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INTÉGRALES

ment à zéro, dans l’équation somme, les coefficiens de $X_{1},Y_{1}Z_{1},$ il viendra

$M+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0,\qquad N+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0,\qquad 1+\lambda \left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=0\,;$

d’où on conclura, par l’élimination de $\lambda ,$

${\begin{aligned}&M\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1},\\\\&N\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}=\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}\,;\end{aligned}}$

mais, en différentiant l’équation $L_{1}=0,$ on a

${\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}=0\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y_{1}}}+\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1}=0\,;\end{aligned}}$

mettant donc dans ces dernières les valeurs de $\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} x}}\right)_{1}$ et $\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} y}}\right)_{1},$ tirées des précédentes, il viendra, en supprimant le facteur $\left({\frac {\operatorname {d} L}{\operatorname {d} z}}\right)_{1},$

$M+{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x_{1}}}=0,\qquad N+{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y_{1}}}=0\,;$

ce qui prouve que la plus courte ligne d’un point à une surface courbe est la normale menée de ce point à cette surface ; d’où il est facile de conclure que la plus courte ligne entre deux surfaces courbes est la normale qui leur est commune.