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La Géométrie.

déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n²y², on a

${\frac {-n^{2}y^{4}+2my^{3}-p{\sqrt {u}}y^{2}-sy^{2}+{\frac {t^{2}}{4u}}y^{2}}{n^{2}y^{2}}}$

puis remettant ${\frac {t}{\sqrt {u}}}y^{4}+qy^{4}-{\frac {1}{4}}p^{2}y^{4}$, pour $n^{2}y^{4}$ et $ry^{3}+2{\sqrt {u}}y^{3}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}y^{3}$ pour $2my^{3}\,;$ et multipliant l'une et l'autre somme par $n^{2}y^{2},$ on a

$y^{6}-py^{5}+\left({\frac {1}{4}}p^{2}-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-p{\sqrt {u}}\right)y^{2}-ty+u$

égal à

$\left({\frac {1}{4}}p^{2}-q-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(r+2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-s-p{\sqrt {u}}\right)y^{2},$

c'est à dire qu'on a

$y^{6}-py^{5}+qy^{4}-ry^{3}+sy^{2}-ty+u=0.$

D'où il paraît que les lignes $\mathrm {CG,NR,QO} ,$ et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu'il fallait démontrer.

Créer quatre moyennes proportionnelles^[1]

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes $a$ et $b,$ ayant posé $x$ pour la première, l'équation est

$x^{5}-a^{4}b=0,\quad {\text{ou bien}}\quad x^{6}-a^{4}bx=0.$

En faisant $y-a=x$ il vient

$y^{6}-6ay^{5}+15a^{2}y^{4}-20a^{3}y^{3}+15a^{4}y^{2}-\left(6a^{5}+a^{4}b\right)+a^{6}+a^{5}b=0\,;$

c’est pourquoi il faut prendre $3a$ pour la ligne $\mathrm {AB} ,$ et

$\mathrm {LH} ={\sqrt {{\frac {6a^{3}+a^{2}b}{\sqrt {a^{2}+ab}}}+6a^{2}}}$

pour $\mathrm {BK}$ ou le côté droit de la parabole, que j'ai

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