Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/32

28

INTÉGRALES

entre elles et même déterminées à ces limites, devront être, dans tout le reste de l’intégrale, tout-à-fait indépendantes ; l’équation (XIV) se partagera donc alors dans les deux suivantes :

$\left.{\begin{array}{lll}&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x'''}}\right)'''+\ldots ,\\\\&0=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'}}\right)'+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y''}}\right)''-\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y'''}}\right)'''+\ldots \,;\end{array}}\right\}\quad$(XV)

lesquelles, ne contenant plus dès-lors que $z,x,x',x'',\ldots ,y,y',y'',\ldots ,$ seront les deux équations différentielles de la courbe cherchée.

27. Mais au lieu de chercher quelle est, entre toutes les courbes, celle qui rend $\int V\operatorname {d} z$ maximum ou minimum, on pourrait demander quelle est celle qui jouit de cette propriété, parmi celles qui satisfont à une équation de relation donnée entre $x,y$ et $z,$ ou, ce qui revient au même, parmi celles qui sont sur la surface courbe exprimée par cette équation ; il est clair qu’alors la courbe cherchée, dans ses diverses déformations, ne devrait pas quitter cette surface ; d’où il suit que les fonctions $X$ et $Y,$ toujours arbitraires d’ailleurs, ne seraient plus dès-lors indépendantes. Soit, en effet,

$\operatorname {F} (x,y,z)=M=0,\qquad$(XVI)

l’équation de cette surface ; on devra avoir, pour la courbe déformée,

$\operatorname {F} (x+iX,y+iY,z)=0\,;$

ou, en développant,

$0=M+\left\{\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\right)X+\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right)Y\right\}{\frac {i}{1}}+\ldots \,;$