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Livre Troisième.

Et le carré de GH est

${\frac {y^{6}-py^{5}+\left({\frac {1}{4}}p^{2}-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-p{\sqrt {u}}\right)y^{2}-ty+u}{n^{2}y^{2}}}$,

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point C, comme vers N, ou vers Q, on trouvera toujours que le carré de là ligne droite, qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes, et avec les mêmes signes + et -.

fig. 25

De plus IH étant ${\frac {m}{n^{2}}}$ et LH étant ${\frac {t}{2n{\sqrt {u}}}}$,

IL est ${\sqrt {{\frac {m^{2}}{n^{4}}}+{\frac {t^{2}}{4n^{2}u}}}}$

à cause de l'angle droit IHL ; et LP étant

${\sqrt {{\frac {s}{n^{2}}}+{\frac {p{\sqrt {u}}}{n^{2}}}}}$,

IP ou IC est

${\sqrt {{\frac {m^{2}}{n^{4}}}+{\frac {t^{2}}{4n^{2}u}}-{\frac {s}{n^{2}}}-{\frac {p{\sqrt {u}}}{n^{2}}}}}$,

à cause aussi de l’angle droit IPL. Puis ayant fait CM perpendiculaire sur IH, IM est la différence qui est entre IH et HM ou CG, c'est à dire entre ${\frac {m}{n^{2}}}$ et y,

en sorte que son carré est toujours

${\frac {m^{2}}{m^{4}}}-{\frac {2my}{n^{2}}}+y^{2}$

qui étant ôté du carré de de IC, il reste

${\frac {t^{2}}{4n^{2}u}}-{\frac {s}{n^{2}}}-{\frac {p{\sqrt {u}}}{n^{2}}}-{\frac {2my}{n^{2}}}-y^{2}$

pour le quarré de CM, qui est égal au carré de GH