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Livre Second.

d’où ôtant $x,$ on a

$y^{3}-by^{2}-cdy+bcd+dy{\sqrt {s^{2}-v^{2}+2vy-y^{2}}}=0\,;$

et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient

$\left.{\begin{aligned}&y^{6}-2by^{5}+\left(b^{2}-2cd+d^{2}\right)y^{4}+(4bcd-2d^{2}v)y^{3}\\+&\left(c^{2}d^{2}-d^{2}s^{2}+d^{2}v^{2}-2b^{2}cd\right)y^{2}-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}\right\}=0,$

et ainsi des autres.

Autre exemple en un ovale du second genre^[1].

Même encore que les points de la ligne courbe ne se rapportaient pas, en la façon que j’ai dite à ceux d’une ligne droite, mais en toute autre qu’on saurait imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si $\mathrm {CE}$ est une ligne, qui ait tel rapport aux trois points $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {G}$ et $\mathrm {A} ,$ que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme $\mathrm {C} ,$ jusqu’au point $\mathrm {F} ,$ surpassent la ligne $\mathrm {SA}$ d’une quantité, qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont $\mathrm {GA}$ surpasse les lignes tirées des mêmes points jusqu’à $\mathrm {G} .$ Faisons $\mathrm {GA} =b,$ $\mathrm {AF} =c$ et prenant à discrétion le point $\mathrm {C}$ dans la courbe, que la quantité dont $\mathrm {CF}$ surpasse $\mathrm {SA} ,$ soit à celle dont $\mathrm {GA}$ surpasse $\mathrm {GC} ,$ comme $d$ à $e,$ en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme $z,$ $\mathrm {CF}$ est $c+z,$ et $\mathrm {GC}$ est $b-{\frac {e}{d}}z.$ Puis posant $\mathrm {MA} =y,$ $\mathrm {GM}$ est $b-y,$ et $\mathrm {FM}$ est $c+y,$ et à cause du triangle rectangle $\mathrm {CMG} ,$ ôtant le carré de $\mathrm {GM}$ du carré de $\mathrm {GC} ,$ on a le carré de $\mathrm {CM} ,$ qui est

${\frac {c^{2}}{d^{2}}}z^{2}-{\frac {2bc}{d}}z+2by-y^{2}\,;$

1. Titre dans la table des matières