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INTÉGRALES
entre elles et même déterminées à ces limites, devront être, dans tout le reste de l’intégrale, tout-à-fait indépendantes ; l’équation (XIV) se partagera donc alors dans les deux suivantes :
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'''+\ldots ,\\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots \,;\end{array}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572573d39ed69cca3d90d045187ce0be7025ab7f)
(XV)
lesquelles, ne contenant plus dès-lors que
seront les deux équations différentielles de la courbe cherchée.
27. Mais au lieu de chercher quelle est, entre toutes les courbes, celle qui rend
maximum ou minimum, on pourrait demander quelle est celle qui jouit de cette propriété, parmi celles qui satisfont à une équation de relation donnée entre
et
ou, ce qui revient au même, parmi celles qui sont sur la surface courbe exprimée par cette équation ; il est clair qu’alors la courbe cherchée, dans ses diverses déformations, ne devrait pas quitter cette surface ; d’où il suit que les fonctions
et
toujours arbitraires d’ailleurs, ne seraient plus dès-lors indépendantes. Soit, en effet,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=M=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b366a114fd57e998899151d299c689780d5afab1)
(XVI)
l’équation de cette surface ; on devra avoir, pour la courbe déformée,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+iX,y+iY,z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240fd08230d26077fec4aa1d92e5b9e0af2752f8)
ou, en développant,
![{\displaystyle 0=M+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right)Y\right\}{\frac {i}{1}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e24bd499ccaff8d1c849581492a40d8ef4291f0)