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La Géométrie.

$z+{\frac {1}{2}}q,$ dont le carré est

$z^{2}+qz+{\frac {1}{4}}q^{2}\,;$

et assemblant ces deux carrés, on a

$z^{4}-pz^{2}+qz+{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}},$

pour le carré de la ligne $\mathrm {GE} ,$ à cause qu’elle est la base du triangle rectangle $\mathrm {EMG} .$

Mais a cause que cette même ligne $\mathrm {GE}$ est le demi-diamètre du cercle $\mathrm {FG} ,$ elle se peut encore expliquer en d’autres termes, à savoir $\mathrm {ED}$ étant ${\frac {1}{2}}q,$ et $\mathrm {AD}$ étant ${\frac {1}{2}}q+{\frac {1}{2}},$ $\mathrm {AE}$ est

${\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}}},$

à cause de l’angle droit $\mathrm {ADE} \,;$ puis $\mathrm {HA}$ étant moyenne proportionnelle entre $\mathrm {AS}$ qui est $1$ et $\mathrm {AR}$ qui est $r,$ elle est ${\sqrt {r}}\,;$ et à cause de l’angle droit $\mathrm {EAH} ,$ le carré de $\mathrm {HE} ,$ ou $\mathrm {EG}$ est

${\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}+r\,;$

si bien qu’il y a Équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

$z^{4}=pz^{2}-qz+r,$

et par conséquent la ligne trouvée $\mathrm {GK}$ qui a été nommée $z$ est la racine de cette équation, ainsi qu’il fallait démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes $+$ et $-$ selon l’occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu’il soit besoin que je m’y arête.

Si on veut donc suivant cette règle trouver deux