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INTÉGRALES

14. Il est des problèmes qui, bien que beaucoup plus compliqués eu apparence que celui qui vient de nous occuper, s’y ramènent pourtant avec la plus grande facilité. Soient $U,P,Q,R\ldots$ des quantités composées d’une manière connue quelconque en $x,y,y',y'',\ldots .$ On peut se demander d’assigner, parmi les diverses valeurs de $y$ en $x$ qui, entre des limites déterminées, donnent

$\int P\operatorname {d} x=a,\quad \int Q\operatorname {d} x=b,\quad \int R\operatorname {d} x=c,\ldots \qquad$(XI)

où $a,b,c$ sont des constantes données, quelle est celle qui, entre les mêmes limites, rend $\int U\operatorname {d} x$ maximum ou minimum.

15. Pour résoudre cette question, on considérera que puisque, entre les limites dont il s’agit, $\int P\operatorname {d} x,\ \int Q\operatorname {d} x,\ \int R\operatorname {d} x,\ldots$ doivent être constantes, il doit en être de même de $A\int P\operatorname {d} x,\ B\int Q\operatorname {d} x,$$C\int R\operatorname {d} x,\ldots$ où $A,B,C,\ldots$ sont de nouvelles constantes ; il en sera donc aussi de même de la somme

$A\int P\operatorname {d} x+B\int Q\operatorname {d} x+C\int R\operatorname {d} x+\ldots \,;$

d’où il suit que la même relation de $y$ à $x$ qui, entre les limites assignées, rendra maximum ou minimum l’intégrale $\int U\operatorname {d} x$ devra aussi rendre telle, entre les mêmes limites, la somme

$\int U\operatorname {d} x+A\int P\operatorname {d} x+B\int Q\operatorname {d} x+C\int R\operatorname {d} x+\ldots ,$

c’est-à-dire,

$\int (U+AP+BQ+CR+\ldots )\operatorname {d} x\,;$

en posant donc

$V=U+AP+BQ+CR+\ldots$

la question se trouvera réduite au cas où il s’agit simplement de rendre $\int V\operatorname {d} x$ maximum ou minimum, entre des limites données ;