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RÉSOLUES.

$b={\sqrt {\frac {\varpi r^{2}-a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\alpha }}}\,;$

on aura simplement

${\frac {x}{\operatorname {Sin} .t}}={\frac {b}{\sqrt {t\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )}}}.$

Cela posé, on a

$Longueur\mathrm {AXV=AX+XV} =a-x+{\frac {tx\operatorname {Sin} .\alpha }{\operatorname {Sin} .t}}\,;$

ou encore

$\mathrm {AXV} =a+(t\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .t){\frac {x}{\operatorname {Sin} .t}}\,;$

mettant donc pour ${\frac {x}{\operatorname {Sin} .t}}$ la valeur trouvée ci-dessus, il viendra

$\mathrm {AVX} =a+b.{\frac {t\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .t}{\sqrt {t\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )}}}\,;$

il s’agira donc de prendre $t$ de telle sorte que cette quantité soit un minimum ce qui se réduira à rendre telle la quantité

${\frac {t\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .t}{\sqrt {t\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .t\operatorname {Sin} .(t+\alpha )}}}\,;$

égalant donc à zéro la différentielle de cette dernière, prise par rapport à $t,$ il viendra, toutes réductions faites,

$(\operatorname {Sin} .t-t\operatorname {Cos} .t)\left\{1-\operatorname {Sin} .(t+\alpha )\right\}=0.$