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QUESTIONS

${\frac {y}{x}}={\frac {1-3p^{2}}{p^{3}-3p}}.$

cette équation donne d’abord la solution particulière $y=x\,;$ mais il est clair qu’elle ne saurait convenir à la question qui nous occupe.

En éliminant $y$ entre dite et sa différentielle, il vient, toutes réductions faites

${\frac {\operatorname {d} x}{x}}={\frac {3\left(p^{2}+1\right)\operatorname {d} p}{p\left(p^{2}-1\right)\left(p^{2}-3\right)}},$

ce qui donne, en intégrant,

$Cx={\frac {p\left(p^{2}-3\right)}{\left(p^{2}-1\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

$C$ étant la constante arbitraire. Mais nous avons

${\frac {y}{x}}={\frac {1-3p^{2}}{p\left(p^{2}-3\right)}},$

ce qui donne, en multipliant,

$Cy={\frac {1-3p^{2}}{\left(p^{2}-1\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

prenant donc la somme des quarrés des valeurs de $x$ et $y,$ il viendra, en réduisant,

$C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)^{3},$

d’où

${\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\sqrt[{3}]{C^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\,;$

ce qui donne