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DES COSINUS.

7.

On a généralement

$\operatorname {Cos} .x=\operatorname {Cos} .\pm (2n\varpi \pm x)\,;$

$\operatorname {Sin} .x=\operatorname {Sin} .\pm (2n\varpi +x)=\operatorname {Sin} .\left[(2n+1)\varpi -x\right]\,;$

mais on ne peut mettre que $x\pm 2n\varpi$ pour $x$, dans l’expression de $2\operatorname {Cos} .x,$ parce qu’il n’y a que cet arc seul qui ait en même temps le même sinus et le même cosinus que l’arc $x$.

On a donc généralement

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\varpi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\varpi )$

$+{\frac {m}{1}}\left[\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )\right]$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\left[\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm 2n\varpi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm 2n\varpi )\right]$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

de sorte qu’en posant, pour abréger,

$\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )+\ldots =P_{n}$

$\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\varpi )+{\frac {m}{1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\varpi )+\ldots =Q_{n}$

nous aurons

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}$