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NOMBRE DES TERMES

$(n-2).\phi (m,n-2)=(m+n-2).\phi (m,n-3),$

 

${\begin{aligned}&3.\phi (m,3)=(m+3).\phi (m,2),\\&2.\phi (m,2)=(m+2).\phi (m,1),\\&1.\phi (m,1)=(m+1),\end{aligned}}$

en les multipliant donc membre à membre, supprimant les facteurs communs dans l’équation résultante et résolvant enfin cette équation par rapport à $\phi (m,n)$ on aura

$\phi (m,n)={\frac {m+1}{1}}.{\frac {m+2}{2}}.{\frac {m+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{n}}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}.\qquad$(3)

telle est la formule générale cherchée.

On conclut évidemment de là

$\phi (m,n)=\phi (n,m)={\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {m+n}{m}}\,;\qquad$(4)

on peut donc choisir, entre ces deux formules, celle qui se compose d’un moindre nombre de facteurs. Il résulte, aussi de leur équivalence qu’il y a autant de termes dans un polynome complet du n^me degré formé avec m lettres qu’il y en a dans un polynôme complet du m^me degré formé avec n lettres. C’est ainsi, par exemple, que l’équation complète du 3.^e degré à deux variables et l’équation complète du 2.^e degré à trois variables ont également dix termes.