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QUESTIONS
L’égalité du premier facteur à zéro donnerait
; de sorte que la partie retranchée du triangle se réduirait à un trapèze, ce qui ne peut convenir au minimum, puisqu’en retranchant à la partie supérieure du trapèze une portion si petite qu’on voudrait, par une parallèle à ses bases, et en remplaçant la portion retranchée par un segment de cercle équivalent et de même base, on aurait une ligne totale moins longue que la première. C’est donc l’autre facteur qu’il faut égaler à zéro ; on doit donc avoir, pour le minimum,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(t+\alpha )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e229ef34e117f95f061151734168a141773ae6e9)
c’est-à-dire, que les angles
et
doivent être supplément l’un de l’autre, ou que la droite
doit être perpendiculaire à
, ou qu’enfin la droite
doit être à telle distance de la base
du triangle que l’arc
soit tangent à ses deux autres côtés en
et
. Il arrivera donc ainsi que la ligne totale
qui résoudra le problème sera aussi peu discontinue qu’elle puisse l’être.
On a donc ainsi
![{\displaystyle t={\frac {1}{2}}\varpi -\alpha ,\qquad \operatorname {Sin} .t=\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad \operatorname {Cos} .t=\operatorname {Sin} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a33f5c9e8023742bc20f0d451a79c86bc32d074)
ce qui donne
![{\displaystyle x={\frac {b\operatorname {Cos} .\alpha }{{\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\varpi -\alpha \right)}}\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Cos} .\alpha }}={\sqrt {\frac {\varpi r^{2}-a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{\left[\left({\frac {1}{2}}\varpi -\alpha \right)\operatorname {Tang} .\alpha -1\right]\operatorname {Tang} .\alpha }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768064f089bd6033a0615aa679c9fcd610115e7d)
et la longueur de la ligne minimum sera
![{\displaystyle \mathrm {AXVYB} =2a+2(\alpha \operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Cos} .\alpha ){\sqrt {\frac {\varpi r^{2}-a^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha }{\left[\left({\frac {1}{2}}\varpi -\alpha \right)\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Cos} .\alpha \right]\operatorname {Sin} .\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51c9b4dd7eb04ca95e8b322d666cbb42a061101)
Si, par exemple, on demandait que cette ligne divisât le triangle en deux parties équivalentes, on devrait avoir