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PARTICULIÈRES.

équation de l’enveloppe de toutes les droites $\mathrm {BC,B'C',B''C'',B'''C'''} ,\ldots .$

5. Toute ligne peut être considérée comme l’enveloppe d’une infinité de systèmes d’enveloppées différentes. L’équation générale de celles-ci est arbitraire ; elle doit seulement renfermer un paramètre variable, et représenter une ligne tangente à la première en des points qui varient de situation lorsqu’on fait varier ce paramètre.

6. Supposons présentement que l’on élimine $c$ entre $\phi =0$ et ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y=0\,;$ en faisant, pour abréger ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=p,$ le résultat sera une fonction de $x,y$ et $p.$ Représentons-la par $\phi '=0,$ et cherchons quelles sont les lignes dont elle exprime les propriétés.

Une ligne $\mathrm {MM'M''} \ldots$ (fig. 4) peut être regardée comme représentée par l’équation $\phi '=0$ si, en substituant dans cette équation, à la place de $x$ et $y,$ les coordonnées de l’un quelconque $\mathrm {M}$ de ces points, on en tire pour $p$ la valeur du coefficient de $x$ dans l’équation de la tangente $\mathrm {MT}$ en ce même point. Or on peut toujours, dans l’équation, $\phi =0,$ donner à la constante $c$ une valeur telle que la ligne représentée par cette équation passe par le point $\mathrm {M,}$ et la valeur de $p,$ tirée de $x=0,$ déterminera la direction de la tangente à cette ligne $\mathrm {AMB.}$ Donc la ligne $\mathrm {MM'M''} \ldots$ doit être telle que si, par un quelconque de ses points on fait passer une des lignes représentées par $\phi =0,$ elle ait avec cette ligne une tangente commune ; donc elle doit être ou l’un des cas particuliers de $\phi =0,$ ou l’une des enveloppes des lignes représentées par cette dernière équation.

7. Il s’agirait actuellement de déterminer l’équation des enveloppes telles que $\mathrm {MM'M''} \ldots ,$ sans être obligé d’intégrer l’équation $\phi '=0$ pour cela il suffira (5) de trouver l’équation d’une ligne qui soit tangente à $\mathrm {MM'M''} \ldots ,$ et dont le point de contact prenne successivement différentes positions, quand on fera varier un paramètre.

8. Les enveloppes cherchées peuvent être courbes ou droites ; je considérerai d’abord les premières.