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ÉQUATION

$2a+(a+b+c+d)=2a=\pm {\sqrt {A-p}}\pm {\sqrt {B-p}}\pm {\sqrt {C-p}}\,;$

de sorte que si $q$ est positif dans l’équation, on aura

${\begin{aligned}&x={\frac {1}{2}}\left\{-{\sqrt {A-p}}-{\sqrt {B-p}}-{\sqrt {C-p}}\right\},\\&x={\frac {1}{2}}\left\{-{\sqrt {A-p}}+{\sqrt {B-p}}+{\sqrt {C-p}}\right\},\\&x={\frac {1}{2}}\left\{+{\sqrt {A-p}}-{\sqrt {B-p}}+{\sqrt {C-p}}\right\},\\&x={\frac {1}{2}}\left\{+{\sqrt {A-p}}+{\sqrt {B-p}}-{\sqrt {C-p}}\right\}.\end{aligned}}$

tandis que si, au contraire, $q$ est négatif dans l’équation, ses quatre racines seront

${\begin{aligned}&x={\frac {1}{2}}\left\{+{\sqrt {A-p}}+{\sqrt {B-p}}+{\sqrt {C-p}}\right\},\\&x={\frac {1}{2}}\left\{-{\sqrt {A-p}}-{\sqrt {B-p}}-{\sqrt {C-p}}\right\},\\&x={\frac {1}{2}}\left\{-{\sqrt {A-p}}+{\sqrt {B-p}}-{\sqrt {C-p}}\right\},\\&x={\frac {1}{2}}\left\{-{\sqrt {A-p}}-{\sqrt {B-p}}+{\sqrt {C-p}}\right\}.\end{aligned}}$

Nous avons pu ramener la résolution de l’équation du quatrième degré à celle d’une équation du troisième, parce qu’il existe une fonction non symétrique $ab+cd$ de quatre quantités $a,b,c,d$ qui, par les diverses permutations qu’on y peut faire des lettres les unes avec les autres, n’est susceptible que de trois formes différentes seulement ; et on aurait pu également parvenir au but en employant des fonctions de la forme $(a+b)(c+d)$ qui jouissent de la même propriété.

Le problème général de la résolution des équations de tous les degrés tiendrait donc, d’après cela, à trouver, pour chaque degré $m,$ une fonction non symétrique de $m$ lettres $a,b,c,\ldots k$ qui,