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SOLUTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui passent toutes par l’origine et dont les branches ne se rencontrent pas.

Mais, hors le cas ci-dessus indiqué, ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} c}}$ contiendra encore $c,$ et en l’égalant à zéro, on en tirera, pour ce paramètre des valeurs qu’on substituera dans l’équation $\phi =0.$ Le résultat de la substitution des valeurs de $c,$ fonction de $x$ et $y,$ donnera les enveloppes cherchées. Mais le résultat de la substitution des valeurs constantes donnera des cas particuliers de l’équation $\phi =0.$ Ce seront ceux pour lesquels deux enveloppées consécutives se confondront en une seule ; et par conséquent on trouvera, par ce moyen, toutes celles qui servent de limites aux autres^[1].

Par exemple, en différentiant par rapport à $c$ l’équation

$y=\left(1-c^{2}\right)x+c^{2},$

qui représente une droite, on trouve

$-2cx+3c^{2}=0,$

d’où

$c=0\quad$et$\quad c={\frac {2}{3}}x.$

Si l’on substitue $c=0$ dans la proposée, on trouvera $y=x,$ équation de la droite $\mathrm {BC}$ (Fig. 3), C’est, parmi toutes les enveloppées, celle qui fait le plus grand angle aigu avec l’axe des $x.$ Si, au contraire on substitue $c={\frac {2}{3}},$ il viendra

$y=x-{\frac {4}{27}}x^{3},$

1. On trouve un exemple de l’introduction de ces enveloppées particulières dans l’équation générale des enveloppes, dans un article de M. Poncelet sur la théorie des polaires réciproques (Annales, tom. VIII, pag. 210-226.)