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DES COSINUS.

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots$

$\pm {\sqrt {-1}}\left[\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots \right].$

2.

Telle est l’expression générale de la $m$^me puissance de $2\operatorname {Cos} .x,$ en cosinus et sinus des multiples de $x,$ pour une valeur quelconque de $x,$

Si l’on fait, pour abréger,

$\operatorname {Cos} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)x+\ldots =P\,;$

$\operatorname {Sin} .mx+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Sin} .(m-4)x+\ldots =Q,$

on aura

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P\pm {\sqrt {-1}}Q.$

3.

Euler, en observant qu’on a $u+{\frac {1}{u}}={\frac {1}{u}}+u,$ suppose aussi $\left(u+{\frac {1}{u}}\right)^{m}=\left({\frac {1}{u}}+u\right)^{m},$ et par conséquent $P+{\sqrt {-1}}Q=$$P-{\sqrt {-1}}Q,$ d’où $Q=0\,;$ et, par suite

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P,$

pour une valeur quelconque de $m.$

Lagrange, dans ses Leçons sur le calcul des fonctions, (Leçon XI), trouve aussi, par la voie des équations différentielles