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Livre Troisième.

pêcheroient que la division ne s’y pût faire. Et notez, que je ne compte ici les dimensions de $y^{6},$ que pour trois, à cause qu’il n’y a point de $y^{5},$ ni de $y^{3},$ ni de $y$ en toute la somme. Or en examinant le binôme $y^{2}-a^{2}-c^{2}=0,$ on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte^[1] :

${\begin{array}{rr}{\begin{array}{rrr}&\left.{\begin{aligned}+y^{6}&+\ \ a^{2}\\{\underline {-y^{6}}}&-2c^{2}\end{aligned}}\right\}y^{4}&\left.{\begin{aligned}&-a^{4}\quad \\&+c^{4}\quad \end{aligned}}\right\}y^{2}\\&\left.{\begin{aligned}0\ \ &-2a^{4}\\&+\ \ c^{2}\end{aligned}}\right\}y^{4}&\left.{\begin{aligned}&-a^{4}\\&-a^{2}c^{2}\end{aligned}}\right\}y^{2}\\&{\overline {-\ \ a^{2}-c^{2}}}&{\overline {-\ \ a^{2}-c^{2}}}\end{array}}&{\begin{aligned}&\left.{\begin{aligned}-\ \ a^{6}&\\-2a^{4}c^{2}&\\{\underline {-\ \ a^{2}c^{4}}}&\end{aligned}}\right\}=0\\&-\;a^{2}-c^{2}\qquad \\\ \end{aligned}}\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{rrr}&\left.{\begin{aligned}+y^{4}&\qquad \qquad \ \ +2a^{2}\\&\qquad \qquad \ \ -\ \ c^{2}\end{aligned}}\right\}y^{2}&\left.{\begin{aligned}&\ \ +a^{4}\\&\ \ +a^{2}c^{2}\end{aligned}}\right\}=0,\end{array}}$

ce qui montre que la racine cherchée est $a^{2}+c^{2}.$ Et la preuve en est aisée à faire par la multiplication.

Quels problèmes sont solides lorsque l’équation est cubique.

Mais lorsqu’on ne trouve aucun binôme, qui puisse ainsi diviser toute la somme de l’équation proposée, il est certain que le Problème qui en dépend est solide. Et ce n’est pas une moindre faute après cela, de tâcher à le construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce serait d’employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n’a besoin que de cercles : car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s’appelle faute.

La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides.

Que si on a une équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds^[2] et rompus^[3],

1. Le résultat de la division est alors
   
   $y^{4}+\left(2a^{2}-c^{2}\right)y^{2}+a^{4}+a^{2}c^{2}=0$
2. Irrationnels
3. Fractions.