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RÉSOLUES.

donc, pour le point $(x,y)$ d’intersection des deux courbes, $z'$ et $z''$ sont les deux racines de l’équation du second degré

$z^{2}+2{\frac {x}{y}}z-1=0\,;$

d’où, il suit qu’on doit avoir

$z'z''=-1,\quad$ou$\quad 1+z'z''=0$

ce qui prouve la proposition annoncée.

On peut encore remarquer que la distance du foyer commun au point où la tangente à la première parabole rencontre son axe est, en général,

$-2c-x\,;$

et que la distance du même point à celui où la normale à la seconde rencontre le même axe est

$-2c'-x\,;$

mais les équations des deux courbes donnent pour l’abscisse de leur point d’intersection

$x=c'-c,$

substituant donc dans les deux expressions ci-dessus, elles deviennent également

$-(c+c')$

ce qui montre que, pour le point d’intersection des deux courbes, la tangente à la première coïncide avec la normale à la seconde, et qu’ainsi elles se coupent perpendiculairement.

En substituant dans l’équation de l’une quelconque des deux courbes la valeur $x=c'-c$ de l’abscisse de leur point d’intersection, on obtient pour son ordonnée