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on aura donc, en substituant pour $\operatorname {Tang} .y$ sa valeur

$z=k.{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .\alpha +\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}}={\frac {k}{\operatorname {Cos} .\beta }}.{\frac {\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}{1+\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cot} .\beta \operatorname {Sin} .x}}$

posant donc, pour abréger,

${\frac {k}{\operatorname {Cos} .\beta }}=a,\qquad \operatorname {Cot} .\alpha \operatorname {Tang} .\beta =n,$

nous aurons

$z=a{\frac {\operatorname {Sin} .x}{n+\operatorname {Sin} .x}}.$

Si, par le point $\mathrm {M} ,$ nous concevons un plan perpendiculaire à l’axe, ce plan déterminera une section circulaire dont l’arc intercepté entre $\mathrm {SN}$ et $\mathrm {SN'}$ sera $\mathrm {MH} ,$ semblable à $\mathrm {NN'} \,;$ et dans l’évaluation de la surface $\mathrm {NMM'N'} ,$ nous pourrons faire abstraction du triangle $\mathrm {MHM'} ,$ infiniment petit par rapport à elle ; cette surface deviendra ainsi un trapèze ; et, en représentant par $\mathrm {S}$ la surface $\mathrm {DNM} ,$ nous aurons

$\operatorname {d} S=\mathrm {MN.{\frac {NN'+MH}{2}}} \,;$

or, nous avons

$\mathrm {MH=NN'.{\frac {SM}{SN}}=NN'.{\frac {SN-MN}{SN}}=NN'.\left(1-{\frac {MN}{SN}}\right)} \,;$

donc

$\mathrm {NN'+MH=NN'\left(2-{\frac {MN}{SN}}\right)} ,$

ce qui donne

$\operatorname {d} S=\mathrm {MN.NN'\left(1-{\frac {MN}{2SN}}\right)} \,;$

or, nous avons