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La Géométrie.
déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n2y2, on a
![{\displaystyle {\frac {-n^{2}y^{4}+2my^{3}-p{\sqrt {u}}y^{2}-sy^{2}+{\frac {t^{2}}{4u}}y^{2}}{n^{2}y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750c7aed279c1fd33574a157f2947f0c4acb4d1c)
puis remettant
, pour
et
pour
et multipliant l'une et l'autre somme par
on a
![{\displaystyle y^{6}-py^{5}+\left({\frac {1}{4}}p^{2}-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-p{\sqrt {u}}\right)y^{2}-ty+u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7fe0f736aeba6d184f857ba0da6b65bfb64a62)
égal à
![{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}p^{2}-q-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(r+2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-s-p{\sqrt {u}}\right)y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d782265d0238b9bfc702373bbbdcdf590a819d0)
c'est à dire qu'on a
![{\displaystyle y^{6}-py^{5}+qy^{4}-ry^{3}+sy^{2}-ty+u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40de6946b61083a8d9d0570203807dfdd06417c7)
D'où il paraît que les lignes
et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu'il fallait démontrer.
Créer quatre moyennes proportionnelles[1]
Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes
et
ayant posé
pour la première, l'équation est
![{\displaystyle x^{5}-a^{4}b=0,\quad {\text{ou bien}}\quad x^{6}-a^{4}bx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a47ee73c038af98b1afe017f7652a86d8c53d0)
En faisant
il vient
![{\displaystyle y^{6}-6ay^{5}+15a^{2}y^{4}-20a^{3}y^{3}+15a^{4}y^{2}-\left(6a^{5}+a^{4}b\right)+a^{6}+a^{5}b=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df51c6e1c0f07d0bf5e285eb7782201f4888cec9)
c’est pourquoi il faut prendre
pour la ligne
et
![{\displaystyle \mathrm {LH} ={\sqrt {{\frac {6a^{3}+a^{2}b}{\sqrt {a^{2}+ab}}}+6a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5675c47611d1cc1f349d8c05f1dc899c6157f9e)
pour
ou le côté droit de la parabole, que j'ai
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