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RÉSOLUES.

$\operatorname {Cos} .(a,d)={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},\qquad \operatorname {Cos} .(a,b)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}.$

Mais les prolongemens des côtés opposés $b$ et $d$ forment avec le côté $a$ un triangle dans lequel l’angle opposé à ce côté $a$ est précisément l’angle cherché $(b,d)$ de deux côtés opposés ; en supposant donc, pour fixer les idées, $a>c,$ nous aurons

$(b,d)=\varpi -\left[(a,d)+(a,b)\right]$

d’où

$\operatorname {Sin} .(b,d)=\operatorname {Sin} .\left[(a,d)+(a,b)\right]=\operatorname {Sin} .(a,d)\operatorname {Cos} .(a,b)+\operatorname {Sin} .(a,b)\operatorname {Cos} .(a,d)$

ce qui donnera, en substituant,

$\operatorname {Sin} .(b,d)={\frac {\left[\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)+\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\right]{\sqrt {ABCD}}}{4(ad+bc)(ab+cd)}},$

ou, en réduisant

$\operatorname {Sin} .(b,d)={\frac {\left(a^{2}-c^{2}\right){\sqrt {ABCD}}}{2(ad+bc)(ab+cd)}}\,;$

tel est le sinus de l’angle des deux côtés opposés $b$ et $d,$ on trouverait de même

$\operatorname {Sin} .(a,c)={\frac {\left(b^{2}-d^{2}\right){\sqrt {ABCD}}}{2(ad+bc)(ab+cd)}}.$

Si l’on cherche les cosinus des mêmes angles, on trouvera

$\operatorname {Cos} .(b,d)=\operatorname {Sin} .(a,b)\operatorname {Sin} .(a,d)-\operatorname {Cos} .(a,b)\operatorname {Cos} .(a,d)$

ou, en substituant,

$\operatorname {Cos} .(b,d)={\frac {ABCD-\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)}{4(ab+cd)(ad+bc)}}$

ou, en développant et réduisant