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que nous avons suppose $e$ égal à $y,$ on a $v=y-{\frac {r}{q}}y+{\frac {1}{2}}r.$ Et ainsi on pourrait trouver $s$ par le troisième terme $e^{2}={\frac {qv^{2}-qs^{2}}{q-r}}\,;$ mais pourceque la quantité $v$ détermine assez le point $\mathrm {P} ,$ qui et le seul que nous cherchions, on n’a pas besoin de passer outre.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus^[1], à savoir

${\begin{aligned}&y^{6}-2by^{5}+\left(b^{2}-2cd+d^{2}\right)y^{4}+(4bcd-2d^{2}v)y^{3}\\&+\left(c^{2}d^{2}-2b^{2}cd+d^{2}v^{2}-d^{2}s^{2}\right)y^{2}-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}=0,\end{aligned}}$

doit avoir même somme, que la somme qui se produit lorsqu’on multiplie

$y^{2}-2ey+e^{2}\quad {\text{par}}\quad y^{4}+fy^{3}+g^{2}y^{2}+h^{3}y+k^{4}$

qui est

${\begin{aligned}y^{6}+&(f-2e)y^{5}+\left(g^{2}-2ef+e^{2}\right)y^{4}+\left(h^{3}-2eg^{2}+e^{2}f\right)y^{3}\\&+\left(k^{4}-2eh^{3}+e^{2}g^{2}\right)y^{2}+\left(e^{2}h^{3}-2ek^{4}\right)y+e^{2}k^{4}\,;\end{aligned}}$

de façon que de ces deux équations j’en tire six autres, qui servent à connaître les six quantités $f,\,g,\,h,\,k,\,v$ et $s$. D’où il est fort aisé à entendre, que de quelque genre, que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’équations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité $v,$ qui et la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher $f,$

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