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Livre Troisième.

point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer ; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s’aviseraient jamais de prendre $\mathrm {DG}$ pour la quantité inconnue, mais plutôt $\mathrm {CF}$ ou $\mathrm {FD} ,$ à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant $a$ pour $\mathrm {BD}$ ou $\mathrm {CD} ,$ et $c$ pour $\mathrm {EF} ,$ et $x$ pour $\mathrm {DF} ,$ on a $\mathrm {CF} =a-x,$ et comme $\mathrm {CF}$ ou $a-x$ est à $\mathrm {FE}$ ou $c,$ ainsi $\mathrm {FD}$ ou $x$ est à $\mathrm {BF} ,$ qui par conséquent est ${\frac {cx}{a-x}}.$ Puis à cause du triangle rectangle $\mathrm {BDF}$ dont les côtés sont l’un $x$ et l’autre $a,$ leurs carrés, qui sont $x^{2}+a^{2},$ sont égaux à celui de la base, qui est ${\frac {c^{2}x^{2}}{x^{2}-2ax+a^{2}}}\,;$ de façon que, multipliant le tout par $x^{2}-2ax+a^{2},$ on trouve que l’équation est

$x^{4}-2ax^{3}+2a^{2}x^{2}-2a^{3}x+a^{4}=c^{2}x^{2},$

ou bien

$x^{4}-2ax^{3}+(2a^{2}-c^{2})x^{2}-2a^{3}x+a^{4}=0\,;$

et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne $\mathrm {DF} ,$ est

${\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}.$

Que si on posait $\mathrm {BF} ,$ ou $\mathrm {CE} ,$ ou $\mathrm {BE} ,$ pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y vien-