Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne (Bovier-Lapierre)/01

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CHAPITRE PREMIER

EXPLICATIONS PRÉLIMINAIRES.


1. Soit un champ triangulaire ABC (fig. 1), et supposons qu’il s’agisse de connaître les longueurs des côtés AB et BC sans les mesurer sur le terrain. Pour y parvenir, on chaîne le


Fig. 1.

côté AC et on mesure avec le graphomètre les angles A et C. On tire ensuite sur le papier une droite A’C’, qui contienne par exemple autant de millimètres que AC contient de mètres. En A’ on construit un angle égal à l’angle A, et en C’ un angle égal à l’angle C. Le triangle A’B’C’, ainsi obtenu, est semblable à celui du terrain ; il en est le plan. Les nombres de millimètres que contiendront les côtés A’B’ et B’C’ indiqueront combien il y a de mètres dans AB et BC. L’angle B’ sera égal à l’angle B ; il doit être la différence entre 180° et la somme des angles A et C.

En général, étant donnés trois des six éléments d’un triangle, on peut, par une construction facile, connaître les trois autres, pourvu toutefois que parmi les trois qui sont donnés il y ait au moins un côté. Mais ce moyen ne peut fournir des résultats d’une grande précision, parce que les instruments employés à la construction des figures sont plus ou moins défectueux, parce que l’étendue du papier varie avec l’humidité de l’air, et surtout parce qu’on est forcé de négliger des longueurs peu étendues du terrain, puisqu’elles devraient être représentées sur le papier par des lignes extrêmement petites, des fractions de millimètre par exemple.

On a donc cherché à obtenir, par le calcul, les trois éléments d’un triangle dont les trois autres sont connus ; c’est ce qu’on appelle résoudre un triangle. Cette partie des mathématiques, qui apprend à résoudre un triangle, porte le nom de trigonométrie.

2. Mesure des angles. — La géométrie enseigne que, pour connaître le rapport qui existe entre un angle et son unité qui est l’angle droit, il suffit de déterminer le rapport qu’il va entre l’arc intercepté entre les côtés de l’angle et décrit de son sommet pris pour centre, avec un rayon quelconque, et le quart de la circonférence à laquelle appartient cet arc. C’est ce qu’on exprime en disant : un angle au centre a pour mesure l’arc intercepté entre ses côtés.

Cet arc est ordinairement évalué en degrés, minutes et secondes. Le degré est la 360e partie de la circonférence et par conséquent la 90e partie du quart de la circonférence ; la minute est la 60e partie du degré, et la seconde est la 60e partie de la minute. Quand on dit qu’un angle est égal à 35 degrés, c’est une manière abrégée de dire qu’il contient 35 fois la 90e partie de l’angle droit. Le degré est indiqué par le signe °, la minute par et la seconde par . Exemple : signifie 35 degrés 12 minutes 27 secondes.

On peut aussi évaluer l’arc en faisant connaître sa longueur ; mais cette longueur est d’autant plus grande pour un même angle, que le rayon de l’arc est lui-même plus grand. Ainsi, les deux arcs AB et A’B’ (fig. 2) mesurent tous deux le même angle O, quoique leurs longueurs soient différentes. Il est donc nécessaire d’indiquer en même temps la longueur du rayon. Cependant, si au lieu d’exprimer cette longueur en mètres ou fraction de mètre, on cherche


Fig. 2.

quelle est la longueur de l’arc par rapport à son rayon, le nombre qui indiquera la longueur de AB indiquera aussi celle de A’B’. En effet, quand deux arcs contiennent le même nombre de degrés, leurs longueurs sont proportionnelles à leurs rayons. On a ainsi ou, en changeant les moyens de place entre eux, . Cette dernière égalité fait voir que le rapport entre la longueur d’un arc et celle de son rayon est constant pour un même angle. Si par exemple AB était les du rayon OA, l’arc A’B’ serait aussi les du rayon OA’.

Ainsi, l’angle est aussi bien déterminé quand on donne le rapport entre son arc et le rayon que lorsque l’arc est donné en degrés. Dire que l’arc d’un angle égale par exemple 1,6 signifie que l’arc décrit entre ses côtés et de son sommet pris pour centre contient 16 fois la 10e partie du rayon employé pour décrire l’arc, quel que soit ce rayon.

Il est facile de déduire le nombre de degrés de l’angle de la longueur de son arc. En effet, quand le rayon est pris pour unité, la longueur de la demi-circonférence est exprimée par le nombre

D’après cela :

un arc égal à 3,14159… contient 180°,

un arc égal à 1 contient

un arc égal à 1,6 contient .

On peut donc prendre indifféremment l’arc pour l’angle et réciproquement.

3. Si deux angles sont inégaux dans un triangle, on sait que le côté opposé au plus grand angle est plus grand que le côté opposé au plus petit ; mais le rapport des deux côtés n’est pas égal à celui des deux angles. Soit, par exemple, le triangle isoscèle ABC, dans lequel l’angle A est le double de l’angle B (c’est un triangle rectangle) (fig. 3). Le côté BC


Fig. 3.


est plus grand que le côté AC ; mais il est plus petit que le double de AC, car on a , ou , puisque AB est égal à AC. Or, pour résoudre le problème de la trigonométrie, il était nécessaire de connaître quelle relation existe entre les grandeurs des angles d’un triangle et les longueurs des côtés qui leur sont opposés. On y est parvenu au moyen de certaines lignes droites qui dépendent de l’angle ; ces lignes trigonométriques sont : le sinus, la tangente et la sécante.

LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES.

4. Soit l’arc AM (fig. 4) et les deux diamètres perpendiculaires entre eux AA’ et BB’. Abaissons MP perpendiculaire sur OA ; menons en A une tangente, et du centre O tirons par le point M la droite OT. La perpendiculaire MP est le sinus de l’angle AOM ; la droite


Fig. 4.


AT en est la tangente, et la droite OT la sécante.

Mais l’angle AOM est aussi mesuré par l’arc am ; donc mp, perpendiculaire sur OA, est aussi le sinus de l’angle AOM ; la droite at, perpendiculaire sur OA, est aussi la tangente de cet angle, et Ot en est aussi la sécante. Ainsi, un même angle a une infinité de sinus de grandeurs différentes, tels que MP et mp ; une infinité de tangentes telles que AT et at, une infinité de sécantes telles que OT et Ot. Par conséquent, pour qu’un angle fût déterminé quand la longueur de l’une de ses lignes trigonométriques est donnée, il faudrait connaître en même temps le rayon de l’arc qui mesure l’angle.

Mais les triangles rectangles OMP et Omp étant semblables, on a ou ce qui montre que le rapport entre la perpendiculaire MP et le rayon OM est constant, quel que soit le rayon de l’arc. Par exemple, si MP est les 0,68 du rayon OM, mp sera aussi les 0,68 de Om. Donc, si l’on prend la valeur numérique de ce rapport pour la longueur du sinus, ce qui revient à prendre le rayon pour unité de longueur, le nombre qui exprimera la longueur du sinus d’un angle restera le même, quel que soit le rayon. La même chose aura lieu pour la tangente et la sécante ; on le démontrerait en considérant les triangles semblables OAT, Oat.

D’après cela, nous dirons :

Le sinus d’un angle ou d’un arc est le nombre abstrait qui exprime la longueur de la perpendiculaire abaissée d’une extrémité de l’arc sur le rayon qui aboutit à l’autre extrémité, par rapport à ce rayon pris pour unité.

La tangente d’un angle ou d’un arc est le nombre abstrait qui exprime la longueur de la tangente menée à l’origine de l’arc depuis ce point jusqu’à la rencontre de la droite menée par le centre et par la seconde extrémité de l’arc, par rapport au rayon pris pour unité.

La sécante d’un angle ou d’un arc est le nombre abstrait qui exprime la longueur de la droite menée du centre par la seconde extrémité de l’arc jusqu’à la rencontre de la tangente menée à l’origine de l’arc, par rapport au rayon pris pour unité.

Ainsi, quand nous désignerons une ligne trigonométrique par les deux lettres de la figure, il faudra se souvenir que cette désignation exprime le nombre abstrait, qui fait connaître la longueur de cette ligne par rapport au rayon. Si on dit, par exemple, que le sinus de l’arc AM est égal à 0,63, c’est comme si on disait que la longueur de la perpendiculaire MP est égale à 63 fois la 100e partie du rayon OA.

5. Prolongeons MP jusqu’en N ; le sinus MP est la moitié de la corde MN, et l’arc AM est la moitié de l’arc MN. Donc le sinus d’un arc est la moitié de la corde qui sous-tend un arc double.

C’est de cette propriété que dérive le nom de sinus. Dans les traités de géométrie écrits en latin, la corde est désignée par le mot inscripta qui, avec les mots recta linea sous-entendus, signifie ligne droite inscrite. La perpendiculaire MP n’étant que la moitié de la corde était donc nommée semi-inscripta (demi-corde), et par abréviation s. ins. De là on a dit sinus, en ajoutant un u pour la prononciation.

6. Variations du sinus. — Si l’on considère, à partir du point A, un arc infiniment petit, son sinus est aussi infiniment petit. À mesure que l’arc augmente, le sinus augmente, et quand l’arc égale 90°, le sinus n’est autre chose que le rayon.

Soit maintenant un arc AB’ > 90°. Son sinus est M’P’ perpendiculaire sur A’A. À mesure que l’arc augmente au-delà de B, le sinus diminue, et quand l’arc égale 180° le sinus se réduit à un point. Ainsi, de 90° à 180° le sinus reprend les valeurs qu’il avait prises de 90° à 0°, et la valeur maximum du sinus d’un angle d’un triangle est 1, ce qui arrive quand l’angle est droit. Donc

,xxx,xxx.

Si la corde MM’ est parallèle à AA’, le sinus MP de l’arc AM est égal au sinus M’P’ de l’arc ABM’. Or, ces deux arcs sont supplémentaires. Donc, quand deux arcs sont supplémentaires, leurs sinus sont égaux. En désignant par a un arc < 90°, on a ainsi : .

7. Il y a des angles dont il est facile de connaître le sinus, par exemple les angles de 30°, de 60°, de 18° et de 45°.

En effet, le sinus de 30° est égal à la moitié de la corde qui sous-tend un arc de 60°. Or, cette corde est égale au rayon, donc : c’est-à-dire la moitié du rayon, quel que soit ce rayon.

De même, le sinus de 60° est égal à la moitié de la corde qui sous-tend un arc de 120° ; cette corde est égale à  ; donc : , c’est-à-dire 866 fois la 1000e partie du rayon.

Le côté du décagone régulier inscrit, c’est-à-dire la corde qui sous-tend un arc de 36°, égale  ; donc

,

c’est-à-dire 309 fois la 1000e partie du rayon.

Si l’arc AM a 45°, le triangle rectangle OMP est isoscèle et donne

  ou    ou   ;


de là

  ; donc  

c’est-à-dire 707 fois la 1000e partie du rayon.

8. Variations de la tangente. — Pour un arc infiniment petit à l’origine A, la tangente est infiniment petite, et elle augmente à mesure que l’arc augmente, car le point de rencontre T de la droite tangente en A et de la droite menée par les points O et M s’éloigne de plus en plus. Quand l’arc est égal à 90°, ce point de rencontre est infiniment éloigné ; en d’autres termes, ces deux droites sont parallèles. La tangente de 90° est donc infinie.

Si l’arc AM a 45°, la tangente AT est égale au rayon OA. Donc

, ,  ([1]).

Soit un arc ABM’ > 90°. La droite menée par le centre O et la seconde extrémité de l’arc ne rencontre la tangente menée en A qu’au-dessous du diamètre AA’ ; la tangente de l’arc ABM’ est donc AT’. Mais cette tangente a une position directement contraire à celle qu’elle avait lorsque l’arc était < 90°. Pour indiquer cette position, on met le signe devant le nombre qui exprime la longueur de AT’ par rapport au rayon, et on regarde la tangente AT, située au-dessus, comme ayant le signe  Ainsi, la tangente d’un arc < 90° est positive, c’est-à-dire qu’elle est située au-dessus du diamètre mené à l’origine A de l’arc ; la tangente d'un arc > 90° est négative, c’est-à-dire qu’elle est placée au-dessous de ce diamètre.

À mesure que l’arc augmente au-delà de 90°, l’extrémité M’ se rapproche de A’, et le point T’ se rapproche de A, et quand M’ est en A’, le point T’ est en A. Ainsi, de 90° à 180°, la tangente varie de l’infini à zéro, en conservant toujours le signe . La tangente de 90° est tout à la fois égale à et à . Elle prend le signe quand on arrive à 90° en partant d’un arc plus petit, et le signe quand on y arrive en partant d’un arc plus grand.

Si la corde MM’ est parallèle à AA’, l’arc AM est le supplément de l’arc ABM’, et AT’ est égal à AT à cause de l’égalité des triangles rectangles AOT, AOT’. Donc, quand deux arcs sont supplémentaires, leurs tangentes sont égales et de signes contraires.

On a ainsi xxxx.

9. Variations de la sécante. — Pour un arc infiniment petit à partir de A, la sécante est égale au rayon. À mesure que l’arc grandit, la sécante grandit aussi, et à 90° la sécante est infinie comme la tangente. Si l’arc AM est égal à 45°, les deux côtés de l’angle droit du triangle rectangle AOT sont égaux au rayon, ce qui donne xxxx ou .

On a donc xxxx , , .

Considérons un arc ABM’ > 90°. La sécante OT’, partant du point 0, devrait passer par M’ d’après la définition de la sécante ; or, pour rencontrer la tangente, elle prend une position directement contraire à celle qu’elle aurait dû avoir. Pour indiquer que la sécante a cette position, on met le signe devant le nombre qui exprime la longueur de OT’ par rapport au rayon. La sécante d’un arc < 90° doit alors être regardée comme étant précédée du signe . Ainsi le signe mis devant une sécante indique que la seconde extrémité de l’arc se trouve entre le centre et le point où la sécante rencontre la tangente, et que l’arc correspondant est < 90°. Le signe indique que la sécante, au lieu de passer par la seconde extrémité de l’arc, se dirige en sens inverse, et que l'arc correspondant est > 90°.

Quand l’arc augmente au-delà de 90°, la sécante, abstraction faite de son signe, diminue, et quand l’arc égale 180°, la sécante est le rayon OA’ ; donc .

La sécante de 90° est égale tout à la fois à et à comme la tangente.

Si la corde MM’ ; est parallèle à AA’, les deux arcs AM et ABM’ sont supplémentaires, et OT égale OT’. Donc, quand deux arcs sont supplémentaires, leurs sécantes sont égales et de signes contraires. On a ainsi : .

10. Lignes des arcs complémentaires. — Outre les trois lignes trigonométriques dont nous venons de parler, on en considère encore trois autres : le cosinus, la cotangente, et la cosécante.

Le cosinus, la cotangente et la cosécante d’un arc ne sont autre chose que le sinus, la tangente et la sécante du complément de cet arc. C’est ce qu’on exprime de la manière suivante :

Si l'arc a est > 90°, son complément est l’arc qu’il faut en retrancher pour le ramener à 90°. Ainsi le complément de l’arc ABM’ est l’arc BM’ retranché, ou BM’ (fig. 5).

Soit l’arc AM, dont le complément est BM. En prenant le point B pour l’origine de l’arc complémentaire, abaissons MC perpendiculaire sur OB, et menons en B une tangente à la circonférence, le sinus de l’arc BM est MC ; sa tangente est BS et sa sécante OS. Donc le cosinus de l’arc AM est MC ; sa cotangente est BS et sa cosécante est OS.

Ladroite OP étant égale à CM, le cosinus d’un arc est égal à la distance du centre au pied du sinus.

De même la droite OC étant égale à MP, le sinus d’un arc


Fig. 5.


peut être reporté sur le diamètre BB’ ; le sinus d’un arc est donc égal à la distance du centre au pied du cosinus.

11. Variations de ces trois lignes. — Lorsque l’arc pris à partir de A est infiniment petit, son cosinus est égal au rayon OA ; la cotangente qui part du point B et la cosécante qui part du point O en passant par A sont parallèles. Donc

,  ,  .

À mesure que l’arc augmente à partir de A, le cosinus, la cotangente et la cosécante diminuent. À 45°, le cosinus est égal au sinus, la cotangente à la tangente et la cosécante à la sécante. À 90°, le cosinus se réduit à un point ainsi que la cotangente ; la cosécante est le rayon OB. Donc

,  ,  ,
,  ,  .

Soit l'arc ABN > 90°. Son complément est BN pris soustractivement, le point B étant toujours l’origine des arcs complémentaires. Le cosinus de l’arc ABN est NC = OQ. Mais ce cosinus étant placé à gauche de O, sur le diamètre AA’, tandis que pour un arc < 90° il est à droite, on indiquera cette opposition de direction en mettant le signe devant le nombre qui exprime la longueur de OQ par rapport au rayon. Le cosinus OP est, par conséquent, regardé comme ayant le signe . Ainsi le cosinus d’un arc < 90° est positif, c’est-à-dire placé à droite du centre sur le diamètre AA’, et le cosinus d’un arc > 90° est négatif, c’est-à-dire placé à gauche du centre sur le même diamètre.

La cotangente de l’arc ABN est BS’. Cette ligne étant à gauche du point B, tandis que, pour l’arc AM < 90°, elle est à droite, on donnera encore le signe à BS’, et, par conséquent, le signe à BS.

La cosécante de l’arc ABN est OS’. La seconde extrémité N de l’arc se trouvant entre le centre et le point S’ de rencontre avec la tangente, la cosécante occupe la position qu’elle doit avoir d’après la définition : elle sera donc regardée comme ayant le signe .

Si la droite MN est parallèle à AA’, les arcs AM et ABN sont supplémentaires, et il est facile de voir que OQ = OP, que BS’ = BS, et que OS’ = OS. Donc quand deux arcs sont supplémentaires, leurs cosinus sont égaux et de signes contraires ; leurs cotangentes sont égales et de signes contraires ; leurs cosécantes sont égales et ont toutes deux le signe . On a ainsi

,   ;
.

En résumant ce qui a été dit des arcs supplémentaires, on peut énoncer le principe suivant : quand deux arcs sont supplémentaires, leurs lignes trigonométriques de même nom sont égales et de signes contraires, excepté les sinus et les cosécantes qui ont le signe .

12. Une des lignes trigonométriques d’un arc étant donnée, il est facile de construire cet arc ou l’angle correspondant.

1° Supposons que le sinus d’un angle inconnu soit égal à 0,7, ce qu’on exprime ainsi : .

On décrit une circonférence avec un rayon quelconque (fig. 5), et on mène les deux diamètres rectangulaires AA’ et BB’. On prend sur OB à partir de 0 une longueur OC égale à 7 fois la 10e partie du rayon, et, par le point C, on mène la droite MN, parallèle à AA’. Les deux arcs supplémentaires AM et ABN sont les arcs demandés. Les angles sont AOM et AON.

2° Soit . Après avoir mené une tangente en B, on prend sur cette droite et à gauche de B, à cause du signe , une longueur BS’ égale à 12 fois la 10e partie du rayon, et on tire la droite OS’. L’arc ABN est l’arc demandé.

FORMULES FONDAMENTALES.

13. 1° Quel que soit un arc, AM, par exemple (fig. 5), son sinus MP, son cosinus OP etle rayon OM forment toujours un triangle rectangle. Si donc on désigne l’arc AM par a, on aura, d’après un théorème de géométrie,

.

2° Les triangles rectangles semblables AOT et MOP donnent

  ou  ,


d’où

.

3° Les triangles rectangles semblables BOS, COM donnent

  ou  ,


d’où

.

4° Des triangles semblables AOT, MOP, on tire

  ou  ,
d’où
.

5° Des triangles semblables BOS, COM, on tire

,   ou  ,


d’où

.

Si on multiplie membre à membre la 2e égalité par la 3e, on obtient

,   ou  .

Remarque. — Ces formules sont vraies pour un arc > 90° comme pour un arc <&thonsp;90° ; car les lignes trigonométriques de l’arc formeront toujours des triangles rectangles d’où on tirera les mêmes égalités, pourvu qu’on ait soin de donner à chaque ligne le signe qui lui convient. Par exemple, considérons l’arc ABN, dont la tangente est — AT’. Les triangles semblables AOT’, NOQ’ donnent . Or, en désignant par a’ l’arc ABN, on a

, d’où  ,
 ,   d’où  ,
       et     .

Remplaçant les 4 termes de la proportion précédente par leurs valeurs, nous obtenons

,  ou  .


ou, en changeant les signes des deux membres, , ce qui est conforme à la formule trouvée (2°) pour un arc a < 90°.

En réunissant les formules ci-dessus, on forme le tableau suivant :

(I)
,   ,
, ,
, .

14. La première des formules (I) donne le moyen de calculer le cosinus d’un arc quand on connaît le sinus, et réciproquement. Une fois le sinus et le cosinus connus, on pourra calculer la tangente au moyen de la deuxième, la cotangente au moyen de la troisième, etc.

Prenons pour exemple l’arc de 30° dont le sinus égale .

On aura
xxxx, d’où ,
xxxx,
xxxx,
xxxx,
xxxx.

En effectuant les calculs jusqu’aux millièmes inclusivement,
on trouve

           
  1. Le caractère représente une valeur infiniment grande. Il en est de même du quotient , dans lequel le dividende n est un nombre quelconque. En effet, plus le diviseur devient petit, plus le quotient est grand, et quand le diviseur est infiniment petit, c’est-à-dire zéro, le quotient est infiniment grand.