, dans la valeur du temps, correspond à une petite variation dans la valeur de $p,$ $e,$ ou $\Pi \,;$ de là, par une simple interpolation, on déterminera la valeur corrigée. Si le calcul est de nouveau recommencé avec cette valeur, le temps qu’on en déduira s’accordera entièrement avec le proposé, ou au moins, en différera d’une très-petite quantité, de telle sorte certainement, qu’on pourra atteindre, par de nouvelles corrections, un accord aussi parfait que le permettent les tables logarithmiques et trigonométriques.

Le problème se réduit donc à ceci ; — que, pour le cas où l’orbite est entièrement inconnue, nous sachions déterminer une valeur au moins approchée de l’une quelconque des quantités $p,$ $e,$ $\Pi .$ Nous donnerons maintenant une méthode par laquelle la valeur de $p$ est obtenue avec tant de précision que, pour de petites valeurs de $\Delta ,$ elle n’exige aucune nouvelle correction ; et par suite, l’orbite entière est déterminée, par un premier calcul, avec toute la précision que permettent les tables vulgaires. Mais autrement, il ne faudra presque jamais recourir à cette méthode, si ce n’est pour des valeurs médiocres de $\Delta ,$ parce qu’on ne peut guère entreprendre la détermination d’une orbite entièrement inconnue, à cause de la complication trop embarrassée du problème, qu’avec des observations peu écartées les unes des autres, ou plutôt telles qu’elles répondent à un mouvement héliocentrique peu considérable.

86

En désignant par $\rho$ le rayon vecteur indéterminé ou variable qui répond à l’anomalie vraie $v-\Pi ,$ l’aire du secteur décrit par le corps céleste dans le temps $t$, sera ${\frac {1}{2}}\int \rho ^{2}dv$, cette intégrale étant prise depuis $v=\mathrm {N}$ jusqu’à $v=\mathrm {N} ',$ et par suite, en prenant $k$ avec sa signification de l’art. 6, on a $kt{\sqrt {\overset {}{p}}}=\int \rho ^{2}dv.$ Il est actuellement évident, d’après les formules développées par Cotes, que si $\varphi x$ exprime une fonction quelconque de $x,$ des valeurs de plus en plus approchées de l’intégrale $\int \varphi x.dx,$ prise depuis $x=u$ jusqu’à $x=u+\Delta$ s’obtiendront par les formules

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\Delta \left[\varphi u+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{6}}\Delta \left[\varphi u+4\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{2}}\Delta \right)+\varphi (u\!+\!\Delta )\right],\\&{\frac {1}{8}}\Delta \left[\varphi u+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {1}{3}}\Delta \right)+3\varphi \left(u\!+\!{\frac {2}{3}}\Delta \right)+\varphi (u+\Delta )\right]+{\text{etc.}},\,{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Il suffira, pour notre but, de s’arrêter aux deux premières formules.

Par la première, nous avons donc, dans notre problème,

$\int \rho ^{2}dv={\frac {1}{2}}\Delta (r^{2}+r'^{2})={\frac {\Delta rr'}{\cos 2\omega }}$,

si nous posons

${\frac {r'}{r}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )$.

C’est pourquoi, la première valeur approchée de ${\sqrt {\overset {}{p}}}$ sera ${\frac {\Delta rr'}{kt\cos \omega }}\,;$ que nous posons $=3\alpha$.

Par la seconde formule, nous avons plus exactement

$\int \rho ^{2}dv={\frac {1}{6}}\Delta (r^{2}+r'^{2}+4\mathrm {R} ^{2})$,

en désignant par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur qui correspond à l’anomalie intermédiaire ${\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\Pi .$

En exprimant maintenant $p,$ en fonction de $r,$ $\mathrm {R} ,$ $r',$ $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\Delta ,$ $\mathrm {N} +\Delta ,$ d’après les formules données dans l’article 82, nous trouvons

$p={\frac {4\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta \sin {\dfrac {1}{2}}\Delta }{\left({\dfrac {1}{r}}+{\dfrac {1}{r'}}\right)\sin {\dfrac {1}{2}}\Delta -{\dfrac {1}{\mathrm {R} }}\sin \Delta }},$

et de là

${\begin{aligned}{\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta }{\mathrm {R} }}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)-{\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta }{p}}\\&={\frac {\cos \omega }{\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}-{\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta }{p}}.\end{aligned}}$

En posant donc,

${\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{\cos \omega }}=\delta ,$

il vient

$\mathrm {R} ={\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{\cos \omega \left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)}},$

d’où l’on obtient la seconde valeur approchée de ${\sqrt {\overset {}{p}}}$,

${\sqrt {\overset {}{p}}}=\alpha +{\frac {2\alpha \cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\Delta \cos ^{2}2\omega }{\cos ^{2}\omega \left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)^{2}}}=\alpha +{\frac {\varepsilon }{\left(1-{\dfrac {\delta }{p}}\right)^{2}}}$,

si nous posons

$2\alpha \left({\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}\Delta \cos 2\omega }{\cos \omega }}\right)^{2}=\varepsilon$.

C’est pourquoi, en écrivant $\pi$ à la place de ${\sqrt {\overset {}{p}}},$ on déterminera $\pi$ par l’équation

$(\pi -\alpha )\left(1-{\frac {\delta }{\pi ^{2}}}\right)^{2}=\varepsilon$,

qui convenablement développée s’élèverait au cinquième degré. Posons $\pi =q+\mu ,$ de telle sorte que $q$ soit une valeur approchée de $\pi ,$ et $\mu$ une très-petite quantité dont on peut négliger le carré et les puissances supérieures ; on trouve par cette substitution,

$(q-\alpha )\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)^{2}+\mu \left[\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)^{2}+{\frac {4\delta (q-\alpha )}{q^{3}}}\left(1-{\frac {\delta }{q^{2}}}\right)\right]=\varepsilon$

ou

$\mu ={\frac {\varepsilon q^{5}-(q^{2}-\alpha q)(q^{2}-\delta )^{2}}{(q^{2}-\delta )(q^{3}+3\delta q-4\alpha \delta )}},$

et par suite,

$\pi ={\frac {\varepsilon q^{5}-(q^{2}-\delta )(\alpha q^{2}+4\delta q-5\alpha \delta )q}{(q^{2}-\delta )(q^{3}+3\delta q-4\alpha \delta )}}.$

Nous avons maintenant, dans notre problème, la valeur approximative de $\pi ,$ à savoir $3\alpha ,$ qui étant substituée à la place de $q$ dans la formule précédente, donne la valeur corrigée

$\pi ={\frac {243\alpha ^{4}\varepsilon +3\alpha (9\alpha ^{2}-\delta )(9\alpha ^{2}+7\delta )}{(9\alpha ^{2}-\delta )(27\alpha ^{2}+5\delta )}}.$

En posant donc,

${\frac {\delta }{27\alpha ^{2}}}=\beta ,$  ${\frac {\varepsilon }{(1-3\beta )\alpha }}=\gamma ,$

la formule prend cette forme-ci :

$\pi ={\frac {\alpha (1+\gamma +21\beta )}{1+5\beta }},$

et toutes les opérations nécessaires à la solution du problème sont contenues dans les cinq formules :

I.

${\frac {r'}{r}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega ).$

II.

${\frac {\Delta rr'}{3kt\cos 2\omega }}=\alpha .$

III.

${\frac {2\sin ^{2}{\dfrac {1}{4}}\Delta {\sqrt {rr'\cos 2\omega }}}{27\alpha ^{2}\cos \omega }}=\beta .$

IV.

${\frac {2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\Delta \cos ^{2}2\omega }{(1-3\beta )\cos ^{2}\omega }}=\gamma .$

V.

${\frac {\alpha (1+\gamma +21\beta )}{1+5\beta }}={\sqrt {\overset {}{p}}}.$

S’il plaît de diminuer quelque chose de la précision de ces formules, on pourra obtenir des expressions encore plus simples. En faisant, en effet, $\cos \omega$ et $\cos 2\omega =1,$ et en développant la valeur de ${\sqrt {\overset {}{p}}}$ en série suivant les puissances croissantes de $\Delta ,$ on obtient, en négligeant les quatrièmes puissances et celles plus élevées,

${\begin{aligned}{\sqrt {\overset {}{p}}}=\alpha \left(3-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}+{\frac {\Delta ^{2}{\sqrt {rr'}}}{18\alpha ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

dans lesquelles $\Delta$ doit être exprimé en parties du rayon. C’est pourquoi, en faisant ${\frac {\Delta rr'}{kt}}={\sqrt {p'}},$ on a

VI.

$p=p'\left(1-{\frac {1}{3}}\Delta ^{2}+{\frac {\Delta ^{2}{\sqrt {rr'}}}{3p'}}\right).$

De la même manière, en développant ${\sqrt {\overset {}{p}}}$ en série, suivant les puissances croissantes de $\sin \Delta ,$ on obtient, en posant ${\frac {rr'\sin \Delta }{kt}}={\sqrt {p''}},$

VII.

${\sqrt {\overset {}{p}}}=\left(1+{\frac {\sin ^{2}\Delta {\sqrt {rr'}}}{6p''}}\right){\sqrt {p''}},$

ou

VIII.

$p=p''+{\frac {1}{3}}\sin ^{2}\Delta {\sqrt {rr'}}.$

Les formules VII et VIII s’accordent avec celles que l’illustre Euler a développées dans le « Theoria motus planetarum et cometarum, » et la formule VI avec celle qui a été employée dans les « Recherches et calculs sur la vraie orbite elliptique de la comète de 1769, » p. 80.

87

Les exemples suivants éclairciront la pratique des méthodes précédentes, et permettront en même temps d’estimer le degré de précision.

I. Soient $\log r=0,3307640,$ $\log r'=0.3222239,$ $\Delta =7^{\circ }34'53''\!73=27293''\!,73,$ $t=21,93391$ jours. On trouve ici $\omega =-33'47''\!,90,$ d’où le calcul ultérieur se fait de la manière suivante :

	$\log \Delta .........$	4,4360629		${\tfrac {1}{2}}$	$rr'\cos 2\omega .....$	0,3264519
	$\log rr'........$	0,6529879		$2$	$\log \sin {\tfrac {1}{4}}\Delta ....$	7,0389972
$\mathrm {c^{t}}$	$\log 3k\,........$	5,9728722			$\log {\tfrac {2}{27}}........$	8,8696662
$\mathrm {c^{t}}$	$\log t..........$	8,6588840		$\mathrm {c^{t}}$	$\log \alpha ^{2}........$	0,5582180
$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos 2\omega .....$	0,0000840		$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos \omega ......$	0,0000210
	$\log \alpha .........$	9,7208910			$\log \beta .........$	6,7933543
$\beta =...$ 0,0006213757
	$\log 2\,.........$	0,3010300
$2$	$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\Delta ....$	9,9980976		$1+\gamma +21\beta =$ 3,0074471
$2$	$\log \cos 2\omega .....$	9,9998320			$\log \;..........$	0,4781980
$\mathrm {c^{t}}$	$\log(1-3\beta )...$	0,0008103			$\log \alpha .........$	9,7208910
$2\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos 2\omega .....$	0,0000420		$\mathrm {c^{t}}$	$\log(1+5\beta )...$	9,9986528
	$\log \gamma ..........$	0,2998119			$\log {\sqrt {\overset {}{p}}}.......$	0,1977418
$\gamma ={}$ 1,9943982					$\log p.........$	0,3954836
$21\beta ={}$ 0,0130489

Cette valeur de $\log p$ diffère de la vraie valeur, à peine d’une unité du septième ordre : la formule VI, dans cet exemple, donne $\log p=0,3954822\,;$ la formule VII donne $3954780\,;$ enfin, la formule VIII, $0,3954754.$

II. Soient $\log r=0,4282792,$ $\log r'=0,4062033,$ $\Delta =62^{\circ }55'16''\!,64,$ $t=259,88477$ jours. On déduit de là $\omega =-1^{\circ }27'20''\!,14,$ $\log \alpha =9,7482348,$ $\beta =0,04535216,$ $\gamma =1,681127,$ $\log {\sqrt {\overset {}{p}}}=0,2198027,$ $\log p=0,4396054,$ qui est inférieur à la vraie valeur, de 183 unités du septième ordre.

La vraie valeur est en effet, dans cet exemple, $0,4396237\,;$ par la formule VI on trouve $0,4368730\,;$ par la formule VII, $0,4159824\,;$ enfin, par la formule VIII, $0,4051103\,;$ les deux dernières valeurs diffèrent tellement de la vérité qu’elles ne peuvent même tenir lieu d’approximations.

88

L’exposition de la seconde méthode fournira l’occasion de développer un grand nombre de relations nouvelles et élégantes ; comme elles prennent différentes formes suivant les diverses espèces de sections coniques, il sera convenable de traiter chacune d’elles en particulier ; nous commencerons par l’ELLIPSE.

Qu’à deux positions de l’astre correspondent les anomalies vraies $v,\,v'$ (dont $v$ répond à l’époque antérieure), les anomalies excentriques $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} '$ et les rayons vecteurs $r,$ $r'\,;$ soient ensuite $p$ le demi-paramètre, $e=\sin \varphi$ l’excentricité, $a$ le demi grand axe, $t$ le temps pendant lequel l’astre passe de la première position à la seconde ; posons enfin, $v'-v=2f,$ $v'+v=2\mathrm {F} ,$ $\mathrm {E} '\!-\!\mathrm {E} =2g,$ $\mathrm {E} '\!+\!\mathrm {E} =2\mathrm {G} ,$ $a\cos \varphi ={\frac {p}{\cos \varphi }}=b.$ Ces conventions faites, nous déduisons facilement, par la combinaison des formules V, VI, art. 8, les équations suivantes :

[1]

$b\sin g=\sin f{\sqrt {rr'}},$

[2]

$b\sin \mathrm {G} =\sin \mathrm {F} {\sqrt {rr'}},$

$p\cos g=\left[\cos {\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}v'.(1\!+\!e)+\sin {\frac {1}{2}}v\sin {\frac {1}{2}}v'.(1\!-\!e)\right]{\sqrt {rr'}}$

ou

[3]

$p\cos g=(\cos f+e\cos \mathrm {F} ){\sqrt {rr'}},$

et de même

[4]

$p\cos \mathrm {G} =(\cos \mathrm {F} +e\cos f){\sqrt {rr'}}.$

De la combinaison des équations [3], [4], on obtient ensuite

[5]

$\cos f{\sqrt {rr'}}=(\cos g-e\cos \mathrm {G} )a,$

[6]

$\cos \mathrm {F} {\sqrt {rr'}}=(\cos \mathrm {G} -e\cos g)a.$

Au moyen de la formule III, art. 8, nous obtenons

[7]

$r'-r=2ae\sin g\sin \mathrm {G} .$

$r'+r=2a-2ae\cos g\cos \mathrm {G} =2a\sin ^{2}g+2\cos f\cos g{\sqrt {rr'}},$

d’où

[8]

$a={\frac {r'+r-2\cos f\cos g{\sqrt {rr'}}}{2\sin ^{2}g}}.$

Posons

[9]

${\frac {{\sqrt {\dfrac {r'}{r}}}+{\sqrt {\dfrac {r}{r'}}}}{2\cos f}}=1+2l,$

et l’on aura

[10]

$a={\frac {2\left(l+\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}g}}.$

et aussi

${\sqrt {\overset {}{a}}}=\pm {\frac {\sqrt {2\left(l+\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}}{\sin g}},$

dans laquelle il faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que $\sin g$ sera positif ou négatif. La formule XII de l’art. 8 nous donne l’équation

${\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&=\mathrm {E} '-e\sin \mathrm {E} '-\mathrm {E} +e\sin \mathrm {E} \\&=2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} \\&=2g-\sin 2g+2\cos f\sin g{\frac {\sqrt {rr'}}{a}}.\end{aligned}}$

Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de $a$ sa valeur [10], et qu’on pose par abréviation

[11]

${\frac {kt}{2^{\frac {3}{2}}\cos ^{\frac {3}{2}}\!f\,(rr')^{\frac {3}{2}}}}=m$,

on trouve, toutes réductions convenablement faites,

[12]

$\pm m=\left(l+\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {1}{2}}\!+\left(l+\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {3}{2}}\left({\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{3}g}}\right)$

dans laquelle le signe supérieur ou le signe inférieur doit être placé devant $m$, suivant que $\sin g$ est positif ou négatif.

Toutes les fois que le mouvement héliocentrique est compris entre 180° et 360°, ou plus généralement, toutes les fois que $\cos f$ est négatif, la quantité $m$ déterminée par la formule [11] devient imaginaire. Pour éviter cela, nous adopterons dans ce cas là, à la place des équations [9] et [11], les suivantes :

[9∗]

${\frac {{\sqrt {\dfrac {r'}{r}}}+{\sqrt {\dfrac {r}{r'}}}}{2\cos f}}=1-2\mathrm {L}$,

[11∗]

${\frac {kt}{2^{\frac {3}{2}}(-\cos f)^{\frac {3}{2}}(rr')^{\frac {3}{2}}}}=\mathrm {M}$,

d’où nous obtiendrons, à la place des formules [10] et (12]

[10∗]

$a={\dfrac {-2\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)\cos f{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}g}}.$

[12∗]

$\;\;\pm \mathrm {M} =-\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {1}{2}}\!\!+\!\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)^{\frac {3}{2}}\!\left(\!{\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{3}g}}\!\right)$

dans laquelle, le signe à prendre est déterminé de la même manière que précédemment.

89

Un double travail se présente maintenant à nous : premièrement, que de l’équation transcendante [12], puisqu’elle n’admet pas de solution directe, nous déterminions l’inconnue $g$ le plus commodément ; secondement, que de l’angle $g$ trouvé nous déduisions les éléments eux-mêmes. Avant d’entreprendre ces questions, effectuons une transformation particulière au moyen de laquelle le calcul des quantités auxiliaires $l$ ou $\mathrm {L}$ est promptement achevé, et en outre plusieurs formules développées plus loin sont réduites à une forme plus élégante.

En introduisant en effet l’angle auxiliaire $\omega ,$ devant être déterminé par la relation

${\sqrt[{4}]{\frac {r'}{r}}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega ),$

il vient

${\begin{aligned}{\sqrt {\frac {r'}{r}}}+{\sqrt {\frac {r}{r'}}}&=2+\left[\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )-\operatorname {cotang} (45^{\circ }\!+\omega )\right]^{2}\\&=2+4\operatorname {tang} ^{2}{2\omega }\,;\end{aligned}}$

d’où l’on a

${\begin{aligned}l&={\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}&\mathrm {L} &=-{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}-{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}\end{aligned}}.$

90

Nous considérerons d’abord le cas où, par la résolution de l’équation [12], on obtient pour $g$ une valeur qui n’est pas trop grande, de telle sorte que ${\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{3}g}}$ puisse être développé en série suivant les puissances croissantes de $\sin {\frac {1}{2}}g.$ Le numérateur de cette expression que nous désignons par $\mathrm {X} ,$ devient

$={\frac {32}{3}}\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-{\frac {16}{5}}\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g-{\frac {4}{7}}\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g-\dots \mathrm {etc.}$

et le dénominateur

$=8\sin ^{3}{\frac {1}{2}}g-12\sin ^{5}{\frac {1}{2}}g+3\sin ^{7}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.}$

d’où $\mathrm {X}$ prend la forme

${\frac {4}{3}}+{\frac {8}{5}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g+{\frac {64}{35}}\sin ^{4}{\frac {1}{2}}g+\dots \mathrm {etc.}$

Mais pour mettre en évidence la loi des coefficients de cette série, différentions l’équation

$\mathrm {X} \sin ^{3}g=2g-\sin 2g\,;$

d’où l’on déduit

$3\mathrm {X} \cos g\sin ^{2}g+\sin ^{3}g{\frac {d\mathrm {X} }{dg}}=2-2\cos 2g=4\sin ^{2}g.$

En posant en outre

$\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g=x,$

on a

${\frac {dx}{dg}}={\frac {1}{2}}\sin g,$

d’où l’on conclut

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\frac {8-6\mathrm {X} \cos g}{\sin ^{2}g}}={\frac {4-3\mathrm {X} (1-2x)}{2x(1-x)}},$

et par conséquent

$(2x-2x^{2}){\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=4-(3-6x)\mathrm {X} .$

Si donc, nous posons

$\mathrm {X} ={\frac {4}{3}}(1+\alpha x+\beta x^{2}+\gamma x^{3}+\delta x^{4}+\dots \mathrm {etc.} ),$

nous obtenons l’équation

${\begin{aligned}&{\frac {8}{3}}\left[\alpha x+(2\beta -\alpha )x^{2}+(3\gamma -2\beta )x^{3}+(4\delta -3\gamma )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \right]\\={}&(8-4\alpha )x+(8\alpha -4\beta )x^{2}+(8\beta -4\gamma )x^{3}+(8\gamma -4\delta )x^{4}+\,\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

qui doit être identique.

De là, nous concluons

$\alpha ={\frac {6}{5}},$  $\beta ={\frac {8}{7}}\alpha ,$  $\gamma ={\frac {10}{9}}\beta ,$  $\delta ={\frac {12}{11}}\gamma \dots \mathrm {etc.} ,$

d’où l’on déduit la loi de la progression. Nous avons donc

$\mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}x^{4}+\mathrm {etc.}$

On peut transformer cette série en la fraction continue suivante :

$\mathrm {X} ={\cfrac {\cfrac {4}{3}}{1-{\cfrac {{\cfrac {6}{5}}x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {7.10}{11.13}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {3.6}{13.15}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {9.12}{15.17}}x}{1-\mathrm {etc.} }}}}}}}}}}}}}}}}$

La loi suivant laquelle se forment les coefficients ${\frac {6}{5}},$ $-{\frac {2}{5.7}},$ ${\frac {5.8}{7.9}},$ ${\frac {1.4}{9.11}},$ etc., est évidente ; le $n$^ième terme de cette série, si $n$ est pair, est $={\frac {n-3n}{(2n+1)(2n+3)}},$ et si $n$ est impair, $={\frac {(n+2)(n+5)}{(2n+1)(2n+3)}}\,;$ un développement plus étendu de cette question serait trop étranger notre sujet.

Si nous posons maintenant

${\cfrac {x}{1+{\cfrac {{\cfrac {2}{5.7}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {5.8}{7.9}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {1.4}{9.11}}x}{1-\,\mathrm {etc.} ,}}}}}}}}=x-\xi$

on a

$\mathrm {X} ={\frac {1}{{\dfrac {3}{4}}-{\dfrac {9}{10}}(x-\xi )}},$  et  $\xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }},$

ou

$\xi ={\frac {\sin ^{2}g-{\dfrac {3}{4}}(2g-\sin 2g)\left(1-{\dfrac {6}{5}}\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}g\right)}{{\dfrac {9}{10}}(2g-\sin 2g)}}.$

Le numérateur de cette expression est une quantité du septième ordre, le dénominateur du troisième ordre, et par suite $\xi$ du quatrième, pourvu que $g$ soit considéré comme une quantité du premier ordre, ou $x$ comme une quantité du second ordre. On conclut de là que cette dernière formule n’est pas convenable pour la détermination numérique exacte de $\xi ,$ toutes les fois que $g$ n’exprime pas un angle très-considérable ; mais alors, les formules suivantes sont convenablement employées, formules qui ne diffèrent l’une de l’autre que par le changement des numérateurs dans les coefficients fractions, et dont la première se déduit facilement au moyen de la valeur supposée de $x-\xi$^[2].

[13]

$\xi ={\cfrac {{\cfrac {2}{35}}x^{2}}{1+{\dfrac {2}{35}}x-{\cfrac {{\cfrac {40}{63}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {4}{99}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {70}{143}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {18}{195}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {108}{255}}x}{1-\,{\text{etc.}}}}}}}}}}}}}}$

ou,

$\xi ={\cfrac {{\cfrac {2}{35}}x^{2}}{1-{\dfrac {18}{35}}x-{\cfrac {{\cfrac {4}{63}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {40}{99}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {18}{143}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {70}{195}}x}{1-{\cfrac {{\cfrac {40}{255}}x}{1-\,{\text{etc.}}}}}}}}}}}}}}$

Dans la troisième table annexée à cet ouvrage, se trouvent calculées avec sept décimales, les valeurs correspondantes de $\xi$ pour toutes les valeurs de $x,$ de millième en millième, depuis 0 jusqu’à 0,3. Cette table montre, au premier aspect, l’exiguïté de la valeur de $\xi$ pour des valeurs médiocres de $g\,;$ ainsi, pour $\mathrm {E} '\!-\!\mathrm {E} =10^{\circ }$ ou $g=5^{\circ },$ ce qui donne $x=0,00195,$ on a $\xi =0,0000002$. Il eût été superflu de continuer cette table au delà puisque le dernier terme $x=0,3$ répond à $g=66^{\circ }25',$ ou $\mathrm {E} '\!-\!\mathrm {E} =132^{\circ }50'.$ Enfin, la troisième colonne qui contient les valeurs de $\xi$ correspondant aux valeurs négatives de $x,$ sera expliquée plus loin, en son lieu.

91

L’équation 12, dans laquelle relativement au cas dont il s’agit il convient évidemment d’adopter le signe supérieur, prend, en introduisant la quantité $\xi ,$ la forme

$m=(l+x)^{\frac {1}{2}}+{\frac {(l+x)^{\frac {3}{2}}}{{\dfrac {3}{4}}-{\dfrac {9}{10}}(x-\xi )}}.$

En posant donc, ${\sqrt {(l+x)}}={\frac {m}{y}},$ et

[14]

${\frac {m^{2}}{{\dfrac {5}{6}}+l+\xi }}=h,$

on a, après toutes les réductions convenables,

[15]

$h={\frac {(y-1)y^{2}}{y+{\dfrac {1}{9}}}}.$

C’est pourquoi, si l’on peut regarder $h$ comme une quantité connue, $y$ s’en déduira à l’aide d’une équation du troisième degré, et l’on aura ensuite,

[16]

$x={\frac {m^{2}}{y^{2}}}-l.$

Maintenant, quoique $h$ contienne une quantité $\xi$ encore inconnue, on pourra, dans une première approximation, la négliger et prendre pour valeur de $h,$ ${\frac {m^{2}}{{\frac {5}{6}}+l}}$ puisque certainement, dans le cas que nous considérons, $\xi$ est toujours une quantité extrêmement petite.

De là, par les équations 15 et 16 on obtiendra $y$ et $x\,;$ de $x$ on déduira $\xi ,$ au moyen de la table III, et avec cette quantité on trouvera par la formule 14, la valeur de $h$ corrigée, avec laquelle recommençant le même calcul, on obtiendra les valeurs exactes de $y$ et $x.$ Le plus souvent ces valeurs diffèrent si peu des précédentes que $\xi$ pris de nouveau dans la table, n’est pas différent de la première valeur ; s’il en était autrement, il faudrait recommencer de nouveau le calcul jusqu’à ce qu’il ne déterminât plus aucun changement. Dès que la quantité $x$ sera trouvée, on aura $g$ par la formule,

$\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g=x.$

Ces principes se rapportent au premier cas dans lequel $\cos f$ est positif ; dans l’autre cas, où il est négatif, nous posons

${\sqrt {\mathrm {L} -{\overset {}{x}}}}={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }},$

et

[14∗]

${\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {L} -{\dfrac {5}{6}}-\xi }}=\mathrm {H} ,$

d’où l’équation 12^∗, convenablement réduite, se change en celle-ci,

[15∗]

$\mathrm {H} ={\frac {(\mathrm {Y} +1)\mathrm {Y} ^{2}}{\mathrm {Y} -{\dfrac {1}{9}}}}.$

On pourra donc déterminer $\mathrm {Y}$ d’après $\mathrm {H} ,$ au moyen de cette équation cubique, d’où l’on déduira ensuite $x$ par l’équation

[16∗]

$x=\mathrm {L} -{\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {Y} ^{2}}}.$

Dans une première approximation, on pourra prendre pour $\mathrm {H} ,$ la valeur

${\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {L} -{\dfrac {5}{6}}}}\,;$

avec la valeur de $x$ déduite de là, par le moyen des équations 15^∗ et 16^∗, on extraira $\xi$ de la table III ; de là, par la formule 14^∗ on aura la valeur corrigée de $\mathrm {H}$ avec laquelle on recommencera le calcul de la même manière. Enfin, l’angle $g$ sera déterminé, d’après $x,$ de la même manière que dans le premier cas.

92

Quoique dans certains cas, les équations 15, 15^∗ puissent avoir trois racines réelles, il ne sera néanmoins jamais douteux laquelle dans notre problème devra être adoptée. Puisqu’en effet $h$ est évidemment une quantité positive, on conclut facilement de la théorie des équations, que l’équation 15 a une seule racine positive avec deux imaginaires ou deux négatives. Maintenant, puisque $y={\frac {m}{\sqrt {l+{\overset {}{x}}}}}$ doit être nécessairement une quantité positive, il est évident qu’il ne reste ici aucune incertitude.

Mais, en ce qui regarde l’équation 15^∗, nous observons d’abord que $\mathrm {L}$ est nécessairement plus grand que $1\,;$ ce qui est facilement démontré, si l’équation donnée dans l’art. 89 est mise sous la forme

$\mathrm {L} =1+{\frac {\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{-\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{-\cos f}}.$

En substituant ensuite, dans l’équation 12^∗, $\mathrm {Y} {\sqrt {\mathrm {L} -{\overset {}{x}}}}$ à la place de $\mathrm {M} ,$ il vient

$\mathrm {Y} +1=(\mathrm {L} -x)\mathrm {X} ,$

et, par suite,

$\mathrm {Y} \!+\!1>(1\!-\!x)\mathrm {X} >{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{3.5}}x+{\frac {4.6}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8}{3.5.7.9}}x^{3}+...>{\frac {4}{3}},$

et par conséquent, $\mathrm {Y} >{\frac {1}{3}}.$ En posant, donc, $\mathrm {Y} ={\frac {1}{3}}+\mathrm {Y} ',$ $\mathrm {Y} '$ sera nécessairement une quantité positive ; par là aussi, l’équation 15^∗ se change en celle-ci

$\mathrm {Y} '^{3}+2\mathrm {Y} '^{2}+(1-\mathrm {H} )\mathrm {Y} '+{\frac {4}{27}}-{\frac {2}{9}}\mathrm {H} =0,$

qui ne peut avoir plusieurs racines positives, ainsi que le prouve facilement la théorie des équations. On conclut de là que l’équation 15^∗ ne peut avoir qu’une racine plus grande que ${\frac {1}{3}}$^[3] qu’il faudra, les autres étant négligées, adopter dans notre problème.

93

Pour rendre la solution de l’équation 15 la plus facile possible, pour les cas qui se présentent le plus fréquemment dans la pratique, nous ajoutons à la fin de cet ouvrage une table particulière (la table II) qui donne, pour les valeurs de $h$ comprises depuis $0$ jusqu’à $0,6$, les logarithmes correspondants de $y^{2}$ calculés avec le plus grand soin jusqu’à la septième décimale. L’argument $h$ est donné de dix-millième en dix-millième depuis $0$ jusqu’à $0,04$ ; par ce fait, les différences secondes de $\log y^{2}$ sont rendues insensibles, de sorte que dans cette partie de la table il suffit assurément d’une simple interpolation. Mais comme la table serait devenue beaucoup trop volumineuse, si elle avait eu partout le même développement, on a dû ne la donner depuis $h=0,04$ jusqu’à la fin, que de millième en millième ; c’est pourquoi il faudra, dans cette dernière partie, avoir égard aux différences secondes, si nous désirons à la vérité éviter des erreurs de quelques unités dans la septième décimale. Au reste, les petites valeurs de $h$ sont, dans la pratique, de beaucoup les plus fréquentes.

Toutes les fois que $h$ sort des limites de la table, la solution de l’équation 15, et aussi celle de l’équation 15^∗, pourront être effectuées sans difficulté par la méthode indirecte ou par d’autres méthodes assez connues. Au reste, il ne sera pas étranger à la question d’avertir qu’une petite valeur de $g$ ne peut exister avec une valeur négative de $\cos f$, si ce n’est dans les orbites très-excentriques, ainsi que cela ressortira spontanément de l’équation 20, donnée plus loin dans l’art. 95^[4].

94

La manière de traiter les équations 12, 12^∗, expliquée dans les art. 91, 92, 93, est basée sur la supposition que l’angle $g$ n’est pas trop grand, et certainement inférieur à la limite 66° 25′, au delà de laquelle nous n’avons pas étendu la table III. Toutes les fois que cette hypothèse n’est pas exacte, ces équations ne réclament pas d’artifices aussi grands ; car elles pourront toujours, sans changement de forme, être résolues par tâtonnements en toute sûreté et très-commodément. Sûrement, en effet, puisque la valeur de l’expression

${\frac {2g-\sin 2g}{\sin ^{2}g}}$,

dans laquelle $2g$ doit évidemment être exprimé en parties du rayon, peut être calculée pour les grandes valeurs de $g,$ avec toute précision, par le moyen des tables trigonométriques, ce qui ne peut certainement avoir lieu tant que $g$ est un petit angle ; commodément, puisque les lieux héliocentriques distants l’un de l’autre d’un aussi grand intervalle ne sont presque jamais employés pour la détermination d’une orbite encore entièrement inconnue, tandis que par le moyen des équations 1 ou 3 de l’art. 88, une valeur approchée de $g$ se déduit presque sans travail d’une connaissance quelconque de l’orbite ; enfin, d’une valeur approchée de $g,$ on obtiendra toujours, par un petit nombre d’essais, une valeur corrigée satisfaisant avec toute la précision désirable à l’équation 12 ou 12^∗. Au reste, toutes les fois que deux lieux héliocentriques donnés embrassent plus d’une révolution entière, il importe de se rappeler que pour l’anomalie excentrique tout autant de révolutions complètes auront été achevées, de telle sorte que les angles $\mathrm {E} '-\mathrm {E} ,$ $v'-v$ tomberont tous les deux entre 0 et 360° ou entre les mêmes multiples de la circonférence entière, et par suite $f$ et $g$ entre 0 et 180° ou entre les mêmes multiples de la demi-circonférence. Si enfin, l’orbite était entièrement inconnue, et qu’on ne pût même établir si le corps céleste, en allant du premier rayon vecteur au second, a décrit une partie seulement de la révolution, ou, en outre, une ou plusieurs révolutions, notre problème pourrait admettre quelquefois plusieurs solutions différentes ; toutefois nous ne nous arrêterons pas à ce cas qui ne se rencontre presque jamais dans la pratique.

95

Nous passons à une seconde question, à savoir la détermination des éléments d’après l’angle $g$ trouvé. Le demi-grand axe est ici obtenu immédiatement par les formules 10, 10^∗, à la place desquelles peuvent aussi être employées les suivantes :

[17]

$a={\frac {2m^{2}\cos f{\sqrt {rr'}}}{y^{2}\sin ^{2}\!g}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4y^{2}rr'\cos ^{2}\!f\sin ^{2}\!g}},$

[17∗]

$a={\frac {-2\mathrm {M} ^{2}\cos f{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {Y} ^{2}\sin ^{2}\!g}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4\mathrm {Y} ^{2}rr'\cos ^{2}\!f\sin ^{2}\!g}}.$i

Le demi-petit axe $b={\sqrt {{\overset {}{a}}p}}$ est déterminé au moyen de l’équation 1 qui, étant combinée avec les précédentes, donne

[18]

$p=\left({\frac {yrr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2},$

[18∗]

$p=\left({\frac {\mathrm {Y} rr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}.$

Maintenant, le secteur elliptique compris entre deux rayons vecteurs et un arc d’ellipse est ${\frac {1}{2}}kt{\sqrt {\overset {}{p}}},$ mais le triangle compris entre les mêmes rayons vecteurs et la corde $={\frac {1}{2}}rr'\sin 2f\,;$ c’est pourquoi le rapport du secteur au triangle est comme $y:1$ ou comme $\mathrm {Y} :1.$ Cette remarque est d’une très-grande importance et éclaire en même temps très-bien les équations 12 et 12^∗ ; de là, il est en effet évident que dans l’équation 12 les parties $m,$ $(l+x)^{\frac {1}{2}},$ $\mathrm {X} (l+x)^{\frac {3}{2}},$ et dans l’équation 12^∗ les parties $\mathrm {M} ,$ $(\mathrm {L} -x)^{\frac {1}{2}},$ $(\mathrm {L} -x)^{\frac {3}{2}},$ sont respectivement proportionnelles à l’aire du secteur (compris entre les rayons vecteurs et l’arc d’ellipse), à l’aire du triangle (entre les rayons vecteurs et la corde), à l’aire du segment (entre l’arc et la corde), puisque la première aire est évidemment égale à la somme ou à la différence des deux autres, selon que $v'-v$ tombe entre 0 et 180° ou entre 180° et 360°. Dans le cas où $v'-v$ est plus grand que 360°, il faut concevoir l’aire de l’ellipse entière ajoutée à l’aire du secteur et aussi à l’aire du segment autant de fois que le mouvement contient de révolutions entières.

Puisque $b=a\cos \varphi ,$ on trouve ensuite, par la combinaison des équations 1, 10, 10^∗,

[19]

$\cos \varphi ={\frac {\sin g\operatorname {tang} f}{2\left(l+\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}g\right)}},$

[19∗]

$\cos \varphi ={\frac {-\sin g\operatorname {tang} f}{2\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}g\right)}}\,;$

d’où, en substituant à la place de $l$ et $\mathrm {L}$ leurs valeurs de l’art. 89, il vient

[20]

$\cos \varphi ={\frac {\sin f\sin g}{1-\cos f\cos g+2\operatorname {tang} ^{2}\!2\omega }}.$

Cette formule n’est pas propre au calcul exact de l’excentricité toutes les fois que celle-ci a une petite valeur ; mais de cette relation on déduit facilement la formule suivante, qui est plus convenable,

[21]

$\operatorname {tang} ^{2}\!{\frac {1}{2}}\varphi ={\frac {\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)+\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f+g)+\operatorname {tang} ^{2}2\omega }},$

à laquelle on peut aussi donner la forme suivante (en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\cos ^{2}2\omega$),

[22]

$\operatorname {tang} ^{2}\!{\frac {1}{2}}\varphi ={\frac {\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)+\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)\sin ^{2}2\omega }{\sin ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f+g)+\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(f-g)\sin ^{2}2\omega }}.$

On pourra toujours déterminer l’angle $\varphi ,$ avec toute précision, au moyen de l’une ou l’autre formule (en employant si cela convient, les angles auxiliaires dont les tangentes sont ${\frac {\operatorname {tang} 2\omega }{\sin {\frac {1}{2}}(f-g)}},$ ${\frac {\operatorname {tang} 2\omega }{\sin {\frac {1}{2}}(f+g)}},$ pour la première, ou ${\frac {\sin 2\omega }{\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(f-g)}},$ ${\frac {\sin 2\omega }{\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(f+g)}}$ pour la dernière).

Pour la détermination de l’angle $\mathrm {G} ,$ on peut employer la formule suivante qui se déduit naturellement de la combinaison des équations 5, 7 et de celle qui suit non numérotée,

[23]

$\operatorname {tang} \mathrm {G} ={\frac {(r'-r)\sin g}{(r'+r)\cos g-2\cos f{\sqrt {rr'}}}},$

de laquelle, en introduisant $\omega ,$ on trouve facilement

[24]

$\operatorname {tang} \mathrm {G} ={\frac {\sin g\sin 2\omega }{\cos ^{2}\!2\omega \sin {\dfrac {1}{2}}(f\!-\!g)\sin {\dfrac {1}{2}}(f\!+\!g)+\sin ^{2}\!2\omega \cos g}}.$

L’ambiguïté qui se présente ici est facilement éludée par le secours de l’équation 7 qui apprend que l’on doit prendre $\mathrm {G}$ entre 0 et 180°, ou entre 180° et 360°, selon que le numérateur dans ces deux formules est positif ou négatif.

En combinant l’équation 3 avec celles-ci, qui découlent immédiatement de l’équation II art. 8,

${\begin{aligned}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r'}}&={\frac {2e}{p}}\sin f\sin \mathrm {F} ,\\{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}&={\frac {2}{p}}+{\frac {2e}{p}}\cos f\cos \mathrm {F} ,\end{aligned}}$

la formule suivante se déduira sans peine,

[25]

$\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {(r'-r)\sin f}{2\cos g{\sqrt {rr'}}-(r'+r)\cos f}},$

de laquelle, en introduisant l’angle $\omega ,$ il vient

[26]

$\operatorname {tang} \mathrm {F} ={\frac {\sin f\sin 2\omega }{\cos ^{2}\!2\omega \sin \!{\frac {1}{2}}(f\!-\!g)\sin \!{\frac {1}{2}}(f\!+\!g)-\sin ^{2}\!2\omega \cos f}}.$

L’ambiguïté est ici écartée comme précédemment. Aussitôt que les angles $\mathrm {F}$ et $\mathrm {G}$ auront été trouvés, on aura $v=\mathrm {F} -f,$ $v'=\mathrm {F} +f,$ d’où la position du périhélie sera connue ; et aussi $\mathrm {E} =\mathrm {G} -g,$ $\mathrm {E} '=\mathrm {G} +g.$ Enfin, le mouvement moyen pendant le temps $t,$ sera

${\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}=2g-2e\cos \mathrm {G} \sin g\,;$

l’accord de ces expressions servira à confirmer le calcul ; l’époque de l’anomalie moyenne correspondant à l’instant compris entre les deux époques proposées sera $\mathrm {G} -e\sin \mathrm {G} \cos g,$ laquelle pourra à volonté, être transportée à tout autre instant.

Il est encore un peu plus commode de calculer les anomalies moyennes pour les deux époques données par les formules $\mathrm {E} -e\sin \mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} '-e\sin \mathrm {E} ',$ et d’employer leur différence, en la comparant à la quantité ${\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}},$ à confirmer l’exactitude du calcul,

96

Les équations développées dans l’article précédent jouissent en vérité de tant de justesse qu’il semble qu’on ne peut rien désirer de plus. Néanmoins, on peut obtenir quelques autres formules au moyen desquelles les éléments de l’orbite sont déterminés avec encore beaucoup plus d’élégance et de facilités ; mais la démonstration de ces formules est un peu plus détournée.

Nous reprenons, de l’art. 8, les équations suivantes que nous distinguons, pour plus de commodité, par des nombres nouveaux :

I.

$\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r}{a}}}=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {(1+e)}},$

II.

$\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {(1-e)}},$

III.

$\sin {\frac {1}{2}}v'{\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} '{\sqrt {(1+e)}},$

IV.

$\cos {\frac {1}{2}}v'{\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} '{\sqrt {(1-e)}}.$

Nous multiplions I par $\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g),$ II par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g),$ d’où nous obtenons, les produits étant ajoutés,

${\begin{aligned}\cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1+e)}}\\&+\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +g){\sqrt {(1-e)}}\end{aligned}}$

ou, à cause de

${\sqrt {(1+e)}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi +\sin {\frac {1}{2}}\varphi ,$  ${\sqrt {(1-e)}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi -\sin {\frac {1}{2}}\varphi .$

$\cos {\frac {1}{2}}(f+g){\sqrt {\frac {r}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!+\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).$

Exactement de la même manière, en multipliant III par $\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -g),$ IV par $\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -g),$ on trouve, en ajoutant les produits,

$\cos {\frac {1}{2}}(f\!+\!g){\sqrt {\frac {r'}{a}}}=\cos {\frac {1}{2}}\varphi \cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {F} \!-\!{\frac {1}{2}}\mathrm {G} \!-\!g\right)-\sin {\frac {1}{2}}\varphi \cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F\!+\!\mathrm {G} } ).$

En retranchant de cette équation la précédente, il vient

$\cos {\frac {1}{2}}(f+g)\left({\sqrt {\frac {r'}{a}}}-{\sqrt {\frac {r}{a}}}\right)=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F-\mathrm {G} } )$

ou, en introduisant l’angle auxiliaire $\omega ,$

[27]

$\cos {\frac {1}{2}}(f+g)\operatorname {tang} 2\omega =\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F-\mathrm {G} } )\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}.$

Par des transformations tout à fait semblables, dont nous laissons le développement au savant lecteur, on trouve

[28]

${\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(f+g)}{\cos 2\omega }}=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} )\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}},$

[29]

$\cos {\frac {1}{2}}(f-g)\operatorname {tang} 2\omega =\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}},$

[30]

${\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}(f-g)}{\cos 2\omega }}=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}.$

Puisque les premiers membres, dans ces quatre équations, sont des quantités connues, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} )$ et

$\cos {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}=\mathrm {P}$

seront déterminées d’après les équations 27 et 28 ; et aussi de la même manière, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )$ et

$\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}=\mathrm {Q} ,$

d’après les équations 29 et 30 ; l’incertitude dans la détermination des angles ${\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} ),$ ${\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )$ est écartée par la considération que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ doivent avoir le même signe que $\sin g.$

Ensuite, ${\frac {1}{2}}\varphi$ et $\sin g{\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{rr'}}}=\mathrm {R}$ se déduiront de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$ De $\mathrm {R}$ on pourra déduire

$a={\frac {\mathrm {R} ^{2}{\sqrt {rr'}}}{\sin ^{2}g}},$

et aussi

$p={\frac {\sin ^{2}f{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {R} ^{2}}},$

à moins que nous ne préférions nous servir de cette dernière quantité, qui doit être égale à

$\pm {\sqrt {\left[2\left(l+\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)\cos f\right]}}=\pm {\sqrt {\left[-2\left(\mathrm {L} -\sin ^{2}{\frac {1}{2}}g\right)\cos f\right]}},$

uniquement pour la confirmation du calcul, dans quel cas $a$ et $p$ seront plus convenablement déterminés par les formules

$b={\frac {\sin f{\sqrt {rr'}}}{\sin g}},$  $a={\frac {b}{\cos \varphi }},$  $p=b\cos \varphi ,$

Plusieurs des équations des articles 88 et 95 peuvent, si l’on veut, servir dans la pratique à la confirmation du calcul ; à ces équations nous ajouterons encore les suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {2\operatorname {tang} 2\omega }{\cos 2\omega }}&{\sqrt {\frac {rr'}{a^{2}}}}=e\sin \mathrm {G} \sin g,\\{\frac {2\operatorname {tang} 2\omega }{\cos 2\omega }}&{\sqrt {\frac {p^{2}}{rr'}}}=e\sin \mathrm {F} \sin f,\\{\frac {2\operatorname {tang} 2\omega }{\cos 2\omega }}&=\operatorname {tang} \varphi \sin \mathrm {G} \sin f=\operatorname {tang} \varphi \sin \mathrm {F} \sin g.\end{aligned}}$

Enfin, le mouvement moyen et l’époque de l’anomalie moyenne seront déterminés de la même manière que dans l’article précédent.

97

Pour éclaircir les méthodes exposées depuis l’art. 88, nous reprendrons les deux exemples de l’art. 87 ; il est à peine nécessaire d’avertir que la signification appliquée jusqu’à présent à l’angle auxiliaire $\omega ,$ ne doit pas être confondue avec celle suivant laquelle, dans les art. 86 et 87, le même symbole a été pris.

I. Dans le premier exemple nous ayons $f=3^{\circ }47'26''\!,865$ et ensuite $\log {\frac {r'}{r}}\!=\!9,9914599,$ $\log \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!\omega )\!=\!9,997864975,$ $\omega \!=\!-8'27''\!\!,006.$

De là, par l’art. 89,

$\log \sin ^{2}\!{\tfrac {1}{2}}f\,.....$	7,0389972		$\log \operatorname {tang} ^{2}2\omega ^{2}...$	5,3832428
$\log \cos f\,.......$	9,9990488		$\log \cos f\,.......$	9,9990488
	7,0399484			5,3841940
$=\log$ 0,0011205691			$=\log$ 0,0000242211

et par suite, $l=0,0011205691,$ ${\frac {5}{6}}+l=0,8344539.$

-

Nous avons ensuite, $\log kt=9,5766974$.

$2$	$\log kt$	9,1533948
$\mathrm {c^{t}} {\tfrac {3}{2}}$	$\log rr'$	9,0205181
$\mathrm {c^{t}}$	$\log 8\cos ^{3}\!f$	9,0997636
	$\log m^{2}$	7,2736765
	$\log({\tfrac {5}{6}}+l)......$	9,9214023
		7,3522742

La valeur approchée de $h$ est donc $0,00226047$, à laquelle répond, dans notre table II, $\log y^{2}=0,0021633$. On a donc

$\log {\frac {m^{2}}{y^{2}}}=7,2715132$,  ou  ${\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,001868587$ ;

d’où, par la formule 16, on a $x=0,0007480179$ : c’est pourquoi, puisque $\xi$ se trouve, par la table III, entièrement insensible, les valeurs trouvées pour $h$, $y$, $x$ n’exigent aucune correction. Maintenant, la détermination des éléments se fait de la manière suivante :

$\log x$	6,8739120"
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}g.........$	8,4369560"		${\tfrac {1}{2}}g={}$ 1° 34′ 02,0286″
${\tfrac {1}{2}}(f+g)={}$ 3° 27′ 45,4611″, ${\tfrac {1}{2}}(f-g)={}$19′ 41,4039″

C’est pourquoi, d’après les formules 27, 28, 29, 30, on a

$\log \operatorname {tang} 2\omega$	$\dots$	7,6916214$n$		$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos 2\omega$	$\dots$	0,0000052
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(f+g)$		9,9992065			$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(f+g)$		8,7810188
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(f-g)$		9,9999929			$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(f-g)$		7,7579709
$\log \mathrm {P} \sin {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} )$		7,6908279$n$			$\log \mathrm {Q} \sin {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )$		7,6916143$n$
$\log \mathrm {P} \cos {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} )\,..$		8,7810240			$\log \mathrm {Q} \cos {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )\,...$		7,7579761
${\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} -\mathrm {G} )\quad =\quad$	— 4° 38′ 41,54″				$\log \mathrm {P} =\log \mathrm {R} \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ..$		8,7824527
${\tfrac {1}{2}}(\mathrm {F} +\mathrm {G} )\quad =\quad$	319° 21′ 38,05″				$\log \mathrm {Q} =\log \mathrm {R} \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi ..$		7,8778355
$\mathrm {F} \,\qquad =\quad$	314° 42′ 56,51″				De là $\;\;{\tfrac {1}{2}}\varphi \;\;=\;\;$	07° 06′ 0,935″
$v\,\qquad =\quad$	310° 55′ 29,64″				$\varphi \;\;=\;\;$	14° 12′ 1,87″0
$v'\qquad =\quad$	318° 30′ 23,37″				$\log \mathrm {R}$		8,7857960
$\mathrm {G} \,\qquad =\quad$	324° 00′ 19,59″				Pour confirmer le calcul :
$\mathrm {E} \,\qquad =\quad$	320° 52′ 15,53″			${\tfrac {1}{2}}$	$\log 2\cos f$		0,1500394
$\mathrm {E} '\qquad =\quad$	327° 08′ 23,65″			${\tfrac {1}{2}}$	$\log(l+x)=\log {\frac {m}{y}}..$		8,6357566
							8,7857960

${\tfrac {1}{2}}$	$\log rr'.................$	0,3264939		$\log \sin \varphi ..........$	$\dots$	9,3897262
	$\log \sin f...............$	8,8202909		$\log 206265\dots \dots ....$		5,3144251
$\mathrm {c^{t}}$	$\log \sin g\,...............$	1,2621765		$\log e,\mathrm {en\;secondes} \dots$		4,7041513
	$\log b...................$	0,4089613		$\log \sin \mathrm {E} \,............$		9,8000767$n$
	$\log \cos \varphi ...............$	9,9865224		$\log \sin \mathrm {E} '............$		9,7344714$n$
	$\log p...................$	0,3954837		$\log e\sin \mathrm {E} \,..........$		4,5042280$n$
	$\log a...................$	0,4224389		$\log e\sin \mathrm {E} '..........$		4,4386227$n$
	$\log k...................$	3,5500066	$e\sin \mathrm {E} \,=$ −31932,14″$=$−8° 52′ 12,14″
${\tfrac {3}{2}}$	$\log a...................$	0,6336584	$e\sin \mathrm {E} '=$ −27455,08″$=$−7° 37′ 35,08″
		2,9163482		De là l’anomalie moyenne :
	$\log t\,...................$	1,3411160		Pour le 1er lieu $=$	329° 44′ 27,67″
		4,2574642		Pour le 2er lieu $=$	334° 45′ 58,73″
Le mouvement moyen diurne est donc =824″,7989. Le mouvement moyen dans le temps $t$ =18091″,07 =5° 1′ 31,07″.				Différence$\dots ..$	5° 01′ 31,06″

II. Dans l’autre exemple, on a $f=31^{\circ }27'38''\!,32,$ $\omega =-21'50''\!,565,$ $l=0,08635659,$ $\log m^{2}\!=9,3530651,$ ${\frac {m^{2}}{{\dfrac {5}{6}}+l}}$ ou la valeur approchée de $h=0,2451454,$ à laquelle, dans la table II, correspond $\log y^{2}\!=0,1722663,$ d’où l’on déduit

${\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,15163477,$ $x=0,06527818\,;$

de là par la table III, on trouve $\xi =0,0002531.$ En employant cette valeur, les valeurs corrigées deviennent

${\begin{aligned}h&=0,2450779,&\log y^{2}&=0,1722303,&{\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,15164737,\\[0ex]x&=0,06529078,&\xi &=0,0002532.\end{aligned}}$

Si, avec cette valeur de $\xi ,$ qui ne diffère de la précédente que d’une seule unité du septième ordre, on recommence encore le calcul, $h,$ $\log y^{2}$ et $x$ n’éprouveront pas de changements sensibles ; c’est pourquoi la valeur trouvée pour $x$ est déjà exacte et permet dès lors de procéder de là à la détermination des éléments. Comme cette détermination ne diffère en rien de celle faite dans l’exemple précédent, nous ne nous y arrêterons pas.

III. Il ne sera pas hors de propos d’éclaircir aussi par un exemple l’autre cas dans lequel $\cos f$ est négatif. Soient $v'\!-v=224^{\circ }\,0'\,0'',$ ou $f=112^{\circ }\,0'\,0'',$ $\log r=0,1394892,$ $\log r'=0,3978794,$ $t=206,80919$ jours. On trouve ici $\omega =+4^{\circ }\,14'\,43''\!,78,$ $\mathrm {L} =1,8942298,$ $\log \mathrm {M} ^{2}=0,6724333,$ la première valeur approchée de $\log \mathrm {H} =0,6467603,$ d’où par la résolution de l’équation 15^∗, on obtient $\mathrm {Y} =1,591432,$ et ensuite $x=0,037037,$ à laquelle répond, dans la table III, $\xi =0,0000801.$ De là se déduisent les valeurs corrigées $\log \mathrm {H} =0,6467931,$ $\mathrm {Y} =1,5915107,$ $x=0,0372195,$ $\xi =0,0000809.$ Le calcul étant recommencé de nouveau avec cette valeur de $\xi ,$ il vient $x=0,0372213,$ valeur qui n’exige plus de correction, puisque $\xi$ déduit de là n’éprouve pas de changement. On trouve ensuite ${\frac {1}{2}}g=11^{\circ }\,7'\,25''\!,40,$ et de là, de même que dans l’exemple I

${\tfrac {1}{2}}($	$\mathrm {F} -\mathrm {G} )$	$=$	3° 33′ 53,59″		$\log \mathrm {P} =\log \mathrm {R} \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ..$	9,9700508
${\tfrac {1}{2}}($	$\mathrm {F} +\mathrm {G} )$	$=$	8° 26′ 06,38″		$\log \mathrm {Q} =\log \mathrm {R} \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi ..$	9,8580552
	$\mathrm {F}$	$=$	11° 59′ 59,97″		${\tfrac {1}{2}}\varphi =$ 37° 41′ 34,27″
	$v$	$=$	− 100° 00′ 00,03″		$\varphi =$ 75° 23′ 08,54″
	$v'$	$=$	+ 123° 59′ 59,97″		$\log \mathrm {R}$	0,0717096
	$\mathrm {G}$	$=$	4° 52′ 12,79″		Comme preuve du calcul, on a :
	$\mathrm {E}$	$=$	− 017° 22′ 38,01″
	$\mathrm {E} '$	$=$	+ 027° 07′ 03,59″		$\log {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }}{\sqrt {-2\cos f}}.....$	0,0717097

Dans les orbites si excentriques, l’angle $\varphi$ est calculé un peu plus exactement par la formule 19^∗ qui donne, dans notre exemple, $\varphi =75^{\circ }\,23'\,8''\!,57\,;$ l’excentricité $e$ est aussi déterminée avec une plus grande précision par la formule $1-2\sin ^{2}\left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right),$ que par $\sin \varphi \,:$ d’après la première relation, on a $e=0,96764630.$

Par la formule 1, on trouve ensuite $\log b=0,6576611,$ d’où $\log p=0,0595967,$ $\log a=1,2557255,$ et le logarithme de la distance périhélie

$\log {\frac {p}{1+e}}=\log a(1-e)=\log b\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right)=9,7656496.$

Dans les orbites qui se rapprochent autant de la forme parabolique, on a coutume d’assigner, à la place de l’époque de l’anomalie moyenne, l’instant du passage par le périhélie ; les intervalles compris entre ce moment et les deux époques qui correspondent aux deux positions de l’astre pourront être déterminés, au moyen des éléments connus, par la méthode développée dans l’art. 41, intervalles dont la différence ou la somme (selon que le périhélie est situé en dehors ou en dedans des deux lieux proposés), devant s’accorder avec l’intervalle $t,$ servira à confirmer l’exactitude du calcul. Les nombres de ce troisième exemple avaient été déduits des éléments supposés dans l’exemple des art. 38 et 43, de même que cet exemple nous avait fourni notre premier lieu ; les légères différences des éléments obtenus ici proviennent uniquement de la précision limitée des tables logarithmiques et trigonométriques.

98

La solution de notre problème pour l’ellipse, développée dans les articles précédents, pourrait aussi s’appliquer à la parabole et à l’hyperbole, en considérant la parabole comme une ellipse dans laquelle $a$ et $b$ seraient des quantités infinies, $\varphi =90^{\circ },$ et enfin $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} ',$ $g$ et $\mathrm {G} =0\,;$ et de même, l’hyperbole comme une ellipse dans laquelle $a$ serait négatif et $b,$ $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} ',$ $g,$ $\mathrm {G} ,$ $\varphi$ imaginaires ; nous préférons cependant, nous abstenir de ces suppositions, et traiter le problème séparément pour chaque genre de sections coniques. Une analogie remarquable se manifestera ainsi de soi-même entre les trois genres.

En conservant dans la PARABOLE, aux lettres $p,\,v,\,v',$ $\mathrm {F} ,\,f,$ $r,\,r',$ $t$ la même signification avec laquelle nous les avons prises ci-dessus, nous avons, d’après la théorie du mouvement parabolique ;

[1]

${\sqrt {\frac {p}{2r}}}=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} -f),$

[2]

${\sqrt {\frac {p}{2r'}}}=\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} +f),$

${\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\\&=\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right].\left\{1+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right.\\&+\left.{\frac {1}{3}}\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!+\!f)-\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {F} \!-\!f)\right]^{2}\right\}\\&={\frac {2\sin f{\sqrt {rr'}}}{p}}\left({\frac {2\cos f{\sqrt {rr'}}}{p}}+{\frac {4\sin ^{2}f.rr'}{3p^{2}}}\right),\end{aligned}}$

d’où

[3]

$kt={\frac {2\sin f\cos f.rr'}{\sqrt {\overset {}{p}}}}+{\frac {4\sin ^{2}\!f\,(rr')^{\frac {3}{2}}}{3p^{\frac {3}{2}}}}$

On déduit ensuite par la multiplication des équations 1, 2

[4]

${\frac {p}{\sqrt {rr'}}}=\cos \mathrm {F} +\cos f,$

et aussi par l’addition des carrés,

[5]

${\frac {p(r+r')}{2rr'}}=1+\cos \mathrm {F} \cos f.$

De là, $\cos \mathrm {F}$ étant éliminé,

[6]

$p={\frac {2rr'\sin ^{2}\!f}{r+r'-2\cos f{\sqrt {rr'}}}}.$

C’est pourquoi, si nous adoptons ici les équations 9, 9^∗ de l’art. 88, la première étant relative à $\cos f$ positif et la seconde à $\cos f$ négatif, nous aurons

[7]

$p={\frac {\sin ^{2}\!f{\sqrt {rr'}}}{2l\cos f}}$

[7∗]

$p={\frac {\sin ^{2}\!f{\sqrt {rr'}}}{-2\mathrm {L} \cos f}}$

Ces valeurs étant substituées dans l’équation 3, il viendra, en conservant aux lettres $m,$ $\mathrm {M}$ la signification établie par les équations 11, 11^∗, art. 88,

[8]

$m=l^{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{3}}l^{\frac {3}{2}}.$

[8∗]

$\mathrm {M} =-\mathrm {L} ^{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{3}}\mathrm {L} ^{\frac {3}{2}}.$

Ces équations s’accordent avec les équations 12, 12^∗ art. 88, si on fait dans celles-ci $g=0.$ On en conclut que si deux lieux héliocentriques, auxquels on satisfait par une parabole, sont traités comme si l’orbite était elliptique, il doit en résulter immédiatement, par application des formules de l’art. 91, $x=0\,;$ réciproquement, on voit facilement que si au moyen de ces formules on obtient $x=0,$ l’orbite se trouve parabolique au lieu d’elliptique, puisque d’après les équations 1, 16, 17, 19, 20, on a $b=\infty ,$ $a=\infty ,$ $\varphi =90^{\circ }\!.$ La détermination des éléments s’achève ensuite très-facilement. Pour $p$ on pourra en effet, employer l’équation 7 du présent article ou l’équation 18 de l’art. 95^[5] : mais pour $\mathrm {F}$ on a, d’après les équations 1, 2 de cet article

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {F} ={\frac {{\sqrt {r'}}-{\sqrt {\overset {}{r}}}}{{\sqrt {r'}}+{\sqrt {\overset {}{r}}}}}\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f=\sin 2\omega \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}f$

si l’angle auxiliaire $\omega$ est pris avec la même signification que dans l’art. 89.

À cette occasion nous observons encore, que si dans l’équation 3 nous substituons à la place de $p$ sa valeur de l’équation 6, on retrouve la relation assez connue

$kt={\frac {1}{3}}\left(r+r'+\cos f{\sqrt {rr'}}\right)\left(r+r'-2\cos f{\sqrt {rr'}}\right)^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}.$

99

Dans l’HYPERBOLE, nous conservons aussi aux lettres $p,$ $v,\,v',$ $f,\,\mathrm {F} ,$ $r,\,r',$ $t$ la même signification ; mais à la place du demi-grand axe $a,$ qui est ici négatif, nous écrivons $-\alpha \,;$ nous poserons ensuite comme ci-dessus, art. 21, l’excentricité $={\frac {1}{\cos \psi }}.$ Nous ferons la quantité auxiliaire exprimée par $u$ dans cet article, égale à ${\frac {\mathrm {C} }{c}}$ pour le premier lieu et à $\mathrm {C} c$ pour le second, d’où l’on conclut facilement que $c$ est toujours plus grand que 1, mais toutes choses égales, diffère d’autant moins de l’unité que les deux lieux proposés sont moins distants l’un de l’autre. Des équations développées dans l’art. 21, nous transportons ici, en modifiant un peu leur forme, la sixième et la septième :

[1]

$\cos {\frac {1}{2}}v={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\frac {\mathrm {C} }{c}}}+{\sqrt {\frac {\overset {}{c}}{\mathrm {C} }}}\right){\sqrt {\frac {(e-1)\alpha }{r}}},$

[2]

$\sin {\frac {1}{2}}v={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\frac {\mathrm {C} }{c}}}-{\sqrt {\frac {\overset {}{c}}{\mathrm {C} }}}\right){\sqrt {\frac {(e+1)\alpha }{r}}},$

[3]

$\cos {\frac {1}{2}}v'={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\mathrm {C} c}}+{\sqrt {\frac {1}{\mathrm {C} c}}}\right){\sqrt {\frac {(e-1)\alpha }{r'}}},$

[4]

$\sin {\frac {1}{2}}v'={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {\mathrm {C} c}}-{\sqrt {\frac {1}{\mathrm {C} c}}}\right){\sqrt {\frac {(e+1)\alpha }{r'}}},$

De là aussitôt découlent les suivantes :

[5]

$\sin \mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\alpha \left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}},$

[6]

$\sin f={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}},$

[7]

$\cos \mathrm {F} =\left[e\left(c+{\frac {1}{c}}\right)-\left(\mathrm {\mathrm {C} } +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\right]{\frac {\alpha }{2{\sqrt {rr'}}}},$

[8]

$\cos f=\left[e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)-\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\right]{\frac {\alpha }{2{\sqrt {rr'}}}}.$

On a ensuite par l’équation X de l’art. 21,

${\begin{aligned}{\frac {r}{\alpha }}&={\frac {1}{2}}e\left({\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-1,\\{\frac {r'}{\alpha }}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c+{\frac {1}{\mathrm {C} c}}\right)-1,\end{aligned}}$

et de là

[9]

${\frac {r'-r}{\alpha }}={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right),$

[10]

${\frac {r'+r}{\alpha }}={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c+{\frac {1}{c}}\right),$

Cette équation 10 combinée avec l’équation 8 donne

[11]

$\alpha ={\frac {r'+r-\left(c+{\dfrac {1}{c}}\right)\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{{\dfrac {1}{2}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.$

En posant donc, de même que dans l’ellipse,

${\frac {{\sqrt {\dfrac {r'}{\overset {}{r}}}}+{\sqrt {\dfrac {r}{r'}}}}{2\cos f}}=1+2l,$ ou $=1-2\mathrm {L} ,$

selon que $\cos f$ est positif ou négatif, on a

[12]

$\alpha ={\frac {8\left[l-{\dfrac {1}{4}}\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{c}}}\right)^{2}\right]\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.$

[12∗]

$\alpha ={\frac {-8\left[\mathrm {L} +{\dfrac {1}{4}}\left({\sqrt {\overset {}{c}}}-{\sqrt {\dfrac {1}{c}}}\right)^{2}\right]\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}.$

Le calcul de la quantité $l$ ou $\mathrm {L}$ est effectué ici, comme dans l’ellipse, avec le secours de l’angle auxiliaire $\omega .$ On a enfin, d’après l’équation XI de l’art. 22 (en considérant les logarithmes hyperboliques),

${\begin{aligned}{\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} c-{\frac {1}{\mathrm {C} c}}-{\frac {\mathrm {C} }{c}}+{\frac {c}{\mathrm {C} }}\right)-\log \mathrm {C} c+\log {\frac {\mathrm {C} }{c}}\\&={\frac {1}{2}}e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\end{aligned}}$

ou, en éliminant $\mathrm {C}$ au moyen de l’équation 8,

${\frac {kt}{\alpha ^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)\cos f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha }}+{\frac {1}{2}}\left(c^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-2\log c.$

Nous substituons, dans cette équation, à la place de $\alpha$ sa valeur d’après 12, 12^∗ ; nous introduisons ensuite la lettre $m$ ou $\mathrm {M}$ avec la même signification que leur assignent les formules 11, 11^∗, art. 88 ; et enfin, nous écrivons pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {\frac {1}{c}}}{\frac {}{}}\right)^{2}&=\!z,&{\frac {c^{2}-{\dfrac {1}{c^{2}}}-4\log c}{{\dfrac {1}{4}}\left(c-{\dfrac {1}{c}}\right)^{2}}}&=\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}$

De cette manière, on obtient les équations

[13]

$m=(l-z)^{\frac {1}{2}}+(l-z)^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} ,$

[13∗]

$\mathrm {M} =-(\mathrm {L} +z)^{\frac {1}{2}}+(\mathrm {L} +z)^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} ,$

qui ne contiennent qu’une seule inconnue, puisqu’il est évident que $\mathrm {Z}$ est une fonction de $z$ exprimée par la formule suivante,

$\mathrm {Z} ={\frac {(1+2z){\sqrt {(z+z^{2})}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right)}{2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}.$

100

En résolvant l’équation 13 ou 13^∗, nous considérerons d’abord séparément, le cas où $z$ n’atteint pas une valeur trop grande, de telle sorte que $\mathrm {Z}$ puisse être exprimé en série développée suivant les puissances croissantes de $z$ et convergeant rapidement.

Maintenant on a

${\begin{aligned}(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}&=z^{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{2}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{8}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\\\log({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}})&=z^{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{40}}z^{\frac {5}{2}}\dots ,\end{aligned}}$

et par suite le numérateur de $\mathrm {Z} ={\frac {8}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{5}}z^{\frac {5}{2}}\dots \,;$ et le dénominateur $=2z^{\frac {3}{2}}+3z^{\frac {5}{2}}\dots ,$ d’où

$\mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {8}{5}}z\dots .$

Pour découvrir la loi de la progression, différentions l’équation

$2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}\mathrm {Z} =(1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}-\log \left({\sqrt {1+z}}+{\sqrt {z}}\right),$

d’où l’on trouve, toutes réductions faites,

$2(z+z^{2})^{\frac {3}{2}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+3\mathrm {Z} (1+2z){\sqrt {z+z^{2}}}=4{\sqrt {z+z^{2}}},$

ou

$(2z+2z^{2}){\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}=4-(3+6z)\mathrm {Z} ,$

d’où l’on déduit, de la même manière que dans l’art. 90,

$\mathrm {Z} ={\frac {4}{3}}-{\frac {4.6}{3.5}}z+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}z^{3}+{\frac {4.6.8.10.12}{3.5.7.9.11}}z^{4}-{\text{etc.}}$

Il est donc évident, que $\mathrm {Z}$ dépend de $-z,$ entièrement de la même manière que, ci-dessus, $\mathrm {X}$ dépend de $x\,;$ c’est pourquoi, si nous posons

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{{\dfrac {3}{4}}+{\dfrac {9}{10}}(z+\zeta )}}$

$\zeta$ sera aussi déterminé d’après $-z$ de la même manière que ci-dessus, $\xi$ par $x\,;$ de sorte que l’on aura

[14]

$\zeta ={\cfrac {{\dfrac {2}{35}}z^{2}}{1-{\dfrac {2}{35}}z+{\cfrac {{\cfrac {40}{63}}z}{1+{\cfrac {{\cfrac {4}{99}}z}{1+{\cfrac {{\cfrac {70}{143}}z}{1+{\text{etc.}}}}}}}}}}$

ou

$\zeta ={\cfrac {{\dfrac {2}{35}}z^{2}}{1+{\dfrac {18}{35}}z+{\cfrac {{\cfrac {4}{63}}z}{1+{\cfrac {{\cfrac {40}{99}}z}{1+{\cfrac {{\cfrac {18}{143}}z}{1+{\text{etc.}}}}}}}}}}$

C’est de cette manière qu’ont été calculées, de millième en millième, et depuis $z=0$ jusqu’à $z=0,3$ les valeurs de $\zeta$ que donne la troisième colonne de la table III.

101

En introduisant la quantité $\zeta$ et en posant

${\sqrt {l-z}}={\frac {m}{y}}$  ou  ${\sqrt {\mathrm {L} +{\overset {}{z}}}}={\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Y} }},$

et aussi,

[15]

${\frac {m^{2}}{{\dfrac {5}{6}}+l+\zeta }}=h,$

ou

[15∗]

${\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {L} -{\dfrac {5}{6}}-\zeta }}=\mathrm {H} ,$

les équations 13 et 13^∗ prennent la forme suivante,

[16]

${\frac {(y-1)y^{2}}{y+{\dfrac {1}{9}}}}=h,$

[16∗]

${\frac {(\mathrm {Y} +1)\mathrm {Y} ^{2}}{\mathrm {Y} -{\dfrac {1}{9}}}}=\mathrm {H} ,$

et deviennent par suite, entièrement identiques avec celles (15, 15^∗, art. 91) auxquelles on est parvenu dans l’ellipse. De là, en tant que $h$ ou $\mathrm {H}$ peut être considéré comme connu, on pourra donc déduire $y$ ou $\mathrm {Y} ,$ et l’on aura ensuite

[17]

$z=l-{\frac {m^{2}}{y^{2}}},$

[17∗]

$z={\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {Y} ^{2}}}-\mathrm {L} .$

De ces dernières équations on conclut que toutes les opérations prescrites ci-dessus pour l’ellipse conviennent aussi à l’hyperbole jusqu’à cet endroit où, d’une valeur approchée de $h$ ou $\mathrm {H} ,$ la quantité $y$ ou $\mathrm {Y}$ aura été déterminée ; mais après cela, la quantité

${\frac {m^{2}}{y^{2}}}-l,$ ou $\mathrm {L} -{\frac {\mathrm {M} ^{2}}{\mathrm {Y} ^{2}}}$

qui doit être positive dans l’ellipse et égale à zéro dans la parabole, doit être négative dans l’hyperbole ; c’est pourquoi, par ce critérium, le genre de la section conique sera défini. Une fois $z$ trouvé, notre table donnera $\zeta ,$ de là on déduira la valeur corrigée de $h$ ou $\mathrm {H}$ avec laquelle le calcul devra être refait jusqu’à ce que toutes les quantités s’accordent exactement.

Après que la véritable valeur de $z$ aura été trouvée, on pourra en déduire $c$ par la formule

$c=1+2z+2{\sqrt {z+z^{2}}}$

mais il est préférable, aussi pour les usages suivants, d’introduire un angle auxiliaire $n$ déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} 2n=2{\sqrt {z+z^{2}}}\,;$

on aura d’après cela,

$c=\operatorname {tang} 2n+{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}2n}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+n).$

102

Puisque dans l’hyperbole comme dans l’ellipse $y$ doit nécessairement être positif, la résolution de l’équation 16 ne peut aussi être ici sujette à ambiguïté^[6] ; mais, en ce qui concerne l’équation 16^∗, on doit raisonner ici un peu autrement que dans l’ellipse. De la théorie des équations on établit facilement que pour une valeur positive de $\mathrm {H}$^[7], cette équation (si à la vérité elle a quelque racine réelle positive) a, avec une racine négative, deux racines positives, qui seront ou toutes deux égales, c’est-à-dire égales à

${\frac {1}{6}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{6}}=0,20601,$

ou l’une plus grande que cette limite, et l’autre plus petite. Nous démontrons maintenant, de la manière suivante, que dans notre problème (puisque par la supposition faite ci-dessus, $z$ est une quantité assez petite, au moins inférieure à $0,3$ afin de pouvoir se servir de la troisième table), on doit nécessairement prendre toujours la racine la plus grande.

Si nous substituons, dans l’équation 13^∗, à la place de $\mathrm {M}$ sa valeur $\mathrm {Y} {\sqrt {\mathrm {L} +{\overset {}{z}}}},$ il vient

$\mathrm {Y} +1=(\mathrm {L} +z)\mathrm {Z} >(1+z)\mathrm {Z} ,$

ou

$\mathrm {Y} >{\frac {1}{3}}-{\frac {4}{3.5}}z+{\frac {4.6}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8}{3.5.7.9}}z^{3}+\dots ,$

d’où l’on conclut facilement, que pour les valeurs de $z$ aussi petites que celles que nous supposons ici, on doit toujours avoir $\mathrm {Y} >0,20601.$ Nous trouvons, en effet, en faisant le calcul, que pour que $(1+z)\mathrm {Z}$ devienne égal à cette limite, on doit avoir $z=0,79858\,;$ mais il s’en faut de beaucoup que nous voulions étendre notre méthode à des voleurs si grandes de $z.$

103

Toutes les fois que $z$ atteint une grande valeur dépassant les limites de la table III, les équations 13 et 13^∗ sont toujours complètement et commodément résolues, sans modifier leur forme, à l’aide de tâtonnements, et, de fait, par des raisons semblables à celles que nous avons données pour l’ellipse, dans l’art. 94. Dans un tel cas, on pourra supposer les éléments de l’orbite au moins approximativement connus ; et alors, on aura aussitôt une valeur approchée de $n$ par la formule

$\operatorname {tang} 2n={\frac {\sin f\,{\sqrt {rr'}}}{\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}}}$

qui découle immédiatement de l’équation 6, .

On aura aussi $z,$ au moyen de $n,$ par la formule

$z={\frac {1-\cos 2n}{2\cos 2n}}={\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\,;$

et de la valeur approchée de $z$ on pourra déduire, à l’aide de quelques tâtonnements, celle qui satisfait exactement à l’équation 13 ou 13^∗. Ces équations peuvent aussi être présentées sous cette forme :

${\begin{aligned}m&=\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(l-{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=-\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {1}{2}}\\&+2\left(\mathrm {L} +{\frac {\sin ^{2}n}{\cos 2n}}\right)^{\frac {3}{2}}\!\left[{\frac {{\dfrac {\operatorname {tang} 2n}{\cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!+n)}{\operatorname {tang} ^{3}2n}}\right]\end{aligned}}$

Et ainsi, sans avoir égard à $z,$ la valeur exacte de $n$ pourra aussitôt être obtenue :

104

Il reste à déterminer les éléments eux-mêmes au moyen de $z,$ $n$ ou $c.$ En posant $\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}=\beta ,$ on aura, d’après l’équation 6, art. 99,

[18]

$\beta ={\frac {\sin f\,{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} 2n}}.$

En combinant cette formule avec 12, 12^∗, art. 99, on trouve

[19]

${\sqrt {e^{2}-1}}=\operatorname {tang} \psi ={\frac {\operatorname {tang} f\operatorname {tang} 2n}{2(l-z)}},$

[19∗]

$\operatorname {tang} \psi ={\frac {\operatorname {tang} f\operatorname {tang} 2n}{2(\mathrm {L} +z)}},$

d’où l’excentricité sera commodément et exactement calculée ; de $\beta$ et ${\sqrt {e^{2}-1}}$ on obtiendra $\alpha$ par une division, et $p$ par une multiplication, de telle sorte que l’on a

${\begin{alignedat}{2}\alpha &={\frac {2(l\!-\!z)\cos f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {2m^{2}\cos f.{\sqrt {rr'}}}{y^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4y^{2}rr'\cos ^{2}\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}\\&={\frac {-2(\mathrm {L} \!+\!z)\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}&&={\frac {-2\mathrm {M} ^{2}\!\cos \!f.{\sqrt {rr'}}}{\mathrm {Y} ^{2}\operatorname {tang} ^{2}\!2n}}={\frac {k^{2}t^{2}}{4\mathrm {Y} ^{2}rr'\cos ^{2}\!\!f\operatorname {tang} ^{2}\!2n}},\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}p&={\frac {\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(l-z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2m^{2}}}=\left({\frac {yrr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}\\&={\frac {-\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2(\mathrm {L} +z)}}&&={\frac {-\mathrm {Y} ^{2}\sin f.\operatorname {tang} f.{\sqrt {rr'}}}{2\mathrm {M} ^{2}}}=\left({\frac {\mathrm {Y} rr'\sin 2f}{kt}}\right)^{2}.\end{alignedat}}$

La troisième et la sixième expressions de $p,$ qui sont entièrement identiques avec les formules 18, 18^∗, art. 95, montrent que les remarques faites sur la signification des quantités $y$ et $\mathrm {Y} ,$ s’appliquent aussi à l’hyperbole.

En combinant les équations 6, 9, article 99, on déduit

$(r'-r){\sqrt {\frac {e^{2}-1}{rr'}}}=e\sin f.\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;$

c’est pourquoi en introduisant $\psi$ et $\omega ,$ et en posant $\mathrm {C} =\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\mathrm {N} ),$ on a

[20]

$\operatorname {tang} 2\mathrm {N} ={\frac {2\sin \psi \operatorname {tang} 2\omega }{\sin f\cos 2\omega }}.$

De là, $\mathrm {C}$ étant déterminé, on aura, pour l’un et l’autre lieu, les valeurs de la quantité exprimée par $u$ dans l’article 21 ; on a ensuite, par l’équation III, article 21,

${\begin{aligned}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\frac {\mathrm {C} -c}{(\mathrm {C} +c)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }}\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'&={\frac {\mathrm {C} c-1}{(\mathrm {C} c+1)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }},\end{aligned}}$

ou, en introduisant à la place de $\mathrm {C} ,\,c,$ les angles $\mathrm {N} ,\,n,$

[21]

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {\sin(\mathrm {N} -n)}{\cos(\mathrm {N} +n)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }},$

[22]

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'={\frac {\sin(\mathrm {N} +n)}{\cos(\mathrm {N} -n)\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\psi }}.$

Par là seront déterminées les anomalies vraies $v,\,v',$ dont la différence comparée à $2f,$ servira en même temps à confirmer le calcul.

Enfin, par la formule XI, art. 22, on déduira facilement que l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du premier lieu,

$={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\left[{\frac {2e\cos(\mathrm {N} +n)\sin(\mathrm {N} -n)}{\cos 2\mathrm {N} \cos 2n}}-\operatorname {log\,hyp} {\frac {\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\mathrm {N} )}{\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+n)}}\right],$

et de même, l’intervalle de temps compris entre le passage au périhélie et l’époque du deuxième lieu,

$={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\!\left[{\frac {2e\cos(\mathrm {N} \!-\!n)\sin(\mathrm {N} \!+\!n)}{\cos 2\mathrm {N} \cos 2n}}-\!\operatorname {log\,hyp} \operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!\mathrm {N} )\operatorname {tang} (45^{\circ }\!\!+\!n)\right],$

Si donc, on pose l’époque du premier lieu $=\mathrm {T} -{\frac {1}{2}}t,$ et par suite, l’époque du second $=\mathrm {T} +{\frac {1}{2}}t,$ on aura

[23]

$\mathrm {T} ={\frac {\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\left[{\frac {e\operatorname {tang} 2\mathrm {N} }{\cos 2n}}-\operatorname {log\,tang} (45^{\circ }\!+\mathrm {N} )\right],$

d’où l’on connaîtra l’époque du passage au périhélie ; et enfin,

[24]

$t={\frac {2\alpha ^{\frac {3}{2}}}{k}}\left[{\frac {e\operatorname {tang} 2n}{\cos 2\mathrm {N} }}-\operatorname {log\,tang} (45^{\circ }\!+n)\right],$

équation qui peut, si l’on veut, être employée comme une dernière confirmation du calcul.

105

Pour éclaircir ces principes, nous composerons un exemple d’après les deux lieux calculés dans les art. 23, 24, 25, 46, pour les mêmes éléments hyperboliques. Soient donc

$v'-v=48^{\circ }\,12'\,00''$  ou  $f=24^{\circ }\,6'\,00'',$  $\log r=0,0333585$

$\log r'=0,200541$  $t=51,49788$ jours.

De là on trouve

$\omega =2^{\circ }\,45'\,28''\!,47,$  $l=0,05796039,$

${\frac {m^{2}}{{\frac {5}{6}}+l}}$ ou la valeur approchée de $h=0,0644371\,;$ de là, par la table II,

$\log y^{2}=0,0560848,$  ${\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,05047454,$  $z=0,00748585,$

à laquelle répond, dans la table III

$\zeta =0,0000032.$

De là, la valeur corrigée de $h$ devient $0,06443691$

$\log y^{2}=0,0560846,$  ${\frac {m^{2}}{y^{2}}}=0,05047456,$  $z=0,00748583,$

valeurs qui n’ont besoin d’aucune nouvelle correction, puisque $\zeta$ n’en éprouve aucun changement. Le calcul des éléments se fait maintenant de la manière suivante :

$\log z..............$		$\dots$	7,8742399		C	$\log \operatorname {tang} f........$	$\dots$	9,6506199
$\log(1+z).............$			0,0032389			$\log {\tfrac {1}{2}}\operatorname {tang} 2n.......$		8,9387394
$\log {\sqrt {z+z^{2}}}...........$			8,9387394		$\mathrm {c^{t}}$	$\log(l-z)..........$		1,2969275
$\log 2\dots ...............$			0,3010300			$\log \operatorname {tang} \psi ..........$		9,8862868
$\log \operatorname {tang} 2n............$			9,2397694		$\psi =\qquad$		37° 34′ 59,77″
C	$2n=\qquad$	9° 51′ 11,816″			(Ce devrait être		37° 35′ 00″)0..
$n=\qquad$		4° 55′ 35,908″			$\mathrm {c^{t}}$	$\log {\tfrac {1}{2}}\sin f..........$		0,6900182
	$\log \sin f.............$		9,6110118			$\log \operatorname {tang} 2\omega .........$		8,9848318
	$\log {\sqrt {rr'}}............$		0,1171063		$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos 2\omega ..........$		0,0020156
$\mathrm {c^{t}}$	$\log \operatorname {tang} 2n.........$		0,7602306			$\log \sin \psi ............$		9,7852685
	$\log \beta ...............$		0,4883487			$\log \operatorname {tang} 2\mathrm {N} .........$		9,4621341
	$\log \operatorname {tang} \psi ..........$		9,8862868		$2\mathrm {N} =\qquad$		16° 09′ 46,253″
	$\log \alpha ...............$		0,6020619		$\mathrm {N} =\qquad$		8° 04′ 53,127″
	$\log p\,...............$		0,3746355		$\mathrm {N} -n=\qquad$		3° 09′ 17,219″
(Ils devraient être			0,6020600		$\mathrm {N} +n=\qquad$		13° 00′ 29,035″
	et		0,3746356	)
	$\log \sin(\mathrm {N} -n)......$		8,7406274			$\log \sin(\mathrm {N} +n)......$		9,3523527
$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos(\mathrm {N} +n)......$		0,0112902		$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos(\mathrm {N} -n)......$		0,0006587
	$\log \operatorname {cotang} {\tfrac {1}{2}}\psi .......$		0,4681829			$\log \operatorname {cotang} {\tfrac {1}{2}}\psi .......$		0,4681829
	$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v.........$		9,2201005			$\log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v'........$		9,8211943
${\tfrac {1}{2}}v=\quad$		9° 25′ 29,97″			${\tfrac {1}{2}}v'=\quad \;$		33° 31′ 29,93″
$v=\quad$		18° 50′ 59,94″			$v'=\quad \;$		67° 02′ 59,86″
(Ce devrait être		18° 51′ 00″)0..			(Ce devrait être		67° 03′ 00″)0..
	$\log e...............$		0,1010184			$\log e...............$		0,1010184
	$\log \operatorname {tang} 2\mathrm {N} .........$		9,4621341			$\log \operatorname {tang} 2n.........$		9,2397694
$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos 2n...........$		0,0064539		$\mathrm {c^{t}}$	$\log \cos 2\mathrm {N} ..........$		0,0175142
			9,5696064					9,3583020
Nombre $={}$			0.37119863		Nombre $={}$			0.22819284
$\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!\!+\!\mathrm {N} )\!=$			0,28591251		$\operatorname {log\,hyp\,tang} (45^{\circ }\!\!+\!n)\!=$			0,17282621
Différence $={}$			0,08528612		Différence $={}$			0,05536663
	$\log .................$		8,9308783			$\log .................$		8,7432480
${\tfrac {3}{2}}$	$\log \alpha ...............$		0,9030928		${\tfrac {3}{2}}$	$\log \alpha ...............$		0,9030928
$\mathrm {c^{t}}$	$\log k................$		1,7644186		$\mathrm {c^{t}}$	$\log k................$		1,7644186
	$\log \mathrm {T} ...............$		1,5983897			$\log 2\dots ............$		0,3010300
$\mathrm {T} =\qquad$			39,66338			$\log t................$		1,7117894
$t=\qquad$								51,49788

C’est pourquoi, le passage par le périhélie est distant de l’époque du premier lieu de $13,91444$ jours, et du second lieu de $65,41232$ jours. Enfin, la petite différence des éléments trouvés ici avec ceux d’après lesquels ont été calculés les lieux proposés, doit être attribuée à la précision limitée des tables.

106

Dans un traité des relations les plus remarquables concernant le mouvement d’un corps céleste dans les sections coniques, nous ne pouvons passer sous silence l’expression élégante du temps en fonction du demi-grand axe, de la somme $r+r'$ et de la corde qui joint les deux lieux. Cette formule parait réellement avoir d’abord été trouvée pour la parabole par l’illustre Euler (Miscell., Berolin, T. VII, p. 20), qui cependant la négligea dans la suite, et ne l’étendit pas non plus à l’ellipse et à l’hyperbole ; ceux qui attribuent cette formule au célèbre Lambert se trompent donc, quoiqu’on ne puisse refuser à ce géomètre le mérite d’avoir indépendamment obtenu cette expression enfouie dans l’oubli, et de l’avoir étendue aux autres sections coniques. Quoique cette question soit déjà traitée par plusieurs géomètres, les lecteurs attentifs ne trouveront pas superflue l’exposition suivante. Nous commençons d’abord par le mouvement elliptique.

Nous observons avant tout, que l’angle $2f$ (art. 88, d’où nous prenons aussi les autres notations) décrit autour du Soleil, peut être supposé inférieur à 360° ; il est en effet évident, que si cet angle est augmenté de 360°, le temps est augmenté d’une révolution, ou

${\frac {a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }}{k}}=a^{\frac {3}{2}}\times 365,25$ jours.

Si nous représentons maintenant la corde par $\rho ,$ on aura évidemment

$\rho ^{2}=(r'\cos v'-r\cos v)^{2}+(r'\sin v'-r\sin v)^{2},$

et par suite, d’après les équations VIII et IX, art. 8

${\begin{aligned}\rho ^{2}&=a^{2}(\cos \mathrm {E} '-\cos \mathrm {E} )^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi (\sin \mathrm {E} '-\sin \mathrm {E} )^{2}\\&=4a^{2}\sin ^{2}g(\sin ^{2}\mathrm {G} +\cos ^{2}\varphi \cos ^{2}\mathrm {G} )=4a^{2}\sin ^{2}g(1-e^{2}\cos ^{2}\mathrm {G} ).\end{aligned}}$

Nous introduisons l’angle auxiliaire $h$ tel que l’on ait $\cos h=e\cos \mathrm {G} \,;$ en même temps, pour éviter toute ambiguïté, nous supposons que $h$ est compris entre 0° et 180°, d’où $\sin h$ sera une quantité positive. C’est pourquoi, comme $g$ tombe aussi entre les mêmes limites (si $2g$ en effet, atteignait 360° ou le dépassait, le mouvement autour du Soleil, atteindrait ou surpasserait une révolution entière), on déduit spontanément de l’équation précédente que $\rho =2a\sin g\sin h,$ pourvu que la corde soit considérée comme une quantité positive. Puisque, ensuite, on a

$r+r'=2a(1-e\cos g\cos \mathrm {G} )=2a(1-\cos g\cos h),$

il est évident que si l’on pose $h-g=\delta ,\;h+g=\varepsilon ,$ on trouve

[1]

$r+r'-\rho =2a(1-\cos \delta )=4a\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}\delta ,$

[2]

$r+r'+\rho =2a(1-\cos \varepsilon )=4a\sin ^{2}\!{\frac {1}{2}}\varepsilon .$

On a enfin,

$kt=a^{\frac {3}{2}}(2g-2e\sin g\cos \mathrm {G} )=a^{\frac {3}{2}}(2g-2\sin g\cos h)\,;$

ou

[3]

$kt=a^{\frac {3}{2}}\left[\varepsilon -\sin \varepsilon -(\delta -\sin \delta )\right].$

D’après les équations 1 et 2, les angles $\delta$ et $\varepsilon$ pourront donc être déterminés au moyen de $r+r',$ $\rho$ et $a\,;$ c’est pourquoi, au moyen des mêmes quantités, le temps $t$ pourra être déterminé à l’aide de l’équation 3. On peut, si on le préfère, présenter ainsi cette formule :

${\begin{alignedat}{4}&kt\,=&&a^{\frac {3}{2}}\left[\arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}-\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')-\rho }{2a}}\right.\\&&&\;\;\;-\left.\arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}+\sin \arccos {\frac {2a-(r+r')+\rho }{2a}}\right].\end{alignedat}}$

Mais dans la détermination des angles $\delta$ et $\varepsilon$ par leur cosinus, il reste une incertitude qu’il convient d’examiner plus particulièrement. Il est en vérité, évident de soi-même, que $\delta$ doit tomber entre $-180^{\circ }$ et $+180^{\circ },$ et $\varepsilon$ entre $0^{\circ }$ et $360^{\circ }\,;$ mais alors, ces deux angles semblent admettre une double détermination, et par suite le temps qui en résulte, une quadruple. Nous avons cependant, de l’équation 5, art. 88,

$\cos f.{\sqrt {rr'}}=a(\cos g-\cos h)=2a\sin {\frac {1}{2}}\delta \sin {\frac {1}{2}}\varepsilon \,;$

maintenant, $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ est nécessairement une quantité positive, d’où nous concluons que $\cos f$ et $\sin {\frac {1}{2}}\delta$ doivent être affectés des mêmes signes, et par suite que $\delta$ doit être pris entre $0^{\circ }$ et $180^{\circ }$ ou entre $-180^{\circ }$ et $0^{\circ },$ selon que $\cos f$ sera positif ou négatif, c’est-à-dire selon que le mouvement héliocentrique $2f$ aura été plus petit ou plus grand que 180°. Il est en outre évident, que pour $2f=180^{\circ },$ $\delta$ doit nécessairement être nul. De cette manière $\delta$ est complètement déterminé. Mais la détermination de l’angle $\varepsilon$ reste nécessairement douteuse, de sorte que l’on obtient toujours pour le temps deux valeurs, dont on ne peut décider laquelle est la vraie, à moins que ce ne soit indiqué d’autre part. La raison de ce phénomène s’aperçoit facilement ; il est constant, en effet, que par deux points donnés on peut décrire deux ellipses différentes, ayant toutes deux leur foyer au même point donné et, en même temps, le même demi-grand axe^[8] ; mais le mouvement du premier lieu au second, dans ces ellipses, est évidemment effectué dans des temps inégaux.

107

En désignant par $\chi$ un arc quelconque compris entre $-180^{\circ }$ et $+180^{\circ },$ et par $s$ le sinus de l’arc ${\frac {1}{2}}\chi ,$ on sait qu’on a

${\frac {1}{2}}\chi =s+{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{7}+\dots$

On a ensuite

${\frac {1}{2}}\sin \chi =s{\sqrt {1-s^{2}}}=s-{\frac {1}{2}}s^{3}-{\frac {1.1}{2.4}}s^{5}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}s^{7}-\mathrm {etc.} ,$

et par suite,

$\chi -\sin \chi =4\left({\frac {1}{3}}s^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}s^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}s^{7}+{\frac {1}{9}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}s^{9}+\dots ,\,\mathrm {etc.} \right)$

Nous substituons successivement, dans cette série, à la place de $s$

${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{a}}},$  et  ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{a}}},$

et nous multiplions les résultats par $a^{\frac {3}{2}}\,;$ on obtient ainsi respectivement, les séries

${\begin{aligned}{\frac {1}{6}}(r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{a}}(r+r'-\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{a^{2}}}(r+r'-\rho )^{\frac {7}{2}}+\\{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{a^{3}}}(r+r'-\rho )^{\frac {9}{2}}+\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{6}}(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{a}}(r+r'+\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{a^{2}}}(r+r'+\rho )^{\frac {7}{2}}+\\{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{a^{3}}}(r+r'+\rho )^{\frac {9}{2}}+\mathrm {etc.} \end{aligned}}$

dont nous représenterons les sommes par $\mathrm {T} ,$ $\mathrm {U} .$

On voit maintenant, sans difficulté, que puisque l’on a

$2\sin {\frac {1}{2}}\delta =\pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{a}}}$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris selon que $2f$ est plus petit ou plus grand que 180° on obtient

$a^{\frac {3}{2}}(\delta -\sin \delta )=\pm \mathrm {T} ,$

le signe étant pareillement déterminé.

De la même manière, si pour $\varepsilon$ on prend la plus petite valeur, inférieure à 180°, on a

$a^{\frac {3}{2}}(\varepsilon -\sin \varepsilon )=\mathrm {U} \,;$

mais en prenant l’autre valeur qui est complémentaire de celle-ci à 360°, on a évidemment

$a^{\frac {3}{2}}(\varepsilon -\sin \varepsilon )=a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }\!-\mathrm {U} .$

De là, on obtient donc les deux valeurs relatives au temps $t,$

${\frac {\mathrm {U} \mp \mathrm {T} }{k}},$ et${\frac {a^{\frac {3}{2}}360^{\circ }}{k}}-{\frac {\mathrm {U} \pm \mathrm {T} }{k}}.$

108

Si l’on considère la parabole comme une ellipse, dont le grand axe est infiniment grand, l’expression du temps trouvé dans l’article précédent devient

${\frac {1}{6k}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right]\,;$

mais comme peut-être la déduction de cette formule pourrait être exposée à quelques doutes, nous en donnerons une autre indépendante de l’ellipse.

En posant pour simplifier

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\theta ,\quad \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v'=\theta ',$  on a  $r={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta ^{2}),\quad r'={\frac {1}{2}}p(1\!+\!\theta '^{2}),$

$\cos v={\frac {1\!-\!\theta ^{2}}{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \cos v'={\frac {1\!-\!\theta '^{2}}{1\!+\!\theta '^{2}}},\quad \sin v={\frac {2\theta }{1\!+\!\theta ^{2}}},\quad \sin v'={\frac {2\theta '}{1\!+\!\theta '^{2}}}.$

De là il vient

$r'\cos v'-r\cos v={\frac {1}{2}}p(\theta ^{2}-\theta '^{2}),\quad r'\sin v'-r\sin v=p(\theta '-\theta ),$

et par suite

$\rho ^{2}={\frac {1}{4}}p^{2}(\theta '-\theta )^{2}\left[4+(\theta '+\theta )^{2}\right].$

On voit maintenant facilement que $\theta '-\theta ={\frac {\sin f}{\cos {\frac {1}{2}}v\cos {\frac {1}{2}}v'}}$ est une quantité positive ; en posant donc

${\sqrt {\left(1+{\frac {1}{4}}(\theta '+\theta )^{2}\right)}}=\eta ,$ on aura  $\rho =p(\theta '-\theta )\eta .$

On a ensuite,

$r+r'={\frac {1}{2}}p(2+\theta ^{2}+\theta '^{2})=p\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}\right)$

c’est pourquoi l’on a

${\begin{aligned}{\frac {r+r'+\rho }{p}}&=\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2},\\{\frac {r+r'-\rho }{p}}&=\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{2}.\end{aligned}}$

De la première équation, on déduit immédiatement,

$+{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{p}}}=\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),$

puisque $\eta$ et $\theta '-\theta$ sont des quantités positives ; mais comme ${\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )$ est plus petit ou plus grand que $\eta ,$ suivant que

$\eta ^{2}-{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}=1+\theta \theta '={\frac {\cos f}{\cos {\dfrac {1}{2}}v\cos {\dfrac {1}{2}}v'}}$

est positif ou négatif, il est évident que de la seconde équation, on devra conclure

$\pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{p}}}=\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),$

où l’on devra adopter le signe supérieur ou le signe inférieur selon que l’angle décrit autour du Soleil sera plus petit ou plus grand que 180°.

De l’équation qui, dans l’art. 98, suit la seconde équation, nous avons ensuite,

${\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=(\theta '-\theta )\left(1+\theta \theta '+{\frac {1}{3}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&=(\theta '-\theta )\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{12}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}-{\frac {1}{3}}\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}\end{aligned}}$

d’où il suit immédiatement,

$kt={\frac {1}{6}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right],$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, selon que $2f$ est plus petit ou plus grand que 180°.

109

Si, dans l’hyperbole, nous conservons aux lettres $\alpha ,$ $\mathrm {C} ,$ $c$ la même signification que dans l’art. 99, nous obtenons, d’après les équations VIII, IX de l’art. 21,

$r'\cos v'-r\cos v=-{\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha ,$

$r'\sin v'-r\sin v={\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}\,;$

et par conséquent,

$\rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right){\sqrt {\left[e^{2}\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)^{2}-4\right]}}.$

Supposons que $\gamma$ soit une quantité déterminée par l’équation

$\gamma +{\frac {1}{\gamma }}=e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;$

comme deux valeurs réciproques de $\gamma$ satisfont évidemment à cette équation, nous devons adopter celle qui est plus grande que 1. On a ainsi

$\rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma -{\frac {1}{\gamma }}\right).$

On a, en outre,

${\begin{aligned}r+r'&={\frac {1}{2}}\alpha \left[e\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)-4\right]\\&={\frac {1}{2}}\alpha \left[\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)-4\right]\end{aligned}}$

et alors,

${\begin{aligned}r+r'+\rho &=\alpha \left({\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}\right)^{2},\\r+r'-\rho &=\alpha \left({\sqrt {\frac {\gamma }{c}}}-{\sqrt {\frac {c}{\gamma }}}\right)^{2}.\end{aligned}}$

En posant donc,

${\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{4\alpha }}}=m,\quad {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{4\alpha }}}=n,$

on aura nécessairement

${\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}=2m\,;$

mais pour décider la question si ${\sqrt {\frac {\gamma }{c}}}-{\sqrt {\frac {c}{\gamma }}}$ doit être $=+2n$ ou $=-2n,$ il faut chercher si $\gamma$ est plus grand ou plus petit que $i\,;$ mais il résulte facilement de l’équation 8, art. 99, que le premier cas a lieu toutes les fois que $2f$ est inférieur à 180°, et le second, toutes les fois que $2f$ est supérieur à 180°. Enfin, du même article nous avons

${\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\\&={\frac {1}{2}}\left(c\gamma -{\frac {1}{c\gamma }}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\gamma }{c}}-{\frac {c}{\gamma }}\right)-\log c\gamma +\log {\frac {\gamma }{c}}\\[0.5ex]&=2m{\sqrt {1+m^{2}}}\mp 2n{\sqrt {1+n^{2}}}-2\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)\\&\qquad \qquad \qquad \pm 2\log \left({\sqrt {1+n^{2}}}+n\right),\end{aligned}}$

les signes inférieurs concernant toujours le cas où $2f>180^{\circ }.$ Maintenant, $\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)$ se développe facilement en la série suivante :

$m-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}m^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}m^{5}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}m^{7}+\dots \mathrm {etc.}$

Ceci se déduit immédiatement de

$d.\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)={\frac {dm}{\sqrt {1+m^{2}}}}.$

C’est pourquoi l’on trouve

${\begin{aligned}2m{\sqrt {1+m^{2}}}&-2\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)\\&=4\left({\frac {1}{3}}m^{3}-{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}m^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}m^{7}-\dots \mathrm {etc.} \right)\end{aligned}}$

et de même, une formule entièrement semblable, si l’on change $m$ en $n.$ De là, enfin, si l’on pose

${\begin{aligned}\mathrm {T} ={\frac {1}{6}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{\alpha }}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {5}{2}}\!+\!{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{\alpha ^{2}}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {7}{2}}\\-{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{\alpha ^{3}}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {9}{2}}+\dots \mathrm {etc.} ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {U} ={\frac {1}{6}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{\alpha }}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{\alpha ^{2}}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {7}{2}}\\-{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{\alpha ^{3}}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {9}{2}}+\dots \mathrm {etc.} ,\end{aligned}}$

on obtient

$kt=\mathrm {U} \mp \mathrm {T} ,$

expressions qui s’accordent entièrement avec celles développées dans l’art. 107, si dans celles-là on change $a$ en $-\alpha .$

Au reste ces séries, soit pour l’ellipse, soit pour l’hyperbole, sont surtout commodes pour l’usage pratique, lorsque $a$ ou $\alpha$ a une très-grande valeur, c’est-à-dire quand la section conique ressemble de très-près à une parabole. Dans un tel cas, on peut aussi employer pour la solution du problème les méthodes développées précédemment (art. 85-105) ; mais comme en vérité, d’après notre jugement, elles n’apportent pas alors de brièveté à la solution donnée ci-dessus, nous ne nous arrêterons pas à exposer plus longuement cette méthode.

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1. C’est-à-dire, en posant dans la seconde formule
   $\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '),\quad \mathrm {B} ={\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi ,\quad \mathrm {C} ={\frac {1}{2}}(\mathrm {N} -\mathrm {N} ')$
2. La déduction de cette dernière formule suppose quelques transformations moins évidentes et qui seront expliquées dans une autre occasion.
3. Si à la vérité nous supposons le problème réellement soluble.
4. Cette équation montre que si $\cos f$ est négatif, $\varphi$ doit certainement être plus grand que $90^{\circ }\!-g$.
5. D’où il est en même temps évident que $y$ et $\mathrm {Y}$ expriment, dans la parabole, les mêmes rapports que dans l’ellipse. (V. art. 95.)
6. Il sera à peine nécessaire de rappeler que notre table II peut être employée dans l’hyperbole comme dans l’ellipse, pour la résolution de cette équation, tant que $h$ ne dépasse pas ses limites.
7. La quantité $\mathrm {H}$ ne peut évidemment devenir négative, à moins qu’on ait $\zeta >{\frac {1}{6}}\,;$ mais à une telle valeur de $\zeta$ répondrait une valeur de $z$ plus grande que $2,684$ et par suite s’écartant beaucoup des limites de cette méthode.
8. En décrivant du premier lieu un cercle avec $2a-r$ pour rayon, et du second lieu un second cercle avec $2a-r',$ le second foyer de l’ellipse tombera évidemment à l’intersection de ces deux cercles. C’est pourquoi, comme généralement parlant, il y a toujours deux intersections, il en résultera deux ellipses différentes.