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DU CHIEN.
![{\displaystyle 2{\frac {y}{a}}={\frac {1}{n+1}}\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}-1\right\}+{\frac {1}{n-1}}\left\{\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}-1\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06af667c4cab1b81d5c1e724de8f96abe1d11bf)
(15)
Telle est donc l’équation de la courbe.
Cette équation peut être mise sous la forme suivante :
![{\displaystyle 2\left({\frac {y}{a}}+{\frac {n}{n^{2}-1}}\right)={\frac {1}{n+1}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}+{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694caf3d309b4cf8ccdf7aaf5784df42bb75fd2a)
de sorte qu’en portant l’origine au point de l’axe des
pour lequel on a
![{\displaystyle y=-{\frac {na}{n^{2}-1}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04eee3b449c1276dbafe1ac7510cea0d8e5c726b)
(16)
cette équation deviendra simplement
![{\displaystyle y={\frac {a}{2}}\left\{{\frac {a}{n+1}}\left({\frac {1}{a}}\right)^{n+1}+{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f751383344f2aecff5feccc1b47bed719aed52)
(17)
Si l’on pose
![{\displaystyle 2y'={\frac {a}{n+1}}\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1},\qquad 2y''={\frac {a}{n-1}}\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4f8f30ca2026d5d1c10dbc34a6a394868a5599)
(18)
on aura
![{\displaystyle y=y'+y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3399965b94104b9f7b5932f14b7a21f49b8e8b88)
En construisant donc les courbes exprimées par les équations (18) ; ce qui sera facile au moyen des logarithmes, les ordonnées de la courbe cherchée seront la somme des leurs.
En désignant par
la distance du maître à l’origine, lorsque son chien est au point
on a, pour la distance du chien à son maître,