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La Géométrie.

pourcequ’on trouve $a^{2}+c^{2}$ pour $y^{2},$ il faut écrire

$z^{2}-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}z+{\frac {3}{4}}a^{2}-{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}=0,$

et

$z^{2}+{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}z+{\frac {3}{4}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}=0,$

car $y$ est ${\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$ et $+{\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}p$ est ${\frac {3}{4}}a^{2},$ et ${\frac {q}{2y}}$ est ${\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}},$ d’où on connaît que la valeur de $z$ est

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}+{\sqrt {-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}},$

ou bien

${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}-{\sqrt {-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}.$

Et puisque nous avons fait ci dessus $z+{\frac {1}{2}}a=x,$ nous apprenons que la quantité $x,$ pour la connaissance de laquelle nous avons fait toutes ces opérations, est

$+{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}.$

Exemple de l’usage de ces réductions.

Mais afin qu’on puisse mieux connaître l’utilité de cette règle il faut que je l’applique à quelque problème.

fig. 19

Si le carré $\mathrm {AD}$ (fig. 19) et la ligne $\mathrm {BN}$ étant donnés, il faut prolonger le côté $\mathrm {AC}$ jusqu’à $\mathrm {E} ,$ en sorte que $\mathrm {EF} ,$ tirée de $\mathrm {E}$ vers $\mathrm {B} ,$ soit égale à $\mathrm {NB} \,:$ on apprend de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé $\mathrm {BD}$ jusqu’à $\mathrm {G} ,$ en sorte que $\mathrm {DG}$ soit égale à $\mathrm {DN} \,;$ et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit $\mathrm {BG} ,$ si on prolonge la ligne droite $\mathrm {AC} ,$ elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point $\mathrm {E}$ qu’on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient