celles que représente l’équation en un point pour lequel la tangente fait avec l’axe des un angle déterminé par la valeur particulière que l’on suppose à et la considération de cette sorte de transversales nous a conduit directement à la détermination des règles à suivre pour obtenir les solutions particulières des équations différentielles du premier ordre.
En considérant ainsi les équations et comme représentant chacune un système de lignes déterminé par le système de lignes que l’autre représente, on trouvera souvent l’occasion d’appliquer des méthodes géométriques à la recherche des relations qui existent entre une équation différentielle et son intégrale, ce qui, dans quelques circonstances, sera plus expéditif que l’emploi des méthodes purement analitiques, et pourra même conduire quelquefois à des résultats que l’usage exclusif de ces dernières n’eût pas fait apercevoir.
On a pu voir un exemple des avantages de cette manière d’envisager les équations différentielles du premier ordre, par la facilité avec laquelle elle nous a conduit à la théorie des solutions particulières. Nous nous proposons aujourd’hui d’en présenter quelques nouvelles applications, et nous commencerons par exposer deux méthodes générales dont on peut faire usage, quand on veut introduire des raisonnemens géométriques dans une question d’analise. Dans tout ce qui va suivre nous supposerons que les axes des coordonnées sont rectangulaires ; nous désignerons par et nous conserverons aux notations et la signification indiquée ci-dessus.
1. Première méthode. Supposons que l’équation soit donnée ; remplaçons-y par des valeurs arbitraires nous obtiendrons ainsi les équations d’une suite de lignes (fig. 1). Menons à chacune d’elles une tangente parallèle à une droite quelconque alors la suite des
