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Livre Troisième.

Et le carré de $\mathrm {GH}$ est

${\frac {y^{6}-py^{5}+\left({\frac {1}{4}}p^{2}-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-p{\sqrt {u}}\right)y^{2}-ty+u}{n^{2}y^{2}}},$

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu’on veuille imaginer le point $\mathrm {C} ,$ comme vers $\mathrm {N} ,$ ou vers $\mathrm {Q} ,$ on trouvera toujours que le carré de là ligne droite, qui est entre le point $\mathrm {H}$ et celui où tombe la perpendiculaire du point $\mathrm {C}$ sur $\mathrm {BH} ,$ peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes $+$ et $-.$

fig. 25

De plus $\mathrm {HI}$ étant ${\frac {m}{n^{2}}}$ et $\mathrm {LH}$ étant ${\frac {t}{2n{\sqrt {u}}}}$, $\mathrm {IL}$ est

${\sqrt {{\frac {m^{2}}{n^{4}}}+{\frac {t^{2}}{4n^{2}u}}}},$

à cause de l’angle droit $\mathrm {IHL} \,;$ et $\mathrm {LP}$ étant

${\sqrt {{\frac {s}{n^{2}}}+{\frac {p{\sqrt {u}}}{n^{2}}}}}$,

$\mathrm {IP}$ ou $\mathrm {IC}$ est

${\sqrt {{\frac {m^{2}}{n^{4}}}+{\frac {t^{2}}{4n^{2}u}}-{\frac {s}{n^{2}}}-{\frac {p{\sqrt {u}}}{n^{2}}}}},$,

à cause aussi de l’angle droit $\mathrm {IPL} .$ Puis ayant fait $\mathrm {CM}$ perpendiculaire sur $\mathrm {IH,\ IM}$ est la différence qui est entre $\mathrm {HI}$ et $\mathrm {HM}$ ou $\mathrm {CG} ,$ c’est à dire entre ${\frac {m}{n^{2}}}$ et $y,$ en sorte que son carré est toujours

${\frac {m^{2}}{m^{4}}}-{\frac {2my}{n^{2}}}+y^{2},$

qui étant ôté du carré de de $\mathrm {IC} ,$ il reste

${\frac {t^{2}}{4n^{2}u}}-{\frac {s}{n^{2}}}-{\frac {p{\sqrt {u}}}{n^{2}}}-{\frac {2my}{n^{2}}}-y^{2}$

pour le quarré de $\mathrm {CM} ,$ qui est égal au carré de $\mathrm {GH}$