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Livre Troisième.
point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s’aviseraient jamais de prendre
pour la quantité inconnue, mais plutôt
ou
à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant
pour
ou
et
pour
et
pour
on a
et comme
ou
est à
ou
ainsi
ou
est à
qui par conséquent est
Puis à cause du triangle rectangle
dont les côtés sont l’un
et l’autre
leurs carrés, qui sont
sont égaux à celui de la base, qui est
de façon que, multipliant le tout par
on trouve que l’équation est
![{\displaystyle x^{4}-2ax^{3}+2a^{2}x^{2}-2a^{3}x+a^{4}=c^{2}x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246e329c040d0ec7b86ad6686ac6a32a6bf02e18)
ou bien
![{\displaystyle x^{4}-2ax^{3}+(2a^{2}-c^{2})x^{2}-2a^{3}x+a^{4}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b438e63d6b385a1785d34af898db71b643f4b3bf)
et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne
est
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e0646f8f2328aecad12d36bdf21afe30c1bdbf)
Que si on posait
ou
ou
pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y vien-