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Livre Troisième.

car $y$ est $4,$ ${\frac {1}{2}}y^{2}$ est $8,$ $p$ est $17,$ et $q$ est $20,$ de façon que

$+{\frac {1}{2}}y^{2}-{\frac {1}{2}}p-{\frac {q}{2y}}{\text{ fait}}-3,\quad {\text{et}}\quad +{\frac {1}{2}}y^{2}-{\frac {1}{2}}p+{\frac {q}{2y}}{\text{ fait}}+2.$

Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes les mêmes, que si on les tirait de celle où est $x^{4},$ à savoir on en trouve vue vraie, qui est ${\sqrt {7}}+2,$ et trois fausses, qui sont

${\sqrt {7}}-2,\quad 2+{\sqrt {2}},\quad {\text{et}}\quad 2-{\sqrt {2}}.$

Ainsi ayant

$x^{4}-4x^{2}-8x+35=0,$

pourceque la racine de

$y^{6}-8y^{4}-124y^{2}-64=0,$

est derechef $16,$ il faut écrire

$x^{2}-4x+5=0$

et $\qquad \qquad \qquad \qquad x^{2}+4x+7=0.$

Car ici

$+{\frac {1}{2}}y^{2}-{\frac {1}{2}}p-{\frac {q}{2y}}{\text{ fait }}5,\quad {\text{et}}\quad +{\frac {1}{2}}y^{2}-{\frac {1}{2}}p+{\frac {q}{2y}}{\text{ fait }}7.$

Et pourcequ’on ne trouve aucune racine, ni vraie, ni fausse, en ces deux dernières équations, on connaît delà que les quatre de l’équation dont elles procèdent sont imaginaires ; et que le problème, pour lequel on l’a trouvée, est plan de sa nature ; mais qu’il ne saurait en aucune façon être construit, à cause que les quantités données ne peuvent se joindre^[1].

Tout de même ayant

$z^{4}+\left({\frac {1}{2}}a^{2}-c^{2}\right)z^{2}-\left(a^{2}+ac^{2}\right)z-{\frac {5}{16}}a^{4}-{\frac {1}{4}}a^{2}c^{2}=0,$

1. Ajouter.