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Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1822-1823, Tome 13.djvu/349

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PARTICULIÈRES.

équation de l’enveloppe de toutes les droites

5. Toute ligne peut être considérée comme l’enveloppe d’une infinité de systèmes d’enveloppées différentes. L’équation générale de celles-ci est arbitraire ; elle doit seulement renfermer un paramètre variable, et représenter une ligne tangente à la première en des points qui varient de situation lorsqu’on fait varier ce paramètre.

6. Supposons présentement que l’on élimine entre et en faisant, pour abréger le résultat sera une fonction de et Représentons-la par et cherchons quelles sont les lignes dont elle exprime les propriétés.

Une ligne (fig. 4) peut être regardée comme représentée par l’équation si, en substituant dans cette équation, à la place de et les coordonnées de l’un quelconque de ces points, on en tire pour la valeur du coefficient de dans l’équation de la tangente en ce même point. Or on peut toujours, dans l’équation, donner à la constante une valeur telle que la ligne représentée par cette équation passe par le point et la valeur de tirée de déterminera la direction de la tangente à cette ligne Donc la ligne doit être telle que si, par un quelconque de ses points on fait passer une des lignes représentées par elle ait avec cette ligne une tangente commune ; donc elle doit être ou l’un des cas particuliers de ou l’une des enveloppes des lignes représentées par cette dernière équation.

7. Il s’agirait actuellement de déterminer l’équation des enveloppes telles que sans être obligé d’intégrer l’équation pour cela il suffira (5) de trouver l’équation d’une ligne qui soit tangente à et dont le point de contact prenne successivement différentes positions, quand on fera varier un paramètre.

8. Les enveloppes cherchées peuvent être courbes ou droites ; je considérerai d’abord les premières.