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PROBLÈME

${\sqrt {x^{2}+(y'-y)^{2}}}\,;$

mais la formule (2) donne

$y'-y=-px,$

ce qui donne, en substituant,

$x{\sqrt {1+p^{2}}}\quad$ou$\quad {\frac {1}{2}}x\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n}\right\}$

ou encore

${\frac {1}{2}}a\left\{\left({\frac {x}{a}}\right)^{n+1}+\left({\frac {a}{x}}\right)^{n-1}\right\}.\qquad$(19)

Après avoir ainsi déterminé les formules générales, venons à quelques cas particuliers. Supposons, en premier lieu, que la vitesse du chien soit égale à celle de son maître ; on aura alors $n=1,$ ce qui rendra infinie une partie du second membre de l’équation de la courbe. Cette circonstance annonce un changement dans la forme de la fonction, et nous oblige de refaire une partie de nos calculs pour ce cas particulier.

Nous aurons ici

${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{2}}\left\{{\frac {x}{a}}+{\frac {a}{x}}\right\}\,;$

ce qui donnera, en intégrant

$s+B={\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{2a}}+a\operatorname {\operatorname {Log} } .x\right)\,;$

en se rappelant toujours qu’a $s=0$ doit répondre $x=a,$ on aura