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DES COSINUS.

il faut que la valeur de $2x$ se trouve entre $\left({\frac {1}{2}}k-1\right)$ et $\left({\frac {3}{2}}k-1\right),$ pour $A_{n}=0,$ et entre $k-1$ et $3k-1$ pour $B_{n}=0.$ Mais la plus petite valeur de $k$ étant $2,$ les valeurs ${\frac {1}{2}}k-1$ et ${\frac {3}{2}}k-1$ de $2n$ donnent déjà les nombres $4$ et $5,$ c’est-à-dire, $2k$ et $2k+1,$ dont la première est la limite des valeurs de $2n,$ tandis que l’autre la surpasse. Mais, puisque la valeur de $2n,$ correspondant à une des limites elle-même, égale toujours la valeur pour l’autre, la valeur ${\frac {3}{2}}k-1$ ni toutes les suivantes n’existent pas pour $A_{n}=0,$ ni la valeur $3k-1$ et toutes les suivantes, pour $B_{n}=0.$ Donc il ne reste que les deux valeurs ${\frac {1}{2}}k-1$ et ${\frac {3}{2}}k-1,$ pour $A_{n}=0,$ et les deux valeurs $k-1$ et $2k-1$ pour $B_{n}=0.$

14.

Puisque $A_{n}$ et $B_{n},\ P_{n}$ et $Q_{n}$ s’évanouissent en même temps, ou pour la même valeur de $n,$ ainsi que nous l’avons vu (9, 10, 11), et que l’on obtient (7), pour l’expression générale de $(2\operatorname {Cos} .x)^{m},$

$(2\operatorname {Cos} .x)^{m}=\operatorname {Cos} .m(x\pm 2n\pi )\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .m(x\pm 2n\pi )=P_{n}\pm {\sqrt {-1}}Q_{n}\,;$

$+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)(x\pm 2n\pi )\pm {\frac {m}{1}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)(x\pm 2n\pi )$

$+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\operatorname {Cos} .(m-4)(x\pm 2n\pi )\pm {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-4)(x\pm 2n\pi )$

$+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \pm \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

en ajoutant, dans l’expression,

$P_{0}\pm {\sqrt {-1}}Q_{0}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx$

$+{\frac {m}{1}}\operatorname {Cos} .(m-2)x\pm {\frac {m}{1}}{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .(m-2)x$