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DU 4.^e DEGRÉ.

$\left.{\begin{aligned}&ab+cd=A,\\&ac+bd=B,\\&ad+bc=C,\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

équations qui, en y joignant une quelconque des équations (2), devront donner les valeurs des racines inconnues $a,b,c,d.$

D’abord, en prenant leur somme, on a

$A+B+C=p\,;\qquad$(6)

prenant ensuite leurs sommes deux à deux et ayant égard à l’équation (6), il vient, en vertu de la première des équations (2),

${\begin{aligned}&A+B=p-C=ab+cd+ac+bd=(a+d)(b+c)=-(a+d)^{2}=-(b-c)^{2},\\&B+C=p-A=ac+bd+ad+bc=(a+b)(c+d)=-(a+b)^{2}=-(c+d)^{2},\\&C+A=p-B=ad+bc+ab+cd=(a+c)(b+d)=-(a+c)^{2}=-(b+d)^{2}\,;\end{aligned}}$

ce qui donne

$a+d=\pm {\sqrt {C-p}},\qquad a+b=\pm {\sqrt {A-p}},\qquad a+c=\pm {\sqrt {B-p}},$

$b+c=\mp {\sqrt {C-p}},\qquad c+d=\mp {\sqrt {A-p}},\qquad b+d=\mp {\sqrt {B-p}},$

En prenant le produit des équations de la première ligne, il vient

$a^{2}(a+b+c+d)+(abc+abd+acd+bcd)=-q$

$=\pm {\sqrt {A-p}}\times \pm {\sqrt {B-p}}\times \pm {\sqrt {C-p}}\,;$

il faudra donc choisir les signes des radicaux de cette première ligne de telle sorte que leur produit soit de signe contraire à $q.$ Prenant ensuite la somme de ces mêmes équations, on aura