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DES POLYNOMES.

Si dans le polynome (1) on suppose $a=1,$ le nombre de ses termes ne changera pas, et sera toujours $\phi (m,n)\,;$ mais alors les polynomes $P_{m},P_{m-1},\ldots P_{k},\ldots P_{2},P_{1}$ deviendront des polynomes complets des degrés marqués par leurs indices respectives formés des $n-1$ lettres restantes $b,c,d,\ldots \,;$ le nombre des termes de chacun d’eux pourra donc être représenté par $\phi (m,n-1),$ $\phi (m-1,n-1),\ldots ,$ $\phi (k,n-1),\ldots ,\phi (2,n-1),$$\phi (1,n-1)\,;$ de sorte qu’on doit avoir

$\phi (m,n)=1+\phi (1,n-1)+\phi (2,n-1)+\ldots +\phi (m-1,n-1)+\phi (m,n-1)\,;(5)$

en changeant $m$ en $m-1,$ on aura pareillement

$\phi (m-1,n)=1+\phi (1,n-1)+\phi (2,n-1)+\ldots +\phi (m-1,n-1)\,;$

ce qui donne, en retranchant,

$\phi (m,n)-\phi (m-1,n)=\phi (m,n-1)$

ou en transposant

$\phi (m,n)=\phi (m,n-1)+\phi (m-1,n)\qquad$(6)

formule qui justifie la construction du triangle arithmétique de Pascal.

La formule (4) donne successivement

${\begin{aligned}&\phi (1,n-1)={\frac {n}{1}},\\\\&\phi (2,n-1)={\frac {n}{1}}.{\frac {n+1}{2}},\\\\\end{aligned}}$